方法技巧专题(一) 二次函数与线段长度和(差)问题～第2课时 用特定系数法求二次函数的解析式-【名师学案】2024-2025学年九年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

象如图所示.(2)①y>y2②当一1<x<4时，y的取值范围是一5<y≤4.7. (1)A(2)218.C9.D10.解：(1)把P(-2,3)代入y=x2+a.x+3,得3=( 2)2-2a+3,解得a=2.,y=x2+2x+3=(.x十1)2+2，.顶点坐标为(-1,2).(2)① 把x=2代入y=x2+2x+3,得y=11,.当m=2时，n=11.②由题意，知一2<m< 2,此时2≤n<11.11.(1)1.5解：(2)抛物线y=x3一21x十3对称轴为x=1.若0 <1≤3，当x=1时函数取最小值，.一2r十3=一2，解得1=√5：若1>3，当x=3时 函数取最小值，9一61十3=一2，解得1=了（不符合题意，合去)：综上所述1的值为 √5：(3)，A(m一2，a),C(m,a)都在这个二次函数的图象上，.二次函数y=x2一21x 十3的对称轴直线x=1即为直线x=m一？+m=m-1.1=m-1.:1>0,m-1 2 >0,解得m>1.,m一2<m,.A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，在y=x一2tx十3 中，令x=0得y=3,∴.抛物线y=x2一21x十3与y轴交点为(0,3).点(0,3)关于对 称轴直线x=m一1的对称点为(2m一2,3).，b<3..4<2m一2，解得m>3:①当A (m一2，a),B(4,b)都在对称轴左侧时，，y随的增大而减小，且a<b,∴.4<m一2， 解得>6.此时m满足的条件为m>6:②当A(m一2，a)在对称轴左侧，B(4,b)在对 称轴右侧时，：a<b,∴.B(4.b)到对称轴直线x=m一1距离大于A(m一2，a)到对称 轴直线x=m一1的距离.，.4一(m一1)>m一1一(m一2)，解得：m<4.此时m满足的 条件是3<m<4,综上所述，3<m<4或m>6. 微专题四二次函数值的大小比较 【例】(-1)c-34c-8>1y<下减小<>下1小近 【针对练习】1.y,>y2.y,>y 微专题五函数图象共存问题 【例】C(答题模板)> > <同<错误C 【针对练习】1.D2.D 方法技巧专题（一）二次函数与线段长度和（差）问题 【例】-13-1355-15-k511x+122 【变式练习】 1.(1)y=一x+2.x+3解：(2)A(-1.0),对称轴为直线x=1.B(3,0). △PBC的周长为：PA+PC+AC,AC是定值，，∴，当PA+PC最小时，△PAC的周长 最小.，点A,B关于对称轴对称，连接BC交对称轴于点P,则点P为所求的点.设直 线BC的解折式为y=+c,将B3,0,C0,3)代人得张十-0解得3,1·的 c=3, 直线BC的解析式为y=一x十3，.当x=1时，y=一x十3=2.∴.点P的坐标是(1， 2).2.(1)y=x-4x解：(2)设直线AB的解析式为y=kx+m,把A(5,5),B(2, 8代入得质十每得合0直线AB的解折式为y一十0当PA PB的值最大时，A,B,P在同一条直线上，当x=0时，y=一x+10=10.点P的坐 标是(0,10) 第2课时用待定系数法求二次函数的解析式 知识储备 1.y=axi+bx+c 2.y=a(x-h)*+k A基础练 1.D2.y=x2-4x+33.解：A(-1,0),B(0,-3),C(4,5).把A,B,C三点代入y a-b+c=0, a=1, =ax+b.x+c中，16a+4h十c=5,解得b=-2,∴.y=x-2.x-3.4.D5.y=4 c=-3. (c=-3. (x一2)2十36.解：由题意可知此二次函数的顶点是(2，一4)，设其解析式是y=a(.x -2)2-4.