湖南省长沙市望城区2024-2025学年七年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年湖南省长沙市望城区七年级（上）期末数学试卷 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若收入30元记作+30元，则﹣10元表示（　　） A．收入10元 B．收入20元 C．支出20元 D．支出10元 2．（3分）在0，|﹣2|，﹣，1这四个数中，最小的数是（　　） A．0 B．|﹣2| C． D．1 3．（3分）有理数a、b在数轴上如图所示，下列式子错误的是（　　） A．a＜0＜b B．|a|＞|b| C．a+b＜0 D．ab＞0 4．（3分）下列代数式的书写格式符合要求的是（　　） A．a3 B．2÷a C． D．ab2 5．（3分）下列整式中，不是同类项的是（　　） A．m2n与﹣2m2n B．1与﹣2 C．3x2y和﹣5yx2 D．0.6a与8ab 6．（3分）我国古代《洛书》中记载了最早的三阶幻方——九宫图．如图所示的九宫图中，每行、每列的三个数字之和都相等，则x的值是（　　） A．﹣5 B．﹣3 C．2 D．5 7．（3分）下列图形中，不是正方体表面展开图的是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如果a﹣3b＝﹣2，那么代数式7﹣（a﹣3b）的值是（　　） A．0 B．5 C．7 D．9 9．（3分）一个角的补角比这个角的余角的3倍少20°，这个角的度数是（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 10．（3分）曹老师有一包糖果，若分给m个学生，则每个学生分a颗，还剩b颗（b＜a）；若分给（m+10）个学生，则每个学生分3颗，还剩（b+1）颗，则a的值可能是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）若a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则|c﹣a|+|b+a|﹣|b+c|化简结果为 　 　． 12．（3分）手机微信支付因方便快捷已被广泛使用，在“我的钱包”账单里收到微信红包16元记为+16，买文具支付8元则记为 　 　． 13．（3分）当x＝1时，2ax3﹣3bx+8的值为9，则9b﹣6a+2的值为 　 　． 14．（3分）按一定规律排列的单项式：﹣3，5a，﹣7a2，9a3，⋯，则第9个单项式是　 　． 15．（3分）如图所示，用经过A，B，C三点的平面截去正方体的一角，得到一个新的几何体，若这个几何体的面数为a，棱数为b，则a÷b＝ 　 　． 16．（3分）甲、乙、丙三人分别拿出相同数量的钱，合伙购买某种商品若干件．商品买来后，乙比甲少拿了4件，丙比甲多拿了13件，最后结算时，三人要求按所得商品的实际数量付钱，进行多退少补，已知丙付给甲60元，那么丙应付给乙　 　元． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：． 18．（6分）解方程：． 19．（6分）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示． （1）结合数轴可知：|a|　 　|b|；（用“＞”“＜”或“＝”填空） （2）结合数轴，比较﹣a，﹣b，0，a，b的大小，并用“＜”连接起来． 20．（8分）小红做一道数学题：“两个多项式A，B，已知B为4x2﹣5x﹣6，试求A+B的值”时．小红误将A+B看成A﹣B，结果答案为﹣7x2+10x+12（计算过程正确）． （1）试求A+B的正确结果； （2）当x＝﹣4时，求A+B的值． 21．（8分）如图，点O在直线AB上，射线OD在直线AB上方，且∠DOC＝90°，射线OE平分∠BOC． （1）若∠DOE＝150°，求∠AOC的度数； （2）若∠DOE＝α，求∠AOD．（请用含α的代数式表示）． 22．（9分）自我国实施“限塑令”起，开始有偿使用环保购物袋，为了满足市场需求，某厂家只生产A、B两种款式的环保购物袋，其中每天生产A种购物袋x个，两种购物袋的成本和售价如下表： 成本（元/个） 售价（元/个） A 2 2.3 B 3 3.5 （1）若该厂家每天生产A种购物袋5000个，B种购物袋3000个，求每天生产环保购物袋的总成本； （2）若该厂家每天共生产环保购物袋6500个，求每天生产环保购物袋的总成本（用含x的式子表示）； （3）若该厂家每天生产B种购物袋的数量是A种购物袋数量的，则所生产的环保购物袋全部销售完后，每天共可获利多少元？