预习02 导数的运算（八大考点）-2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 预习02 导数的运算 知识点 1 ：导数的计算 1.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 基本初等函数 导函数 （为常数） 2.导数的运算法则 若存在，则有： 加减运算 乘法运算 除法运算 ，则． 3.复合函数的导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为： 知识点 2 ：求切线方程 1.求曲线“在”点处的切线方程： 第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2.求曲线“过”点处的切线方程 第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 考点01 利用导数公式求函数的导数 【方法点拨】（1）若求导函数符合导数公式,则直接利用公式求解. （2）对于不能直接利用公式的类型,一般遵循“先化简,再求导”的基本原则,避免不必要的运算失误. 例1．（多选）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于A，，故A不正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确； 故选：CD. 例2．以正弦曲线上一点为切点的切线为直线，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数，得.设， 则以点为切点的切线的斜率为. 设以点为切点的切线的倾斜角为，则. 由，可得， 所以直线的倾斜角的范围. 故选：A. 变式1-1．设，，⋯，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为， 所以，， ，， 所以4为最小正周期，故． 故选：A 变式1-2．下列各式正确的是（    ） A． B．，且 C． D． 【答案】B 【详解】对于A，，该选项错误； 对于B，，该选项正确； 对于C，是个常数，所以，该选项错误； 对于D，，该选项错误； 故选：B. 变式1-3．已知函数及其导数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”.下列四个函数中，没有“巧值点”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A：，由，解得或， 所以存在“巧值点”； 对于B：，作函数与的图象，由图可知函数与有交点， 则方程有解，所以存在“巧值点”； 对于C：，由，得， 解得，所以存在“巧值点”； 对于D：，因为，所以无实数解， 所以不存在“巧值点”. 故选：D. 考点02 求函数的和、差、积、商的导数 【方法点拨】熟记导数的四则运算公式,还要注意挖掘知识的内在联系及其规律. 注意:当不易直接应用导数公式时,应先对函数进行化简,再求导. 例3．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以. 故选：C. 例4．在下列函数中，导函数值不可能取到1的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，令，得，即A选项导函数值可以取到1； 对于B，，令，得，，即B选项导函数值可以取到1； 对于C，，令  ，得， 由于，所以，即C选项导函数值可以取到1； 对于D，，令，则，不存在使其成立，即D选项导函数值不可能取到1， 故选：D. 变式2-1．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）． （2） ． （3）． （4）． 变式2-2．已知函数，则 ． 【答案】 【详解】令， 则，所以， 所以 ． 故答案为：. 变式2-3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则. 故选：D. 考点03 求复合函数的导数 【方法点拨】求复合函数的导数的步骤：①选择中间变量,写出构成它的内、外层函数；②分别求各层函数对相应变量的导数；③把上述求导的结果相乘；④把中间变量回代 例5．已知函数，则 . 【答案】 【详解】函数，求导得， 所以. 故答案为： 例6．函数的导数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ． 故选：B. 变式3-1．已知某函数的导数为，则这个函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，函数可以看作和的复合函数， ∴，符合题意； 对于B，，∴，不符合题意； 对于C，可以看作和的复合函数， ∴，不符合题意； 对于D，，∴，不符合题意． 故选：A. 变式3-2．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）结合题意可得：． （2）结合题意可得：． （3） ． 所以． 变式3-3．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）∵， ∴． （2）． （3）∵， ∴． 考点04 利用导数求函数式中的参数 【方法点拨】注意是一个数字，不是一个函数 例7．已知是函数的导函数，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为，所以. 令，得，所以， 所以，则. 故选：B． 例8．已知函数，则 . 【答案】 【详解】由已知，， 令得，． ∴， ∴． 故答案为：． 变式4-1．若函数，则 . 【答案】 【详解】因为，所以， 得到，解得， 故答案为：. 变式4-2．若函数，则 . 【答案】 【详解】对求导，得， 所以，解得， 所以，将代入，可得. 故答案为： 变式4-3．已知函数，则 . 【答案】/ 【详解】函数，则， 则， 所以，则， 则. 故答案为：. 考点05 利用导数求在某点处的切线方程 【方法点拨】此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转化,从而转化为这三个要素间的关系. 例9．已知曲线上一点，求： (1)曲线在点处的切线的斜率； (2)曲线在点处的切线方程. 【答案】(1)4 (2). 【详解】（1） 曲线在点处的切线的斜率为4. （2）由（1）知曲线在点处的切线的斜率是4， 切线方程是，即. 例10．曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【详解】由题可得，当时，， 即曲线在点处的切线斜率，所以所求切线方程为． 