第一章第06讲 解题技巧专题：构造等腰三角形（4类热点题型讲练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（北师大版）

第06讲 解题技巧专题：构造等腰三角形 目录 【考点一 利用平行线+角平分线构造等腰三角形】 1 【考点二 利用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 5 【考点三 过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】 11 【考点四 利用倍角关系构造新等腰三角形】 20 【考点一 利用平行线+角平分线构造等腰三角形】 模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。 平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是 ∠ ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）已知如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖北襄阳·期中）如图，在中，，平分交于点D．过点A作，交的延长线于点E．    (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形； (3)若，求的长（用含m，n的式子表示）． 2．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）（1）如图1，中，，，的平分线交于O点，过O点作交，于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由； （2）如图2，若，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；与，间的关系是 ； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有 个等腰三角形．与，间的数量关系是 ． 【考点二 利用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 模型分析：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BC,由“ASA”易得△ABD≌△ACD，从而得AB=AC,BD=CD.即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形． 例题：（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，在中，的平分线交于D，过C作交于II，交于N． (1)求证：为等腰三角形； (2)求证：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖南常德·期末）如图1：在中，平分，且， (1)若，求的长； (2)如图2，若交于，交于，且为等腰三角形，求的长． 2．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图①平分．点A 为 上一点，过点A作,  垂足为C，延 长交于点B，可证得，则，． 【问题提出】 （1）如图②，在中，平分，于点E，若，， 通过上述构造全等的办法，求∠的度数； 【问题探究】 （2）如图③，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系； 【问题解决】 （3）如图④是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地 进行水稻试验，他进行了如下操作： ①作的平分线； ②再过点A作交于点D． 已知 米，米，面积为平方米，求划出的的面积． 【考点三 过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】 模型分析：在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形. 条件：如图1，若AC=BC,过点D作D作DE//BC. 结论：△ADE是等腰三角形. 条件：如图2，若AC=BC,过点D作D作DE//AB. 结论：△CDE是等腰三角形. 例题：（24-25八年级上·湖南张家界·期中）如图，是的角平分线，，交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山西朔州·期中）综合与探究 如图，在中，，为延长线上的一动点，且，交于点． (1)如图1，求证：是等腰三角形． (2)如图2，当为的中点时，与有怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由． 2．（24-25八年级上·河南周口·期末）（1）如图1，为等边三角形，动点D在边上，动点E在边上．若这两点分别从点B，A同时出发，以相同的速度分别由点B向点A和由点A向点C运动，连接交于点P，则在动点D，E的运动过程中，与之间的数量关系是______________________． （2）如图2，若把（1）中的“动点D在边上，动点E在边上”改为“动点D在射线上运动，动点E在射线上运动”，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由． （3）如图3，若把（1）中的“动点D在边上”改为“动点D在射线上运动”，连接，交于点M，其他条件不变，则在动点D，E的运动过程中，与之间存在怎样的数量关系？请写出简要的证明过程． 3．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】 （1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：． ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论； ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论； 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】 （2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答， 如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系． 【考点四 利用倍角关系构造新等腰三角形】 模型分析：当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，一般通过转化倍角寻找等腰三角形． 条件：如图1，若∠ABC=2∠C,作BD平分∠ABC. 结论：△BDC是等腰三角形. 条件：如图2，若∠ABC=2∠C,延长CB到D,使BD=BA,连接AD. 结论：△ADC是等腰三角形. 条件：如图3，若∠B=2∠ACB,以C为角的顶点，CA为角的一边，在三角形外作∠ACD=∠ACB，交BA的延长线于点D. 