第5章 特殊平行四边形 讲义 2024-2025学年浙教版八年级数学下册

第九讲 特殊平行四边形 知识 梳 理 矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 矩形的性质： 1.平行四边形的性质矩形都具有。 2.角：矩形的四个角都是直角。 3.边：邻边垂直。 4.对角线：矩形的对角线相等。 5.矩形是轴对称图形，又是中心对称图形。它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点。 由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 矩形的判定： 1.有1个角是直角的平行四边形是矩形。 2.有3个角是直角的四边形是矩形。 3.对角线相等的平行四边形是矩形(或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”)。 证明1个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证明这个四边形的对角线相等。题设中出现多个直角或垂直时，常采用“3个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形。 菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。 菱形的性质： 1.菱形具有平行四边形的一切性质。 2.菱形的四条边都相等。 3.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 4.菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线。 菱形的面积计算： 1.利用平行四边形的面积公式。 2.菱形面积 (a、b.是两条对角线的长度)。 菱形的判定： 1.一组邻边相等的平行四边形是菱形(平行四边形+一组邻边相等=菱形)。 2.四条边都相等的四边形是菱形。 几何语言:∵AB=BC=CD=DA, ∴四边形 ABCD 是菱形。 3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形(或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”)。 几何语言:∵AC⊥BD,四边形 ABCD是平行四边形, ∴平行四边形 ABCD 是菱形。 正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形。 正方形的性质： 1.正方形的四条边都相等，四个角都是直角。 2.正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角。 3.正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质。 4.两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴。 正方形的判定方法： 1.先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等。 2.先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角。 3.还可以先判定四边形是平行四边形，再用1 或2 进行判定。 【例1】如图1,在 Rt△ABC中,∠A=90°,P 为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,动点 P从点B 出发，沿着 BC匀速向终点C 运动，则线段EF的值大小变化情况是 ( )。 A.一直增大 B.一直减小 C.先减小后增大 D.先增大后减少 【变式训练1】如图2,在 Rt△ABC中,∠BAC=90°,且BA=3,AC=4,点 D是斜边BC上的一个动点,过点D 分别作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N,连接MN,则线段 MN的最小值为 。 【变式训练2】如图3,在 Rt△ABC中,∠BAC=90°,且BA=9,AC=12,点 D 是斜边 BC 上的一个动点,过点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点 F,点G为四边形DEAF 对角线交点,则线段GF的最小值为 ( )。 