预习01 导数的概念及其意义（七大考点）-2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 预习01 导数的概念及其意义 知识点 1 ：平均速度与瞬时速度 （1）平均速度：一般地,在这段时间里,物体的平均速度 （2）瞬时速度：把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.物体在某一时刻的瞬时速度为当时间间隔无限趋近于0时平均速度的极限,即 知识点 2 ：割线的斜率和切线的斜率 （1）割线的斜率：如图所示，平均变化率表示割线的斜率. （2）切线与切线的斜率 ①曲线的切线：如图所示，在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线. ②切线的斜率：曲线在某一点处切线的斜率,即当横坐标间隔无限趋近于0时,割线斜率的极限,即. 知识点 3 ：导数 （1）平均变化率：把比值,即叫做函数从到的平均变化率. （2）导数的概念：如果当时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称在处可导,并把这个确定的值叫做在处的导数(也称为瞬时变化率),记作或,即. （3）导数的几何意义：函数在处的导数,就是切线的斜率,即. （4）导函数 当时,是一个唯一确定的数,当变化时,是的函数,称它为的导函数(简称导数),的导函数有时也记作,即. 说明:①平均变化率与瞬时变化率的区别:平均变化率刻画函数值在区间上变化快慢,瞬时变化率刻画函数值在处变化的快慢. ②平均变化率与瞬时变化率的联系:当趋于0时,平均变化率趋于一个常数,这个常数为函数在处的瞬时变化率,它是一个固定值. 知识点 4 ：求切线方程 1.求曲线“在”点处的切线方程： 第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2.求曲线“过”点处的切线方程 第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 考点01 函数的平均变化率和瞬时变化率 【方法点拨】（1）求函数平均变化率的三个步骤 第一步,求自变量的变化量;第二步,求函数值的变化量; 第三步,求平均变化率； （2）求点附近的平均变化率,可用的形式； 例1．函数在区间上的平均变化率是2，则 ． 例2．函数从到的平均变化率为（   ） A．2 B． C．3 D． 变式1-1．已知函数，当自变量t由2变到2.5时，函数的平均变化率是（   ） A．5.25 B．10.5 C．5.5 D．11 变式1-2．已知函数图象上四点，，，，割线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 变式1-3．函数在区间上的平均变化率是（   ） A．2 B． C． D． 考点02 函数的瞬时变化率 【方法点拨】求瞬时速度的步骤：①求位移增量,;②求平均速度,; ③取极限,;④若极限存在,则时刻的瞬时速度为. 例3．如果某质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为，那么该质点在秒时的瞬时速度为（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 例4．若一物体的运动方程为（路程单位：，时间单位：）．求： (1)物体在到这段时间内的平均速度； (2)物体在时的瞬时速度． 变式2-1．函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（    ） A． B．1 C．2 D． 变式2-2．子弹在枪筒中的运动可以视为匀加速直线运动，运动方程为，如果它的加速度是，子弹在枪筒中的运动时间为，求子弹射出枪口时的瞬时速度． 变式2-3．一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论：①汽车在时间段内匀速行驶；②汽车在时间段内不断加速行驶；③汽车在时间段内不断减速行驶；④汽车在时间段内处于静止状态．其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点03 导数的定义及其计算 【方法点拨】在导数的概念中,增量的形式是多种多样的,但无论是哪种形式,分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致,常见的形式还有: 例5．（多选）函数在某一点的导数是（    ）． A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比 B． C．一个常数，不是变数 D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 例6．若函数可导，则等于（    ） A． B． C． D． 变式3-1．若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 变式3-2．已知，则（    ） A． B．2 C． D． 变式3-3．已知符号“”代表极限的意思，现给出两个重要极限公式：①；②，则依据两个公式，类比求 ； . 考点04 导数定义与图象 【方法点拨】函数在某点处的导数为该点处切线的斜率 例7．如图是函数的部分图象，记的导函数为，则下列选项中值最小的是（    ） A． B． C． D． 例8．已知函数，它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则的大小关系是（    ）    A． B． C． D． 变式4-1．函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 变式4-2．函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 变式4-3．