（用含x的式子表示） 23．（9分）综合与实践：进位制的认识与探究 题目背景 在学习数学的过程中，我们常常会接触到不同的进位制．最常用的是十进制，而计算机内部使用的则是二进制．进位制的不同，既影响数的表示方式，也影响数的计算方法．通过对进位制的探讨，我们可以更深入地理解数的构成及其运算特点． 阅读材料． 进位制是人们为了方便记数和运算而约定的记数系统．十进制使用0～9十个数字，逢十进一；二进制使用0和1两个数字，逢二进一．一个数可以表示为其各数位上的数字与基数的幂的乘积之和．约定：a0＝1（a≠0）．例如： 十进制数（3721）10可以表示为3×103+7×102+2×101+1×100， 即； 二进制数（101）2可以表示为1×22+0×21+1×20， 即． 解决问题． （1）理解应用：将二进制数（1011）2表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，并转换为十进制数． （2）拓展延伸：将十进制数89转换为二进制数和八进制数，要求体现转换的过程与结果． （3）创新应用：运用进制数的加法运算法则，计算（10010）2+（102）8（结果用十进制数表示），并说明计算的思想方法． 24．（10分）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x＝8和x+1＝0为“美好方程”． （1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”，求m的值； （2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； （3）若关于x的一元一次方程x+3＝2x+k和x+1＝0是“美好方程”，求关于y的一元一次方程（y+1）＝2y+k﹣1的解． 25．（10分）如图，数轴上线段AB＝2（单位长度），CD＝4（单位长度），点A在数轴上表示的数是﹣10，点C在数轴上表示的数是16．若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动． （1）问运动多少时BC＝8（单位长度）？ （2）当运动到BC＝8（单位长度）时，点B在数轴上表示的数是 　 　； （3）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式＝3，若存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由． 2024-2025学年湖南省长沙市望城区七年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D D． D． B D D． B A 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若收入30元记作+30元，则﹣10元表示（　　） A．收入10元 B．收入20元 C．支出20元 D．支出10元 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解答】解：若收入30元记作+30元，则﹣10元表示支出10元． 故选：D． 【点评】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 2．（3分）在0，|﹣2|，﹣，1这四个数中，最小的数是（　　） A．0 B．|﹣2| C． D．1 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：∵|﹣2|＝2， ∴﹣＜0＜1＜2， ∴＜0＜1＜|﹣2|， ∴最小的数是：． 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 3．（3分）有理数a、b在数轴上如图所示，下列式子错误的是（　　） A．a＜0＜b B．|a|＞|b| C．a+b＜0 D．ab＞0 【分析】直接利用数轴、绝对值的性质分别分析得出答案． 