第一章第05讲 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线（3类热点题型讲练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（北师大版）

第05讲 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线 目录 【考点一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】 1 【考点二 等腰三角形中底边无中点时，作高】 15 【考点三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 29 【考点一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】 模型解析：等腰三角形中底边有中点，连中线 直接用“三线合一”，①AB=AC;②AD⊥BC;③BD=DC;④∠1=∠2.知2推2原则。 连中线用“三线合一”，若AB=AC,BD=CD.则AD⊥BC，∠1=∠2. 例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，为边的中点，点、分别在射线、上，且， 连接． (1)如图1，当点、分别在边 和上时，连接， ① 证明 ：． ② 直接写出，和的关系是： (2)探究：如图2，当点E、F 分别在边、的延长线上时，，和的关系是： (3)应用：若，，利用上面探究得到的结论，求的面积． 【答案】(1)①见解析；② (2) (3)或17 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题为三角形的综合应用，涉及知识点有等腰三角形的性质、全等三角形的判定及其性质及三角形的面积等，根据图形构造全等三角形求解即可。 （1）①连接，即可证明；②根据，看图即可得出结论； （2）连接，即同（1）可证明，根据看图即可得出结论； （3）根据（1），（2）中的结论，代入求解即可。 【详解】（1）证明：①如图，连接 在中，，为边的中点， ∴,, ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴, ∴, ∵, ∴, ∵, ∴, 在和中， , ∴. ②∵, ∴, 根据图中所示， , ∵为边的中点， ∴. ∴. （2）解：如图，连接 在中，，为边的中点， ∴,, ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴, ∴, ∴, 即, ∵, ∴, ∵, ∴, 在和中， , ∴. ∵, ∴, 根据图中所示， , ∵为边的中点， ∴. ∴. （3）如（1）中结论， ∵，， ∴, , ∵, ∴. ②如（2）中结论， ∵，， ∴, , ∵, ∴ 【变式训练】 1．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，根据下列已知条件，写出你能得到的结论． （1）已知，，则 ； （2）已知，则 ； （3）已知，则 ． 【答案】 【知识点】三线合一 【分析】本题主要考查了三线合一定理： （1）由等腰三角形的性质“三线合一”可求解； （2）由等腰三角形的性质“三线合一”可求解； （3）由等腰三角形的性质“三线合一”可求解． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， 故答案为：； （3）∵， ∴， 故答案为：． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，为的中点，于点，，求的长． 【答案】． 【知识点】等边对等角、含30度角的直角三角形、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三线合一和含的特殊直角三角形的性质．连接，利用等边对等角得，在中，得，在中，得，即可求出的长，熟练运用三线合一的性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵，，为的中点， ∴，平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 在 中，，， ∴， ∴． 4．（24-25八年级上·四川绵阳·期中）如图，是等腰直角三角形，，D为斜边的中点，E，F分别为边上的点，且．若，．求的长． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；连接，根据等腰直角三角形的性质，易证，得到，得到，然后利用勾股定理，即可求出． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，点P为边的中点，于点D． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】三线合一、含30度角的直角三角形、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查等边对等角，三线合一，含30度角的直角三角形的性质： （1）根据等边对等角，利用三角形内角和定理进行求解即可； （2）连接，根据三线合一，以及含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可。 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）证明：连接，则， 由（1）知，． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 6．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，点是的中点，点在的延长线上，点在的延长线上，． (1)求证：； (2)连接，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据三线合一证明、利用二次根式的性质化简、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质： （1）连接，根据题意可得，再由等腰三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，可证明，即可求证； （2）在中，利用勾股定理解答，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：由（1）得：， ∴， ∵， ∴， 在中，． 7．