6.4.3余弦定理、正弦定理（三）正余弦定理的应用举例（人教A版必修二）-2024-2025学年寒假高一数学同步练习（全国通用）

6.4.3余弦定理、正弦定理（三）正余弦定理的应用举例 1.如图所示，在河岸AC一侧测量河的宽度，对于以下四组数据，较适宜的是(　　) A．c，α，γ　　　　 B．c，b，α C．c，a，β D．b，α，γ 2．已知在A点测得同一方向的B点的仰角为60°，C点的俯角为70°，则∠BAC等于(　　) A．10° B．50° C．120° D．130° 3．甲骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是 (　　) A．6 km B．3 km C．3 km　 D．3 km 4．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为5 km，8 km，灯塔A在观察站C的北偏东70°方向上，灯塔B在观察站C的南偏东50°方向上，则灯塔A与B的距离为(　　) A．6 km B．6 km C．7 km D．7 km 5．伯乐树是国家二级保护野生植物，被誉为“植物中的龙凤”，常散生于湿润的沟谷坡地或小溪旁．一植物学家为了监测一棵伯乐树的生长情况，需测量树的高度．他在与树干底部在同一水平面的一块平地上利用测角仪(高度忽略不计)进行测量，在点A处测得树干底部在西偏北30°的方向上，沿直线向西前进3.4 m后，在点B处测得树干底部在西偏北40°的方向上，此时树干顶部的仰角为60°，则该伯乐树的高度为(取sin 10°≈0.17)(　　) A．10 m B．10 m C．8 m D．7 m 6.【多选题】如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出AB的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则下列计算结果正确的有(　　) A．AC＝ km B．BC＝ km C．∠DBC＝45° D．AB＝ km 7．一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°的方向上，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°的方向上，这时船与灯塔间的距离为________km. 8.如图，测量河对岸的塔高AB时，选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________米． 9.如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从点C可以观察到点A，B；找到一个点D，从点D可以观察到点A，C；找到一个点E，从点E可以观察到点B，C，并测量得到一些数据：CD＝2，CE＝2，∠D＝45°，∠ACD＝105°，∠ACB＝48.19°，∠BCE＝75°，∠E＝60°，则A，B两点之间的距离为________. 10.如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内．在A点测得M，N的俯角分别为α1＝75°，β1＝30°，在B点测得M，N的俯角分别为α2＝45°，β2＝60°，同时测得AB＝ km. (1)求AM的长度； (2)求M，N之间的距离． 11．【多选题】甲、乙两楼相距20 m，从乙楼楼底仰望甲楼楼顶的仰角为60°，从甲楼楼顶望乙楼楼顶的俯角为30°，则下列说法正确的有(　　) A．甲楼的高度为20 m B．甲楼的高度为10 m C．乙楼的高度为m D．乙楼的高度为10 m 12.如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于(　　) A. B. C.－1 D.－1 13．在某个位置测得某山峰仰角为θ，迎着山峰在地面上前进600 m后测得山峰的仰角为2θ，继续在地面上前进200 m以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为(　　) A．200 m B．300 m C．400 m D．100 m 14.欲测量河宽即河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，受地理条件和测量工具的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选择A，B两个观测点，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，AB＝120米，由此可得河宽约为________米．(结果精确到1米，参考数据：≈2.45，≈1.41，sin 75°≈0.97) 15.如图，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物顶端的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，求建筑物的高度． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.4.3余弦定理、正弦定理（三）正余弦定理的应用举例 1.如图所示，在河岸AC一侧测量河的宽度，对于以下四组数据，较适宜的是(　　) A．c，α，γ　　　　 B．c，b，α C．c，a，β D．b，α，γ 答案　D 解析　本题中的c，a，β不好直接测量．故选D. 2．已知在A点测得同一方向的B点的仰角为60°，C点的俯角为70°，则∠BAC等于(　　) A．10° B．50° C．120° D．130° 答案　D 解析　如图，∠BAC＝70°＋60°＝130°.故选D. 3．甲骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是 (　　) A．6 km B．3 km C．3 km　 D．3 km 答案　C 解析　由题意知，AB＝24×＝6(km)，∠BAS＝30°，∠ASB＝75°－30°＝45°. 由正弦定理得BS＝＝＝3(km)． 4．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为5 km，8 km，灯塔A在观察站C的北偏东70°方向上，灯塔B在观察站C的南偏东50°方向上，则灯塔A与B的距离为(　　) A．6 km B．6 km C．7 km D．7 km 答案　C 解析　如图所示． 在△ABC中，CA＝5，CB＝8，C＝60°，由余弦定理得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cos C＝25＋64－2×5×8×＝49， 所以AB＝7 km.故选C. 5．伯乐树是国家二级保护野生植物，被誉为“植物中的龙凤”，常散生于湿润的沟谷坡地或小溪旁．一植物学家为了监测一棵伯乐树的生长情况，需测量树的高度．他在与树干底部在同一水平面的一块平地上利用测角仪(高度忽略不计)进行测量，在点A处测得树干底部在西偏北30°的方向上，沿直线向西前进3.4 m后，在点B处测得树干底部在西偏北40°的方向上，此时树干顶部的仰角为60°，则该伯乐树的高度为(取sin 10°≈0.17)(　　) A．10 m B．10 m C．8 m D．7 m 答案　A 解析　如图所示，设GH为树干，其中H为树干底部，在△ABH中，∠AHB＝40°－30°＝10°，AB＝3.4，由正弦定理可得＝，则BH＝≈＝10， 在Rt△BGH中，∠GBH＝60°， 所以GH＝BHtan 60°＝10， 所以该伯乐树的高度为10 m. 6.