第一章第07讲 解题技巧专题：等腰（直角）三角形中的分类讨论思想（5类热点题型讲练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（北师大版）

第07讲 解题技巧专题：等腰(直角)三角形中的分类讨论思想 目录 【考点一 等腰三角形的边长未定求周长时未分类讨论】 1 【考点二 等腰三角形中腰和底未定求角度时未分类讨论】 4 【考点三 三角形的形状不明时与高线及其他线结合时未分类讨论】 8 【考点四 求有关等腰三角形中的边长时未分类讨论】 14 【考点五 求有关直角三角形中的边长时未分类讨论】 24 模型1、等腰三角形中的分类讨论模型 【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。 1）无图需分类讨论 ①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论； ③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。 2）“两定一动”等腰三角形存在性问题： 即：如图：已知，两点是定点，找一点构成等腰 方法：两圆一线 具体图解：①当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外） ②当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外） ③当时，作的中垂线，点在该中垂线上（除外） 模型2、直角三角形中的分类讨论模型 【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，优先考虑直角顶点（或斜边）分类讨论，再利用直角三角形的性质或勾股定理解题即可。 1）无图需分类讨论：①已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论；②已知无法确定是哪个角是直角时要分类讨论（常见与折叠、旋转中出现的直角三角形）。 2）“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解） 即：如图：已知，两点是定点，找一点构成 方法：两线一圆 具体图解：①当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外） ②当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）。 ③当时，以为直径作圆，点在该圆上（，除外）。 【考点一 等腰三角形的边长未定求周长时未分类讨论】 例题：（23-24七年级下·全国·期末）等腰三角形的两边分别长和，则它的周长是 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河南周口·期末）若等腰三角形的两边长分别为5和，则其周长为 ． 2．（23-24七年级下·山东聊城·期末）若方程组的解恰为等腰的两边长，则的周长为 ． 3．（23-24八年级上·云南红河·期末）在等腰三角形中，顶点A，B，C所对的边分别用a，b，c表示，已知a，b满足，则的周长为 ． 4．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）（1）等腰三角形的两边长分别为、，其周长为 ； （2）若等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长为 ． 【考点二 等腰三角形中腰和底未定求角度时未分类讨论】 例题：（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）等腰三角形的两个内角的度数之比是，则它顶角的度数为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）等腰三角形有一个角度数为，则这个等腰三角形的底角的度数为 ． 2．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）若等腰三角形其中两个内角的和为，则此等腰三角形的顶角度数为 ． 3．（23-24七年级下·江西景德镇·期末）如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，的度数为 ． 4．（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，，，是边BC上的动点，连接AP．当是等腰三角形时， 度． 【考点三 三角形的形状不明时与高线及其他线结合时未分类讨论】 例题：（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在中，为钝角，，如果经过其中一个顶点作一条直线能把分成两个等腰三角形，那么的度数为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知等腰，，过点B的一条直线把这个三角形分成两个等腰三角形，则 ． 2．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）等腰三角形周长为，一中线将周长分成的两部分差为，则这个三角形三边长为 ． 3．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）等腰三角形中，高与一腰所夹的锐角是，则等腰三角形底角的度数为 ． 4．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如果等腰三角形的周长等于16厘米，一条边长等于6厘米，那么这个等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值等于 ． 5．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为，则该等腰三角形的腰长为 cm． 【考点四 求有关等腰三角形中的边长时未分类讨论】 例题：（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，点是射线上一点，，，动点从点开始出发沿射线的方向以的速度运动，动点从点出发沿射线以的速度运动，点，同时出发，设运动时间为，则当为等腰三角形时，运动时间的值为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）如图，在中，，，，点P从B点出发沿射线方向以每秒4个单位长度的速度向右运动，设点P的运动时间为t，连接．当是以为腰的等腰三角形时，则t的值为 ． 2．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒．当为等腰三角形时，的值是 ． 3．