A. B. C. D. 【例2】如图4,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P是AD 上不与A 和D 重合的一个动点,过点 P 分别作AC和BD 的垂线,垂足为 E、F,求 PE+PF 的值。 【变式训练3】如图5： (1)在矩形 ABCD中, P 是线段AD 上的动点， 于点E， 于点 F，如图①，图②，选择其中一个图形，探究 PE、PF之间存在什么数量关系，并证明你的结论。 (2)若将“P是线段AD 上的动点”改成“P 是线段AD 延长线上一动点”，如图③所示，请继续探究PE、PF 之间存在什么数量关系? 并证明你的结论。 【例3】如图6,已知矩形ABCD,AB=4,AD=6,点 E为AB 边的中点,点 F 为BC 边上的动点,点 B 和点B'关于EF 对称,则 的最小值是 。 【变式训练4】如图7,在菱形 ABCD 中, 点 P 是平面内一点，且 则 DP的最小值为 。 【例4】如图8,在边长为4的菱形 ABCD中,BD=4,E、F分别是AD、CD上的动点(包含端点),且AE+ 连接BE、EF、FB。 (1)试探究 BE与BF 的数量关系，并证明你的结论； (2)求EF 的最大值与最小值。 【变式训练5】如图9，在边长为4 的菱形ABCD中， ,E、F分别是边AD、CD上的动点,且, 连接BE、EF、FB。 (1)证明: (2)求 面积的最小值。 【变式训练6】如图10,菱形ABCD中, 的两边分别与射线CB、DC 相交于点E、F,且 (1)如图①,当点 E是CB 上任意一点时(点 E 不与B、C重合),求证: (2)如图②,当点 E 在CB 的延长线上时,且. 求点 F 到BC 的距离。 【例5】如图11,四边形OABC是菱形,点C在x轴上,AB交y轴于点 H,AC交y轴于点M。点 P 从点A 出发，以2单位长/秒的速度沿折线. 运动，到达点C终止。已知点 ,设点 P 的运动时间为t(秒)， 的面积为S(平方单位)。 (1)求点 C 和点 B 的坐标; (2)求点 M 的坐标; (3)求S与t的函数关系式； (4)求S的最大值。 【变式训练7】如图12，在直角坐标系xOy中， 和 的直角顶点A，C始终在x轴的正半轴上，B，D在第一象限内，点B 在直线OD 上方，( ,M为OD 的中点,AB 与OD 相交于E，当点 B 位置变化时， AB的面积恒为 试解决下列问题： (1)点 D 坐标为( ); (2)设点 B横坐标为t，请把 BD长表示成关于t的函数关系式，并化简； (3)等式 能否成立? 为什么? (4)设CM与AB 相交于F,当 为直角三角形时，判断四边形 BDCF 的形状，并证明你的结论。 【变式训练8】如图13,在菱形 ABCD中, 点 Q 从点 D 出发沿折线DC→CA→AB以每秒3个单位长的速度匀速运动；点P 从点B 沿BC 以每秒1个单位长的速度匀速运动，射线 PK随点P 移动，保持与 BC垂直，且交折线AB-AC于点E，交直线AD于点F，当点Q运动到点B 时，停止运动，点P 也随之停止。P、Q两点同时出发，设Q运动的时间为t(s)。 (1)当t为何值时， (2)当t为何值时， (3)设直线 PK 扫过菱形ABCD 的面积为S，试求 S和t 之间的函数关系式； (4)当Q在线段CD 上运动时，请直接写出 为等腰三角形时t 的值。 【例6】菱形 ABCD 的周长为 8cm, ，以AB 为腰，在菱形外作底角是 的等腰 连接AC、CE。请画出图形，并直接写出. 的面积。 【变式训练9】如图14,在菱形 ABCD中, 点E 是AD 边上的一个动点(不与A、D重合), 交BC 于点 F,点G在CD 上,DG=DE。若△EFG是等腰三角形,则 DE 的长为 。 【变式训练10】如图15，已知点A 从点(1，0)出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向正方向运动，以O、A 为顶点作菱形OABC，使点 B、C在第一象限内，且 点 P 的坐标为(0,3),设点 A 运动了t 秒,求: (1)点C的坐标(用含 t的代数式表示)； (2)点A 在运动过程中，当t为何值时，使得△OCP 为等腰三角形? 