条件概率与全概率公式 专项训练-2025届高三数学一轮专题复习

条件概率与全概率公式专项训练 条件概率与全概率公式专项训练 考点一 条件概率 1．（24-25高三上·浙江·阶段练习）若，，，则（     ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施打击，该构件有两个易损部位，每次打击后，部位损坏的概率为，部位损坏的概率为，则在第一次打击后就有部位损坏（只考虑两个易损部分）的条件下，两个部位都损坏的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习·多选）已知事件，，为随机事件，且，则（    ） A．若事件与事件对立，则 B．若，则事件与事件对立 C．若事件与事件独立，则 D．若，则事件与事件独立 4．（24-25高三上·福建福州·阶段练习·多选）已知函数，，其中a，b分别是将一枚质地均匀的骰子抛掷两次得到的点数，设“函数的值域为”为事件A，“函数为偶函数”为事件B，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川成都·模拟预测·多选）随机事件A，满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·江苏南通·期中·多选）随机事件A，B满足，则下列说法正确的是（    ） A．事件与互斥 B．事件A与相互独立 C． D． 7．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）第十五届中国国际航空航天博览会在2024年11月12日至17日在广东珠海举行.此次航展，观众累计参观近60万人次，签约金额超2800亿人民币.为庆祝这一盛会的成功举行，珠海某商场决定在航展期间举行“购物抽奖送航模”活动.盒中装有5个除颜色外均相同的小球，其中2个是红球，3个是黄球.每位顾客均有一次抽奖机会，抽奖时从盒中随机取出1球，若取出的是红球，则可领取“隐形战机歼-35A”模型，该小球不再放回；若取出的是黄球，则可领取“隐形战机歼-20S”模型，并将该球放回盒中.则在第2位顾客抽中“歼-20S”模型的条件下，第1位顾客抽中“隐形战机歼-35A”模型的概率为 . 8．（24-25高三上·上海·阶段练习）在标有数字的卡片中依次抽取两张，在第一张是偶数的条件下，第二张是奇数的概率是 ． 考点二 全概率公式与贝叶斯公式 1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）现有质量分别为千克的六件货物，将它们随机打包装入三个不同的箱子，每个箱子装入两件货物，每件货物只能装入一个箱子.则第一､二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量的概率是 . 2．（24-25高三上·天津河东·期末）某厂产品有的产品不需要调试就可以出厂上市，另的产品经过调试以后有能出厂，则该厂产品能出厂的概率 ；任取一出厂产品，求未经调试的概率 ． 3．（24-25高三上·天津河西·期末）甲袋中有2个白球4个黑球，乙袋中有4个白球2个黑球.若从两个袋中分别随机各取出一个球，则取出的是两个白球的概率是 ；若先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球，则取出的是白球的概率是 . 4．（24-25高三上·上海·阶段练习）某饮料厂生产两种型号的饮料，已知这两种饮料的生产比例分别为，，且这两种饮料中的碳酸饮料的比例分别为，，若从该厂生产的饮料中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率为 ． 5．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）设有甲、乙两个不透明的箱子，每个箱子中装有除颜色外其他都相同的小球，其中甲箱有4个红球和3个白球，乙箱有3个红球和2个白球.从甲箱中随机摸出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机摸出1个球. (1)求从乙箱中摸出白球的概率； (2)若从乙箱中摸出白球，求从甲箱中摸出2个红球的概率. 6．（24-25高三上·江苏常州·期中）某校由5名教师组成校本课程讲师团，其中2人有校本课程开设经验，3人没有校本课程开设经验.先从这5名教师中随机抽选2名教师开设校本课程，该期校本课程结束后，再从这5名教师中随机抽选2名教师开设下一期校本课程. (1)在第一次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数记为X，求X的分布列和数学期望； (2)求“在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是1”的概率. 考点三 全概率公式与马尔科夫链 1．（24-25高三上·湖北宜昌·阶段练习）某学校有，两家餐厅，王同学开学第1天（9月1日）午餐时去餐厅用餐的概率是.如果第1天去餐厅，那么第2天继续去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为，如此往复. (1)计算王同学第2天去餐厅用餐的概率. (2)记王同学第天去餐厅用餐概率为，求； 2．（24-25高三上·广东茂名·阶段练习）甲､乙口袋都有3个小球（1个黑球和2个白球）.现从甲､乙口袋中各随机取1个小球交换放入另外一个口袋（即甲口袋中的小球放入乙口袋，乙口袋中的小球放入甲口袋），重复次这样的操作后，记甲口袋中恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为. (1)求； (2)求； (3)求. 3．