已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（    ）    A． B． C． D． 考点05 利用导数几何意义求斜率 【方法点拨】用导数定义求函数在某一点处的切线斜率的步骤：①求函数的增量; ②求平均变化率;③求极限. 例9．已知函数在处的导数为，则函数在处切线的倾斜角为 . 例10．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（   ） A．6 B．2 C．3 D． 变式5-1．求曲线在点处切线的斜率． 【答案】 【详解】如图，在曲线上另取一点．    因为， 在所求得的斜率表达式中， 当时，． 因此，所求切线的斜率． 变式5-2．如图，直线是曲线在点处的切线，则 ．    变式5-3．曲线在点处的切线的倾斜角等于（　　） A． B． C． D． 考点06 利用导数几何意义求切线方程 【方法点拨】利用导数定义求函数在某一点处的切线斜率之后，然后用点斜式方程进行求切线方程即可 例11．已知点为曲线上的一点，为曲线的割线，当时，若的极限为，则在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 例12．求双曲线在点处的切线方程． 变式6-1．已知函数，则在处的切线方程为 . 变式6-2．已知函数图象上两点，． (1)若割线的斜率不大于－1，求的取值范围； (2)求曲线在点处的切线方程． 变式6-3．求曲线在点处的切线方程． 考点07 已知切线(斜率)求参数 例13．已知函数在点处的切线斜率为2，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 例14．如果曲线的一条切线与直线平行，求曲线与此切线相切的切点坐标. 变式7-1．是否存在常数k，使得直线与曲线相切？若存在，求出常数k的值及切点坐标；若不存在，请说明理由． 变式7-2．曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的坐标为 ． 变式7-3．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则（    ） A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 1．（2023-24高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 2．（2023-24高二上·全国·课后作业）设函数在处的导数存在，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023-24高二下·贵州遵义·阶段练习）设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（    ） A．-1 B．-3 C．1 D． 4．（2023-24高二·全国·课后作业）已知曲线y＝x3上一点P，则该曲线在P点处切线的斜率为（    ） A．4 B．2 C．－4 D．8 5．（2023-24高二下·新疆乌鲁木齐·期中）函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ）    A． B． C． D． 6．（2023-24高二上·福建莆田·期末）设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2024高二下·全国·专题练习）（多选）各地房产部门为尽快稳定房价，提出多种房产供应方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务．已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，在时间内供应效率（单位时间的供应量）不逐步提高的有（    ） A．   B．   C．   D．   8．（2023-24高二·全国·课后作业）（多选）若当，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．曲线上点处的切线斜率为 D．曲线上点处的切线斜率为 9．（2023-24高三上·上海·期中）函数在区间上的平均变化率为 . 10．（2023-24高三上·上海·阶段练习）已知函数的导函数为, 记 ，则A，B，C的大小关系是 .（按从小到大的顺序排列） 11．（2023-24高二上·全国·课后作业）若直线与曲线相切，则 . 12．（2023-24高二上·全国·课后作业）已知在处的导数，求下列各式的值： (1)； (2)． 13．（2023-24高二下·全国·课堂例题）已知函数． (1)求函数在区间上的平均变化率； (2)求函数在区间上的平均变化率． 14．（2023-24高二·全国·随堂练习）求函数在处切线的斜率． 15．（2023-24高二上·全国·课后作业）已知曲线. (1)求曲线过点的切线方程； (2)求满足斜率为的曲线的切线方程. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 预习01 导数的概念及其意义 知识点 1 ：平均速度与瞬时速度 （1）平均速度：一般地,在这段时间里,物体的平均速度 （2）瞬时速度：把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.物体在某一时刻的瞬时速度为当时间间隔无限趋近于0时平均速度的极限,即 知识点 2 ：割线的斜率和切线的斜率 （1）割线的斜率：如图所示，平均变化率表示割线的斜率. （2）切线与切线的斜率 ①曲线的切线：如图所示，在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线. ②切线的斜率：曲线在某一点处切线的斜率,即当横坐标间隔无限趋近于0时,割线斜率的极限,即. 