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，是等腰直角三角形，，是的中点，，点，在，上． (1)求证：． (2)连接，则、、之间有什么数量关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，证得成为解题的关键． （1）如图：连接，根据等腰直角三角形的性质可得，进而证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，进而得到；由勾股定理可得，最后根据等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：如图：连接， ∵是等腰直角三角形，， ， ， 是的中点， ，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ． 8．（23-24七年级下·山东·期末）【探究1】 如图①，在中，，是中线，若，则的度数为_______； 【探究2】 如图②，在和中，，，，分别为和的中线，若，，则的度数为______； 【探究3】 如图③，在和中，，，，分别为和的中线，与交于点，若，则的度数为_______． 【答案】【探究1】；【探究2】；【探究3】 【知识点】三角形内角和定理的应用、三线合一 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三线合一性质， [探究1]根据等腰三角形的性质得，由三角形内角和定理求得，利用“三线合一”性质即可求得答案； [探究2]由等腰三角形的性质和三线合一性质得和，结合角度之间的关系即可求得答案； [探究3]由等腰三角形的性质和三线合一性质得和，结合三角形内角和定理得和，再次结合三角形内角和定理得到即可求得答案． 【详解】解：[探究1]∵， ∴， ∴， ∵是中线，则是的角平分线 ∴， 故答案为：． [探究2]，，、分别为和的中线， ，， ， ； 故答案为：． [探究3]∵，， ∴和是等腰三角形， ∵、分别为和的中线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又，， ∵， ∴． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知锐角中，、分别是边、上的高，M、N分别是线段、的中点． (1)求证：； (2)连接、，猜想与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理， （1）连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，从而得到，再根据等腰三角形三线合一的性质证明； （2）根据三角形的内角和定理可得，再根据等腰三角形两底角相等表示出，然后根据平角等于180°表示出，整理即可得解； 【详解】（1）证明：如图，连接、， ∵、分别是、边上的高，是的中点， ∴，， ∴ 又∵为中点， ∴； （2）解：在中，， ∵， ∴ ∴； 10．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）在中，，且的顶点E在边上移动，在移动过程中，边，分别与，交于点M，N， (1)当且M与A重合时，求证： (2)当E为中点时，连接，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形综合问题、根据三线合一证明 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质， （1）根据等腰直角三角形的性质可得，利用三角形外角的性质与等量代换可得，在根据全等三角形的判定即可证明； （2）连接，在上截取，根据等腰直角三角形的性质可得，，证得，可得，，利用等量代换可得，证得，可得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：连接，在上截取， ∵，，E为中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【考点二 等腰三角形中底边无中点时，作高】 例题：（2023上·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）如图，已知，点在边上，，点在边上，，若，求的长．    【答案】2 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质．作交于，由等腰三角形的性质可得，由含角的直角三角形的性质得出，计算出即可得到答案．熟练掌握等腰三角形的三线合一以及直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半是解此题的关键． 【详解】解：如图，作交于，   ， ，， ， 在中，，，， ， ， ， ， ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为12m，则底边上的高是 m． 【答案】6 【知识点】三线合一、含30度角的直角三角形、等边对等角 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等．作于点D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点D， 在中，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：6． 2．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，D为上一点，连接，且，则为 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、三线合一 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．作于．设，则有：，由此构建方程求出即可解决问题． 【详解】解：如图，作于． ，， ，设， 则有：， ， 解得：， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）如图，已知，，与的面积和为10， 则的平方 ． 【答案】76 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了三角形的面积，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 作，，证明，推出，设，，利用完全平方公式求出，可得结论． 【详解】解：如图，过点A作于点H，过点D作于点K． ，， ，，． ， ． ， ， 又， ， ， 设， ． 与的面积和为10， 即，， 在中，， 即， ， ， ． 故答案为：76． 4．（23-24九年级下·四川遂宁·阶段练习）如图，等腰三角形中，，，点P是底边上一动点，、分别与、两边垂直，垂足分别为D、E，则的值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、三线合一 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质，根据题意画出图形，然后过A点作于F，连接，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得的长，由图形得代入数值，解答出即可． 