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）某学校食堂有两家餐厅，张同学第1天选择餐厅用餐的概率为．从第2天起，如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为；如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为．设他第天选择餐厅用餐的概率为． (1)求的值及关于的表达式； (2)证明数列是等比数列，并求出的通项公式． 4．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会.已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第次摸球抽中奖品的概率为． (1)求的值； (2)探究数列的通项公式，并求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程． 5．（2024·广西南宁·三模）夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是，若前一天选择绿豆汤，后一天继续选择绿豆汤的概率为，而前一天选择银耳羹，后一天继续选择银耳羹的概率为，如此往复． (1)求该同学第2天选择绿豆汤的概率； (2)记该同学第天选择绿豆汤的概率为，证明：为等比数列； (3)求从第1天到第10天中，该同学选择绿豆汤的概率大于选择银耳羹概率的天数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$条件概率与全概率公式专项训练 条件概率与全概率公式专项训练 考点一 条件概率 1．（24-25高三上·浙江·阶段练习）若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，可知，， 又，所以， 所以. 故选：D 2．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施打击，该构件有两个易损部位，每次打击后，部位损坏的概率为，部位损坏的概率为，则在第一次打击后就有部位损坏（只考虑两个易损部分）的条件下，两个部位都损坏的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解题分析记事件：第一次打击后就有部位损坏，事件两个部位都损坏， 则， 由条件概率公式可得. 故选：A 3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习·多选）已知事件，，为随机事件，且，则（    ） A．若事件与事件对立，则 B．若，则事件与事件对立 C．若事件与事件独立，则 D．若，则事件与事件独立 【答案】ACD 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，抛掷两次骰子，事件：第一次抛掷骰子的点数为2， 事件：第二次抛掷骰子的点数为奇数，事件：第二次抛掷骰子的点数大于3， 则，可知，但，不是对立事件，故B错误； 对于C，若事件与事件独立，则， 则，故C正确； 对于D，，从而， 则事件与事件独立，故D正确. 故选：ACD 4．（24-25高三上·福建福州·阶段练习·多选）已知函数，，其中a，b分别是将一枚质地均匀的骰子抛掷两次得到的点数，设“函数的值域为”为事件A，“函数为偶函数”为事件B，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】将一枚质地均匀的骰子抛掷两次出现的点数共有种情况， 由函数的值域为， 则，即， 满足的有，，共2种情况， 则，. 由函数为偶函数，得， 满足的有，，，，，共6种情况， 则. 对于A，满足事件A，B同时发生的有，共1种情况， 则，故A错误； 对于B，事件包含的有，，，，，， ，共7种情况，因此，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，满足事件，B同时发生的有，，，，， 共5种情况，因此，则，故D错误． 故选：BC. 5．（2024·四川成都·模拟预测·多选）随机事件A，满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】A.，所以，， 所以，故A错误； B.，故B错误； C.，故C正确； D.，， 所以，，故D正确. 故选：CD 6．（24-25高三上·江苏南通·期中·多选）随机事件A，B满足，则下列说法正确的是（    ） A．事件与互斥 B．事件A与相互独立 C． D． 【答案】ABC 【详解】因为与一定互斥，所以A对； 独立，B对． 对． 错， 故选：ABC 7．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）第十五届中国国际航空航天博览会在2024年11月12日至17日在广东珠海举行.此次航展，观众累计参观近60万人次，签约金额超2800亿人民币.为庆祝这一盛会的成功举行，珠海某商场决定在航展期间举行“购物抽奖送航模”活动.盒中装有5个除颜色外均相同的小球，其中2个是红球，3个是黄球.每位顾客均有一次抽奖机会，抽奖时从盒中随机取出1球，若取出的是红球，则可领取“隐形战机歼-35A”模型，该小球不再放回；若取出的是黄球，则可领取“隐形战机歼-20S”模型，并将该球放回盒中.则在第2位顾客抽中“歼-20S”模型的条件下，第1位顾客抽中“隐形战机歼-35A”模型的概率为 . 【答案】 【详解】解：设第1位顾客抽中“歼-35A”为事件，第2位顾客抽中“歼-20S”为事件， 则， 故， 所以在第2位顾客抽到“歼-20S”模型的条件下，第1位顾客抽到“歼-35A”模型的概率为. 