（22-23八年级下·辽宁丹东·期中）如图，中，，，，点为斜边上动点．连接，在点的运动过程中，当为等腰三角形时，的长为 ． 4．（24-25八年级上·江西九江·期中）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，交轴于点．若点在轴正半轴上，且为等腰三角形，则点的坐标为 ． 5．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C是线段上的一点，若将沿折叠，点A恰好落在x轴上的处，若P是y轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，则P的坐标为 ．    6．（2024·江西上饶·一模）如图，在三角形纸片中，，将三角形纸片折叠，使点的对应点落在上，折痕与分别相交于点、，当为等腰三角形时，的长为 ． 【考点五 求有关直角三角形中的边长时未分类讨论】 例题：（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，等腰三角形的底边为，腰为，一动点Q（与点A，C不重合）在底边上从点C以的速度向点A移动．当动点Q运动了 s时，是直角三角形． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，是边上的动点，点关于直线的对称点为，连接交于，当为直角三角形时，的长是 ． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，，点，分别是，边上的动点，沿所在直线折叠，使点的对应点始终落在边上，若是直角三角形时，则的长为 ． 3．（24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，，，，点从点出发以每秒的速度向点运动，点从点同时出发以每秒的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒，当为直角三角形时，的值为 ． 4．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，在中，，，，D是边上的一点（不与点B，C重合），连接，将沿折叠，使点C落在点E处．当是直角三角形时，的长为 ． 5．（2024·河南商丘·模拟预测）把一副直角三角尺如图摆放，，斜边，且直角顶点连线．将左右平移，当恰为直角三角形时，的长为 ． 6．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，D是边上的动点，过点D作交于点E，将沿折叠，点A的对应点为点F，当是直角三角形时，的长为 ． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 解题技巧专题：等腰(直角)三角形中的分类讨论思想 目录 【考点一 等腰三角形的边长未定求周长时未分类讨论】 1 【考点二 等腰三角形中腰和底未定求角度时未分类讨论】 4 【考点三 三角形的形状不明时与高线及其他线结合时未分类讨论】 8 【考点四 求有关等腰三角形中的边长时未分类讨论】 14 【考点五 求有关直角三角形中的边长时未分类讨论】 24 模型1、等腰三角形中的分类讨论模型 【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。 1）无图需分类讨论 ①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论； ③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。 2）“两定一动”等腰三角形存在性问题： 即：如图：已知，两点是定点，找一点构成等腰 方法：两圆一线 具体图解：①当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外） ②当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外） ③当时，作的中垂线，点在该中垂线上（除外） 模型2、直角三角形中的分类讨论模型 【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，优先考虑直角顶点（或斜边）分类讨论，再利用直角三角形的性质或勾股定理解题即可。 1）无图需分类讨论：①已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论；②已知无法确定是哪个角是直角时要分类讨论（常见与折叠、旋转中出现的直角三角形）。 2）“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解） 即：如图：已知，两点是定点，找一点构成 方法：两线一圆 具体图解：①当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外） ②当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）。 ③当时，以为直径作圆，点在该圆上（，除外）。 【考点一 等腰三角形的边长未定求周长时未分类讨论】 例题：（23-24七年级下·全国·期末）等腰三角形的两边分别长和，则它的周长是 ． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系，根据等腰三角形定义及三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的定义和三角形三边关系． 【详解】当三边的长为，，， ∵， ∴不能构成三角形； 当三边的长为，，， ∵， ∴能构成三角形， ∴周长为， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河南周口·期末）若等腰三角形的两边长分别为5和，则其周长为 ． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】此题考查了等腰三角形的性质与三角形三边关系，注意分类讨论思想的应用是解题的关键．由等腰三角形两边长分别为5和，分别从等腰三角形的腰长为5和去分析即可求得答案，注意分析能否组成三角形． 【详解】解：①若等腰三角形的腰长为5，底边长为， ∵， ∴不能组成三角形； ②若等腰三角形的腰长为，底边长为5， ∵， ∴能组成三角形， ∴它的周长是：， 综上所述，它的周长是， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·山东聊城·期末）若方程组的解恰为等腰的两边长，则的周长为 ． 【答案】12 【知识点】加减消元法、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形及解二元一次方程组，三角形三边关系，难度一般，关键是掌握分类讨论的思想解题． 