知识点 3 ：导数 （1）平均变化率：把比值,即叫做函数从到的平均变化率. （2）导数的概念：如果当时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称在处可导,并把这个确定的值叫做在处的导数(也称为瞬时变化率),记作或,即. （3）导数的几何意义：函数在处的导数,就是切线的斜率,即. （4）导函数 当时,是一个唯一确定的数,当变化时,是的函数,称它为的导函数(简称导数),的导函数有时也记作,即. 说明:①平均变化率与瞬时变化率的区别:平均变化率刻画函数值在区间上变化快慢,瞬时变化率刻画函数值在处变化的快慢. ②平均变化率与瞬时变化率的联系:当趋于0时,平均变化率趋于一个常数,这个常数为函数在处的瞬时变化率,它是一个固定值. 知识点 4 ：求切线方程 1.求曲线“在”点处的切线方程： 第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2.求曲线“过”点处的切线方程 第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 考点01 函数的平均变化率和瞬时变化率 【方法点拨】（1）求函数平均变化率的三个步骤 第一步,求自变量的变化量;第二步,求函数值的变化量; 第三步,求平均变化率； （2）求点附近的平均变化率,可用的形式； 例1．函数在区间上的平均变化率是2，则 ． 【答案】5 【详解】 因为函数在区间上的平均变化率是2， 所以， 即，从而,解得或（舍去）． 故答案为：5. 例2．函数从到的平均变化率为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】函数从到的平均变化率为． 故选：B 变式1-1．已知函数，当自变量t由2变到2.5时，函数的平均变化率是（   ） A．5.25 B．10.5 C．5.5 D．11 【答案】B 【详解】∵，∴． 故选：B 变式1-2．已知函数图象上四点，，，，割线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，， ∴． 故选：A． 变式1-3．函数在区间上的平均变化率是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】∵， ∴. 故选：C． 考点02 函数的瞬时变化率 【方法点拨】求瞬时速度的步骤：①求位移增量,;②求平均速度,; ③取极限,;④若极限存在,则时刻的瞬时速度为. 例3．如果某质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为，那么该质点在秒时的瞬时速度为（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 【答案】D 【详解】， 所以． 故选：D． 例4．若一物体的运动方程为（路程单位：，时间单位：）．求： (1)物体在到这段时间内的平均速度； (2)物体在时的瞬时速度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，， 所以物体在到这段时间内的平均速度为． （2）因为， 所以， 则物体在时的瞬时速度为． 变式2-1．函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【详解】函数在区间上的平均变化率为 在时的瞬时变化率为， 所以，解得． 故选：B． 变式2-2．子弹在枪筒中的运动可以视为匀加速直线运动，运动方程为，如果它的加速度是，子弹在枪筒中的运动时间为，求子弹射出枪口时的瞬时速度． 【答案】 【详解】由已知得运动方程为． 因为， 所以，当时，． 由题意知，， 所以，即子弹射出枪口时的瞬时速度为． 变式2-3．一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论：①汽车在时间段内匀速行驶；②汽车在时间段内不断加速行驶；③汽车在时间段内不断减速行驶；④汽车在时间段内处于静止状态．其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】根据题意， ①在时间段内，位移是一条斜率大于零的直线，则汽车在该时间段内匀速行驶，故①正确； ②在时间段内，位移是一条斜率越来越大的曲线，则汽车在该时间段内不断加速行驶，故②正确； ③在时间段内，位移是一条斜率越来越小的曲线，则汽车在该时间段内不断减速行驶，故③正确； ④在时间段内，位移不变，则汽车在该时间段内静止不动，故④正确． 故选：D． 考点03 导数的定义及其计算 【方法点拨】在导数的概念中,增量的形式是多种多样的,但无论是哪种形式,分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致,常见的形式还有: 例5．（多选）函数在某一点的导数是（    ）． A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比 B． C．一个常数，不是变数 D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 【答案】BC 【详解】A选项，由导数定义可知，应为在该点的函数值的增量与自变量的增量之比的极限，A错误； BC选项，在某一点的导数是，是一个常数，不是变数，BC正确； D选项，由导数定义可知，应为函数在这一点到它附近一点之间的瞬时变化率，D错误. 故选：BC 例6．若函数可导，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】． 故选：C 变式3-1．若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】由题意知，， 则. 故选：D 变式3-2．已知，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】 故选：A. 