故答案为： 8．（24-25高三上·上海·阶段练习）在标有数字的卡片中依次抽取两张，在第一张是偶数的条件下，第二张是奇数的概率是 ． 【答案】/0.75 【详解】设样本空间为事件，第一张是偶数为事件，第二张是奇数为事件， 则由题可得，， 共有20个样本点， 共有8个样本点， 共有6个样本点， 所以, 故答案为: . 考点二 全概率公式与贝叶斯公式 1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）现有质量分别为千克的六件货物，将它们随机打包装入三个不同的箱子，每个箱子装入两件货物，每件货物只能装入一个箱子.则第一､二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量的概率是 . 【答案】/ 【详解】由于六件货物的质量之和不是3的倍数，因而不可能出现三个箱子的总重量都相同的情况. 设事件表示存在两个箱子，它们的总质量相同且同时最小，事件表示第一､二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量. 由对称性，可得. 当发生时，这两个箱子的货物组合只能是和和和三种可能，故. 当不发生时，表示仅有一个箱子的总质量最小，于是由对称性，得. 故. 故答案为：. 2．（24-25高三上·天津河东·期末）某厂产品有的产品不需要调试就可以出厂上市，另的产品经过调试以后有能出厂，则该厂产品能出厂的概率 ；任取一出厂产品，求未经调试的概率 ． 【答案】 【详解】设事件表示产品能出厂上市，事件表示产品不需要调试，表示产品需要调试， 则有，，，， 由全概率公式可得： ； 由贝叶斯公式可得： . 故答案为：； 3．（24-25高三上·天津河西·期末）甲袋中有2个白球4个黑球，乙袋中有4个白球2个黑球.若从两个袋中分别随机各取出一个球，则取出的是两个白球的概率是 ；若先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球，则取出的是白球的概率是 . 【答案】 【详解】设从甲袋取出白球为事件A，再从乙袋取出白球为事件B， 若从两个袋中分别随机各取出一个球，则取出的是两个白球为事件 则，. ； 设“从甲袋中取出的一个球为白球”， “从甲袋中取出的一个球为黑球”， “从乙袋中取出的一个球为白球”， 根据全概率公式则有 . 故答案为：；. 4．（24-25高三上·上海·阶段练习）某饮料厂生产两种型号的饮料，已知这两种饮料的生产比例分别为，，且这两种饮料中的碳酸饮料的比例分别为，，若从该厂生产的饮料中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率为 ． 【答案】 【详解】从该厂生产的饮料中任选一瓶，记事件为：选到的为型号饮料；则事件为：选到的为型号的饮料； 记事件为：选到的饮料为碳酸饮料；则事件为：选到的饮料为非碳酸饮料； 由题意知：，，，， ， . 故答案为：. 5．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）设有甲、乙两个不透明的箱子，每个箱子中装有除颜色外其他都相同的小球，其中甲箱有4个红球和3个白球，乙箱有3个红球和2个白球.从甲箱中随机摸出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机摸出1个球. (1)求从乙箱中摸出白球的概率； (2)若从乙箱中摸出白球，求从甲箱中摸出2个红球的概率. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题意，从甲摸出2红球概率为，此时从乙摸出白球概率为， 从甲摸出2白球概率为，此时从乙摸出白球概率为， 从甲摸出红白球各一个的概率为，此时从乙摸出白球概率为， 所以从乙箱中摸出白球的概率为. （2）由（1）知，从乙箱中摸出白球情况下，甲箱中摸出2个红球的概率为. 6．（24-25高三上·江苏常州·期中）某校由5名教师组成校本课程讲师团，其中2人有校本课程开设经验，3人没有校本课程开设经验.先从这5名教师中随机抽选2名教师开设校本课程，该期校本课程结束后，再从这5名教师中随机抽选2名教师开设下一期校本课程. (1)在第一次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数记为X，求X的分布列和数学期望； (2)求“在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是1”的概率. 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为 (2) 【详解】（1）的可能取值为0,1,2， ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 其数学期望为. （2）用表示事件“在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是”， 用表示事件“第一次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是”， 两两互斥，， 由(1)知， 由全概率公式得， ， 所以在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是的概率为. 考点三 全概率公式与马尔科夫链 1．（24-25高三上·湖北宜昌·阶段练习）某学校有，两家餐厅，王同学开学第1天（9月1日）午餐时去餐厅用餐的概率是.