【解答】解：由数轴可得：a＜0，b＞0，且|a|＞|b|， 则a＜0＜b，故选项A正确，不合题意； |a|＞|b|，故选项B正确，不合题意； a+b＜0，故选项C正确，不合题意； ab＜0，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【点评】此题主要考查了数轴、绝对值的性质，正确掌握相关性质是解题关键． 4．（3分）下列代数式的书写格式符合要求的是（　　） A．a3 B．2÷a C． D．ab2 【分析】根据代数式的书写要求判断各项． 【解答】解：选项A正确的书写格式是3a，故此选项不符合题意； 选项B正确的书写格式是，故此选项不符合题意； 选项C正确的书写格式是，故此选项不符合题意； 选项D正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查代数式的书写习惯，掌握代数式的书写习惯是解题的关键． 5．（3分）下列整式中，不是同类项的是（　　） A．m2n与﹣2m2n B．1与﹣2 C．3x2y和﹣5yx2 D．0.6a与8ab 【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【解答】解：A、符合同类项的定义，是同类项； B、符合同类项的定义，是同类项； C、符合同类项的定义，是同类项； D、所含字母不相同，不是同类项； 故选：D． 【点评】本题考查同类项的定义，解题的关键是正确理解同类项的定义，本题属于基础题型． 6．（3分）我国古代《洛书》中记载了最早的三阶幻方——九宫图．如图所示的九宫图中，每行、每列的三个数字之和都相等，则x的值是（　　） A．﹣5 B．﹣3 C．2 D．5 【分析】根据第一行和第二列上的三个数字之和相等，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：根据题意，得﹣2+3＝x+4， 解方程，得x＝﹣3． 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 7．（3分）下列图形中，不是正方体表面展开图的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由正方体及其表面展开图的特点，即可判断． 【解答】解：A、B、C中的图形能围成正方体，故A、B、C不符合题意； D、图形围成几何体时，有两个面重合，不能围成正方体，故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查几何体的展开图，关键是掌握正方体及其表面展开图的特点． 8．（3分）如果a﹣3b＝﹣2，那么代数式7﹣（a﹣3b）的值是（　　） A．0 B．5 C．7 D．9 【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【解答】解：当a﹣3b＝﹣2时，原式＝﹣（a﹣3b）+7＝﹣（﹣2）+7＝9． 故选：D． 【点评】本题考查代数式求值，把代数式中的字母用具体的数代替，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 9．（3分）一个角的补角比这个角的余角的3倍少20°，这个角的度数是（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 【分析】设这个角为α，根据余角的和等于90°，补角的和等于180°表示出这个角的补角与余角，然后根据题意列出方程求解即可． 【解答】解：设这个角为α，则它的补角为180°﹣α，余角为90°﹣α， 根据题意得，180°﹣α＝3（90°﹣α）﹣20°， 解得α＝35°． 故选：B． 【点评】本题考查了余角与补角的定义，熟记“余角的和等于90°，补角的和等于180°”是解题的关键． 10．（3分）曹老师有一包糖果，若分给m个学生，则每个学生分a颗，还剩b颗（b＜a）；若分给（m+10）个学生，则每个学生分3颗，还剩（b+1）颗，则a的值可能是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】根据分给m个学生，则每个学生分a颗，还剩b颗可得共有（ma+b）颗糖，根据分给（m+10）个学生，则每个学生分3颗，还剩（b+1）颗，可得共有[3（m+10）+（b+1）]颗糖，根据糖果数量相等列出等式即可解答． 【解答】解：∵根据分给m个学生，则每个学生分a颗，还剩b颗可得共有（ma+b）颗糖， 根据分给（m+10）个学生，则每个学生分3颗，还剩（b+1）颗，可得共有[3（m+10）+（b+1）]颗糖， ∴ma+b＝3（m+10）+（b+1）， ∴a＝3+， ∵a，m为正整数， ∴m＝31或1， 当m＝31时， ∴a＝4， 当m＝1时，a＝34，没有这个选项，舍弃． 