【例7】(1)如图16中图①,在正方形ABCD中,E、F 分别是BC、CD上的点,且 ,试判断 BE、DF与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： 。 (2)如图②:在四边形 ABCD 中, 点 E、F分别是BC、CD上的点，且 探究图中线段 BE、EF、FD 之间的数量关系。 小王同学探究此问题的方法是，延长 FD 到点C，使. 连接 AG，先证明 再证明 ，可得出结论，他的结论应是 。 请你帮小王同学写出完整的证明过程。 【变式训练11】如图17,在正方形 ABCD中, 的两边分别交CB、DC延长线于 E、F 点且 45°,如果 BE=1,DF=7,则 EF= 。 【变式训练12】如图18,在正方形 ABCD中,点 M、N 为边 BC 和CD 上的动点(不含端点),∠MAN=45°，下列四个结论：①当 时,则∠BAM=22.5°;②2∠AMN-∠MNC=90°;③△MNC的周长不变;④∠AMN--∠AMB=60°。其中正确结论的序号是 。 【例8】如图19,在正方形 ABCD中,AB=3,点E、F分别在CD、AD上,CE=DF,BE、CF 相交于点G,连接 DG。点E从点C 运动到点D 的过程中，DG 的最小值为 。 【变式训练13】如图20,M、N是正方形ABCD 的边CD 上的两个动点,满足 AM=BN,连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是 。 【变式训练14】如图21,正方形 ABCD中,AB=3,点 E为对角线AC 上的动点,以 DE 为边作正方形DEFG。点 H 是CD 上一点,且 连接GH，则GH 的最小值为 。 【例9】已知△ABC,分别以 BC、AC为边向形外作正方形 BDEC,正方形 ACFG,过C点的直线MN 垂直于AB 于N,交EF 于M, (1)如图22,当∠ACB=90°时,试证明:①EF=AB;②M为EF 的中点; (2)如图23，当∠ACB为锐角或钝角时，①EF与AB 的数量关系为 (分情况说明)；②M还是EF 的中点吗? 请说明理由。(选择当∠ACB为锐角或钝角时的一种情况来说明) 【变式训练15】如图24,以△ABC 的边AB、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形 ACFG,连接EG，试判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由。 【变式训练 16】如图25 中的图①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC>BC,分别以AB、BC、CA 为一边向△ABC外作正方形ABDE、BCMN,CAFG,连接EF、GM、ND,设△AEF、△BND、△CGM 的面积分别为 (1)猜想 的大小关系； (2)请对(1)的猜想，任选一个关系进行证明； (3)若将图①中的 Rt△ABC改为图②中的任意△ABC,若 求出 的值； (4)若将图②中的任意△ABC改为任意凸四边形ABCD，若 则四边形 ABCD的面积为 。(直接用含a的代数式表示结果) 【例10】如图26,在正方形 ABCD中,E为AD 边上的中点,过A 作. 交CD 边于F,M是AD 边上一点，且有 (1)求证:点 F 是CD 边的中点; (2)求证: 【变式训练17】如图27，以 的斜边BC 为边在 的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果 求AC。 【变式训练18】如图28，四边形ABCD是正方形，点 N是CD 的中点，M是AD 边上不同于点A、D的点，若 求证:∠NMB=∠MBC。 第九讲 特殊平行四边形答案 【例1】解:如图,连接AP, ∵∠A=90°, PE⊥AB,PF⊥AC, ∴四边形 AFPE是矩形, ∴EF=AP, 由垂线段最短可得AP⊥BC时， AP 最短，则线段 EF的值最小， ∴动点 P 从点 B 出发，沿着 BC匀速向终点C 运动，则线段 EF的值大小变化情况是先减小后增大。 故选:C。 