先解二元一次方程组，然后讨论腰长的大小，再根据三角形三边关系即可得出答案． 【详解】解：解方程组，得： ， ∴等腰三角形的两边长为2，5． 若腰长为2，底边长为5． ∵， ∴不能构成三角形． 若腰长为5，底边长为2，则三角形的周长为． 所以这个等腰三角形的周长为12． 故答案为：12． 3．（23-24八年级上·云南红河·期末）在等腰三角形中，顶点A，B，C所对的边分别用a，b，c表示，已知a，b满足，则的周长为 ． 【答案】10或11 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了三边关系、等腰三角形的定义，算术平方根、绝对值的非负性，先根据算术平方根、绝对值的非负性得出a，b的值，再结合三边关系，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∵a，b为等腰三角形的两边， ∴当腰是3时，则，此时的周长为； ∴当腰是4时，则，此时的周长为； 综上所述，的周长为10或11． 故答案为：10或11． 4．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）（1）等腰三角形的两边长分别为、，其周长为 ； （2）若等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长为 ． 【答案】 32 13或14 【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为时，②当腰长为时，解答出即可． （2）根据等腰三角形的性质，分为当腰长为时，腰长为时，解答出即可． 【详解】解：（1）由题意知，应分两种情况： 当腰长为时，三角形三边长为，不能构成三角形； 当腰长为时，三角形三边长为6，13，13，能构成三角形，周长． 故答案为：32． （2）∵三角形是等腰三角形，两条边长分别为和， ∴三角形三边可以是、或、， ∴三角形的周长为或， 故答案为：13或14． 【考点二 等腰三角形中腰和底未定求角度时未分类讨论】 例题：（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）等腰三角形的两个内角的度数之比是，则它顶角的度数为 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，三角形的内角和，设等腰三角形两个内角度数分别为，根据三角形的内角和分两种情况列方程求解即可，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键 【详解】解：设等腰三角形两个内角度数分别为， 当顶角度数为时，可得， 解得， ∴顶角的度数为； 当顶角度数为时，可得， 解得 ∴顶角度数为 故答案为或 【变式训练】 1．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）等腰三角形有一个角度数为，则这个等腰三角形的底角的度数为 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理；由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论． 【详解】解：分两种情况： ①当的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数； ②当的角为等腰三角形的底角时，其底角为， 故它的底角度数是或． 故答案为：或． 2．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）若等腰三角形其中两个内角的和为，则此等腰三角形的顶角度数为 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键；由题意可分当这两个内角都为底角时和这两个内角为该等腰三角形的一个顶角和一个底角时，然后分类求解即可． 【详解】解：由题意可分：①当这两个内角都为底角时，则该等腰三角形的顶角为； ②当这两个内角为该等腰三角形的一个顶角和一个底角时，则该等腰三角形的底角为，所以该等腰三角形的顶角为； 故答案为：或． 3．（23-24七年级下·江西景德镇·期末）如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想． 求出，根据等腰得出三种情况，，，，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 分三种情况：①当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图， ∵， ∴， ∴； ③当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，的度数为：或或， 故答案为：或或． 4．（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，，，是边BC上的动点，连接AP．当是等腰三角形时， 度． 【答案】60或105或150 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和以及三角形的外角性质：分和三种情况讨论，根据等腰三角形的性质进行运算解题即可． 【详解】解：当时， 则； 当时，， 则； 当时，， 则； 故答案为：60或105或150 【考点三 三角形的形状不明时与高线及其他线结合时未分类讨论】 例题：（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在中，为钝角，，如果经过其中一个顶点作一条直线能把分成两个等腰三角形，那么的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】加减消元法、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、解二元一次方程组，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理分多种情况求解即可． 【详解】解：①过顶点C作一条直线把分成两个等腰三角形，假设以点A为顶点的等腰三角形为，如下图， ∴， ∴， 若是等腰三角形，顶点为M， ∴， ∴， 故假设成立； ②过顶点C作一条直线把分成两个等腰三角形，假设以点C为顶点的等腰三角形为，如图， ∴， ∴， ∵， 若为等腰三角形，顶点为M， ∴， ∴， 故假设成立； ③过顶点C作一条直线把分成两个等腰三角形，假设以点M为顶点的等腰三角形为，如图， ∴， ∴， ∵， 若为等腰三角形，顶点为M， ∴， ∴， 故假设不成立； ④过顶点A作一条直线把分成两个等腰三角形，等腰三角形为只能以点C为顶点，如图， 设，， 则， ∴， 若为等腰三角形，顶点为M， ∴， 解得， 故假设成立； ⑤由题得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 若过顶点B作直线交于点M，等腰三角形为以点C为顶角，如图， ∵，故矛盾； 综上所述，的度数为：或或， 故答案为：或或． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知等腰，，过点B的一条直线把这个三角形分成两个等腰三角形，则 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用，解决问题的关键是分类思想的运用．先作图以及分类讨论，利用等腰三角形的性质进行求解即可 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴． 如图， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴7∠A=180°， ∴， 故答案为：或． 2．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）等腰三角形周长为，一中线将周长分成的两部分差为，则这个三角形三边长为 ． 【答案】8，8，5或6，6，9 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、根据三角形中线求长度、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，中线的性质，一元一次方程的实际应用．根据等腰三角形的性质可知，该中线为腰上的中线，则推出腰长和底边长差为，设这个等腰三角形腰长为，则底边长为，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个等腰三角形腰长为，则底边长为， 或， 解得：或， ∴或， ∴这个三角形三边长为8，8，5或6，6，9． 故答案为：8，8，5或6，6，9． 3．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）等腰三角形中，高与一腰所夹的锐角是，则等腰三角形底角的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了三角形的内角和、等腰三角形的定义，分类讨论：为锐角三角形时，①当是等腰底边上的高时，②当是等腰腰上的高时，当等腰为钝角三角形时，则顶角为钝角，此时高只能是腰上的高，利用三角形的内角和及等腰三角形的性质即可求解，熟练掌握基础知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：依题意有以下两种情况： （1）为锐角三角形时， 此时又有两种情况： ①当是等腰底边上的高时，如图1所示： 为等腰三角形底边上的高， ， ， ∵高与一腰所夹的锐角是， ， ； ②当是等腰腰上的高时，如图2所示： 为等腰三角形腰上的高， ， ， ∵高与一腰所夹的锐角是， ， ， ， ． （2）当等腰为钝角三角形时，则顶角为钝角，此时高只能是腰上的高，如图3所示： 为等腰三角形腰上的高， ， ， ∵高与一腰所夹的锐角是， ， ， ， ， ． 综上所述：等腰三角形底角的度数为或或． 故答案为：或或． 4．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如果等腰三角形的周长等于16厘米，一条边长等于6厘米，那么这个等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值等于 ． 【答案】或 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 依题意，根据等腰三角形的性质，已知一条边长为6厘米，不明确具体名称，故可分情况讨论腰长的值，还要依据三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：当腰为6厘米时，三边为，能构成三角形； 当底为6厘米时，腰为5，5，能构成三角形， 所以这个等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值等于或． 故答案为：或． 5．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为，则该等腰三角形的腰长为 cm． 【答案】3或 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，等腰三角形的定义．本题分两种情况讨论：是腰长时，是底边时，再作答即可． 【详解】解：是腰长时，底边为， ∵， ∴、、能组成三角形； 是底边时，腰长为， ∵， ∴、、能够组成三角形； 综上所述，它的腰长为或． 故答案为：3或． 【考点四 求有关等腰三角形中的边长时未分类讨论】 例题：（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，点是射线上一点，，，动点从点开始出发沿射线的方向以的速度运动，动点从点出发沿射线以的速度运动，点，同时出发，设运动时间为，则当为等腰三角形时，运动时间的值为 ． 【答案】2.4或4 【知识点】等边三角形的判定和性质、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等边三角形的判定，根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点在线段上时；（2）当点在的延长线上时．分别列式计算即可求． 【详解】解：分以下两种情况： （1）当点在线段上时，，， 当是等腰三角形时， ∵， ∴， 是等边三角形， ∴，即， 解得； （2）当点在的延长线上时，此时，，， 当是等腰三角形时，只能， ∴， 解得， 故答案为：2.4或4． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）如图，在中，，，，点P从B点出发沿射线方向以每秒4个单位长度的速度向右运动，设点P的运动时间为t，连接．当是以为腰的等腰三角形时，则t的值为 ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形．根据条件求出：，分两种情况讨论：当时；当时；分别求解即可． 【详解】解：由题意得：， 当是以为腰的等腰三角形时， 若，如图， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 若，如图， 则在中，， 解得：； 故答案为：或． 2．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒．当为等腰三角形时，的值是 ． 【答案】或2或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识．当为等腰三角形时，分三种情况：①当时；②当时；③当时，分别求出的长度，继而可求得值． 【详解】解：在中，， ； ①当时，如图， ； ②当时，如图， ， 则； ③当时，如图， ，，， 在中，， 所以， 解得：， 综上所述：当为等腰三角形时，或或． 故答案为：或2或． 3．（22-23八年级下·辽宁丹东·期中）如图，中，，，，点为斜边上动点．连接，在点的运动过程中，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或或 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，等面积法等知识，分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质，分别求解即可，解题的关键是掌握知识点的应用及分类讨论思想． 【详解】解：当时，为等腰三角形， ∵， ∴， 当时，为等腰三角形， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， 当时，为等腰三角形，如图，作于点， ∵中，，，， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， 综上所述：的值为或或， 故答案为：或或． 4．（24-25八年级上·江西九江·期中）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，交轴于点．若点在轴正半轴上，且为等腰三角形，则点的坐标为 ． 【答案】或或 【知识点】一次函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了一次函数与几何综合，勾股定理和等腰三角形的性质等知识，解题的关键是分情况讨论． 首先将代入求出，得到，然后分，，三种情况讨论，然后分别根据勾股定理和等腰三角形的性质求解即可． 【详解】如图， 一次函数的图象与轴交于点， ，， ， 交轴于点． 点的坐标为， ①当时，， 可得，； ②当时，，可得； ③当时，设，则， 解得， 可得． 根据题意，点在轴正半轴上， 所以满足条件的点坐标为或或． 故答案为：或或． 5．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C是线段上的一点，若将沿折叠，点A恰好落在x轴上的处，若P是y轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，则P的坐标为 ．    【答案】或或 【知识点】一次函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】先求出点A的坐标为，点B的坐标为，设，解得，以下分为三种情况：以和为腰，为底，则，以和为腰，为底，以和为腰，为底，点O是的中点，求解即可． 【详解】解：当时，， ∴点A的坐标为， 当时，，解得：， ∴点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， ∴， ∵P是y轴负半轴上一动点，且是等腰三角形， 以和为腰，为底，则， ∴， ∴P的坐标为； 以和为腰，为底， 设， ∴， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得：， ∴， ∴P的坐标为， 以和为腰，为底，点O是的中点， ∴， ∴P的坐标为，    综上所述，P的坐标为或或． 故答案为：或或． 【点睛】此题考折叠的性质、勾股定理、一次函数的图象和性质、等腰三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． 6．（2024·江西上饶·一模）如图，在三角形纸片中，，将三角形纸片折叠，使点的对应点落在上，折痕与分别相交于点、，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】3或6或 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，以及折叠性质，三角形内角和性质、外角性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出，再进行分类讨论，进行作图，结合直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，以及折叠性质，三角形内角和性质、外角性质，逐一分析解答， 【详解】解：∵， ∴， 如图：时 ∴折叠 ∴， ∴是直角三角形的斜边上的中点， ∴， 此时点与重合， ∵折叠， ∴； 如图：时 ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴此时点与点重合， 即； 如图：时 ∵， ∴， ∵折叠， ∴， 则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ， 即， 解得， 综上：当为等腰三角形时，的长为3或6或， 故答案为：3或6或， 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，以及折叠性质，三角形内角和性质、外角性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【考点五 求有关直角三角形中的边长时未分类讨论】 例题：（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，等腰三角形的底边为，腰为，一动点Q（与点A，C不重合）在底边上从点C以的速度向点A移动．当动点Q运动了 s时，是直角三角形． 【答案】2或 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】本题综合考查了等腰三角形的性质、勾股定理等内容，要求学生能通过做辅助线构造直角三角形，列出关系式，求出对应线段的长，本题蕴含了分类讨论的思想方法． 先利用等腰三角形“三线合一”求出以及边上的高，再分别讨论和为直角的情况，利用勾股定理分别求出两种情况下的长，即可求出所需时间． 【详解】解：如图，作， ， ，， 当点运动到与点重合时，是直角三角形， 此时， ∴运动时间为（秒）； 当时，设， ， 又， ， ， ， 所以运动时间为（秒）； 综上可得：当运动2秒或秒时，是直角三角形； 故答案为：2或． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，是边上的动点，点关于直线的对称点为，连接交于，当为直角三角形时，的长是 ． 