故选：A． 【点评】本题考查了列代数式的应用，关键是能根据题意表示出糖果的数量． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）若a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则|c﹣a|+|b+a|﹣|b+c|化简结果为 　2a+2b　． 【分析】根据数轴得出a，b，c的符号并判断它们的绝对值大小，从而根据绝对值的意义可得答案． 【解答】解：由图知，c＜b＜0＜a，|b|＜|a|， ∴|c﹣a|+|b+a|﹣|b+c| ＝a﹣c+a+b+b+c ＝2a+2b． 故答案为：2a+2b． 【点评】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，掌握绝对值的意义是解本题的关键． 12．（3分）手机微信支付因方便快捷已被广泛使用，在“我的钱包”账单里收到微信红包16元记为+16，买文具支付8元则记为 　﹣8　． 【分析】根据正数和负数的定义进行计算． 【解答】解：收到16元记为+16， 支付8元则记为﹣8． 故答案为：﹣8． 【点评】本题考查了正数和负数的定义，掌握正数和负数的定义是关键． 13．（3分）当x＝1时，2ax3﹣3bx+8的值为9，则9b﹣6a+2的值为 　﹣1　． 【分析】把x＝1代入代数式求出2a﹣3b的值，再代入原式计算求值． 【解答】解：∵当x＝1时，2ax3﹣3bx+8的值为9， ∴2a﹣3b+8＝9，即：2a﹣3b＝1， ∴9b﹣6a+2＝﹣3（﹣2a﹣3b）+2＝﹣3×1+2＝﹣1， ∴9b﹣6a+2的值为﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 14．（3分）按一定规律排列的单项式：﹣3，5a，﹣7a2，9a3，⋯，则第9个单项式是　﹣19a8　． 【分析】根据所给的单项式的特点，找到规律即可判断． 【解答】解：∵﹣3，5a，﹣7a2，9a3，⋯， ∴符号的排列规律为：奇数个数的符号为“﹣”，偶数个数的符合为“+”， 系数的排列规律为：3，5，7，9，⋯，2n+1， 指数的排列规律为：0，1，2，3，⋯，n﹣1， ∴9个单项式中奇数个数的符号为“﹣”，系数为2n+1＝2×9+1＝19，指数为n﹣1＝9﹣1＝8， 故第9个单项式是：﹣19a8． 故答案为：﹣19a8． 【点评】本题考查单项式，能根据题中给出的单项式正确找到规律是解题关键． 15．（3分）如图所示，用经过A，B，C三点的平面截去正方体的一角，得到一个新的几何体，若这个几何体的面数为a，棱数为b，则a÷b＝ 　　． 【分析】根据截去正方体一个角变成一个多面体，这个多面体多了一个面，棱数不变，求出a，b，代入即可进行解答． 【解答】解：根据题意可知，几何体的面数为：a＝1+6＝7，棱数为：b＝12， ∴． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了截一个几何体，代数式求值，掌握正方体的面数和棱数是解题的关键． 16．（3分）甲、乙、丙三人分别拿出相同数量的钱，合伙购买某种商品若干件．商品买来后，乙比甲少拿了4件，丙比甲多拿了13件，最后结算时，三人要求按所得商品的实际数量付钱，进行多退少补，已知丙付给甲60元，那么丙应付给乙　140　元． 【分析】字母表示数，分析出丙比甲和乙多多少件商品． 【解答】解：设甲拿了a件商品，则乙为（a﹣4）件商品，丙为（a+13）件商品． 则共有商品件数为：a+a﹣4+a+13＝3a+9． 则平均每人商品件数为（3a+9）÷3＝a+3． 因此，丙付给甲a+3﹣a＝3件商品的钱数为60元． 所以，一件商品钱数为20元． 因为，丙付给乙a+3﹣（a﹣4）＝7件商品． 所以，丙付给乙20×7＝140元． 故本题答案：140． 【点评】本题难度较大，考查学生用字母表示数的能力． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：． 【分析】先算乘方，再算括号里面的，然后算乘法，最后算减法即可． 【解答】解：原式＝﹣1﹣×（﹣8÷4） ＝﹣1﹣×（﹣2） ＝﹣1+0.4 ＝﹣0.6． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 18．