【变式训练1】解:∵∠BAC=90°,且BA=3,AC=4, ∵DM⊥AB,DN⊥AC, ∴∠DMA=∠DNA=∠BAC=90°, ∴四边形 DMAN 是矩形, ∴MN=AD, ∴当AD⊥BC时,AD的值最小, 此时，△ABC的面积 ∴MN的最小值为 故答案为： 【变式训练2】解:连接AD、EF, ∵∠BAC=90°,且 BA=9,AC=12, ∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠DEA=∠DFA=∠BAC=90°, ∴四边形 DEAF 是矩形, ∴EF=AD, ∴当AD⊥BC时,AD的值最小,此时，△ABC的面积 ∴EF 的最小值为 ∵点G为四边形DEAF 对角线交点， 故选:B。 【例2】解：连接OP，如图所示： ∵矩形ABCD的两边AB=3,BC=4, ∴S矩形ABCD=AB·BC=12,OA=OC,OB=OD,AC=BD, 矩形ABCD=3,OA=OD= 【变式训练3】(1)解: 理由如下： 设AP=x,PD=4-x。 ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC=90°,BD=AC, ∴由勾股定理得： ∵∠EAP=∠EAP,∠AEP=∠ADC; ∴△AEP∽△ADC, 即 同理可得△DFP∽△DAB, ∴PF= x②,①+②得 (2)解: 理由如下： ∵△APC的面积=△ADC的面积+△PDC的面积, ∴5PF=12+3PD, ∴5PF+12=5PE, 【例3】解:∵四边形 ABCD 是矩形,AB=4,AD=6,点 E 为AB 边的中点，点B 和点 B'关于EF 对称， ∴当点 B'在线段 DE上时，B'D 取得最小值，此时 故答案为： 【变式训练4】解:∵∠APB=90°, ∴点 P在以AB 为直径的圆上， 如图,设圆心为O,连接OP,OD,过点O作OH⊥AD,交 DA 延长线于点H， 在△OPD中,PD>OD-OP, ∴当点 P在OD 上时,DP有最小值, ∵在菱形ABCD中,AB=2,∠C=120°, ∴AO=1,∠BAH=60°, ∴DP的最小值 故答案为 【例4】解:(1)BE=BF,证明如下: ∵四边形ABCD是边长为4的菱形,BD=4, ∴△ABD、△CBD 都是边长为4的正三角形, ∵AE+CF=4, ∴CF=4-AE=AD-AE=DE, 又∵BD=BC=4,∠BDE=∠C=60°, 在△BDE和△BCF中 ∴△BDE≌△BCF(SAS), ∴BE=BF; (2)∵△BDE≌△BCF, ∴∠EBD=∠FBC, ∴∠EBD+∠DBF=∠FBC+∠DBF, ∴∠EBF=∠DBC=60°, 又∵BE=BF, ∴△BEF 是正三角形, ∴EF=BE=BF, 当动点 E运动到点 D 或点A 时，BE的最大值为4， 当 BE⊥AD,即E为AD 的中点时,BE的最小值为2 ∵EF=BE, ∴EF的最大值为4，最小值为2 【变式训练5】解:(1)BE=BF,证明如下: ∵四边形 ABCD 是边长为4 的菱形,BD=4, ∴△ABD、△CBD都是边长为4的正三角形, ∵AE+CF=4, ∴CF=4-AE=AD-AE=DE, 又∵BD=BC=4,∠BDE=∠C=60°, 在△BDE和△BCF中 ∴△BDE≌△BCF(SAS), ∴BE=BF; (2)∵△BDE≌△BCF, ∴∠EBD=∠FBC, ∴∠EBD+∠DBF=∠FBC+∠DBF, ∴∠EBF=∠DBC=60°, 又∵BE=BF, ∴△BEF 是正三角形, ∴EF=BE=BF, 当 BE⊥AD,即E为AD的中点时,BE的最小值为2 此时△BEF 的面积为： 【变式训练6】解:(1)证明:连接AC,如图①中, ∵∠BAC=∠EAF=60°, ∴∠BAE=∠CAE, 在△BAE和△CAF中 ∴△BAE≌△CAF, ∴BE=CF; (2)如图②中,过点A作AG⊥BC于点G,过点 F 作FH⊥EC于点 H, ∵∠EAB=15°,∠ABC=60°, ∴∠AEB=45°, 在 Rt△AGB中,∵∠ABC=60°,AB=4, 在 Rt△AEG中,∵∠AEG=∠EAG=45°, ∵△AEB≌△AFC, ∴AE=AF,EB=CF=2 -2, 在Rt△CHF中,∵ ∴点 F到BC 的距离为: 【例5】解:(1)∵A(-3,4), ∴AH=3,OH=4,由勾股定理得: ∵菱形OABC, ∴OA=OC=BC=AB=5, ∴BH=AB-AH=5-3=2, ∴B(2,4),C(5,0)。 (2)设直线AC的解析式是y= kx+b, 把A(-3,4),C(5,0)代入得 解得 ∴直线 AC的解析式为 当x=0时,y=2.5, ∴M(0,2.5)。 (3)过 M作MN⊥BC于N, ∵菱形OABC, ∴∠BAC=∠OCA, ∵MO⊥CO,MN⊥BC, ∴OM=MN, 当0≤t<2.5时,P在AB上. 当2.5<t≤5时,P在 BC上. 答：S与t的函数关系式是 或S= (4)当P在AB上时，高MH一定，只有BP取最大值即可，即P与A重合，S最大是 同理在BC上时，P与C重合时，S最大是 ∴s的最大值是 答：S的最大值是 【变式训练7】解： (2)由 Rt△OAB的面积为 ，得 (3)解法一:若OB=BD,则OB²=BD²。 在 Rt△OAB中, 由①得 解得 ∴此方程无解， ∴OB≠BD。 解法二:若OB=BD,则 B点在OD 的中垂线CM上。 ∵C( ,0),在等腰 Rt△OCM中,可求得 ∴直线CM的函数关系式为 由Rt△OAB 的面积为 ，得B点坐标满足函数关系式. 联立③,④得: ∴此方程无解， ∴OB≠BD。 解法三:若OB=BD,则 B点在OD 的中垂线CM上,如图①, 过点 B作BG⊥y轴于G,CM交y轴于H, 而 显然与S△HMO与S△OBG矛盾。 ∴OB≠BD。 (4)如果△BDE为直角三角形,因为∠BED=45°,①当∠EBD=90°时,此时F,E,M三点重合,如图②, ∵BF⊥x轴,DC⊥x轴, ∴BF∥DC, ∴此时四边形 BDCF 为直角梯形。 ②当∠EDB=90°时,如图③, ∵CF⊥OD, ∴BD∥CF,又AB⊥x轴,DC⊥x轴, ∴BF∥DC,. ∴此时四边形 BDCF 为平行四边形，下证平行四边形 BDCF 为菱形： 解法一:在△BDO中, [方法( ∵BD在OD 上方, 解得 或 (舍去), 得 [方法②]由②得 此时 ∴此时四边形 BDCF 为菱形。 解法二:在等腰 Rt△OAE与等腰 Rt△EDB中, ∵OA=AE=t,OE= t,!则 即 以下同解法一，此时 ∴此时四边形 BDCF 为菱形。 【变式训练8】解:(1)∵PF⊥BC,∠ABC=60°,AB=10, ∵E为PF 的中点, (2)当点 Q在DC 上时,3t-5=10-2t,t=3。 当点Q在AC上运动时，不可能， 当Q在AB上运动时,10-(10-t)-(3t-20)=5,t=7.5。 (3)在前5秒钟内，BP=t,PE= t, 在5秒后运动时，扫过的面积是梯形， (4)△PQF为等腰三角形时, 【例6】解:△ACE的面积为2或 ①如图,当∠ABE=90°时,∠EAB=∠ABC=45°, ∴AE∥BC,∴S△ACE=S△ABE, ∵菱形ABCD的周长为8cm, ∴AB=BE=2, ②如图,当∠BAE=90°时,作 CF⊥AB 于 F,连接 EF,则∠EAF=∠CFA=90°, ∴AE∥CF, ∵菱形 ABCD的周长为8cm, ∴AB=AE=BC=2, ∴Rt△BCF中, 【变式训练9】解:∵四边形 ABCD是菱形,∠B=120°, ∴∠D=∠B=120°, BC∥AD, ∵EF∥AB, ∴四边形 ABFE是平行四边形， ∴EF∥AB, ∠DEF=∠A=60°,∠EFC=∠B=120°, ∵DE=DG, ∴∠DEG=∠DGE=30°, ∴∠FEG=30°, 当△EFG为等腰三角形时， ①当EF=EG时, 如图①,过点 D作DH⊥EG于H, 在 Rt△DEH中, ②GE=GF时,如图②, 过点G作GQ⊥EF, 在 Rt△EQG中,∠QEG=30°, ∴EG=1, 过点 D作DP⊥EG于P, 同①的方法得， ③当EF=FG时,∴ 此时，点C和点G 重合，点F 和点B 重合，不符合题意， 故答案为：1或 【变式训练10】解:(1)过点C作CH⊥x轴于点H,根据题意得OA=1+t, ∵四边形OABC是菱形,∴OC=OA=1+t, ∵∠AOC=60°, ∴点C的坐标为： (2)①当以O为等腰三角形顶点时,OC=OP,∴1+t=3, ∴t=2; ②当以C为等腰三角形顶点时，PC=OC，则 即 解得 ③当以 P为等腰三角形顶点时,OP=PC,∠POC=30°, 综上可知，当 时，均可使得△OCP为等腰三角形。 【例7】解:(1)结论:EF=BE+DF。理由如下: 如图①中,在正方形ABCD中,∵AB=AD,∠BAD=∠ADC=∠B=90°, 把△ABE绕点A 逆时针旋转90°得到△ADE', ∴点 F、D、E'共线, 在△AFE和△AFE'中, ∴△AFE≌△AFE'(SAS), (2)结论:EF=BE+DF成立。