6.4.3余弦定理、正弦定理（一）余弦定理（人教A版必修二）-2024-2025学年寒假高一数学同步练习（全国通用）

6.4.3余弦定理、正弦定理（一）余弦定理 1．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　) A.　　　　　　 B. C. D. 答案　B 解析　∵a>b>c，∴C为最小角且C为锐角， 由余弦定理，得cos C＝＝＝. ∴C＝. 2．在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，则c的值为(　　) A．4 B．8 C．4或8 D．无解 答案　C 解析　由3a＝b＝12，得a＝4，b＝4，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8. 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B的值为(　　) A. B. C.或 D.或 答案　A 解析　由a2＋c2－b2＝ac及余弦定理得cos B＝＝，又B∈(0，π)，∴B＝. 4．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2， ∴cos B＝＝＝. 5．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是(　　) A．90° B．120° C．135° D．150° 答案　B 解析　设中间角为θ，则θ为锐角，cos θ＝＝，即θ＝60°，所以最大角与最小角的和为180°－60°＝120°. 6．若△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·的值为(　　) A．19 B．14 C．－18 D．－19 答案　D 解析　设角A，B，C的对边分别为a，b，c， 依题意得，a＝5，b＝6，c＝7. ∴·＝||·||·cos(π－B)＝－ac·cos B. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B， ∴－ac·cos B＝(b2－a2－c2)＝(62－52－72)＝－19， ∴·＝－19. 7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为(　　) A. B. C.或 D.或 答案　D 解析　依题意得，·tan B＝， ∴sin B＝，又B∈(0，π)，∴B＝或B＝.故选D. 8．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC一定是(　　) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 答案　D 解析　由余弦定理可知b2＝a2＋c2－2accos B，而B＝60°，b2＝ac，所以ac＝a2＋c2－2ac·，即(a－c)2＝0，所以a＝c.又B＝60°，所以△ABC一定是等边三角形．故选D. 9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C，2b＝a，则cos A＝________． 答案　 解析　由B＝C，2b＝a，可得b＝c＝a， 所以cos A＝＝＝. 10．在△ABC中，已知A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求b，c. 解析　由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－2bc(1＋cos A)， 所以49＝64－2bc，即bc＝15, 由解得或 11．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝60°，a＝2，·＝，则△ABC的周长等于(　　) A．3＋2 B．2＋3 C．3＋3 D．2＋2 答案　D 解析　因为A＝60°，·＝，则·＝bccos 60°＝bc＝，解得bc＝， 又由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，即4＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－3×＝(b＋c)2－8， 则(b＋c)2＝12，所以b＋c＝2，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋2.故选D. 12.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2，CD＝5，BC＝6，则∠CAD＝(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 答案　B 解析　由勾股定理易得AC2＝62＋22＝40，AD2＝62＋(5－2)2＝45.在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝，又因为0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°.故选B. 13．在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos A＝________． 答案　 解析　因为在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，所以由余弦定理可得 AB＝＝＝3， 所以AB＝BC，即A＝C，则cos A＝cos C＝. 14．在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，求AC边上的中线长． 解析　由条件知 cos A＝＝＝， 设AC边上的中线长为x，由余弦定理，知x2＝＋AB2－2··ABcos A ＝42＋92－2×4×9×＝49， 所以x＝7.所以AC边上的中线长为7. 15．若将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度确定 答案　A 解析　设直角三角形三边依次为a，b，c且a2＋b2＝c2.设三边都增加x，则c＋x为最大边，其对应角为最大角，记为θ，则 cos θ＝＝. ∵x>0，x2＞0，a＋b－c>0. ∴cos θ>0，即θ为锐角． ∴新三角形的形状是锐角三角形． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.4.3余弦定理、正弦定理（一）余弦定理 1．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　) A.　　　　　　 B. C. D. 2．在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，则c的值为(　　) A．4 B．8 C．4或8 D．无解 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B的值为(　　) A. B. C.或 D.或 4．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于(　　) A. B. C. D. 5．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是(　　) A．90° B．120° C．135° D．150° 6．若△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·的值为(　　) A．19 B．14 C．－18 D．－19 7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为(　　) A. B. C.或 D.或 8．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC一定是(　　) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C，2b＝a，则cos A＝________． 10．在△ABC中，已知A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求b，c. 11．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝60°，a＝2，·＝，则△ABC的周长等于(　　) A．3＋2 B．2＋3 C．3＋3 D．2＋2 12.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2，CD＝5，BC＝6，则∠CAD＝(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 13．在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos A＝________． 14．在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，求AC边上的中线长． 15．若将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度确定 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$