故答案为： 变式5-1．已知函数，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，故，，所以曲线在处的切线方程为，即. 故选：D. 变式5-2．已知为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为奇函数，且在处有定义， 所以，因为，所以，故， 而，得到切点为，又， 设切线斜率为，由斜率的几何意义得， 故切线方程为，化简得，故D正确. 故选：D 变式5-3．已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是 . 【答案】 【详解】当时，，即， ∴，∴，又， 则曲线在点处的切线方程是， 即. 故答案为：. 考点06 利用导数求过某点处的切线方程 【方法点拨】注意题意中的点并不是切点，需假设切点坐标 例11．若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】C 【详解】设切点为，由，所以，得， 所以切线方程为，即． 因为切线过点，所以，解得或， 所以过点作曲线的切线可以作2条. 故选：C 例12．曲线过点的切线方程为 . 【答案】或 【详解】， 因为点不在曲线上， 所以设切线的切点是，则切线的斜率， 又切线过点和， 所以， 所以， 化简得， 因为，所以或. 所以，或， 所以所求切线方程是或， 即或. 故答案为：或. 变式6-1．（多选）过点作曲线的切线，则切线方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】 ∵.设曲线的切点为，则，. ∴切线方程为. 又切线经过点，则，解得或， ∴切点为时，切线方程为；切点为时，切线方程为. 故选：AB. 变式6-2．过点作曲线的切线，则切线方程为 ． 【答案】 【详解】因为点不在曲线上，设切点，且，则，① 又，则切线斜率为，② 由①②解得，，所以，切线的斜率为， 切线方程为，即. 故答案为：. 变式6-3．平面直角坐标系中，过坐标原点和点分别作曲线：的切线和，求直线、与轴所围成的封闭图形的面积. 【答案】 【详解】， 设直线与曲线切于点，其斜率为， 的方程为，因为在直线上，所以， 解得，的方程为， 设直线与曲线切于点，其斜率为， 的方程为，因为在直线上，所以， 解得，的方程为， 由解得， 所以直线、的交点坐标为， 直线、与轴所围成的封闭图形是以点、点之间的线段为底，为高的三角形，所以封闭图形的面积为. 考点07 利用导数公式求切点坐标问题 例13．（多选）曲线的一条切线平行于直线，则切点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】设点，因为，则， 由题意可知：，解得， 当时，，此时点的坐标为； 当时，，此时点的坐标为； 故选：AB. 例14．已知直线和曲线相切，则切点坐标为 ，实数a的值为 ． 【答案】 【详解】设直线与曲线相切于点， 则 ， 故，解得或， 当时，；当时，. 切点坐标为或． 当切点为时，有，故（舍去）． 当切点为时，有，故， 因此切点坐标为，的值为. 故答案为：； 变式7-1．已知直线和曲线相切，求a的值及切点坐标． 【答案】当时，切点坐标为；当时，切点坐标为． 【详解】设直线l与曲线C相切于点， 因为函数，可得，所以， 由题意得，解得或，所以切点的坐标为或， 当切点的坐标为时，有，解得． 当切点的坐标为（2，3）时，有，解得， 所以当时，切点坐标为；当时，切点坐标为. 变式7-2．设b为实数，若直线为函数图象的切线，求b的值及切点坐标． 【答案】,切点或,切点 【详解】设切点坐标为 ， 由函数的导数为， 由直线得到斜率为，得到 ， 解得， 把代入中解得， 把代入中解得， 所以切点坐标是或， 当切点坐标是，代入直线的方程，得：； 当切点坐标是，代入直线的方程，得：. 变式7-3．函数的图像在点处的切线为，则实数的值为 ，切点的坐标为 ． 【答案】 【详解】由题意得：， 设直线与相切于点，， 又直线恒过点，， ，解得：， ，切点 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：本题考查“在”与“过”某一点的曲线切线方程的求解，方法如下： （1）“在”：该点必为切点，则切线方程为； （2）“过”：分为该点是切点和不是切点两种情况，若是切点，则与“在”某一点的切线方程的求法相同；若不是切点，求法如下： ①假设切点坐标； ②利用切线斜率，构造方程，可求得切线斜率； ③根据直线点斜式求得切线方程：. 考点08 切线平行、垂直问题 例15．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】由，求导， 则在点处的切线的斜率为， 而在点处的切线与直线垂直, 则，故. 故选：D 例16．已知函数.若曲线在点处的切线与其在点处的切线相互垂直，则的一个取值为 . 【答案】(答案不唯一) 【详解】，由题意可知，， 即，所以，得，，， 或，得，，， 所以，，, 所以的一个取值为. 故答案为：(答案不唯一) 变式8-1．已知函数. (1)求曲线过点处的切线； (2)若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）由导数公式得， 设切点坐标为，设切线方程为： 由题意可得： ，       所以或，      从而切线方程为或. （2）由(1)可得：曲线在点处的切线方程为, 由，可得曲线在处的切线斜率为， 由题意可得，  从而，    此时切点坐标为，曲线在处的切线方程为， 即，故符合题意，所以. 变式8-2．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．－4 B．－3 C．4 D．3 【答案】D 【详解】因为，所以， 当时，， 所以曲线在点处的切线的斜率等于3， 所以直线的斜率等于， 即，解得， 故选:D. 变式8-3．与曲线和都相切的直线与直线垂直，则=（ ） A．-8 B．-3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为2， 设直线与相切于， 因为，所以，解得，故直线与相切于， 设直线与相切于， 因为，则，解得，则， 所以直线的方程为，即， 在直线上，则，解得. 故选：A. 1．（2023-24高二上·河北石家庄·期末）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D错误； 故选：B. 2．（2023-24高三上·广东·阶段练习）函数的图象在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，， 则的图象在点处的切线方程为，即， 令，得，令，得， 则该切线与坐标轴所围成的三角形的面积为， 故选：C. 3．