2025年九年级中考数学复习专题系列2：最值问题

2025年中考复习专题系列2：最值问题 以圆为背景的面积最大值问题： 例题1：已知AB是⊙O的弦，点P是优弧AB上的一个动点，连接AP，过点A作AP的垂线，交PB的延长线于点C． （1）如图1，AC与⊙O相交于点D，过点D作⊙O的切线，交PC于点E，若DE∥AB，求证：PA＝PB； （2）如图2，已知⊙O的半径为2，AB＝2． ①当点P在优弧AB上运动时，∠C的度数为　 　°； ②当点P在优弧AB上运动时，△ABP的面积随之变化，求△ABP面积的最大值； ③当点P在优弧AB上运动时，△ABC的面积随之变化，△ABC的面积的最大值为　 　． 二次函数背景下的面积最大值问题： 例题2：如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0）．点P是直线BC上方的抛物线上一动点． （1）求二次函数y＝ax2+2x+c的表达式； （2）连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C．若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标； （3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积． “两点之间线段最短”或“垂线段最短” 例题讲解： 例1：已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上，已知蜗牛从点P出发，绕圆锥侧面爬行，回到点P时所爬过的最短路线的痕迹如图所示，若沿OM将圆锥侧面剪开，所得侧面展开图是（ ） A B C D 例题2：如图，点A的坐标是（-1,0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（ ） A、（0,0） B、（ ，） C、（，） D、（，） 【变式训练】： 1、 如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过三个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC= 。 第1题 第2题 第3题 2、如图，一只直线y=x-3与x轴、y轴分别交于点A，B，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上的一个动点，连接PA，PB，则△PAB面积的最大值是（ ） A、8 B、12 C、 D、 3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，F是线段AC上一点，经过点A的圆F交AB于点D，ED=EB，则EF的最小值为（ ） A、3 B、2 C、 D、2 4、如图，已知圆O经过点A（2，0），C（0，2），直线y=kx与圆O交于B，D两点，则四边形ABCD的面积的最大值为 。 第4题 第5题 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D，E分别是AC，BC边上的点，且DE=3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M，N两点，则MN的最大值为 。 6. 如图、在等边三角形ABC中，AB=4，P是BC边上的动点，点P关于直线AB、AC的对称点分别为M，N，则线段MN的长的取值范围是 。 7. 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作圆O分别交AB，AC于点E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 。 一、以圆为手段： 【明圆】 例3：如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以AB边的中点O为圆心，作半圆与AC边相切，点P，Q分别是BC边和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值和最小值的和是 。 例3图 第8题 【变式训练】： 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是弧CD上的一个动点 ，连接AP，则AP长的最小值为 。 9. 在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B是以点M（3，4）为圆心，1为半径的圆周上的一个动点，连接BO，设BO的中点为C，则线段AC长的最小值为 。 【隐圆问题】： 例题4：在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E是射线CD上的一个动点，把△BCE沿BE折叠，点C的对应点为F，则线段DF长的最小值为 。 例题5：如图、在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为 ； 例4图 例5图 第10题图 【变式训练】 10. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，P是这个菱形边上或者内部一点,且以点P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，D（P，D两点不重合）两点间的最短距离为 。 11. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1,0），B（1-a，0），C（1+a，0）（a>0），点p在以点D（4,4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是 。 第11题 第12题图 第13题 12. 如图，在正方形ABCD中，AB=2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动， 点E，F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF，BE相交于点P，则线段CP的最小值为 。 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A（-2,0），B（0,2），圆O的半径为1，C为圆O上一个动点，过点B作BP⊥直线AC，垂足为P，则点P纵坐标的最大值为（ ） A、 B、 C、2 D、 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx（k≠0）经过点（a，a）(a>0)，线段BC的两个端点分别在x轴和直线y=kx上（点B，C均与原点O不重合）滑动，且BC=2，分别作BP⊥x轴，CP⊥直线y=kx，交点为P，经探究在整个滑动过程中，P，O两点间的距离为定值 。 二、以路径为手段： 1、直线型路径背景下的最值：【定距离判断直线型路径】 例题6：如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E在AD边上，且AE:ED=1：3，动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止，过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长是 。 【同型练】： 第15题 15、如图，已知平行四边形OABC的顶点A，C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为 。 第16题 第17题 第18题 16、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC>AB，点D在BC边上，在以AC为对角线的平行四边形ADCE中，DE长的最小值为 。 17、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，BC=3，P为AB边上一动点，连接PD并延长至点E，使得PD:PE=1：3，以PE，PC为边作平行四边形PEFC，连接PF，则PF 的长的最小值为 。 18、如图，在等边△ABC中，BC=6，D，E是BC边上的两点，且BD=CE=1，P是线段DE上一动点，过点P分别作AC，AB的平行线交AB，AC与点M，N，连接MN，AP交于点G，则点P由点D移动到点E的过程中，线段BG扫过的区域面积是 。 【定角度判断直线型路径】 例题7：如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=2，O为AC的中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，线段OE长的最小值为 。 【归纳：某一个动点与定线段的一个端点连接后所成角度不变，则该动点路径是直线，然后利用垂线段最短解决问题】 同型练： 17、如图，在边长为2a的等边△ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，则在点M的运动过程中，线段HN长的最小值是 。 18、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，线段BC上一个动点P从点C开始运动，到点B停止， 以AP为边在AC的右侧作等边三角形APQ，则点Q运动的路径长为 。 第17题 第18题 【圆弧型路径背景下的最值】 例题8：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D 是平面内的一个动点，且AD=2，M是BD的中点，在点D运动过程中，线段CM长的取值范围是 。 例8图 第20题图 第21题图 第22题图 【同型练】 20、如图，在等腰△ABC中，AC=BC=2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动到点B时，点M运动的路径长是 。 21、如图，在矩形ABCD中，AD=2AB=4，长度为2的动线段AE绕点A旋转，连接EC，取EC的中点F，连接DF，则DF长的取值范围是 。 22、如图，在△ABC中，AC=2，AB=3，当∠B最大时。BC的长为 。 【用定弦对定角定圆】 例题9：如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，∠ACB=45°，D是△ABC内部一动点，圆O为△ACD的外接圆，圆O交直线BD于点P，交BC于点E，弧AE=弧CP，则AD长度的最小值为（ ） A、1 B、2 C、 D、 【同型练】： 23、在正方形ABCD中，AD=2，点E从点D出发向终点C运动，点F从点C出发向点B运动，且始终保持DE=CF，连接AE，DF交于点P，则点P运动的路径长为 。 24、如图，以点G（0,1）为圆心，2为半径的圆与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，D两点，E为圆G上一个动点，CF⊥AE与点F，当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为 。 25、 如图，已知以AB为直径的半圆圆O，C是弧AB的中点，P为弧BC上任意一点,CD⊥CP，交AP于点D，连接BD，若AB=6，则BD长的最小值为 。 26、 如图、圆O的半径为1，弦AB=1，P时优弧AB上的一个动点，AC⊥AP，交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是 。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$