【多选题】如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出AB的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则下列计算结果正确的有(　　) A．AC＝ km B．BC＝ km C．∠DBC＝45° D．AB＝ km 答案　CD 解析　在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°， 由正弦定理得BC＝·sin∠BDC＝·sin 30°＝. 在△ACD中，∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°. ∴AC＝DC＝. 在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45°＝＋－2×××＝.∴AB＝ km.故选CD. 7．一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°的方向上，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°的方向上，这时船与灯塔间的距离为________km. 答案　30 解析　如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，则∠ABC＝45°，AC＝60 km， 根据正弦定理，得 BC＝＝＝30(km)． 8.如图，测量河对岸的塔高AB时，选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________米． 答案　15 解析　在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°， 由正弦定理，得＝， 所以BC＝＝15(米)． 在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×tan 60°＝15(米)． 9.如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从点C可以观察到点A，B；找到一个点D，从点D可以观察到点A，C；找到一个点E，从点E可以观察到点B，C，并测量得到一些数据：CD＝2，CE＝2，∠D＝45°，∠ACD＝105°，∠ACB＝48.19°，∠BCE＝75°，∠E＝60°，则A，B两点之间的距离为________. 答案　 解析　依题意知，在△ACD中，∠A＝30°，由正弦定理得AC＝＝2. 在△BCE中，∠CBE＝45°，由正弦定理得BC＝＝3. 连接AB.在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos ∠ACB≈10， ∴AB≈. 10.如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内．在A点测得M，N的俯角分别为α1＝75°，β1＝30°，在B点测得M，N的俯角分别为α2＝45°，β2＝60°，同时测得AB＝ km. (1)求AM的长度； (2)求M，N之间的距离． 解析　(1)在△ABM中，∠AMB＝180°－(α1＋α2)＝60°， 由正弦定理可得＝，即AM＝＝2(km)． (2)∵∠ANB＝β2－β1＝30°，∠ABN＝180°－β2＝120°， ∴AB＝BN＝.∴AN＝3. 在△AMN中，∠MAN＝α1－β1＝45°. 由余弦定理得MN2＝AM2＋AN2－2AM·ANcos∠MAN，代入数据可得MN2＝4＋18－2×2×3×＝10，∴MN＝ km. 11．【多选题】甲、乙两楼相距20 m，从乙楼楼底仰望甲楼楼顶的仰角为60°，从甲楼楼顶望乙楼楼顶的俯角为30°，则下列说法正确的有(　　) A．甲楼的高度为20 m B．甲楼的高度为10 m C．乙楼的高度为m D．乙楼的高度为10 m 答案　AC 解析　如图所示，在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，BD＝20 m. ∴AD＝BDtan 60°＝20(m)，AB＝40 m， 在△ABC中，易知∠ABC＝30°，∠ACB＝120°，所以设AC＝BC＝x，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB，即1 600＝x2＋x2＋x2，解得x＝，因此甲、乙两楼的高度分别为20 m和 m．故选AC. 12.如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于(　　) A. B. C.－1 D.－1 答案　C 解析　在△ABC中，∠ACB＝45°－15°＝30°，∠ABC＝135°，则由正弦定理得＝，∴AC＝100 m. 在△ADC中，∠ADC＝θ＋90°，则＝， ∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝＝－1. 13．在某个位置测得某山峰仰角为θ，迎着山峰在地面上前进600 m后测得山峰的仰角为2θ，继续在地面上前进200 m以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为(　　) A．200 m B．300 m C．400 m D．100 m 答案　B 解析　如图，△BED，△BDC为等腰三角形， 则BD＝ED＝600 m，BC＝DC＝200 m. 在△BCD中，由余弦定理可得 cos 2θ＝＝， ∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°，4θ＝60°. 在Rt△ABC中，AB＝BCsin 4θ＝200×＝300(m)．故选B. 14.欲测量河宽即河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，受地理条件和测量工具的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选择A，B两个观测点，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，AB＝120米，由此可得河宽约为________米．(结果精确到1米，参考数据：≈2.45，≈1.41，sin 75°≈0.97) 答案　95 解析　如图所示． 在△ABC中，∠ACB＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理得＝，∴AC＝＝＝40， ∴S△ABC＝AB·AC·sin∠CAB＝×120×40×sin 75°≈5 703.6，∴C到AB的距离d＝＝≈95(米)． 15.如图，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物顶端的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，求建筑物的高度． 解析　设建筑物的高度为h m，由题图知， PA＝2h m，PB＝h m，PC＝h m， ∴在△PBA和△PBC中，由余弦定理，得 cos∠PBA＝，① cos∠PBC＝.② ∵∠PBA＋∠PBC＝180°， ∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③ 由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去)，即建筑物的高度为30 m. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$