【详解】如图所示，过A点作于F，连接， ∵在中，，， ∴， ∴在中，， ∴， 即 ∴ 故答案为：． 5．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）（1）如图1所示，在中，，，，求证． （2）如图2所示，在中，，，延长至使，求． 【答案】（1）见解析；（2） 【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、根据三线合一证明 【分析】（1）作交于，过点作交的延长线于，过点作，由题意得和，利用等角对等边可得，利用三线合一的性质得，结合含角的直角三角形性质得，可证明，即可证得结论； （2）在上取，连接，作平分，交于，交于，根据题意得，利用等腰三角形两腰上的高相等得，结合含角的直角三角形性质得，由题意得，即可求得，即可求得答案． 【详解】解：（1）作交于，过点作交的延长线于，过点作，如图， ，， ，， ， ， ， ， ，，， ，， 在和中， ， ， ． （2）在上取，连接，作平分，交于，交于，如图， 平分，， ，， ， ， 即是等腰三角形， 作，则（等腰三角形两腰上的高相等）， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、三线合一的性质、全等三角形的判定和性质和含角的直角三角形性质，解题的关键是添加辅助线并找到对应边角之间的关系． 6．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，点，在的边上，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，过点作于点，如果，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明 【分析】（1）过作于点，根据三线合一可得：，，即可证明； （2）过作于点，易证，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图过作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过作于点， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质“三线合一”，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 7．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，在等边中，点在边上，点在延长线上，且． (1)求证：； (2)若等边的边长为6，求的长； (3)求证：； (4)如图，当点在的延长线上，点在延长线上时，其它条件不变，（3）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4)（3）中的结论仍然成立，证明见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、三线合一、含30度角的直角三角形 【分析】（1）根据等边三角形的性质，等边对等角，结合三角形的外角，即可得出结论； （2）过作于，利用等边三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，以及三线合一，进行求解即可； （3）过作交于点，易得是等边三角形，得到，证明，得到，等量代换即可得出结论； （4）过作交的延长线于，证明是等边三角形，得到，证明，得到，等量代换即可得出结论． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ， ，， ； （2）如图，过作于， ， ． 等边的边长为6， ， ， ， ， ， ． ． ； （3）证明：如图2，过作交于点． ， 又， 是等边三角形． ， ， ， 又， ， ． 由（1）得，， 又． ． ． ， ； （4）（3）中的结论仍然成立．证明如下： 如图，过作交的延长线于，则， ， 是等边三角形． ，． ， ， ， ∴， ， ∴， ． 又，， ， ． ． ． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，等边对等角，三线合一，含30度角的直角三角形，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形和等边三角形，是解题的关键． 8．在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧）点D是射线上一动点（不与点C重合），点E在线段上，且．    (1)如图1，当点E与点C重合时，与的位置关系是 ，若，则的长为 ；（用含a的式子表示） (2)如图2，当点E与点C不重合时，连接． ①用等式表示与之间的数量关系，并证明； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)互相垂直； (2)①，证明见解析；②，证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得与的位置关系是互相垂直，过点A作于点M，根据等腰三角形性质得到，利用证明，根据全等三角形性质即可得出； （2）当点E与点C不重合时，①过点A作于点M、于点N，利用证明，根据全等三角形性质即可得到； ②在上截取，连接，利用证明，根据全等三角形性质得到，，根据角的和差得到，再利用证明，根据全等三角形性质及线段和差即可得到． 【详解】（1）解：当点E与点C重合时，， ∵， ∴， ∴，     ∴， 即与的位置关系是互相垂直， 若，过点A作于点M，如图：    则， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴， 即的长为， 故答案为：互相垂直；； （2）解：①当点E与点C不重合时，用等式表示与之间的数量关系是：，证明如下： 过点A作于点M、于点N，如图：        则， ∴， ∵， 即， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； ②用等式表示线段，，之间的量关系是：，证明如下： 在上截取，连接，如图：        ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 由①知：， 即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，     ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键． 【考点三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 模型解析：：如图， 中,AD平分 由“ASA”易得 从而得 即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形. 