（6分）解方程：． 【分析】根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项求解即可． 【解答】解：， 去分母，得2x﹣6＝3x+2， 移项、合并同类项，得x＝﹣8． 【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 19．（6分）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示． （1）结合数轴可知：|a|　＞　|b|；（用“＞”“＜”或“＝”填空） （2）结合数轴，比较﹣a，﹣b，0，a，b的大小，并用“＜”连接起来． 【分析】（1）根据数轴的特点可得a＜﹣1＜0＜b＜1，再根据绝对值的性质化简，即可求解； （2）根据数轴的特点，相反数的意义，在数轴上分别表示出﹣a，﹣b的值，再根据数轴比较有理数大小的方法即可求解． 【解答】（1）解：根据图示可得a＜﹣1＜0＜b＜1， ∴|a|＞|b|， 故答案为：＞； （2）解：如图所示， ∴a＜﹣b＜0＜b＜﹣a． 【点评】本题主要考查数轴与有理数的对应关系，理解图示，掌握数轴的特点与有理数的关系是解题的关键． 20．（8分）小红做一道数学题：“两个多项式A，B，已知B为4x2﹣5x﹣6，试求A+B的值”时．小红误将A+B看成A﹣B，结果答案为﹣7x2+10x+12（计算过程正确）． （1）试求A+B的正确结果； （2）当x＝﹣4时，求A+B的值． 【分析】（1）根据加减运算互逆的关系，求得多项式A，则可求得A+B； （2）把x＝﹣4求得的A+B中即可求解． 【解答】解：（1）∵A﹣B＝﹣7x2+10x+12，且B＝4x2﹣5x﹣6， ∴A＝（﹣7x2+10x+12）+（4x2﹣5x﹣6） ＝﹣7x2+10x+12+4x2﹣5x﹣6 ＝（﹣7x2+4x2）+（10x﹣5x）+12﹣6 ＝﹣3x2+5x+6； ∴A+B＝﹣3x2+5x+6+4x2﹣5x﹣6 ＝x2； （2）当x＝﹣4时，A+B＝（﹣4）2＝16． 【点评】本题考查了整式的加减运算，求代数式的值，正确运算是解题的关键． 21．（8分）如图，点O在直线AB上，射线OD在直线AB上方，且∠DOC＝90°，射线OE平分∠BOC． （1）若∠DOE＝150°，求∠AOC的度数； （2）若∠DOE＝α，求∠AOD．（请用含α的代数式表示）． 【分析】（1）根据∠DOC＝90°，∠DOE＝150°可求出∠COE，再根据射线OE平分∠BOC．求出∠BOC，最后根据平角的意义求出答案； （2）利用（1）的方法，用代数式表示角度即可． 【解答】解：（1）∵∠DOC＝90°，∠DOE＝150°， ∴∠COE＝∠DOE﹣∠DOC＝150°﹣90°＝60°， 又∵射线OE平分∠BOC， ∴∠BOC＝2∠COE＝2×60°＝120°， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣120°＝60°， ∴∠AOC的度数为60°； （2）∵∠DOC＝90°，∠DOE＝α， ∴∠COE＝∠DOE﹣∠DOC＝α﹣90°， 又∵射线OE平分∠BOC， ∴∠BOC＝2∠COE＝2（α﹣90°）＝2α﹣180°， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣（2α﹣180°）＝360°﹣2α， ∴∠AOD＝∠DOC﹣∠AOC＝90°﹣（360°﹣2α）＝2α﹣270°． 【点评】本题考查角的和差，角平分线的定义，平角的意义，根据图形得出各个角之间的关系是解题的关键． 22．（9分）自我国实施“限塑令”起，开始有偿使用环保购物袋，为了满足市场需求，某厂家只生产A、B两种款式的环保购物袋，其中每天生产A种购物袋x个，两种购物袋的成本和售价如下表： 成本（元/个） 售价（元/个） A 2 2.3 B 3 3.5 （1）若该厂家每天生产A种购物袋5000个，B种购物袋3000个，求每天生产环保购物袋的总成本； （2）若该厂家每天共生产环保购物袋6500个，求每天生产环保购物袋的总成本（用含x的式子表示）； （3）若该厂家每天生产B种购物袋的数量是A种购物袋数量的，则所生产的环保购物袋全部销售完后，每天共可获利多少元？（用含x的式子表示） 【分析】（1）根据题意可得5000×2+3000×3＝19000（元）； （2）由题意可得2x+3（6500﹣x）＝19500﹣x（元）； （3）根据题意列出代数式（2.3﹣2）x+（3.5﹣3）×x，求解即可． 