变式3-3．已知符号“”代表极限的意思，现给出两个重要极限公式：①；②，则依据两个公式，类比求 ； . 【答案】 【详解】由极限的定义知：①；②， 因为，，可得， 则； 又因为，令，可得， 所以. 故答案为：；. 考点04 导数定义与图象 【方法点拨】函数在某点处的导数为该点处切线的斜率 例7．如图是函数的部分图象，记的导函数为，则下列选项中值最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图知，，，，所以排除A，B； 设的图象在处的点为， 显然的斜率小于在处的切线斜率， 则，且，可转化为， 所以的值最小，排除D. 故选：C. 例8．已知函数，它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则的大小关系是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依次作出在处的切线， 如图所示．根据图形中切线的斜率可知． 故选：A．    变式4-1．函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图知：，即. 故选：A 变式4-2．函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数的图像可知， 当时，单调递增， ，，. 随着的增大，曲线在每个点处的斜率在逐渐减小，即导函数是单调递减的， . 故选：A. 变式4-3．已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分别作出函数在的切线， 则 则有.    故选：B 考点05 利用导数几何意义求斜率 【方法点拨】用导数定义求函数在某一点处的切线斜率的步骤：①求函数的增量; ②求平均变化率;③求极限. 例9．已知函数在处的导数为，则函数在处切线的倾斜角为 . 【答案】 【详解】设切线的倾斜角为，则，又，则. 故答案为： 例10．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（   ） A．6 B．2 C．3 D． 【答案】A 【详解】由题意，， 即，故，即曲线在点处的切线的斜率是6. 故选：A 变式5-1．求曲线在点处切线的斜率． 【答案】 【详解】如图，在曲线上另取一点．    因为， 在所求得的斜率表达式中， 当时，． 因此，所求切线的斜率． 变式5-2．如图，直线是曲线在点处的切线，则 ．    【答案】1 【详解】根据函数切线过,则曲线在处的切线斜率为， 根据导数的定义，可得. 故答案为：1． 变式5-3．曲线在点处的切线的倾斜角等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 所以.又切线的倾斜角的范围为，所以所求倾斜角为. 故选：C 考点06 利用导数几何意义求切线方程 【方法点拨】利用导数定义求函数在某一点处的切线斜率之后，然后用点斜式方程进行求切线方程即可 例11．已知点为曲线上的一点，为曲线的割线，当时，若的极限为，则在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据导数的定义，可求得在点P处切线的斜率，代入公式，即可求得答案. 【详解】根据导数的定义可得，即在点P处切线的斜率为-2， 所以在点处的切线方程为，整理可得. 故选：B 例12．求双曲线在点处的切线方程． 【答案】 【详解】设双曲线在点处的切线斜率为. 函数的定义域为. 设，因为， 根据导数的定义知，. 根据导数的几何意义，，又切点为， 代入点斜式方程可得，整理可得. 变式6-1．已知函数，则在处的切线方程为 . 【答案】 【详解】由，则， ，故， 则，即. 又切线过，所以在处的切线为，即. 故答案为：. 变式6-2．已知函数图象上两点，． (1)若割线的斜率不大于－1，求的取值范围； (2)求曲线在点处的切线方程． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）由题意得，割线的斜率为 由，得． 又因为，所以的取值范围是． （2）由（1）可得函数的图象在点(2，)处的切线的斜率为． 又，所以所求切线方程为，即． 变式6-3．求曲线在点处的切线方程． 【答案】 【详解】因为点在曲线上，过点的切线的斜率为 故所求切线方程为，即． 考点07 已知切线(斜率)求参数 例13．已知函数在点处的切线斜率为2，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【详解】由题意得， 所以， 解得， 又，则， 所以． 故选：B 例14．如果曲线的一条切线与直线平行，求曲线与此切线相切的切点坐标. 【答案】或 【详解】设切点坐标为，则， 曲线在点P的切线与直线平行， 则切线斜率为 ， 则；当时，；当时，， 所以切点坐标为或. 变式7-1．是否存在常数k，使得直线与曲线相切？若存在，求出常数k的值及切点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，， 【详解】解：假设存在，设切点的横坐标为，， 所以，所以切点坐标为， 所以，解得． 变式7-2．曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【详解】易知曲线在点P处的切线的斜率为，设， 因为， 当时，， 所以，则点P的坐标为或． 故答案为：或. 变式7-3．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则（    ） A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 【答案】A 【详解】由题意可知k＝， 又(0，b)在切线上，解得：b＝1. 故选：A. 1．