例题：（24-25八年级上·广东肇庆·期中）（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，求证：． （2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，过点作，垂足为交于点．若，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （3）【拓展延伸】如图3，中，，点在线段上，且于交于，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）；见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识， （1）根据“”证明即可得出结论； （2）先证，再证得出，进而即可得解； （3）如图：过点作，交的延长线于点，与相交于，证出和，然后进行线段的等量代换即可得解； 解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【详解】（1）在和中， ， ； （2），理由如下： 由（1）得，， ，即， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）．理由如下： 如图：过点作，交的延长线于点，与相交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ，即， ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·陕西西安·期末）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则，． 【问题提出】 （1）如图，在中，平分，于点，若，，通过上述构造全等的办法，求的度数； 【问题探究】 （2）如图，在中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系； 【问题解决】 （3）如图是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作： 作的平分线； 再过点作交于点 已知米，米，面积为平方米，求划出的的面积． 【答案】（）；（），理由见解析；（）． 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】（）延长交于点，由已知可知，再由等腰三角形的在得 ，然后由三角形的外角性质即可得出结论； （）延长交于点，证，得，再由已知可知，即可得出结论； （）延长交于， 由已知可知，，则再由三角形面积关系得，即可得出结论． 【详解】（）如图， 延长交于点， 由已知可知， ∴， ∵， ∴； （），证明如下： 如图，延长交于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由已知可知，， ∴； （）如图，延长交于， 由已知可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质、角平分线定义以及三角形面积等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 2．（2023上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）【情境建模】学校数学社团活动时遇到下面一个问题： 如图1，点在的角平分线上，过点作的垂线分别交、于点、．求证：．请你帮助完成此证明．    【应用实践】请尝试直接应用“情境建模”中的结论解决下列问题： （1）将图1沿着过点的直线折叠，得到图2，使点正好与边上的点重合，此时测得．求的度数． （2）如图3，，平分交于，若，，求边的长度． 【拓展提升】 （3） 如图4，是某小区绿化施工的一块区域示意图，其中，米，米．该绿化带中修建了健身步道、、、、，其中入口、分别在、上，步道、分别平分和，，．现要用围栏完全封闭区域，修建地下排水和地上公益广告等设施，试求至少需要围栏多少米？（步道宽度忽略不计）    【答案】【情景建模】见解析；（1）；（2）；（3）至少需要围挡40米． 【分析】情景建模：利用角平分线的性质和全等三角形的性质和判定，求证即可解题． （1）利用角平分线的性质和等腰三角形的性质“等边对等角”将边的关系转化为角的关系，再应用第一问的条件和结论结合方程即可解题． （2）延长和相交于点，利用勾股定理和第一问的结论得出,即可解题． （3）延长交于点，延长交于点，得三角形全等，利用全等得性质，将转化为，再用代数式表示出、、即可解题． 【详解】情境建模 证明：点在的角平分线上， ， 由题知， ， ， ， ， （1）解：点、点关于直线对称， 直线垂直平分， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， （2）解：延长和相交于点，如图所示： ， ， 平分，， ， ， 在中， （3）解：延长交于点，延长交于点，如图所示： 、分别平分和，，， 由“情境建模”的结论得：，， ，， 在和中， ， ， ，米，米， 米    设，，则，， ，， ，，， ， ， 的周长 答：至少需要围挡40米． 【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和勾股定理，本题的关键在于灵活应用角平分线性质结合全等三角形的性质，求解角和边． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线 目录 【考点一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】 1 【考点二 等腰三角形中底边无中点时，作高】 15 【考点三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 29 【考点一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】 模型解析：等腰三角形中底边有中点，连中线 直接用“三线合一”，①AB=AC;②AD⊥BC;③BD=DC;④∠1=∠2.知2推2原则。 连中线用“三线合一”，若AB=AC,BD=CD.则AD⊥BC，∠1=∠2. 例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，为边的中点，点、分别在射线、上，且， 连接． (1)如图1，当点、分别在边 和上时，连接， ① 证明 ：． ② 直接写出，和的关系是： (2)探究：如图2，当点E、F 分别在边、的延长线上时，，和的关系是： (3)应用：若，，利用上面探究得到的结论，求的面积． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，根据下列已知条件，写出你能得到的结论． （1）已知，，则 ； （2）已知，则 ； （3）已知，则 ． