专题02 函数导数-2025年高三数学寒假作业

02 函数导数（B卷） 一、单选题 1．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵函数在上单调递减，且，，即. ∵函数在上单调递增，且，，即. . 故选：C. 2．函数的导数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ． 故选：B. 3．曲线在处的切线经过点，则实数的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】，由导数几何意义知， 在处的切线斜率为， 当时，切线经过点，故有，解得. 故选：C． 4．函数的最小值为（    ） A． B．12 C．9 D． 【答案】A 【详解】解法一：因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为. 解法二：由题意知， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的最小值为. 故选：A. 5．在曲线上切线的倾斜角为的点的坐标为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据条件，利用导数的几何意义，即可求解. 【详解】由题知切线的斜率，设切点为，则， 又，所以，解得或，当时，，时，， 所以切点坐标为或． 故选：D． 6．对任意的，有，，则函数的解析式可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设有且为常数，结合已知函数值求参数，即可得解析式. 【详解】由，知且为常数， 又，得，故． 故选：B 7．若函数在上有小于0的极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出导数，再按与分类，结合极值点列式求出范围. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 当时，恒成立，函数在上单调递增，无极值； 当时，由，得；由，得， 因此为的极值点，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 二、填空题 8．已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题得定义域为R，， 所以时，；时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又函数在区间上不单调， 所以，故m的取值范围是. 故答案为：. 9．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 【答案】 【分析】利用导数的几何性质求解即可. 【详解】由题意可得， 设直线与曲线的切点为，则 又切点在曲线上，所以，联立解得，即. ，设直线与曲线的切点为， 所以，又， 联立两式，解得. 故答案为：2 三、解答题 10．已知函数． (1)设是的极值点．求的值，并讨论的零点个数； (2)证明：当时，． 【答案】(1)，有两个零点 （2）对函数求导得出其单调性求出的最小值，可证明得出结论. 【详解】（1）的定义域为， ， 由题设知，，所以， 从而， 当时，；当时，， 可得在上单调递减，在上单调递增， ， 由易知，由零点存在定理可得函数有两个零点 （2）证明：当时，； 设，则， 当时，；当时，， ∴是的极小值点，也是最小值， 故当时，， 因此，当时， 02 函数导数（A卷） 四、多选题 11．设函数，则（   ） A．当时，的图象关于点对称 B．当时，方程有个实根 C．当时，是的极大值点 D．存在实数，恒成立 【答案】ABD【详解】对于A选项，当时，， 因为，所以，， 所以的图象关于点对称，故A正确； 对于B选项，当时，，则， 令，可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 所以，，又因为，如下图所示： 由图可知，直线与函数的图象由三个交点， 即时，方程有个实根，故B正确； 对于C选项，， 当时，，此时函数在上单调递增，故C错误； 对于D选项，当时，函数在上单调递增，此时恒成立，故D正确． 故选：ABD． 12．已知，则（   ） A． B． C．， D．， 【答案】ACD 【详解】对A，的最小正周期为，，故A正确； 对B，因为，不是奇函数，故B错误； 对C，，，，，故C正确； 对D，，当时，则，则D正确. 故选：ACD. 13．已知是定义在上的奇函数，其导函数为，且，则（    ） A．为偶函数 B．在上单调递增 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，结合复合函数求导及奇偶性定义判断A；求出及其导数的解析式依次判断BCD. 【详解】对于A，由是定义在上的奇函数，得，求导得， 即，因此函数为偶函数，A正确； 由，得，即， 解得，， 对于B，，因此在上单调递增，B正确； 对于C，，，即，C错误； 对于D，当时，， 求导得，函数在上单调递增，， 因此，D正确. 故选：ABD 五、解答题 14．已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)若有且只有1个极小值点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用导数求得函数的单调性，即可求得函数的最大值； （2）求出导数，分，，，讨论判断单调性，求解. 【详解】（1）当时，，， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在时取最大值，最大值为． （2），， 则， 当时，，所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以无极小值点，不符合题意； 当时，，在，上，，单调递增； 在上，，单调递减， 所以当时，取得极小值，且只有一个，符合题意； 当时，，所以单调递增，不存在极小值点，不符合题意； 当时，，在，上，，单调递增； 在上，，单调递减， 此时当时，取得极小值，且只有一个，符合题意． 综上，的取值范围为． 15．已知函数． (1)时，求的极值； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)函数取得极大值，无极小值； (2) 【分析】（1）首先利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值； （2）利用参变分离，转化为，恒成立，再转化为利用导数求函数的最值问题. 【详解】（1）当时，，， ，得， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以当时，函数取得极大值，无极小值； （2）由题意可知，， 即恒成立，即，恒成立， 设，， 设，， ， 设，所以，得（负值舍去）， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以的最大值为，即恒成立， 所以单调递减，且， 所以当时，，即，单调递增，当时，，即，单调递减， 所以的最大值为， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$夏津县双语中学高三数学寒假作业 班级_______________ 姓名_______________ 02 函数导数（B卷） 1、 单选题 1．设，则（    ） A． B． C． D． 2．函数的导数为（    ） A． B． C． D． 3．曲线在处的切线经过点，则实数的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 4．函数的最小值为（    ） A． B．12 C．9 D． 5．在曲线上切线的倾斜角为的点的坐标为（   ） A． B． C． D．或 6．对任意的，有，，则函数的解析式可以为（   ） A． B． C． D． 7．若函数在上有小于0的极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 ． 9．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 三、解答题 10．已知函数． (1)设是的极值点．求的值，并讨论的零点个数； (2)证明：当时，． 02 函数导数（A卷） 一、多选题 1．设函数，则（   ） A．当时，的图象关于点对称 B．当时，方程有个实根 C．当时，是的极大值点 D．存在实数，恒成立 2．已知，则（   ） A． B． C．， D．， 3．已知是定义在上的奇函数，其导函数为，且，则（    ） A．为偶函数 B．在上单调递增 C． D． 二、解答题 4．已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)若有且只有1个极小值点，求的取值范围． 5．已知函数． (1)时，求的极值； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$