（2023-24高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】D 【详解】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于， 乙水库的蓄水量的平均变化率大于，故A错误； 对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库的蓄水量的平均变化率大于， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，故B错误； 对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故C错误； 对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故D正确. 故选：D. 2．（2023-24高二上·全国·课后作业）设函数在处的导数存在，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】． 故选：C 3．（2023-24高二下·贵州遵义·阶段练习）设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（    ） A．-1 B．-3 C．1 D． 【答案】D 【详解】解：因为， 所以， 故选：D 4．（2023-24高二·全国·课后作业）已知曲线y＝x3上一点P，则该曲线在P点处切线的斜率为（    ） A．4 B．2 C．－4 D．8 【答案】A 【详解】 故y′＝x2，y′|x＝2＝22＝4， 结合导数的几何意义知，曲线在P点处切线的斜率为4. 故选：A 5．（2023-24高二下·新疆乌鲁木齐·期中）函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】    如图，设函数的图象上有两点，经过点的切线分别为, 则直线的斜率依次为， 由图知直线的倾斜角满足，， 因函数在上递增，故， 即. 故选：B. 6．（2023-24高二上·福建莆田·期末）设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 又曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为， 所以其斜率， 所以，解得， 所以点P横坐标的取值范围为， 故选：D. 7．（2024高二下·全国·专题练习）（多选）各地房产部门为尽快稳定房价，提出多种房产供应方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务．已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，在时间内供应效率（单位时间的供应量）不逐步提高的有（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】ACD 【详解】当单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大， 故曲线是上升的，且越来越陡峭， 所以函数的图象应一直是下凹的，则选项B满足条件， 所以在时间内供应效率（单位时间的供应量）不逐步提高的有ACD选项． 故选：ACD． 8．（2023-24高二·全国·课后作业）（多选）若当，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．曲线上点处的切线斜率为 D．曲线上点处的切线斜率为 【答案】AD 【详解】由得：，即， 曲线上点处的切线斜率为，C错误；D正确； ，A正确；B错误. 故选：AD. 9．（2023-24高三上·上海·期中）函数在区间上的平均变化率为 . 【答案】3 【详解】由题意得，函数在区间上的平均变化率为， 故答案为：3. 10．（2023-24高三上·上海·阶段练习）已知函数的导函数为, 记 ，则A，B，C的大小关系是 .（按从小到大的顺序排列） 【答案】 【详解】分别为函数在处的切线斜率， 时点两点连线的斜率， 如图，自左向右，三条直线的斜率分别为，其倾斜角从左到右，依次减小， 且均为锐角，根据正切函数单调性可知，. 故答案为： 11．（2023-24高二上·全国·课后作业）若直线与曲线相切，则 . 【答案】 【详解】设直线与曲线的切点为， 由得， 所以曲线在点处的切线斜率， 又直线与曲线切于点，所以，解得， 所以或.因为点在直线上，代入解得. 故答案为： 12．（2023-24高二上·全国·课后作业）已知在处的导数，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 即． ． （2）， 即为函数在区间上平均变化率． ∴当时，必趋于， ， ． 13．（2023-24高二下·全国·课堂例题）已知函数． (1)求函数在区间上的平均变化率； (2)求函数在区间上的平均变化率． 【答案】(1) (2)8.02 【详解】（1） ， 函数在区间上的平均变化率为． （2）由（1）可知在区间上的平均变化率为， 当，时， ， 即函数在区间上的平均变化率为8.02． 14．（2023-24高二·全国·随堂练习）求函数在处切线的斜率． 【答案】 【详解】因为， 所以，则， 所以在处的斜率为. 15．（2023-24高二上·全国·课后作业）已知曲线. (1)求曲线过点的切线方程； (2)求满足斜率为的曲线的切线方程. 【答案】(1). (2)或. 【详解】（1） 又不在曲线上. 设过点的切线的切点为， 则，即该切线的斜率为. 因为点在切线上， 所以， 解得.故切线的斜率. 故曲线过点的切线方程为，即. （2）设斜率为的切线的切点为， 由（1）知，，得. 所以切点坐标为或. 故满足斜率为的曲线的切线方程为 或， 即或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$