结论：△DBC是等腰三角形. 例题：（23-24八年级上·山西晋中·期中）【问题提出】在中，，为的角平分线，探究线段，，的数量关系． 【问题解决】如图1，当，过点作，垂足为，易得；由此，如图2，当时，猜想线段，，有怎样的数量关系？给出证明． 【方法迁移】如图3，当，为的外角平分线时，探究线段，，又有怎样的数量关系？直接写出结论，并说明理由． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）问题背景：在中，，点为线段一动点，当满足某种条件时，探讨在线段、、、四条线段中，某两条或某三条线段之间存在的数量关系． (1)在图1中，当时，则可得，请你给出证明过程． (2)当时，如图2，求证：； (3)当是的角平分线时，判断、、的数量关系，并证明你的结论． 2．（2024·辽宁·一模）（1）在数学教学活动公组讨论时，锦州组老师提出这样一个问题： 在几何题自中如果有的条件，同学们通常如何做辅助线呢？根据日常的学习交流和老师的点拨，同学们会发现了这样几种方法： ①如图a，作的角平分线，构造等腰三角形．②如图b，作，构造等腰三角形． ③如图c，作，构造等腰三角形．④如图d，作，构造等腰三角形． 参考以上方法同学们就会解决下面问题： 如图1，在中，，，求证． 【类比分析】 （2）如图2，在中，点D、E两点分别在线段AB、BC上，，，过点E作．如图2，求证． 【学以致用】 （3）如图3，为等边三角形，，若，，求的长． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 解题技巧专题：构造等腰三角形 目录 【考点一 利用平行线+角平分线构造等腰三角形】 1 【考点二 利用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 5 【考点三 过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】 11 【考点四 利用倍角关系构造新等腰三角形】 20 【考点一 利用平行线+角平分线构造等腰三角形】 模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。 平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是 ∠ ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）已知如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义等． （1）首先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，可得，据此即可证得； （2）同理（1）可得，根据的周长，求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ， 平分， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ， 平分， ， ， ， ∵，， ∴的周长为： ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖北襄阳·期中）如图，在中，，平分交于点D．过点A作，交的延长线于点E．    (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形； (3)若，求的长（用含m，n的式子表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据和平分，可以求出和，然后利用三角形外角即可求解； （2）根据条件证明，再根据等角对等边即可证明； （3）根据题意和（1）（2）问的结论证明，，是等腰三角形即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和判定是解决问题的关键． 2．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）（1）如图1，中，，，的平分线交于O点，过O点作交，于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由； （2）如图2，若，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；与，间的关系是 ； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有 个等腰三角形．与，间的数量关系是 ． 【答案】（1）2， ，理由见解析．（2）5，（3）2， 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质得到角相等，再进行等量代换得到，，再利用等角对等边，得到，，即可解题． （2）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质，再进行等量代换得到、、、，再利用等角对等边，得到对应线段相等，即可解题． （3）本题解法与（1）类似． 【详解】（1）解： ，理由如下： ，的平分线交于O点， ，，     ， ，， ，， ，， 和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形． ． 故答案为：2． （2）解：，即为等腰三角形， ， ，的平分线交于O点， ， ，即为等腰三角形， ， ，，， ，，，即为等腰三角形， ，， 和为等腰三角形， ． 综上所述，共有5个等腰三角形， 故答案为：5，． （3）解：的角平分线与外角的角平分线交于点O， ，， ， ，， ，， ，， 和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形． ． 故答案为：2，． 【考点二 利用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 模型分析：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BC,由“ASA”易得△ABD≌△ACD，从而得AB=AC,BD=CD.即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形． 例题：（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，在中，的平分线交于D，过C作交于II，交于N． (1)求证：为等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由平分交于，可得；由交于可得；两者结合由三角形内角和定理可得，即可得，从而得到是等腰三角形； （2）连接，先证，得到，，从而可得，由此即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵在和中， ， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）证明：， 理由如下：如图：连接， ∵和中： ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵中，， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖南常德·期末）如图1：在中，平分，且， (1)若，求的长； (2)如图2，若交于，交于，且为等腰三角形，求的长． 