如果第1天去餐厅，那么第2天继续去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为，如此往复. (1)计算王同学第2天去餐厅用餐的概率. (2)记王同学第天去餐厅用餐概率为，求； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设表示第1天去餐厅，表示第2天去餐厅，则表示第1天去餐厅， 根据题意得，，，， 所以. （2）设表示第天去餐厅用餐，则，， 根据题意得，， 由全概率公式得，， 即， 整理得，，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. 2．（24-25高三上·广东茂名·阶段练习）甲､乙口袋都有3个小球（1个黑球和2个白球）.现从甲､乙口袋中各随机取1个小球交换放入另外一个口袋（即甲口袋中的小球放入乙口袋，乙口袋中的小球放入甲口袋），重复次这样的操作后，记甲口袋中恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为. (1)求； (2)求； (3)求. 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）第1次换球后甲口袋有2个黑球，即从甲口袋取出的球为白球且从乙口袋取出的球为黑球， 则. 第1次换球后甲口袋有1个黑球，即从甲､乙口袋取出的球同为白球或同为黑球， 则. （2）若第2次换球后甲口袋有2个黑球，则分2种情况： ①当第1次换球后甲口袋有1个黑球时，第2次甲口袋取白球且乙口袋取黑球； ②当第1次换球后甲口袋有2个黑球时，第2次甲､乙口袋同取白球. 所以. 若第2次换球后甲口袋有1个黑球，则分3种情况： ①当第1次换球后甲口袋有0个黑球时，第2次甲口袋取白球且乙口袋取黑球； ②当第1次换球后甲口袋有1个黑球时，第2次甲､乙口袋同取白球或同取黑球； ③当第1次换球后甲口袋有2个黑球时，第2次甲口袋取黑球且乙口袋取白球. 所以. （3）第次换球后，甲口袋黑球的个数为1的情况： ①若第次换球后甲口袋有2个黑球，则第次甲口袋取黑球且乙口袋取白球； ②若第次换球后甲口袋有1个黑球，则第次甲､乙口袋同取黑球或同取白球； ③若第次换球后甲口袋有0个黑球，则第次甲口袋取白球且乙口袋取黑球. 所以 即. 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. 3．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）某学校食堂有两家餐厅，张同学第1天选择餐厅用餐的概率为．从第2天起，如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为；如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为．设他第天选择餐厅用餐的概率为． (1)求的值及关于的表达式； (2)证明数列是等比数列，并求出的通项公式． 【答案】(1)，． (2)证明见解析，． 【详解】（1）设“第天去餐厅用餐”，“第天去餐厅用餐”， 则，且与互斥．根据题意得 ， ， ， ， 即． （2） 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 从而． 4．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会.已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第次摸球抽中奖品的概率为． (1)求的值； (2)探究数列的通项公式，并求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程． 【答案】(1)， (2)，第二次，证明见解析 【分析】（1）根据全概率公式即可求解. （2）根据全概率公式分析得，再对分奇偶求解. 【详解】（1）记该顾客第次摸球抽中奖品为事件，依题意，，． . （2）因为， 所以， 所以， 所以， 又因为，则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故． 证明：当n为奇数时，， 当n为偶数时，，则随着n的增大而减小， 所以，． 综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大. 5．（2024·广西南宁·三模）夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是，若前一天选择绿豆汤，后一天继续选择绿豆汤的概率为，而前一天选择银耳羹，后一天继续选择银耳羹的概率为，如此往复． (1)求该同学第2天选择绿豆汤的概率； (2)记该同学第天选择绿豆汤的概率为，证明：为等比数列； (3)求从第1天到第10天中，该同学选择绿豆汤的概率大于选择银耳羹概率的天数． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)1天 【详解】（1）设表示第1天选择绿豆汤，表示第2天选择绿豆汤，则表示第1天选择银耳羹， 根据题意得，， 所以． （2）设表示第天选择绿豆汤，则， 根据题意得，， 由全概率公式得，， 即，整理得，，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列． （3）由（2）得，， 由题意，只需，即， 则，即， 显然必为奇数，为偶数时不成立， 当时，考虑的解， 当时，显然成立， 当时，，不成立， 由单调递减得，时，也不成立， 综上，该同学只有1天选择绿豆汤的概率大于选择银耳羹的概率． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$