【解答】解：（1）由题意可得：5000×2+3000×3＝19000（元）， 答：每天生产环保购物袋的总成本为19000元； （2）由题意可得：2x+3（6500﹣x）＝19500﹣x（元）， 答：每天生产环保购物袋的总成本为（19500﹣x）元； （3）根据题意，得每天生产B种购物袋x个， ∵（2.3﹣2）x+（3.5﹣3）×x＝0.7x（元）， ∴每天共可获利0.7x元． 【点评】本题考查列代数式，读懂题意，根据所给的信息，正确地列出代数式是解题的关键． 23．（9分）综合与实践：进位制的认识与探究 题目背景 在学习数学的过程中，我们常常会接触到不同的进位制．最常用的是十进制，而计算机内部使用的则是二进制．进位制的不同，既影响数的表示方式，也影响数的计算方法．通过对进位制的探讨，我们可以更深入地理解数的构成及其运算特点． 阅读材料． 进位制是人们为了方便记数和运算而约定的记数系统．十进制使用0～9十个数字，逢十进一；二进制使用0和1两个数字，逢二进一．一个数可以表示为其各数位上的数字与基数的幂的乘积之和．约定：a0＝1（a≠0）．例如： 十进制数（3721）10可以表示为3×103+7×102+2×101+1×100， 即； 二进制数（101）2可以表示为1×22+0×21+1×20， 即． 解决问题． （1）理解应用：将二进制数（1011）2表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，并转换为十进制数． （2）拓展延伸：将十进制数89转换为二进制数和八进制数，要求体现转换的过程与结果． （3）创新应用：运用进制数的加法运算法则，计算（10010）2+（102）8（结果用十进制数表示），并说明计算的思想方法． 【分析】（1）根据题干二进制数转换为十进制数的方法计算即可； （2）①根据题干十进制数转换为二进制数的方法计算即可．②仿照题干的转化方法把十进制数转换为八进制数即可； （3）二进制数转化成十进制数，八进制数转化成十进制数后相加． 【解答】解：（1）＝8+0+2+1＝（11）10＝11； （2）①二进制如下： ∴从下往上读取余数，得到（1011001）2． ②八进制如下： ∵89÷8＝11⋯⋯1； 11÷8＝1⋯⋯3； 1÷8＝0⋯⋯1． ∴从下往上读取余数，得到（131）8． （3）解法1（分步计算）： ∵＝（18）10＝18；， ∴（10010）2+（102）8＝（18）10+（66）10＝（84）10＝84． 方法：运用转化与化同的思想方法，将不同进位制数统一成十进制数之后，按十进制数的方式方法解决问题． 分解法2（整体计算）： 原式＝（1×24+0×23+0×22+1×21）+（1×82+0×81+2×80）＝（16+0+0+2+0）+（64+0+2）＝（18）10+（66）10（或18+66）＝（84）10（或84）． 方法：运用转化与化同的思想方法，将不同进位制数统一成十进制数之后，按十进制数的方式方法解决问题． 【点评】本题主要考查了单位进制的转化运算，根据单位制转换，含乘方的有理数混合运算即可得解，熟练掌握单位制换算是解题的关键． 24．（10分）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x＝8和x+1＝0为“美好方程”． （1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”，求m的值； （2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； （3）若关于x的一元一次方程x+3＝2x+k和x+1＝0是“美好方程”，求关于y的一元一次方程（y+1）＝2y+k﹣1的解． 【分析】（1）先算出两个方程的解，再根据“美好方程”的定义，求出m的值； （2）根据已知条件建立关于n的方程，再求解； （3）根据“美好方程”的定义，求出x+1＝0的解为x＝﹣2024，再求得方程x+3＝2x+k的解为x＝2025，然后将关于y的一元一次方程（y+1）＝2y+k﹣1变形为（y+1）+3＝2（y+1）+k，则y+1＝x＝2025，从而求解． 