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，为的中点，于点，，求的长． 4．（24-25八年级上·四川绵阳·期中）如图，是等腰直角三角形，，D为斜边的中点，E，F分别为边上的点，且．若，．求的长． 5．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，点P为边的中点，于点D． (1)求的度数； (2)求证：． 6．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，点是的中点，点在的延长线上，点在的延长线上，． (1)求证：； (2)连接，若，求的值． 7．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，是等腰直角三角形，，是的中点，，点，在，上． (1)求证：． (2)连接，则、、之间有什么数量关系？请说明理由． 8．（23-24七年级下·山东·期末）【探究1】 如图①，在中，，是中线，若，则的度数为_______； 【探究2】 如图②，在和中，，，，分别为和的中线，若，，则的度数为______； 【探究3】 如图③，在和中，，，，分别为和的中线，与交于点，若，则的度数为_______． 9．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知锐角中，、分别是边、上的高，M、N分别是线段、的中点． (1)求证：； (2)连接、，猜想与之间的关系，并说明理由． 10．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）在中，，且的顶点E在边上移动，在移动过程中，边，分别与，交于点M，N， (1)当且M与A重合时，求证： (2)当E为中点时，连接，求证： 【考点二 等腰三角形中底边无中点时，作高】 例题：（2023上·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）如图，已知，点在边上，，点在边上，，若，求的长．    【变式训练】 1．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为12m，则底边上的高是 m． 2．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，D为上一点，连接，且，则为 ． 3．（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）如图，已知，，与的面积和为10， 则的平方 ． 4．（23-24九年级下·四川遂宁·阶段练习）如图，等腰三角形中，，，点P是底边上一动点，、分别与、两边垂直，垂足分别为D、E，则的值为 ． 5．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）（1）如图1所示，在中，，，，求证． （2）如图2所示，在中，，，延长至使，求． 6．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，点，在的边上，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，过点作于点，如果，求的值． 7．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，在等边中，点在边上，点在延长线上，且． (1)求证：； (2)若等边的边长为6，求的长； (3)求证：； (4)如图，当点在的延长线上，点在延长线上时，其它条件不变，（3）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 8．在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧）点D是射线上一动点（不与点C重合），点E在线段上，且．    (1)如图1，当点E与点C重合时，与的位置关系是 ，若，则的长为 ；（用含a的式子表示） (2)如图2，当点E与点C不重合时，连接． ①用等式表示与之间的数量关系，并证明； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【考点三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 模型解析：：如图， 中,AD平分 由“ASA”易得 从而得 即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形. 例题：（24-25八年级上·广东肇庆·期中）（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，求证：． （2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，过点作，垂足为交于点．若，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （3）【拓展延伸】如图3，中，，点在线段上，且于交于，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·陕西西安·期末）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则，． 【问题提出】 （1）如图，在中，平分，于点，若，，通过上述构造全等的办法，求的度数； 【问题探究】 （2）如图，在中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系； 【问题解决】 （3）如图是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作： 作的平分线； 再过点作交于点 已知米，米，面积为平方米，求划出的的面积． 2．（2023上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）【情境建模】学校数学社团活动时遇到下面一个问题： 如图1，点在的角平分线上，过点作的垂线分别交、于点、．求证：．请你帮助完成此证明．    【应用实践】请尝试直接应用“情境建模”中的结论解决下列问题： （1）将图1沿着过点的直线折叠，得到图2，使点正好与边上的点重合，此时测得．求的度数． （2）如图3，，平分交于，若，，求边的长度． 【拓展提升】 （3） 如图4，是某小区绿化施工的一块区域示意图，其中，米，米．该绿化带中修建了健身步道、、、、，其中入口、分别在、上，步道、分别平分和，，．现要用围栏完全封闭区域，修建地下排水和地上公益广告等设施，试求至少需要围栏多少米？（步道宽度忽略不计）    2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$