甘肃省酒泉市普通高中2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

酒泉市普通高中 2024 2̃025 学年度第一学期期末考试 高二数学 考生注意: 1. 本试卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟。 2. 答题前,考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3. 考生作答时,请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后,用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效。 4. 本卷命题范围:选择性必修第一册。 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. 在等差数列 中,若 ,则 A.4 B. 6 C. 8 D. 10 2. 抛物线 的准线方程是 A. B. C. D. 3. 过点 且方向向量为(1,0)的直线方程为 A. B. C. D. 4. 为了解双减政策的执行情况,某地教育主管部门安排甲、乙、丙三个人到两所学校进行调研, 每个学校至少安排一人,则不同的安排方法有 A. 6 种 B. 8 种 C. 9 种 D. 12 种 5. 若圆 上恰有 2 个点到直线 的距离为 1,则实数 的取值范围为 A. B. C.(3,5) D. 6. 已知等比数列 满足 ,公比 ,则 A. 32 B. 64 C. 128 D. 256 7. 已知椭圆 与直线 交于 两点,若点 为线段 的中点,则直线 的方程是 A. 2 ~ B. C. D. 8. 已知直线 与 轴和 轴分别交于 两点,且 ,动点 满足 ,则当 变化时,点 到点 的距离的最大值为 A. B. C. D. 二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 若 ,则 的值可以是 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 已知数列 的首项为 1,前 项和为 ,且 ,则 A. 数列 是等比数列 B. 是等比数列 C. D. 数列 的前 项和为 11. 将圆 上任意一点的横坐标不变,纵坐标变为原来的 ,得到椭圆 ,若该椭圆的两个焦点分别为 ,长轴两端点分别为 ,则 A. 椭圆的标准方程为 B. 椭圆上恰有四个点 ,使得 C. 若点 是椭圆 上任意一点 (与 不重合),则 内切圆半径的最大值为 D. 若点 是椭圆 上任意一点 (与 不重合), 在 的延长线上, 是 的角平分线,过 作 垂直 ,垂足为 ,则线段 为坐标原点) 的长为定值 4 三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分. 12. 在 的展开式中, 的系数为_____. (用数字作答) 13. 圆 与圆 相交于 两点,则两圆公共弦 所在直线的方程为_____. 14. 定义: 一般地, 如果一个数列从第二项起, 每一项加上它的前一项所得的和都等于同一个常 数,那么这个数列就叫做等和数列,这个常数叫做等和数列的公和. 已知数列 是等和数 列, ,则此数列的公和为_____. 四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13 分) 设数列 的前 项和 . (1)求数列 的通项公式； (2) 求 的最大值及对应的 值. 16. (15 分) 已知直线 过点(3, - 5). (1)若直线 与直线 垂直,求 的方程; (2)若直线 在两坐标轴上的截距之和为零,求直线 的方程； (3)若直线 与圆 相切,求 的方程. 17. (15 分) (1)已知过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 两点, 求证 ; ( 2 )若方程 表示双曲线,求 的取值范围,并说明该方程表示的双曲线有共同的焦点; (3)求到两个定点 的距离之比为定值 的点的轨迹方程,并指出轨迹表示什么曲线. 18. (17 分) 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ,且焦点到渐近线的距离为 1 . (1)求双曲线 的方程. (2)若双曲线 的右顶点为 , ,过坐标原点的直线 与 交于 、 两点,与直线 交于点 ,且点 都在第一象限, 的面积是 面积的 5 倍,求直线 的斜率. 19. (17 分) 已知正实数 为常数,且 ,无穷数列 的各项均为正整数,且对任意正整数 , 恒成立. (1)证明:无穷数列 为等比数列； (2) 若 ,求 的通项公式及数列 的前 项和 ; (3) 若 ,求数列 的前 项和 . 学 参考答案、提示及评分细则 1.C 2.D 3.D 4.A 5.C 6.B 7.B 8.C 9. BC 10. BCD 11. BCD 12. 15. 解:(1)当 时,由 ,则 3 分 当 时, 也满足上式, 5 分 所以数列 的通项公式为 . 6 分 (2) 因为 , 9 分 所以当 时, 取最大值, 11 分 最大值为 . 13 分 16. 解:(1)易知直线 的斜率存在,设直线 的斜率为 , 因为直线 的斜率为 ,直线 与 垂直,则 ,解得 , 3 分 故直线 的方程为 ,即 . 5 分 (2)设直线 在 轴、 轴的截距分别为 , 当 时,设直线 的方程为 ,因为直线 过点(3, - 5),代入得 , 直线 的方程为 ; 7 分 当 时,则 ,设直线 的方程为 , 因为直线 过点(3, - 5),代入得 解得 所以直线 的方程为 , 9 分 综上,所求直线 的方程为 或 . 10 分 (3) 依题意,圆 ,圆心(0, - 1),半径 , 若直线 的斜率不存在,即直线 的方程为 ,圆心到直线 的距离为 3, 此时直线 与圆 相切,符合题意; 12 分 若直线 的斜率存在,设直线 的方程为 ,即 , 故圆心(0, - 1)到直线 的距离 ,解得 , 此时直线 的方程为 , 14 分 综上所述,直线 的方程为 或 . 15 分 17. 解:(1)由已知得抛物线焦点 ,过焦点的直线方程可设为 , 由 得 ,所以 , 3 分 5 分 ( 2 )方程 表示双曲线,则 ,解得 , 所以当 时方程 表示双曲线, 8 分 双曲线方程表示为 ,可知双曲线焦点在 轴上, 且 ,所以 ,双曲线焦点坐标为 , 焦点显然与 取值无关,因此该方程表示的双曲线有共同的焦点. 10 分 (3)以 为原点, 所在直线为 轴建立平面直角坐标系如图, 则 的坐标分别为 ,其中 . 设 是平面上任意一点,依题意, , 代入两点间距离公式,得 , 化简得点 的轨迹方程为 , 13 分当 时,轨迹方程为 ,表示线段 的垂直平分线; 14 分当 时,轨迹方程为 , 配方得 ,表示圆的方程,即 时轨迹是圆. 15 分 18. 解: (1) 双曲线 的一条渐近线方程为 ,所以 , 又焦点到渐近线的距离为 1,即 ,所以 , 3 分 因为 ,所以 所以双曲线 的标准方程为 . 6 分 (2) 设 ,点 ,由题意可知 , 由 的面积是 面积的 5 倍, 可得 ,从而 ,即 . 8 分 易知直线 的方程为 , 9 分 由方程组 消去 ,可得 . 11 分 由方程组 消去 ,可得 . 13 分 由 ,可得 ,解得 或 (舍去). 15 分 当 时, , ,符合题意. 所以直线 的斜率为 . 17 分 19. 解:(1)当 时,由 ,得 ,... 3 分 所以 ,由已知 为常数, ,则 , 所以数列 是以 为首项, 为公比的等比数列. 5 分 (2)若 ,由(1)得数列 是首项为 2,公比为 2 的等比数列, 所以 , 8 分 所以 . 11 分 (3)由 (1) 知数列 是以 为首项, 为公比的等比数列,若 , 则 , 12 分 记数列 前 项和为 , 则 , 13 分 因为 , 15 分 所以 . 17 分 2 学科网（北京）股份有限公司 $$