【答案】(1)10 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质． （1）延长交于点．证明，由即可得出结论； （2）根据题意得到，由为等腰直角三角形，证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，延长交于点． 平分， ， ， 又， ， ，即， 在中， ， ， ； （2）解：如图，（对顶角）， ， ， 又为等腰直角三角形， ，， 在与中， ， ， ，即． 2．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图①平分．点A 为 上一点，过点A作,  垂足为C，延 长交于点B，可证得，则，． 【问题提出】 （1）如图②，在中，平分，于点E，若，， 通过上述构造全等的办法，求∠的度数； 【问题探究】 （2）如图③，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系； 【问题解决】 （3）如图④是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地 进行水稻试验，他进行了如下操作： ①作的平分线； ②再过点A作交于点D． 已知 米，米，面积为平方米，求划出的的面积． 【答案】（）；（），理由见解析；（） 【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算、等边对等角、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（）延长交于点，由已知可知，再由等腰三角形的在得 ，然后由三角形的外角性质即可得出结论； （）延长交于点，证，得，再由已知可知，即可得出结论； （）延长交于， 由已知可知，，则再由三角形面积关系得，即可得出结论． 【详解】（）解：如图， 延长交于点， 由已知可知， ∴， ∵， ∴； （）解：，证明如下： 如图，延长交于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由已知可知，， ∴； （）解：如图，延长交于， 由已知可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质、角平分线定义以及三角形面积等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【考点三 过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】 模型分析：在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形. 条件：如图1，若AC=BC,过点D作D作DE//BC. 结论：△ADE是等腰三角形. 条件：如图2，若AC=BC,过点D作D作DE//AB. 结论：△CDE是等腰三角形. 例题：（24-25八年级上·湖南张家界·期中）如图，是的角平分线，，交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【知识点】角平分线的有关计算、等腰三角形的性质和判定、两直线平行内错角相等 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定及性质，角平分线定义，熟练掌握等腰三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由角平分线得．再根据平行线的性质得，进而．即可证明结论成立； （2）由等边对等角及平行线的性质得，，从而．由（）得，，从而． 【详解】（1）证明：证明：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 由（）得， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山西朔州·期中）综合与探究 如图，在中，，为延长线上的一动点，且，交于点． (1)如图1，求证：是等腰三角形． (2)如图2，当为的中点时，与有怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质以及垂线的定义．解题的关键是熟悉全等三角形的判定以及等腰三角形的性质． （1）通过已知条件证明和相等就能证明是等腰三角形； （2）由，F是的中点可得，再根据勾股定理求出，过A点作，再通过证明三角形全等得出． 【详解】（1）证明：， ． ， ，， ． 又， ， ， 是等腰三角形； （2）解：，理由如下： 过点作于点， 由（1）得， ∵， ． ，， ． 又为的中点， ． 在和中， ， ， ． 2．（24-25八年级上·河南周口·期末）（1）如图1，为等边三角形，动点D在边上，动点E在边上．若这两点分别从点B，A同时出发，以相同的速度分别由点B向点A和由点A向点C运动，连接交于点P，则在动点D，E的运动过程中，与之间的数量关系是______________________． （2）如图2，若把（1）中的“动点D在边上，动点E在边上”改为“动点D在射线上运动，动点E在射线上运动”，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由． （3）如图3，若把（1）中的“动点D在边上”改为“动点D在射线上运动”，连接，交于点M，其他条件不变，则在动点D，E的运动过程中，与之间存在怎样的数量关系？请写出简要的证明过程． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3），证明见详解 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据题意得，和，即可证明，则有； （2）由题意得，，进一步得，结合等边三角形的性质即可证明，有； （3）作交于H，则，，，有为等边三角形，进一步得，即可证明，则． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴，， 由题意得，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）成立， 理由如下：由题意得，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， （3）， 理由如下：作交于H，如图， ∵为等边三角形，， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 3．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】 （1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：． ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论； ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论； 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】 （2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答， 如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系． 【答案】（1）①选择小乐同学的做法：证明见解析；②选择小亮同学的做法：证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、根据平行线判定与性质证明、含30度角的直角三角形 【分析】（1）①证明，得出，，证明，得出，证明，得出，即可证明结论； ②证明，得出，根据等腰三角形的判定证明，即可证明结论； （2）延长，取，连接，证明，得出，，根据等腰三角形判定得出，即可证明结论； （3）延长，使，连接，证明，得出，，证明，得出，根据直角三角形性质得出，根据，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）延长，取，连接，如图所示： ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）延长，使，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等的三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法． 【考点四 利用倍角关系构造新等腰三角形】 模型分析：当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，一般通过转化倍角寻找等腰三角形． 条件：如图1，若∠ABC=2∠C,作BD平分∠ABC. 结论：△BDC是等腰三角形. 条件：如图2，若∠ABC=2∠C,延长CB到D,使BD=BA,连接AD. 结论：△ADC是等腰三角形. 条件：如图3，若∠B=2∠ACB,以C为角的顶点，CA为角的一边，在三角形外作∠ACD=∠ACB，交BA的延长线于点D. 结论：△DBC是等腰三角形. 例题：（23-24八年级上·山西晋中·期中）【问题提出】在中，，为的角平分线，探究线段，，的数量关系． 【问题解决】如图1，当，过点作，垂足为，易得；由此，如图2，当时，猜想线段，，有怎样的数量关系？给出证明． 【方法迁移】如图3，当，为的外角平分线时，探究线段，，又有怎样的数量关系？直接写出结论，并说明理由． 【答案】【问题解决】，证明见解析；【方法迁移】，证明见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】问题解决：在线段上截取，连接，由角平分线定义和全等三角形的判定证明，进而证得，结合三角形外角性质可证得，进而证得即可解答； 方法迁移：在的延长线上截取，连接，证明，进而证得，结合等角的补角相等和三角形外角性质可证得，进而证得即可解答． 【详解】解：问题解决：， 证明：如图，在线段上截取，连接， ∵为的角平分线， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 方法迁移：． 证明：如图，在的延长线上截取，连接， ∵为的外角平分线， ∴，又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查角平分线定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、三角形的外角性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，会添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）问题背景：在中，，点为线段一动点，当满足某种条件时，探讨在线段、、、四条线段中，某两条或某三条线段之间存在的数量关系． (1)在图1中，当时，则可得，请你给出证明过程． (2)当时，如图2，求证：； (3)当是的角平分线时，判断、、的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质，等腰三角形的性质得到，证明结论； （2）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形的外角的性质，等腰三角形的性质证明； （3）在上截取，连接，证明，仿照（2）的证明方法解答． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， ， ； （2）在上截取，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）， 理由如下：在上截取，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 2．（2024·辽宁·一模）（1）在数学教学活动公组讨论时，锦州组老师提出这样一个问题： 在几何题自中如果有的条件，同学们通常如何做辅助线呢？根据日常的学习交流和老师的点拨，同学们会发现了这样几种方法： ①如图a，作的角平分线，构造等腰三角形．②如图b，作，构造等腰三角形． ③如图c，作，构造等腰三角形．④如图d，作，构造等腰三角形． 参考以上方法同学们就会解决下面问题： 如图1，在中，，，求证． 【类比分析】 （2）如图2，在中，点D、E两点分别在线段AB、BC上，，，过点E作．如图2，求证． 【学以致用】 （3）如图3，为等边三角形，，若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）作的平分线交于点E，作于点F．推出，得到，证明，即可证明； （2）在上作，在上作，得到，推出，证明，得到，，再证明，据此即可证明结论成立； （3）在上作，在上取点，使，连接，作，证明，推出，证明，设，则，，在中，求得，，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：作的平分线交于点E，作于点F． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：在上作，在上作，连接，如图， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：在上作，在上取点，使，连接，作，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， ∴，， 在中，，， ∴，， ∴， 在中，利用勾股定理得， 即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的外角性质，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的性质，作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$