（2023-24高三上·河南·阶段练习）曲线在处的切线经过点，则实数的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】，由导数几何意义知， 在处的切线斜率为， 当时，切线经过点，故有，解得. 故选：C． 4．（2023-24高二上·云南曲靖·阶段练习）已知m，n为非零常数，函数，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【详解】函数， 则， 故． 故选：C． 5．（2023-24高三上·湖北·期末）函数在处的切线与直线垂直，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数，求导得， 在处的切线斜率为， 又在处的切线与直线垂直， 所以，解得. 故选：B. 6．（2025高三·全国·专题练习）已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为， 对函数求导得，对函数求导得， 则曲线在处的切线方程为，即， 曲线在处的切线方程为， 即， 所以，解得， 故，，所以． 故选：C． 7．（2023-24高三上·陕西咸阳·期中）（多选）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】A. ，选项A正确. B.，选项B正确. C.为常数，选项C正确. D. ，选项D错误. 故选：ABC. 8．（2024·海南·模拟预测）（多选）已知，若函数的图象在点处的切线与轴平行，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】解：，由题意知. 对于A，因为，，所以，所以，故A正确； 对于B，同理，所以，故B错误； 对于C，若，，，则，故C错误； 对于D，由，得， 由，得，所以，故D正确. 故选：AD 9．（2023-24高二上·全国·课后作业）若曲线在点处的切线的斜率为2，则 ． 【答案】2 【详解】由题得， 由，得． 故答案为：2 10．（2022·河南安阳·模拟预测）曲线的一条切线经过点，则该切线的斜率为 . 【答案】 【详解】因为，所以，设切点为，则， 所以，解得，所以，即切线的斜率为. 故答案为： 11．（2023-24高三上·山西长治·阶段练习）已知函数，，存在直线过点与曲线和都相切，则 ． 【答案】 【详解】设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点， 由，则，则，则切线为， 又切线过点，所以，即，所以， 所以切线方程为，由，则， 则，解得. 故答案为： 12．（2023-24高二下·全国·课后作业）求下列函数的导数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设， 所以. （2）设，则. 所以. 13．（2023-24高二上·河北邯郸·期末）已知函数，其中是的导函数． (1)求； (2)求曲线在原点处的切线方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），， . （2），， 在处切线斜率为，切线为. 14．（2023-24高二上·云南昆明·期末）已知函数，函数． (1)若曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，求实数的值； (2)若直线与曲线，都相切，求实数的值． 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 因此曲线在处的切线方程为， 当时，；当时，，依题意，， 又，所以. （2）设直线与曲线，相切的切点分别为， 函数，求导得，则，，即，， 因此直线与曲线，相切的切点分别为，， 于是，解得， 所以实数的值为2. 15．（2023-24高二下·陕西渭南·期中）已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)若求证：曲线上任意一点处的切线与直线和直线围成的三角形面积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解答 【详解】（1）由，可得， 所以，又， 所以在处的切线方程为，即； （2），所以， 设为曲线上任一点，所以，又， 所以过的切线方程为， 令，则可得，令，可得， 从而切线与直线的交点为，切线与直线的交点为， 点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为： ，为定值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 预习02 导数的运算 知识点 1 ：导数的计算 1.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 基本初等函数 导函数 （为常数） 2.导数的运算法则 若存在，则有： 加减运算 乘法运算 除法运算 ，则． 3.复合函数的导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为： 知识点 2 ：求切线方程 1.求曲线“在”点处的切线方程： 第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2.求曲线“过”点处的切线方程 第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 考点01 利用导数公式求函数的导数 【方法点拨】（1）若求导函数符合导数公式,则直接利用公式求解. （2）对于不能直接利用公式的类型,一般遵循“先化简,再求导”的基本原则,避免不必要的运算失误. 例1．（多选）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 例2．以正弦曲线上一点为切点的切线为直线，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 变式1-1．设，，⋯，，，则（   ） A． B． C． D． 变式1-2．下列各式正确的是（    ） A． B．，且 C． D． 变式1-3．已知函数及其导数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”.下列四个函数中，没有“巧值点”的是（   ） A． B． C． D． 考点02 求函数的和、差、积、商的导数 【方法点拨】熟记导数的四则运算公式,还要注意挖掘知识的内在联系及其规律. 注意:当不易直接应用导数公式时,应先对函数进行化简,再求导. 例3．