培优训练第一讲 二次根式的运算求值2024－2025学年浙教版数学八年级下册

第一讲 二次根式的运算求值 知识梳理 要点诠释 二次根式的运算： 乘除运算法则用式子可以表达为： 加法运算可以参照整式的运算进行，因为整式的运算法则和方法同样适用于二次根式。 二次根式的运算本身就已经隐含了一种开方运算(带有根号)，再加上其他的一些运算比较复杂且有一定的灵活性，所以难度相对大些。在运算过程中，一要注意运算顺序，比如，在二次根式的加减运算中，一般是先化简，再进行加减；而在二次根式的乘除运算中，一般是先乘除，再化简。二要运用有关法则，结果要把二次根式化简。 【例1】计算: 【变式训练1】计算： 【变式训练2】计算： 【例2】计算: 【变式训练 3】计算题： 【变式训练4】计算： 的值等于 ( )。 【例3】阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式运算时，有时会碰上如 这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简过程叫作分母有理化。 还可以用以下方法化简： (1)请用其中一种方法化简 (2)化简 【变式训练5】计算： 【变式训练6】分母有理化： ( )。 【例4】若 则 【变式训练7】当 时，求多项式 的值。 【变式训练 8】当 时，求代数式 的值。 【例5】若 的整数部分为a，小数部分为b，求( 的值。 【变式训练 的整数部分为 M，小数部分为 N，求 的值。 【变式训练 10】设 的整数部分为a，小数部分为b，试求 的值。 【例6】已知 那么a、b、c的大小关系是 ( )。 A. a<b<c B. a<c<b C. b<a<c D. b<c<a 【变式训练 11】已知 试比较a、b、c的大小关系。 【变式训练 12】请你猜想： 与 (n是大于1的整数)的大小关系，并加以证明。 【例7】化简: 【变式训练13】 【变式训练14】设 M、x、y均为正整数，且 求 的值。 【例8】计算: 【变式训练 15】计算： 【变式训练16】化简： 【例9】求✔1998×1999×2000×2001+1白的值。 【变式训练17】若 ，那么p 的值是多少? 【例10】求根式 的值。 【变式训练18】求根式 的值。 答案 【例1】解：原式 =2-3-0+3 =2。 【变式训练1】解：原式： 【变式训练2】解：原式 【例2】解：原式 【变式训练3】解：(1)原式 (2)原式 【变式训练4】 解：原式 故选:A。 【例3】解:(1)原式 (2) 原 式 【变式训练 5】解：原式 【变式训练6】解：原式 故选:C。 【例4】解:当 时， 原式 =a(a+1)(a-1)+1 故答案为： 【变式训练7】解： 两边平方得 即 故答案为：-1。 【变式训练8】解： =1。 【例5】解: 【变式训练9】解： 的整数部分为M，小数部分为 N， ∴198M+9N+N²=N(N+9)+198M, 将 M，N的值代入得 1980+9=1989。 【变式训练 10】解: 则可得 【例6】解: 因此b<a<c。 故选:C。 【变式训练 11】解:· ∵a>0,b>0,c>0, ∴a>b>c。 【变式训练 12】解: 理由如下： 而 而 【例7】解:原式: 故本题答案为：2 【变式 训 练 13】解: =3-1 =2。 故答案为：2。 【变式训练14】解：由题意设得 ∵x,y,M均为正整数, ∴xy=7,又∵x>y, 又∵M=x+y=8, ∴x+y+M=16。 故答案为：16。 【例8】解：原式 【变式训练15】解： 【变式训练16】解：原式 【例9】解:设k=2000, 原式 当k=2000时,原式=1998999.5。 故本题答案为:1998999.5。 【变式训练17】解:∵1999×2000×2001×2002+1, =[1999×(1999+3)]×[(1999+1)×(1999+2)]+1 1 =--3×1999-8 =-6005。 故答案为:-6005。 【例10】解;设 则 两边平方得 即 两边再平方得 所以 观察发现，当x=-1，2时，方程成立。 因此，方程左端必有因式(x+1)(x-2)，将方程左端因式分解，有 又∵0<x<2, 应舍去， 即原式 【变式训练18】解：设 两边平方得即 解得t=2或-1, ∵t>0, ∴t=2, 即 学科网（北京）股份有限公司 $$