北京市东城区2024-2025学年高三上学期期末统一检测数学试卷

东城区2024—2025学年度第一学期期末统一检测 高三数学参考答案及评分标准 2025.1 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （1）A （2）D （3）A （4）B （5）B （6）C （7）B （8）D （9）A （10）C 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （ 11 ） （12） （13）（答案不唯一） （14）12, 140 （15）① ② ④ 三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分） 解：（Ⅰ）在△ABC中，因为， 由正弦定理得 又因为， 所以 因为，所以 因为，所以． ………………7分 （Ⅱ）若选条件①：因为，所以． 因为，所以. 所以． 此时，为钝角，符合题意．……13分 若选条件③：因为△ABC的面积为，所以. 由（I）知，所以. 由余弦定理得，即. 所以. 因为为钝角，所以 此时，为钝角，符合题意．…13分 （17）（共14分） 解：（Ⅰ）取的中点，连接. 在中，因为分别为的中点， 所以且. 因为为的中点，底面为菱形， 所以且. 所以且. 所以四边形为平行四边形. 所以. 又因为，， 所以平面. ………………6分 （Ⅱ）连接,. 因为为正三角形，所以. 因为侧面与底面垂直，侧面底面, 平面， 所以底面. 所以. 由题知为正三角形，为的中点,所以. 建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则． 于是，，，，，， . 所以,. 设是平面的法向量， 则 即 令，则，.于是． 因为， 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. …………14分 （18）（共13分） 解：（Ⅰ）根据题中数据，在200人中愿意购买第一款新品的人数为， 所以该名顾客愿意购买第一款新品的概率可估计为. ………4分 （Ⅱ）由题设，的所有可能值为0，1，2，3. 根据题中数据，得 青少年组的人数为. 随机抽取1人，此人愿意购买第二款新品的概率可估计为， 此人不愿意购买第二款新品的概率可估计为. 中年组的人数为. 随机抽取1人，此人愿意购买第二款新品的概率可估计为， 此人不愿意购买第二款新品的概率可估计为. 老年组的人数为. 随机抽取1人，此人愿意购买第二款新品的概率可估计为， 此人不愿意购买第二款新品的概率可估计为. 所以可估计为， 可估计为， 可估计为， 可估计为. 的分布列为： 0 1 2 3 所以. ………10分 （Ⅲ）. ………13分 （19）（共15分） 解：（Ⅰ）的定义域为，. ，． 所以曲线在点处的切线方程为，即． ………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知． 令，． 由知，在区间上单调递减， 又，则存在唯一，使得． 当变化时，的情况如下： ↗ 极大值 ↘ 由上表可知，的极值点个数为1. ………………11分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 且时，. 1 若，则，符合题意； 2 若，则由知. 当，且时，， 因此，与题设矛盾. 综上，的取值范围为． ………………15分 （20）（共15分） 解：（Ⅰ）由题意得 解得，． 所以的方程为． ………………5分 （Ⅱ）设，，，，. 则直线，. 由得. 所以，故． 由得. 所以，故． 因为为线段中点，所以， 故直线． 令，则，所以． 设直线与轴交于点， 因为，，，共线，所以. 解得． 所以. 因为，所以． 综上，点的横坐标为． ………………15分 （21）（共15分） 解：（Ⅰ）① 4，3，2，1不具有性质； ② 1，2，3，5，4具有性质. ………………4分 （Ⅱ）由已知. 设，其中. 可得， ， …… . 又， 得. 即. 因为，所以. 所以与的奇偶性相同. 因为, 所以为偶数. 又,所以. 又数列，此时. . 综上,的最小值为. …………………9分 （Ⅲ）由已知，，且， 则. 数列具有性质，即. 所以. 记， 所以. 因为， 所以. 当时，,所以. 当时，数列，此时 ，. 所以数列满足题意. …… 15分 数学参考答案 第 8 页（共 8 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 东城区2024—2025学年度第一学期期末统一检测 高 三 数 学 2025.1 本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合，，则 （A） （B） （C） （D） （2）在复平面内，复数，则的共轭复数对应的点的坐标是 （A） （B） （C） （D） （3）在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，它的终边绕着原点逆时针旋转后与 轴的非负半轴重合，则 （A） （B） （C） （D） （4）近年来，人工智能快速发展，AI算法是人工智能的核心技术之一. 