6.4.3余弦定理、正弦定理（二）正弦定理（第2课时）（人教A版必修二）-2024-2025学年寒假高一数学同步练习（全国通用）

6.4.3余弦定理、正弦定理（二）正弦定理（第2课时） 1．在△ABC中，已知a＝5，c＝10，A＝30°，则B等于(　　) A．105°　　　　 B．60° C．15° D．105°或15° 2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b＝a，A＝，那么cos B＝(　　) A.　　　 B．± C.　　　 D．± 3．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c为(　　) A．3∶1∶1 B．2∶1∶1 C.∶1∶1 D.∶1∶1 4．在△ABC中，若A＝60°，a＝2，则等于(　　) A．1 B．2 C．4 D．4 5．【多选题】在△ABC中，下列式子与的值相等的有(　　) A. B. C. D.(R为△ABC的外接圆半径) 6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acos B＋acos C＝b＋c，则△ABC的形状是(　　) A．等边三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 7．在△ABC中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则下列结论错误的是(　　) A.＝＝ B．a＝b⇔sin 2A＝sin 2B C.＝ D．sin A＝sin B⇔a＝b 8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝(　　) A. B．－ C．± D. 9．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a，则＝(　　) A．2 B．2 C. D. 10．在△ABC中，A＝60°，c＝2，且△ABC的面积为，则边a的长为(　　) A. B．3 C. D．7 11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝，a＝，sin2B＝2sin Asin C，则△ABC的面积S＝(　　) A. B．3 C. D．6 12．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b＋a(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，则C＝(　　) A. B. C. D. 13．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsin＝csin B，AC边上的高等于AC，则＝________． 14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B. (1)求证：A＝2B； (2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小． 15．△ABC的外接圆半径为R，C＝60°，则的取值范围是(　　) A．[，2] B．[，2) C．(，2] D．(，2) 16．已知在锐角△ABC中，2AC·sin A－BC＝0，点M在边AC上，若∠MBC＝∠MBA，AB＝4，BC＝3，则BM＝(　　) A. B. C. D. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.4.3余弦定理、正弦定理（二）正弦定理（第2课时） 1．在△ABC中，已知a＝5，c＝10，A＝30°，则B等于(　　) A．105°　　　　 B．60° C．15° D．105°或15° 答案　D 解析　由＝，得sin C＝＝＝.又∵c>a，∴C＝45°或135°，∴B＝105°或15°. 2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b＝a，A＝，那么cos B＝(　　) A.　　　 B．± C.　　　 D．± 答案　C 解析　由正弦定理得2sin B＝sin A，即sin B＝sin＝， 由b＝a<a，可得角B为锐角，所以cos B＝＝.故选C. 3．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c为(　　) A．3∶1∶1 B．2∶1∶1 C.∶1∶1 D.∶1∶1 答案　D 解析　由已知得A＝120°，B＝C＝30°， 根据正弦定理，得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝∶1∶1. 4．在△ABC中，若A＝60°，a＝2，则等于(　　) A．1 B．2 C．4 D．4 答案　C 解析　由正弦定理可知＝＝＝＝4， 所以a＝4sin A，b＝4sin B，c＝4sin C， 所以＝＝4.故选C. 5．【多选题】在△ABC中，下列式子与的值相等的有(　　) A. B. C. D.(R为△ABC的外接圆半径) 答案　CD 解析　取a＝3，b＝5，c＝4，显然≠，故A错误； 取a＝3，b＝5，c＝4，＝≠，故B错误； ∵＝＝＝2R，∴＝＝，故C、D正确．故选CD. 6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acos B＋acos C＝b＋c，则△ABC的形状是(　　) A．等边三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 答案　D 解析　∵acos B＋acos C＝b＋c，∴由正弦定理，得sin Acos B＋sin Acos C＝sin B＋sin C＝sin(A＋C)＋sin(A＋B)． 化简得cos A(sin B＋sin C)＝0. 