理由如下: 如图②中，因为AB=AD，所以可以将△ABE 绕点A 旋转到△ADG位置, ∵∠B+∠ADF=180°,∠B=∠GDA, ∴∠GDA+∠ADF=180°, ∴G、D、F共线, ∵∠BAE+∠DAF=∠EAF=60°,∠GAD=∠BAE, ∴∠GAF=∠EAF, 在△FAE和△FAE'中, ∴△FAE≌△FAG(SAS),EF=FG=DG+DF=BE+DF。 【变式训练11】解:如图,把△ABE绕点A 逆时针旋转90°到 DA,交CD于点G, 由旋转的性质可知,AG=AE,DG=BE,∠DAG=∠BAE, ∵∠EAF=45°, ∴∠DAG+∠BAF=45°, 又∵∠BAD=90°, ∴∠GAF=45°, 在△AEF和△AGF中, ∴△AEF≌△AGF(SAS), ∴EF=GF, ∵BE=1,DF=7, ∴EF=GF=DF-DG=DF-BE=7-1=6,故答案为：6。 【变式训练12】解:①:∵正方形 ABCD中,AB=AD,∠B=∠ADC=∠C=90°, 当 MN= MC时,MN²=2MC², ∴MC²=NC², ∴MC=NC, ∴BM=DN, ∴△ABM≌△ADN(SAS), ∴∠BAM=∠DAN, ∵∠MAN=45°, ∴∠BAM=22.5°,故①正确; ②:如图,将△ABM绕点A 顺时针旋转90°得△ADE, 则∠EAN=∠EAM-∠MAN=90°-45°=45°, 则在△EAN 和△MAN中 ∴△EAN≌△MAN(SAS),∴∠AMN=∠AED, ∴∠AED+∠EAM+∠ENM+∠AMN=360°, ∴2∠AMN+90°+(180°-∠MNC)=360°, ∴2∠AMN-∠MNC=90°,故②正确； ③:∵△EAN≌△MAN, ∴MN=EN=DE+DN=BM+DN, ∴△MNC的周长为: MC+NC+MN=(MC+BM)+(NC+DN)=DC+BC, ∵DC和BC均为正方形ABCD 的边长,故△MNC 的周长不变，故③正确； ④如图,将△ADN 绕点A 逆时针旋转90°得△ABF, ∴∠MAF=90°-∠MAN=45°, ∴∠MAN=∠MAF,在△MAN和△MAF中, ∴△MAN≌△MAF(SAS), ∴∠AMN=∠AMB,故④错误。 综上①②③正确。 故答案为:①②③。 【例8】解:如图, ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴BC=CD,∠BCE=∠CDF=90°, ∵CE=DF, ∴△BCE≌△CDF(SAS), ∴∠EBC=∠FCD, ∵∠FCD+∠BCG=90°, ∴∠CBE+∠BCG=90°, ∴∠CGB=90°, ∴点G的运动轨迹是以 BC 为直径的⊙O，当O，G，D共线时，DG 的值最小，最小值 故答案为： 【变式训练13】解：如图， 在正方形ABCD中,AD=BC=CD, ∠ADC=∠BCD,∠DCE=∠BCE, 在 Rt△ADM 和 Rt△BCN 中, ∴Rt△ADM≌Rt△BCN(HL), ∴∠DAM=∠CBN, 在△DCE 和△BCE中. ∴△DCE≌△BCE(SAS), ∴∠CDE=∠CBE, ∴∠DAM=∠CDE, ∵∠ADF+∠CDE=∠ADC=90°, ∴∠DAM+∠ADF=90°, ∴∠AFD=180°-90°=90°, 取AD的中点O,连接OF、OC,则 在Rt△ODC中, 根据三角形的三边关系，OF+CF>OC， ∴当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，最小值 故答案为： 3-3。 【变式训练14】解:连接CG,∵四边形 ABCD 是正方形,四边形 DEFG是正方形， ∴DA=DC,DE=DG,∠ADC=∠EDG=90°,∠DAC=45°, ∴∠ADE=∠CDG, ∴△ADE≌△CDG(SAS), ∴∠DCG=∠DAE=45°, ∴点G的运动轨迹是射线CG，根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小， ∴CH=CD-DH=3-2=1, ∴最小值 故答案为：22. 【例9】解:(1)①由题意得:CA=CF,CB=CE,∠ACB=∠FCE, ∴△ECF≌△BCA,∴EF=AB; ②∵∠CAN+∠CBN=90°,∠BCN+CBN=90°, ∴∠CAN=∠CBN, 又∵∠CBN=∠MCF,∴∠MCF=∠CAN,由①知△ECF≌△BCA, ∴∠CAN=∠MFC,故∠MCF=∠MFC, ∴MC=MF,同理得ME=MC,即得M为EF 的中点。 (2)①当∠ACB为锐角时,EF>AB,当∠ACB为钝角时,EF<AB,②过F作FH∥CE交MN 于 H, ∵∠HCF+∠ACN=90°,∠CAN+∠ACN=90°, ∴∠HCF=∠CAN, ∵∠HFC+∠FCE=180°,∠ACB+∠FCE=180°, ∴∠HFC=∠ACB, 又∵FC=CA,∴△HCF≌△BCA, ∴BC=HF=EC, ∴FH∥CE,且 HF=EC, ∴四边形CEHF 是平行四边形， ∴M为EF 的中点。 【变式训练15】解:△ABC和△AEG的面积相等。 理由:过C作CH⊥AB于 H,过G作GO⊥EA交 EA延长线于O,则∠O=∠CHA=90°, ∴∠EAG+∠GAO=180°, ∵四边形ABDE 和四边形ACFG 是正方形, ∴AE=AB,AC=AG,∠EAB=∠GAC=90°, ∴∠GAO=∠CAH, 在△AGO和△ACH中 ∴△AGO≌△ACH(AAS),∴GO=CH, ∴△ABC和△AEG的面积相等。 【变式训练16】解:(1)猜想: (2)如图①,延长 FA,过点 E作EH⊥FA 于 H,由已知:∠BAE=∠CAH=90°, ∴∠CAB=∠HAE, ∵∠ACB=∠AHE=90°,AE=AB, ∴△HAE≌△CAB, ∴EH=BC, 同理： (3)如图②, 分别过点G和A 作GQ⊥MC于Q,AP⊥BC于P, 由已知:∠GCA=∠QCB=90°, ∴∠GCQ=∠ACP, 又∵∠GQC=∠APC=90°,GC=AC, ∴△GCQ≌△ACP, ∴GQ=AP, 同理： (4)如图③,连AC, 由(3)可知, S四边形ABCD, 同理:S△AEC+S△CNK=S四边形ABCD, 2S四边形ABCD, ∴2S四边形ABCD=a, ∴四边形 ABCD的面积为 a,故答案为： a。 【例10】解:(1)证明:∵正方形 ABCD, ∴AD=DC=AB=BC, ∠C=∠D=∠BAD=90°,AB∥CD, ∵AF⊥BE, ∴∠EAF+∠AEB=90°,∠EAF+∠BAF=90°, ∴∠AEB=∠BAF, ∵AB∥CD, ∴∠BAF=∠AFD, ∴∠AEB=∠AFD, ∵∠BAD=∠D,AB=AD, ∴△BAE≌△ADF, ∴AE=DF, ∵E为AD边上的中点， ∴点 F是CD边的中点； (2)证明:延长AD到G.使MG=MB,连接FG,FB, ∵BM=DM+CD, ∴DG=DC=BC, ∵∠GDF=∠C=90°,DF=CF, ∴△FDG≌△FCB(SAS), ∴∠DFG=∠CFB, ∴B,F,G共线, ∵E为AD 边上的中点,点 F是CD边的中点,AD=CD, ∴AE=CF, ∵AB=BC,∠C=∠BAD=90°,AE=CF, ∴△ABE≌△CBF,∴∠ABE=∠CBF, ∵AG∥BC, ∴∠AGB=∠CBF=∠ABE, ∴∠MBC=∠AMB=2∠AGB=2∠GBC=2∠ABE, ∴∠MBC=2∠ABE。 【变式训练17】解:在AC上截取CG=AB=4,连接OG, ∵四边形 BCEF是正方形， ∠BAC=90°, ∴OB=OC,∠BAC=∠BOC=90°, ∵∠AHB=∠OHC, ∴∠ABO=∠ACO, 在△BAO和△CGO中, ∴△BAO≌△CGO(SAS), ∴OA=OG=6 ,∠AOB=∠COG, ∵∠BOC=∠COG+∠BOG=90°, ∴∠AOG=∠AOB+∠BOG=90°,即△AOG是等腰直角三角形,由勾股定理得： 即AC=12+4=16。 【变式训练18】解：证明：证法一：如图， 分别延长 BC、MN 相交于点E,设 AM=1, ∵四边形ABCD是正方形， ∴DM=AD-AM=2, 且 在Rt△DMN中, 又∵∠MDN=∠ECN=90°,∠MND=∠ENC, ∴△MDN≌△ECN(ASA), ∴CE=MD=2,NE=MN= ∴ME=MN+NE=5,BE=BC+CE=5, ∴ME=BE, ∴∠NMB=∠MBC; 证法二：设 AM=1，同证法 如图,将△ABM绕点A 顺时针旋转90°得到△BCE,连接ME, ∵∠BCE=∠BCD=90°, ∴∠NCE是平角,即点 N、C、E三点共线, ∴∠BMA=∠BEC,CE=AM=1、BE=BM, ∴∠BME=∠BEM, ∴∠NME=∠NEM, ∴∠BME+∠NME=∠BEM+∠NEM, ∴∠BMN=∠BEC=∠AMB, 又∵∠AMB=∠MBC, ∴∠BMN=∠MBC。 学科网（北京）股份有限公司 $$