【解答】解：（1）∵3x+m＝0， ∴x＝﹣， ∵4x﹣2＝x+10， ∴x＝4， ∵关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”， ∴4﹣＝1， ∴m＝9， 故答案为：9． （2）∵“美好方程”的两个解之和为1， ∴另一个方程的解为1﹣n， ∵两个解的差为8， ∴n﹣（1﹣n）＝8或1﹣n﹣n＝8， ∴n＝或n＝﹣， 故答案为：或﹣． （3）∵x+1＝0， ∴x＝﹣2024， ∵关于x的一元一次方程x+3＝2x+k和x+1＝0是“美好方程”， ∴方程x+3＝2x+k的解为：x＝1﹣（﹣2024）＝2025， ∵关于y的一元一次方程（y+1）＝2y+k﹣1可化为（y+1）+3＝2（y+1）+k， ∴y+1＝x＝2025， ∴y＝2024． 故答案为：y＝2024． 【点评】本题考查的是一元一次方程的解，解题的关键是利用“美好方程”的定义找出方程解的关系． 25．（10分）如图，数轴上线段AB＝2（单位长度），CD＝4（单位长度），点A在数轴上表示的数是﹣10，点C在数轴上表示的数是16．若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动． （1）问运动多少时BC＝8（单位长度）？ （2）当运动到BC＝8（单位长度）时，点B在数轴上表示的数是 　4或16　； （3）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式＝3，若存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）设运动t秒时，BC＝8（单位长度），然后分点B在点C的左边和右边两种情况，根据题意列出方程求解即可； （2）由（1）中求出的运动时间即可求出点B在数轴上表示的数； （3）随着点B的运动，分别讨论当点B和点C重合、点C在点A和B之间及点A与点C重合时的情况． 【解答】解：（1）设运动t秒时，BC＝8单位长度， ①当点B在点C的左边时， 由题意得：6t+8+2t＝24 解得：t＝2； ②当点B在点C的右边时， 由题意得：6t﹣8+2t＝24 解得：t＝4． （2）当运动2秒时，点B在数轴上表示的数是4； 当运动4秒时，点B在数轴上表示的数是16． （3）方法一： 存在关系式＝3． 设运动时间为t秒， 1）当t＝3时，点B和点C重合，点P在线段AB上，0＜PC≤2，且BD＝CD＝4，AP+3PC＝AB+2PC＝2+2PC， 当PC＝1时，BD＝AP+3PC，即＝3； 2）当3＜t＜时，点C在点A和点B之间，0＜PC＜2， ①点P在线段AC上时，BD＝CD﹣BC＝4﹣BC，AP+3PC＝AC+2PC＝AB﹣BC+2PC＝2﹣BC+2PC， 当PC＝1时，有BD＝AP+3PC，即＝3； 点P在线段BC上时，BD＝CD﹣BC＝4﹣BC，AP+3PC＝AC+4PC＝AB﹣BC+4PC＝2﹣BC+4PC， 当PC＝时，有BD＝AP+3PC，即＝3； 3）当t＝时，点A与点C重合，0＜PC≤2，BD＝CD﹣AB＝2，AP+3PC＝4PC， 当PC＝时，有BD＝AP+3PC，即＝3； 4）当＜t时，0＜PC＜4，BD＝CD﹣BC＝4﹣BC，AP+3PC＝AB﹣BC+4PC＝2﹣BC+4PC， PC＝时，有BD＝AP+3PC，即＝3． ∵P在C点左侧或右侧， ∴PD的长有2种可能，即5或3.5． 方法二： 设线段AB未运动时点P所表示的数为x，B点运动时间为t， 则此时C点表示的数为16﹣2t，D点表示的数为20﹣2t，A点表示的数为﹣10+6t，B点表示的数为﹣8+6t，P点表示的数为x+6t， ∴BD＝20﹣2t﹣（﹣8+6t）＝28﹣8t， AP＝x+6t﹣（﹣10+6t）＝10+x， PC＝|16﹣2t﹣（x+6t）|＝|16﹣8t﹣x|， PD＝20﹣2t﹣（x+6t）＝20﹣8t﹣x＝20﹣（8t+x）， ∵＝3， ∴BD﹣AP＝3PC， ∴28﹣8t﹣（10+x）＝3|16﹣8t﹣x|， 即：18﹣8t﹣x＝3|16﹣8t﹣x|， ①当C点在P点右侧时， 18﹣8t﹣x＝3（16﹣8t﹣x）＝48﹣24t﹣3x， ∴x+8t＝15， ∴PD＝20﹣（8t+x）＝20﹣15＝5； ②当C点在P点左侧时， 18﹣8t﹣x＝﹣3（16﹣8t﹣x）＝﹣48+24t+3x， ∴x+8t＝， ∴PD＝20﹣（8t+x）＝20﹣＝3.5； ∴PD的长有2种可能，即5或3.5． 【点评】本题考查两点间的距离，并综合了数轴、一元一次方程和线段长短的比较，难度较大，注意对第三问进行分情况讨论，不要漏解． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$