又∵sin B＋sin C>0，∴cos A＝0，∴A＝， ∴△ABC为直角三角形． 7．在△ABC中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则下列结论错误的是(　　) A.＝＝ B．a＝b⇔sin 2A＝sin 2B C.＝ D．sin A＝sin B⇔a＝b 答案　B 解析　在△ABC中，由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，R为三角形外接圆半径， 故有＝＝，＝，故A、C成立； 若sin 2A＝sin 2B，则2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，即a＝b或a2＋b2＝c2，故B错误；a＝b等价于sin A＝sin B，故D成立．故选B. 8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝(　　) A. B．－ C．± D. 答案　A 解析　由＝，且8b＝5c，C＝2B，得5csin 2B＝8csin B，所以cos B＝.所以cos C＝cos 2B＝2cos2B－1＝. 9．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a，则＝(　　) A．2 B．2 C. D. 答案　D 解析　由正弦定理得sin2Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，即sin B＝sin A，所以＝.故选D. 10．在△ABC中，A＝60°，c＝2，且△ABC的面积为，则边a的长为(　　) A. B．3 C. D．7 答案　A 解析　由S△ABC＝，得bcsin A＝，即×2b×＝，∴b＝1. 由余弦定理得a2＝c2＋b2－2bc·cos A＝22＋12－2×2×1×＝3.∴a＝. 11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝，a＝，sin2B＝2sin Asin C，则△ABC的面积S＝(　　) A. B．3 C. D．6 答案　B 解析　由sin2B＝2sin Asin C及正弦定理，得b2＝2ac①， 又B＝，所以a2＋c2＝b2②. 联立①②解得a＝c＝，所以S＝××＝3. 12．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b＋a(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，则C＝(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由正弦定理可得sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0， 所以sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C＝0， 所以sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0，整理得sin C(sin A＋cos A)＝0.因为sin C≠0， 所以sin A＋cos A＝0，所以tan A＝－1， 因为A∈(0，π)，所以A＝，由正弦定理得 sin C＝＝＝，又0＜C＜，所以C＝. 13．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsin＝csin B，AC边上的高等于AC，则＝________． 答案　 解析　由正弦定理得sin Bsin＝sin Csin B，又sin B≠0，所以sin＝sin C，即sin＝cos＝sin C＝2sincos，又cos≠0，则sin＝. 又∈，则＝，即C＝.又AC边上的高等于AC，则S△ABC＝b·b＝absin C，即b＝a，则＝. 14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B. (1)求证：A＝2B； (2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小． 解析　(1)证明：由正弦定理，得sin B＋sin C＝2sin Acos B. 故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，于是sin B＝sin(A－B)． 又A，B∈(0，π)，故0<A－B<π， 所以B＝π－(A－B)或B＝A－B. 因此A＝π(舍去)或A＝2B. 所以A＝2B. (2)由S＝，得absin C＝. 故有sin Bsin C＝sin 2B＝sin Bcos B， 因为sin B≠0，所以sin C＝cos B. 又B，C∈(0，π)，所以C＝±B. 当B＋C＝时，A＝；当C－B＝时， ∵A＝2B，A＋B＋C＝π，∴A＝. 综上，A＝或A＝. 15．△ABC的外接圆半径为R，C＝60°，则的取值范围是(　　) A．[，2] B．[，2) C．(，2] D．(，2) 答案　C 16．已知在锐角△ABC中，2AC·sin A－BC＝0，点M在边AC上，若∠MBC＝∠MBA，AB＝4，BC＝3，则BM＝(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由正弦定理可得2sin∠ABC·sin A－sin A＝0，因为sin A≠0， 所以sin∠ABC＝，因为△ABC为锐角三角形，所以∠ABC∈，故∠ABC＝.由题知BM为∠ABC的平分线，又S△ABC＝S△ABM＋S△BCM， 故BA·BC·sin＝BA·BM·sin＋BC·BM·sin，解得BM＝.故选D. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$