专题03 三角函数和解三角形-2025年高三数学寒假作业

03 三角函数与解三角形（A卷） 一、多选题 1．已知的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的最小正周期为π C．在内有3个极值点 D．当时，与的图象有3个交点 1．ABD 【分析】由题设结合图以及周期公式即可判断AB；由求出，从而可得函数解析式，再由极值点定义结合正余弦函数性质数形结合即可判断CD. 【详解】对于AB，由图可知，即， 所以的最小正周期为π，故AB正确； 对于C， ，所以， 所以，所以即， 又，所以，所以， 若，则， 所以由函数性质可知函数在内有2个极值点，故C错误； 对于D，在同一坐标系中作出函数和在上的图象如图所示： 由图可知当时，与的图象有3个交点，故D正确. 故选：ABD. 2．已知函数的图象如图所示，的导函数为，令，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数图象的对称轴方程为 C．函数在区间上有2024个零点 D．函数与的图象关于点对称 2．AD 【分析】首先根据图象求得，即可得，再结合正余弦函数的性质依次判断各项的正误. 【详解】由图象知，设的最小正周期为，则，解得， 由图得，又，所以，故， 从而； A，，正确； B，由，得， 所以函数图象的对称轴方程为，错误； C，由，得，故，即，， 故在区间上有零点2025个，错误； D，若函数与的图象关于点对称，则恒成立， 即，又，， 则，应用和差化积公式可得， 故，得， 所以函数与的图象关于成中心对称，正确． 故选：AD 【点睛】关键点点睛：对于D，假设存在，整理得，进而找到满足要求的点为关键. 二、解答题 1．记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)若，点在线段上，且，，求 (1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，利用正弦定理结合两角和与差的正弦公式化简得到，即，再利用正弦定理求解； （2）由，结合（1）得到，由，设，，分别在和中，利用正弦定理联立得到，从而求得，然后分别在和中，利用余弦定理联立求解. 【详解】（1）解：由正弦定理得， 即， 所以， 又，所以， 由正弦定理可得． （2）因为，结合（1）可知， 由可设，， 如图所示： 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 又，所以， 即， 解得， 所以， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 两式进行相除，解得． 2.．设的内角，，所对的边分别为，且. (1)求 (2)若，求的周长; (3)如图，点是外一点，设，且，记的面积，求关于的关系式，并求的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理可知，， 所以， 所以，即. 由余弦定理，所以. （2）因为，所以等号两边同时平方可得，. 又由（1）知，所以，即，所以， 所以的周长为. （3）由正弦定理可得，，即， ，即. 因为四边形的内角和为，且，所以， 所以.     ，记， 令， 则. 因为在中，所以，所以， 所以当时，单调递增. 当，即时，；当，即时，， 则，所以. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造函数，再求导函数得出函数的单调性，进而得出函数的最值得出面积的范围. 03 三角函数与解三角形（A卷） 1、 单选题 1．若对于任意的实数都有成立，则的值可能是（    ） A． B． C． D．01．A 【分析】利用两角和差公式和诱导公式求解即可. 【详解】， 故，即， 当时， 故选：A 2．已知函数，且是奇函数，则（   ） A． B． C． D． 2．A 【分析】分析可知，可求出的值，然后利用辅助角公式化简函数的解析式，验证为奇函数即可. 【详解】因为函数为奇函数，即， 且函数的定义域为，所以，， 可得，解得， 所以，， 则为奇函数，合乎题意. 因此，. 3．函数的图象向左平移个单位得到函数图象，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图像的平移变化，得平移后函数图像. 【详解】由的图象向左平移个单位得到图像， 所以. 故选：D 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用诱导公式求得结果. 【详解】由，得. 故选：D 5．已知，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数值的范围结合指数函数和对数函数的单调性可得三者大小关系. 【详解】因为，故，故， 而，， 故， 故选：A 6．已知函数的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数的最小值是（   ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】根据正切型函数的周期公式可得求解. 【详解】由题可知，是该函数的周期的整数倍，即，解得，又，故其最小值为. 故选：A 7．函数，的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的图象在的部分都在轴上方，即可判断. 【详解】对任意，有，所以. 这表明的图象在的部分都应在轴上方，只有D符合题意. 故选：D. 2、 填空题 8． 在中，若，则 . 【分析】利用同角三角函数的平方关系与商数关系计算即可. 【详解】由题意可知， 所以，即， 所以. 故选：. 9． 已知函数在区间上的值域为，且，则的值为 . 【分析】利用整体代入法，结合正弦函数的图像求解即可. 【详解】，故， 因为在区间上的值域为， 且，故必有 ， 如图所示，则故 故答案为： 3、 解答题 10.已知中，角的对边分别为，且. (1)求； (2)若的面积为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理即可得解； （2）利用三角形面积公式与题干条件得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】（1）因为，即， 所以， 又，所以. （2）因为的面积为，， 所以，所以， 又，，所以，即， 化简得，解得， 又，所以. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$夏津县双语中学高三数学寒假作业 班级_______________ 姓名_______________ 03 三角函数与解三角形（A卷） 一、多选题 1．已知的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的最小正周期为π C．在内有3个极值点 D．当时，与的图象有3个交点 2．已知函数的图象如图所示，的导函数为，令，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数图象的对称轴方程为 C．函数在区间上有2024个零点 D．函数与的图象关于点对称. 二、解答题 1．记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)若，点在线段上，且，，求 2.．设的内角，，所对的边分别为，且. (1)求 (2)若，求的周长; (3)如图，点是外一点，设，且，记的面积，求关于的关系式，并求的取值范围. 03 三角函数与解三角形（A卷） 1、 单选题 1．若对于任意的实数都有成立，则的值可能是（    ） A． B． C． D．01．A 2．已知函数，且是奇函数，则（   ） A． B． C． D． 3．函数的图象向左平移个单位得到函数图象，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数的最小值是（   ） A． B． C． D．8 7．函数，的图象是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 8． 在中，若，则 . 9． 已知函数在区间上的值域为，且，则的值为 . 3、 解答题 10.已知中，角的对边分别为，且. (1)求； (2)若的面积为，求. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$