第一章第08讲 模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形（3类热点题型讲练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（北师大版）

第08讲 模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形 目录 【模型一 双等边三角形模型】 1 【模型二 双等腰直角三角形模型】 13 【模型三 双等腰三角形模型】 23 【模型一 双等边三角形模型】 条件：如图，△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 例题：（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在和中，，若，连接、交于点； (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）根据题意得出，即可证明； （2）根据题意可得是等边三角形，根据（1）的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解； 本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰直角三角形的应用，正确进行分类讨论是解决此题的关键． 【详解】（1）证明：， ∴， ， 又，， ∴， （2）解：，， 是等边三角形， ， ， ， ； 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图1，已知和都是等边三角形，且点E在线段上． (1)求证：； (2)过点E作交于点G，试判断的形状并说明理由； (3)如图2，若点D在射线上，且，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，理由见解析 (3)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、内错角相等两直线平行、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握等边三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得到，从而可证得，即可由平行线的判定定理得出结论； （2）根据等边三角形的性质得，再根据得 ，，从而得即可得出结论； （3）过E作交于M，先证明，得到，从而得出，再由（1）得，得出，则，从而有，根据，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在与中, ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：是等边三角形，理由如下： 如图1，∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形； （3）证明：如图2，过E作交于M， 由（2）可得是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴ ∴． 2．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）阅读：如图1，已知A、B、C在一条直线上，分别以为边在同侧作等边三角形和等边三角形交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)拓展：如图2如果A、B、C不在一条直线上，那么 ①是否仍然成立？ （填“是”或者“否”） ②设相交于H，则 【答案】(1)见解析 (2)①是；② 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理． （1）根据等边三角形的性质，易证，，再证明，可证，可得； （2） 同理（1）证明证，即可得； （3）如图，在上截取 连接，由，利用三角形内角和定理求出，易证为等边三角形，再证明，得到，求出，，由即可求解． 【详解】（1）证明∶∵、都是等边三角形 ∴，，， ∴即， 在和中， ∴， ∴； （2）解：①仍然成立， 证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ∴． ∴； ②如图，在上截取 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 为等边三角形， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ． 3．（24-25八年级上·黑龙江双鸭山·期中）探究等边三角形“手拉手”问题． (1)如图1，已如，均为等边三角形、点D在线段上，且不与点B、点C重合，连接，试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，已知、均为等边三角形，连接、，若，则______度； (3)如图3，已知点E在等边三角形外，点E、点B位于线段的异侧，连接、．若，猜想线段、、三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，详见解析 (2)180，详见解析 (3)，详见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，三角形的内角和等知识点， （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的判定定理证明结论； （2）根据题意得到证明，证明，得到，进而得到答案； （3）在线段上取一点H，使得，证明，得到，，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，结合图形计算，即可得到答案． 掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1），理由如下： ∵、都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵、都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）结论：，理由如下， 如图3，在线段上取一点H，使得，设交于点O， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25八年级上·湖南株洲·阶段练习）【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 (1)等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边：等边三角形，连接． ①如图2，若点在边上，线段、、之间的关系为__________（直接写出结论）． ②如图3，若点在边的延长线上， 试证明线段、、之间的关系． (2)如图4，等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出、、之间的数量关系，并加以说明． (3)如图5，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如有，求出它的最小值，没有，请说明理由． 