6.4.3余弦定理、正弦定理（二）正弦定理（人教A版必修二）-2024-2025学年寒假高一数学同步练习（全国通用）

6.4.3余弦定理、正弦定理（二）正弦定理 1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. 2．在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝(　　) A．1 B．2 C. D. 3．在△ABC中，a＝1，b＝，A＝30°，则角B＝(　　) A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120° 4．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，若a＝2，b＝2，A＝60°，则角B＝(　　) A．45°或135° B．135° C．60° D．45° 5．在△ABC中，若＝，则C的值为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 6．【多选题】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(　　) A．若A＝60°，a＝9，b＝8，则△ABC有一解 B．若A＝30°，a＝3，b＝4，则△ABC有一解 C．若A＝60°，a＝15，b＝16，则△ABC有两解 D．若A＝45°，a＝，b＝，则△ABC有两解 7．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝(　　) A．2 B．2 C. D．1 8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝4，b＝5，c＝6，则＝(　　) A．1 B．2 C.　 D. 9．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝(　　) A. B. C. D. 10．在△ABC中，已知c＝10，a＝，A＝45°，则C＝________． 11．【多选题】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b(1＋2cos C)＝2acos C＋ccos A，则下列结论可能成立的是(　　) A．a＝2b B．b＝2a C．A＝2B D．C＝90° 12．在△ABC中，若b＝2，a＝2，且三角形有解，则A的取值范围是________． 13．锐角三角形的内角分别是A，B，C，并且A>B.则下列三个不等式中成立的是________． ①sin A>sin B； ②cos A<cos B； ③sin A＋sin B>cos A＋cos B. 14．在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解此三角形． 15．在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝________． 16．在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝2A. (1)求cos A的值； (2)求c的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.4.3余弦定理、正弦定理（二）正弦定理 1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. 答案　A 解析　根据正弦定理，得＝＝. 2．在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝(　　) A．1 B．2 C. D. 答案　B 解析　∵A＝105°，B＝45°，∴C＝30°.由正弦定理，得c＝＝＝2. 3．在△ABC中，a＝1，b＝，A＝30°，则角B＝(　　) A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120° 答案　B 解析　∵a＝1，b＝，A＝30°，根据正弦定理＝，可得sin B＝，∴B＝60°或120°.故选B. 4．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，若a＝2，b＝2，A＝60°，则角B＝(　　) A．45°或135° B．135° C．60° D．45° 答案　D 解析　由正弦定理可得sin B＝＝＝，由a>b，根据三角形中大边对大角可得B<A，可解得B＝45°.故选D. 5．在△ABC中，若＝，则C的值为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案　B 解析　由正弦定理，易知＝，∴＝，∴cos C＝sin C，∴tan C＝1，又∵C∈(0°，180°)，∴C＝45°.故选B. 6．【多选题】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(　　) A．若A＝60°，a＝9，b＝8，则△ABC有一解 B．若A＝30°，a＝3，b＝4，则△ABC有一解 C．若A＝60°，a＝15，b＝16，则△ABC有两解 D．若A＝45°，a＝，b＝，则△ABC有两解 答案　ACD 解析　因为sin B＝＝<1，b<a，所以B只能为锐角，所以△ABC有一解，A正确； 因为sin B＝sin A＝>1，所以△ABC无解，B错误； 因为sin B＝sin A＝<1，b>a，所以B可能为锐角，也可能为钝角，所以△ABC有两解，C正确； 因为sin B＝sin A＝，b>a，所以B＝60°或120°，所以△ABC有两解，D正确．故选ACD. 7．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝(　　) A．2 B．2 C. D．1 答案　B 解析　由正弦定理＝，得＝. 又∵B＝2A，∴＝＝. ∴cos A＝，又A∈(0，π)，∴A＝30°，B＝60°，C＝90°.∴c＝＝2. 8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝4，b＝5，c＝6，则＝(　　) A．1 B．2 C.　 D. 答案　A 解析　由余弦定理，得cos A＝＝＝，所以＝＝＝＝1. 9．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ＝2＋9－2××3×＝5，∴AC＝.由正弦定理，得＝，∴sin∠BAC＝＝＝. 10．在△ABC中，已知c＝10，a＝，A＝45°，则C＝________． 答案　60°或120° 11．【多选题】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b(1＋2cos C)＝2acos C＋ccos A，则下列结论可能成立的是(　　) A．a＝2b B．b＝2a C．A＝2B D．C＝90° 答案　AD 解析　由正弦定理可得sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，化简得sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin (A＋C)，即2sin Bcos C＝sin Acos C．若cos C＝0，即C＝90°，则上式成立；若cos C≠0，则2sin B＝sin A，∴a＝2b.故选AD. 12．在△ABC中，若b＝2，a＝2，且三角形有解，则A的取值范围是________． 答案　(0°，45°] 解析　要使三角形有解，则需2sin A≤2，∴sin A≤.又b>a，故A为锐角，∴A∈(0°，45°]． 13．锐角三角形的内角分别是A，B，C，并且A>B.则下列三个不等式中成立的是________． ①sin A>sin B； ②cos A<cos B； ③sin A＋sin B>cos A＋cos B. 答案　①②③ 解析　A>B⇔a>b⇔sin A>sin B，故①成立． 函数y＝cos x在区间(0，π)上是减函数， ∵A>B，∴cos A<cos B，故②成立． 在锐角三角形中，∵A＋B>， ∴0<－B<A<， 函数y＝sin x在区间上是增函数， 则有sin A>sin，即sin A>cos B， 同理sin B>cos A，故③成立． 14．在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解此三角形． 解析　∵＝，∴sin C＝＝＝. ∵C∈(0°，180°)，∴C＝60°或C＝120°. 当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1； 当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1.∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°. 15．在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝________． 答案　 解析　由正弦定理得＝，即＝，故sin∠ADB＝，即∠ADB＝45°，在△ABD中，B＝120°，∠ADB＝45°，所以∠BAD＝15°.由于AD是∠BAC的平分线，故∠BAC＝2∠BAD＝30°.在△ABC中，B＝120°，∠BAC＝30°，所以∠ACB＝30°，由正弦定理得＝.即＝，故AC＝. 16．在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝2A. (1)求cos A的值； (2)求c的值． 解析　(1)因为a＝3，b＝2，B＝2A， 所以在△ABC中，由正弦定理，得＝， 所以＝，故cos A＝. (2)由(1)知cos A＝，又A∈(0，π)， 所以sin A＝＝. 又因为B＝2A，所以cos B＝2cos2A－1＝. 又B∈(0，π)，所以sin B＝＝， 在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝.所以c＝＝5. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$