现有一台计算机平均每秒可进行次运算，在这台计算机上运行某个AI算法来生成一个文案需要次运算，则生成这个文案需要的时间约为（本题取） （A）秒 （B）秒 （C）秒 （D）秒 （5）设等比数列的公比为，前项和为，使有最小值的一组和可以为 （A）， （B）， （C）， （D）， （6）已知平面向量，，为两两不共线的单位向量，则“”是“与共线” 的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （7）下列函数中，使既是奇函数又是增函数的是 （A） （B） （C） （D） （8）在平面直角坐标系中，整点是指横、纵坐标都是整数的点.已知一个圆经过，，三点，则该圆经过的整点共有 （A）个 （B）个 （C）个 （D）个 （9）如图，在棱长为6的正四面体中，以为顶点 的圆锥在正四面体的内部（含表面），则该圆锥体积的最 大值为 （A） （B） （C） （D） （10）已知.用表示中的最大值，设.若函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为 （A） （B） （C） （D） 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题 5小题，每小题5分，共25分． （11）函数的定义域为 . （12）在的展开式中，的系数为 .（用数字作答） （13）写出一个焦点在轴上且离心率为的双曲线的标准方程： . （14）大衍数列来源于《乾坤谱》，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理. 大衍数列中，对于，数列，，是公差为的等差数列，且也是等差数列.已知，，，则_________； 的前9项和等于 _______. （15）已知非空数集,满足： （i），有； （ii），，有； （iii ）且，有， 则称是的“理想子集”. 给出下列四个结论： ①若,则是的“理想子集”； ②若是的“理想子集”，且存在非零实数，则； ③若，是的“理想子集”，则也是的“理想子集”； ④若，是的“理想子集”，则也是的“理想子集”. 其中所有正确结论的序号是______________． 3、 解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题13分） 在△ABC中，为钝角，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求． 条件①：； 条件②： ； 条件③：△ABC的面积为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． （17）（本小题14分） 如图，在四棱锥中，侧面与底面垂直，△为正三角形，底 面为菱形，，，分别为棱，的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． （18）（本小题13分） 某甜品店打算推出三款新品，在前期市场调研时，将顾客按照年龄分为青少年组、中年组和老年组. 随机调查了200名顾客对这三款新品的购买意愿，统计数据如下（单位：人）： 青少年组 中年组 老年组 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 第一款 40 20 80 20 20 20 第二款 30 30 60 40 30 10 第三款 50 10 80 20 10 30 假设顾客购买的意愿相互独立. 用频率来估计概率. （Ⅰ）从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买第一款新品的概率； （Ⅱ）从三个不同年龄组的顾客中各随机抽取1人，记为这3人中愿意购买第二款新品的人数，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）用“” 表示顾客愿意购买第款新品， “” 表示顾客不愿意购买第款新品．直接写出方差，，的大小关系． （19）（本小题15分） 设函数． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求的极值点个数； （Ⅲ）若时，，求的取值范围． （20）（本小题15分） 已知椭圆的一个顶点为，且焦距为2. 为第一象限内 上的动点，过点作斜率为的直线分别与交于点（均异于点），直线与轴交于点，点为线段的中点，直线与轴交于点． （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）当时, 求点横坐标． （21）（本小题15分） 已知有穷正整数数列满足：，且当时，总有. 定义数列,其中，.当时，称数列具有性质. （Ⅰ）判断下列数列是否具有性质； ① 4，3，2，1； ② 1，2，3，5，4. （Ⅱ）已知数列具有性质，求的最小值； （Ⅲ）是否存在数列具有性质，且？若存在，请找到使最小的一个数列；若不存在，请说明理由. （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 数学 第 6 页（共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$