【答案】(1)①；②； (2) (3)有最小值，最小值为2 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线，构造“手拉手”基本图形是解题的关键． （1）①过点E作，交与点G，先证明是等边三角形，再证明 ，得出，即可得出结论；②过点E作，交与点G，先证明是等边三角形，得出，再证明，得出，即可得出结论； （2）先证明，在上截取，通过证明是等边三角形，得出，再证明，得出，即可得出结论； （3）以为边，在下方构造等边三角形，连接，通过证明，得出，则，根据点Q在直线上，得出当时，取最小值，即可解答． 【详解】（1）①结论：. 证明：过点E作，交与点G， ∵是等边三角形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②结论： 证明：过点E作，交与点G， ∵是等边三角形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在上截取， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：有最小值，最小值为2 以为边，在下方构造等边三角形，连接， ∵，点D为中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点Q在直线上， ∴当时，取最小值， 此时，． 【模型二 双等腰直角三角形模型】 条件：如图，△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 例题：（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图①，为等腰直角三角形，，点D、点E分别为、的中点． (1)请任意写出两对相等的边________，________； (2)若绕点C顺时针旋转，连接，，求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质． （1）由等腰直角三角形的性质即可得解； （2）利用证明即可得证． 【详解】（1）解：∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵点D、点E分别为、的中点， ∴，， ∴； （2）证明：由（1）可得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）（1）如图1，已知，均为等腰直角三角形，，连接，交于点． ①求证：． ②试探究线段，，三者之间的数量关系． （2）如图2，已知，以为直角边，向外作等腰直角三角形，，连接． ①若，，，求的长； ②若，，　　时，最大，最大值为 　　． 【答案】（1）①见解析；②；（2）①；②， 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、二次根式的混合运算、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）①利用，是等腰直角三角形，可得，进而得出； ②由，推出，推出，再利用勾股定理可得结论； （2）①如图，在的左侧构造等腰直角三角形，使得，，连接，过点作，交的延长线于点，先求得，再根据勾股定理即可得到的长可得结论； ②当，，三点共线时，取最大值，．依据，可得的最大值． 【详解】（1）①证明：△和△是等腰直角三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； ②解：结论：． 理由：， ， ， ， ， ， ， ； （2）①解：如图，在的左侧构造等腰直角三角形，使得，，连接，过点作，交的延长线与于点， 等腰直角三角形，， ，， ， ， ， 根据勾股定理得， ， ， 根据勾股定理可得，， 解得， ， ； ②解：如图3，在的左侧构造等腰直角三角形，，， 在中，，， 根据三角形三边关系可得， 当，，三点共线时，取最大值，．如图4所示： ， 即的最大值， 综上所述，当时，的值最大，最大值为． 故答案为：，． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能判定是解此题的关键．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 2．（22-23八年级下·四川德阳·阶段练习）已知是等腰直角三角形，动点P在斜边所在的直线上，以为腰作等腰三角形，其中，探究并解决下列问题： (1)如图1，若点P在线段上，且，，则： ①线段______，______； ②猜想：，，三者之间的数量关系，并证明你的猜想． (2)如图2，若点P在线段AB的延长线上，（1）中猜想的结论是否仍然成立，请写出证明过程． 【答案】(1)①，；②，理由见解析 (2)，见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、二次根式的混合运算、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查勾股定理、等腰直角三角形的性质、二次根式的运算，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）①根据题意求出的长即可求出的值；过点作于点，求出，根据勾股定理即可求出； ②根据题意当点在点左边时，，，点在点右边时，，，得到，即可证明结论； （2）过点作于点，求出，，得到，即可证明结论； 【详解】（1）解：①， ， ； 如图，过点作于点， ， ， 在中，， ； 故答案为：，； ②，理由如下： 是等腰直角三角形，， ， 当点在点左边时，如图， ， ， 同理，当点在点右边时， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 是等腰直角三角形，， ， ； （2）解：过点作于点， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 是等腰直角三角形，， ， ； 3．