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 例4．在下列函数中，导函数值不可能取到1的是（   ） A． B． C． D． 变式2-1．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 变式2-2．已知函数，则 ． 变式2-3．已知，则（    ） A． B． C． D． 考点03 求复合函数的导数 【方法点拨】求复合函数的导数的步骤：①选择中间变量,写出构成它的内、外层函数；②分别求各层函数对相应变量的导数；③把上述求导的结果相乘；④把中间变量回代 例5．已知函数，则 . 例6．函数的导数为（    ） A． B． C． D． 变式3-1．已知某函数的导数为，则这个函数可能是（   ） A． B． C． D． 变式3-2．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 变式3-3．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)． 考点04 利用导数求函数式中的参数 【方法点拨】注意是一个数字，不是一个函数 例7．已知是函数的导函数，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 例8．已知函数，则 . 变式4-1．若函数，则 . 变式4-2．若函数，则 . 变式4-3．已知函数，则 . 考点05 利用导数求在某点处的切线方程 【方法点拨】此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转化,从而转化为这三个要素间的关系. 例9．已知曲线上一点，求： (1)曲线在点处的切线的斜率； (2)曲线在点处的切线方程. 例10．曲线在点处的切线方程为 ． 变式5-1．已知函数，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 变式5-2．已知为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 变式5-3．已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是 . 考点06 利用导数求过某点处的切线方程 【方法点拨】注意题意中的点并不是切点，需假设切点坐标 例11．若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 例12．曲线过点的切线方程为 . 变式6-1．（多选）过点作曲线的切线，则切线方程可能是（    ） A． B． C． D． 变式6-2．过点作曲线的切线，则切线方程为 ． 变式6-3．平面直角坐标系中，过坐标原点和点分别作曲线：的切线和，求直线、与轴所围成的封闭图形的面积. 考点07 利用导数公式求切点坐标问题 例13．（多选）曲线的一条切线平行于直线，则切点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 例14．已知直线和曲线相切，则切点坐标为 ，实数a的值为 ． 变式7-1．已知直线和曲线相切，求a的值及切点坐标． 变式7-2．设b为实数，若直线为函数图象的切线，求b的值及切点坐标． 变式7-3．函数的图像在点处的切线为，则实数的值为 ，切点的坐标为 ． 考点08 切线平行、垂直问题 例15．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 例16．已知函数.若曲线在点处的切线与其在点处的切线相互垂直，则的一个取值为 . 变式8-1．已知函数. (1)求曲线过点处的切线； (2)若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值. 变式8-2．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．－4 B．－3 C．4 D．3 变式8-3．与曲线和都相切的直线与直线垂直，则=（ ） A．-8 B．-3 C．4 D．6 1．（2023-24高二上·河北石家庄·期末）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023-24高三上·广东·阶段练习）函数的图象在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2023-24高三上·河南·阶段练习）曲线在处的切线经过点，则实数的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 4．（2023-24高二上·云南曲靖·阶段练习）已知m，n为非零常数，函数，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 5．（2023-24高三上·湖北·期末）函数在处的切线与直线垂直，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025高三·全国·专题练习）已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（   ） A． B． C． D． 7．（2023-24高三上·陕西咸阳·期中）（多选）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·海南·模拟预测）（多选）已知，若函数的图象在点处的切线与轴平行，则（    ） A． B． C． D． 9．（2023-24高二上·全国·课后作业）若曲线在点处的切线的斜率为2，则 ． 10．（2022·河南安阳·模拟预测）曲线的一条切线经过点，则该切线的斜率为 . 11．（2023-24高三上·山西长治·阶段练习）已知函数，，存在直线过点与曲线和都相切，则 ． 12．（2023-24高二下·全国·课后作业）求下列函数的导数： (1)； (2)． 13．（2023-24高二上·河北邯郸·期末）已知函数，其中是的导函数． (1)求； (2)求曲线在原点处的切线方程． 14．（2023-24高二上·云南昆明·期末）已知函数，函数． (1)若曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，求实数的值； (2)若直线与曲线，都相切，求实数的值． 15．（2023-24高二下·陕西渭南·期中）已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)若求证：曲线上任意一点处的切线与直线和直线围成的三角形面积为定值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$