【答案】或 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三线合一、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】分两种情况讨论：当时，由三线合一可得，由勾股定理可得，由轴对称的性质可得，，进而可得，设，则，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求出的长；当时，作于点，利用邻补角互补可得，由轴对称的性质可得，利用邻补角互补可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，根据即可求出的长；综上，即可得出答案． 【详解】解：分两种情况讨论： 当时， 如图， ， ，， ， ， ， 由轴对称的性质可得：，， ， 设，则， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：， ； 当时， 如图，作于点， ， ， ， 由轴对称的性质可得： ， ， ， ， ， ； 综上，的长是或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了三线合一，勾股定理，轴对称的性质，线段的和与差，解一元一次方程，垂线的性质，利用邻补角互补求角度，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，，点，分别是，边上的动点，沿所在直线折叠，使点的对应点始终落在边上，若是直角三角形时，则的长为 ． 【答案】或 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，分情况讨论：①当时，根据含角的直角三角形的性质和折叠的性质可得出，根据勾股定理可求出，然后结合线段的和差求解即可；②当时，根据含角的直角三角形的性质和折叠的性质可得出，然后结合线段的和差求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴ ①当时， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； ②当时 ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或． 3．（24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，，，，点从点出发以每秒的速度向点运动，点从点同时出发以每秒的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒，当为直角三角形时，的值为 ． 【答案】3或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，根据题意，先列出的代数式，当为直角三角形时，则或，再根据30度角所对的直角边是斜边的一半，建立关于t的方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， 为直角三角形，， 当时，则， ∴， ， 解得：， 当时，则， ∴， ， 解得：， 综上，当t的值为3秒或秒时，为直角三角形， 故答案为：3或． 4．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，在中，，，，D是边上的一点（不与点B，C重合），连接，将沿折叠，使点C落在点E处．当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】6或/或6 【知识点】含30度角的直角三角形、根据等角对等边求边长、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，直角三角形的性质，根据勾股定理得到，根据已知条件得到当是直角三角形时，或，①当时，则，根据折叠的性质得到，于是得到，②当时，根据折叠的性质得到，，推出点E在上，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴ ∵, ∴ ∴， ∵点D是边上的一点， ∴， ∴当是直角三角形时，或， ①当时，则， ∵将沿折叠，使点C落在点E处， ∴， ∴， ∴， ②当时， ∵将沿折叠，使点C落在点E处， ∴， ∴， ∴点E在上，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的长为 6或， 故答案为：6或． 5．（2024·河南商丘·模拟预测）把一副直角三角尺如图摆放，，斜边，且直角顶点连线．将左右平移，当恰为直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【知识点】三角板中角度计算问题、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】题目主要考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理解三角形，平行线的性质等，根据题意分情况分析求解是解题关键． 根据题意得出，，，然后分两种情况分析：①当时，②当时，结合图形，利用勾股定理及含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵ ∴， ①当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴ ∴； ②当时，如图， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴ ∴； 综上，AD的长为或． 故答案为：或． 6．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，D是边上的动点，过点D作交于点E，将沿折叠，点A的对应点为点F，当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】4或2/2或4 【知识点】含30度角的直角三角形、折叠问题 【分析】当为直角三角形时，分两种情况和，然后根据30度角的直角三角形的性质结合求解即可．本题考查了折叠的性质，平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 【详解】解：∵，， ∴． ∵将沿翻折，点A的对应点为F， ∴，， ∴， ∴当为直角三角形时，分两种情况： ①当时， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ②当时，如图， 则：， ∴， ∴， ∴； 综上：或； 故答案为：4或2． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$