（23-24七年级下·山东济南·期中）和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． (3)如图3，点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，，理由见解析 (3)18 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、等腰三角形的定义 【分析】此题是四边形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质． （1）根据等腰直角三角形的性质解答； （2）延长，分别交、于F、G，证明，根据全等三角形的性质、垂直的定义解答； （3）同理证明，得到，，再根据计算，求出四边形的面积． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 延长，分别交、于F、G， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即； （3）解：如图，与相交于点 ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴． 4．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题情境】在一次数学活动课上，九年一班同学用形状相同的等腰三角形组合新图形，并尝试编制习题，下面是四个小组的探究情况． （1）一组：和是等腰直角三角形，． 连接，构建“手拉手”模型（如图1），得到了；在此基础上，又利用“蝴蝶型”，如图2的划斜线部分，得到了． 二组：如图3，和是等边三角形，，连接的延长线与相交于点．猜想也能构建上述两种模型得到结论． 请你模仿一组同学的思路，证明二组同学猜想的结论； 【类比分析】 （2）三组：如图4，在和中，，连接． 则与的数量关系为_______，直线与直线的夹角为_______； 【变式拓展】 （3）四组：只需用，就能构建上面任一图形．请你结合图4，用一句话解释这一过程_______； （4）四组：如图5，和是等腰直角三角形，，，连接是线段的中点，连接．若，请你求出的长． 【答案】（1）见解析；（2）（或相等），或；（3）把绕点按逆时针方向旋转得（或旋转），连接；（4）2 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质以及旋转的性质等知识： （1）先证明，再证明可得，再根据三角形内角和定理可得结论； （2）方法同（1）； （3）由（2）知，结合旋转可得出结论； （4）延长到使，连接，证明得，得，进一步证明，再证明即可得出结论 【详解】（1）证明：和是等边三角形， ， ，即， ， 设与相交于点，则， ； （2）（或相等），或 延长交于点F，设交于点G， ∵， ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， 即直线与直线的夹角为或； 故答案为：（或相等），或； （3）把绕点按逆时针方向旋转得（或旋转），连接． 故答案为：把绕点A按逆时针方向旋转得（或旋转），连接． （4）证明：延长到使，连接． ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 和是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【模型三 双等腰三角形模型】 条件：△ABC和△DCE均为等腰三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM；④CF平分∠AFD。 例题：（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，在中，． (1)如图，在中，若，且，求证：； (2)如图，在中，若，且垂直平分，垂足为，，，求的长度？ (3)如图，，，，，则的长度？ 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】由，得出，由证得，即可得出结论； 连接，先证是等边三角形，再由垂直平分，得出，由，得出，，得出，，由勾股定理即可得出结果； 将线段绕逆时针旋转，的对应点为，连接交于，则，根据勾股定理得到，求得，，得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）解：连接，如图所示： 垂直平分， ， ， 是等边三角形， 垂直平分， ， 由可知：， ，， ， ， ； （3）解：将线段绕逆时针旋转，的对应点为，连接交于， 则， ， ， ， ，， ， ， 在中，， 在中，， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·云南玉溪·期中）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． (1)如图1，在“手拉手”图形中，，若，则 (2)如图2，和是等边三角形，连接，交于点O，求的度数； (3)如图3，，，试探究与的数量关系． 【答案】(1)40 (2) (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，再根据全等三角形的性质求解即可； （2）根据等边三角形的性质得出，，进而证明，再根据全等三角形的性质和三角形内角和求解即可； （3）延长到P，使，先证明是等边三角形，再证明，进而证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：40； （2）解：∵和是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：，证明如下： 如图，延长到P，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（24-25七年级上·重庆开州·期中）如图1，等腰和等腰中，，，连接、，利用所学知识解决下列问题： (1)若，求证：； (2)连接，当点D在线段上时： ①如图2，若，则的度数为 ，线段与之间的数量关系是 ； ②如图3，若，为中边上的高，求出的度数以及线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①，；②，，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等边三角形判定与性质、等腰三角形的判定与性质． （1）由等角减同角，于是利用证明即可得到证明； （2）①由题意易得和均是等边三角形，同（1）证明，得到，，由平角的定义得，则； ②由题意易得为等腰直角三角形，同（1）证明，得到，，由平角的定义得，则，由等腰直角三角形的性质可得，于是可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：①∵，，， ∴和均是等边三角形，， 同（1）可证明， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：，； ②，，理由如下： 同（1）可证明， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，为中边上的高， ∴， ∴． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形 目录 【模型一 双等边三角形模型】 1 【模型二 双等腰直角三角形模型】 13 【模型三 双等腰三角形模型】 23 【模型一 双等边三角形模型】 条件：如图，△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 例题：（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在和中，，若，连接、交于点； (1)求证：； (2)求的度数． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图1，已知和都是等边三角形，且点E在线段上． (1)求证：； (2)过点E作交于点G，试判断的形状并说明理由； (3)如图2，若点D在射线上，且，求证：． 2．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）阅读：如图1，已知A、B、C在一条直线上，分别以为边在同侧作等边三角形和等边三角形交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)拓展：如图2如果A、B、C不在一条直线上，那么 ①是否仍然成立？ （填“是”或者“否”） ②设相交于H，则 3．（24-25八年级上·黑龙江双鸭山·期中）探究等边三角形“手拉手”问题． (1)如图1，已如，均为等边三角形、点D在线段上，且不与点B、点C重合，连接，试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，已知、均为等边三角形，连接、，若，则______度； (3)如图3，已知点E在等边三角形外，点E、点B位于线段的异侧，连接、．若，猜想线段、、三者之间的数量关系，并说明理由． 4．（24-25八年级上·湖南株洲·阶段练习）【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 (1)等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边：等边三角形，连接． ①如图2，若点在边上，线段、、之间的关系为__________（直接写出结论）． ②如图3，若点在边的延长线上， 试证明线段、、之间的关系． (2)如图4，等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出、、之间的数量关系，并加以说明． (3)如图5，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如有，求出它的最小值，没有，请说明理由． 【模型二 双等腰直角三角形模型】 条件：如图，△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 例题：（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图①，为等腰直角三角形，，点D、点E分别为、的中点． (1)请任意写出两对相等的边________，________； (2)若绕点C顺时针旋转，连接，，求证：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）（1）如图1，已知，均为等腰直角三角形，，连接，交于点． ①求证：． ②试探究线段，，三者之间的数量关系． （2）如图2，已知，以为直角边，向外作等腰直角三角形，，连接． ①若，，，求的长； ②若，，　　时，最大，最大值为 　　． 2．（22-23八年级下·四川德阳·阶段练习）已知是等腰直角三角形，动点P在斜边所在的直线上，以为腰作等腰三角形，其中，探究并解决下列问题： (1)如图1，若点P在线段上，且，，则： ①线段______，______； ②猜想：，，三者之间的数量关系，并证明你的猜想． (2)如图2，若点P在线段AB的延长线上，（1）中猜想的结论是否仍然成立，请写出证明过程． 3．（23-24七年级下·山东济南·期中）和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． (3)如图3，点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，求四边形的面积． 4．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题情境】在一次数学活动课上，九年一班同学用形状相同的等腰三角形组合新图形，并尝试编制习题，下面是四个小组的探究情况． （1）一组：和是等腰直角三角形，． 连接，构建“手拉手”模型（如图1），得到了；在此基础上，又利用“蝴蝶型”，如图2的划斜线部分，得到了． 二组：如图3，和是等边三角形，，连接的延长线与相交于点．猜想也能构建上述两种模型得到结论． 请你模仿一组同学的思路，证明二组同学猜想的结论； 【类比分析】 （2）三组：如图4，在和中，，连接． 则与的数量关系为_______，直线与直线的夹角为_______； 【变式拓展】 （3）四组：只需用，就能构建上面任一图形．请你结合图4，用一句话解释这一过程_______； （4）四组：如图5，和是等腰直角三角形，，，连接是线段的中点，连接．若，请你求出的长． 【模型三 双等腰三角形模型】 条件：△ABC和△DCE均为等腰三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM；④CF平分∠AFD。 例题：（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，在中，． (1)如图，在中，若，且，求证：； (2)如图，在中，若，且垂直平分，垂足为，，，求的长度？ (3)如图，，，，，则的长度？ 【变式训练】 1．（24-25八年级上·云南玉溪·期中）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． (1)如图1，在“手拉手”图形中，，若，则 (2)如图2，和是等边三角形，连接，交于点O，求的度数； (3)如图3，，，试探究与的数量关系． 2．（24-25七年级上·重庆开州·期中）如图1，等腰和等腰中，，，连接、，利用所学知识解决下列问题： (1)若，求证：； (2)连接，当点D在线段上时： ①如图2，若，则的度数为 ，线段与之间的数量关系是 ； ②如图3，若，为中边上的高，求出的度数以及线段、、之间的数量关系，并说明理由． 2 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