把(1，-3)代入，得-3=a(1-2)2-4,解得a=1,∴.y=(x-2)2-4.7.B 8.y=x2-4x+39.y=3.x2-9x-12或y=-3x2+9x+1210.y=(x-3)+2 (答案不唯一)11.y=x2一112.(1)一3解：(2)由表可知此二次函数的顶点为 (-3,5),设其解析式是y=a(x+3)2+5,把点(-2,3)代入，得3=a(-2十3)2+5， 解得a=一2∴y=一2(r+3)+5(3)由题意，得+？+”=-3，解得m=一4.m的 值为-4.13.解：(1)①(2,7)②：-1≤x≤3中含有顶点(2,7)，.当x=2时，y 有最大值7，，2-(-1)>3-2，.当x=-1时，y有最小值为：一2，∴.当-1≤x≤3 时，一2≤y≤7.(2)：x≤0时，y的最大值为2：x>0时，y的最大值为3，.函数的最 大值是3.∴抛物线的对称轴x=合在y轴的右侧∴6>0.“抛物线开口向下，≤0 时y的最大值为2，÷c2.又4X二有36=±2.>0，…6=2.“二次函 -173 数的表达式为y=一x+2x十2.14.(1)y=x-2x一3解：(2)存在，理由如下：顶 点D的坐标是(1，一4)，令x=0,则y=x2-2x-3=一3，.C点坐标为(0，一3).又 B点坐标为(2，-3)BC/x轴.Sm=号×2X1=1.设抛物线上的点P坐标为 （m,m-2m-3Sam=号×2Xm2-2m-3-(-31=m2-2m=4Saw=4. 当m”-2m=4,解得m=1土5.当m=1十√5时，m-2m-3=1,当m=1一5时，m -2m一3=1，∴.P(1十√5,1)或(1-√5,1)，若m2-2m=-4,此方程无实数根，∴.综 上所述，点P的坐标是(1十√5,1)或(1一√5,1). 回归教材专题（二）二次函数解析式的求法 L.y=(x一2)一12.解：设这个二次函数的解析式为y=a.x2十b.x+c,根据题意，得 a+b+c=-2, c=-1, fa=1, 一b≥1： 解得b=一2，.二次函数的解析式为y=x2一2x一1.3.解：：对 2a (c=-1. 称轴为直线x=-一-2，图象与轴交于A,B两点，且AB=2A1,0),B(3, 0.把A1.0.C0,3代人y=ar-4a+c中，得-a+6=0,解得日二y 1c=3 -4红+3.4解：令y=-之x+2=0.则x=4B(4,0),当x=0时.y=2.C (0,2).设二次函数的解析式为y=ax一40x+1,把C0,2)代人，解得a=一号 1 y2(x-0(x+10三-2+号x+2.5.y=(x+10P+26.(1)(1.2☒ (1,2)-1-(x-1)2+2(2)①y=(x+1)2-2②(-1，-3) 唯点突破专题（二）二次函数的最值及函教值的范围 解题技巧 y≤≤y:yyy≤y≤kky 【例111)减小5-3(2)0-4(3)5-4【例2】1-124m十4m 3 -1m-2m-3是 -3 【针对练习1.1602.(1)y=x2+x(2)解：抛物线的解析式为y=x十x,∴.顶点 P的坐标为（一之，一）：当十1<一号，即1<-时y随x增大而减小，由题意， 得+1+1+1=2.解得=-3,6=0（合去.1的值为-3：当1-号<1+1 时y的最小值为-子，不符合题意，当>一之时y随x增大而增大，由题意，得 十t=2.解得t=一2（舍去），t2=1..综上所述，t的值是一3或1. 22.2二次函数与一元二次方程 知识储备 1.(x1,0),(.xg,0)2.-4ac>0b2-4ac=0b-4ac<0 A基础练 1.x1=-1,x=-5(-1,0),(-5,0)2.(1)x=-1,x:=4(2)①x1=-2,x2 4②x1=0,x=2③x1=x=1④无实数根3.(1)2(2)①9②m<1③k≤ 专①≤号且k14C5C6a<下<-1或>5(2)-1Kr<6 7.D8.D9.(1)证明：：△=（一2m)2-4(m2+3)=-12<0,方程x2-2m.x十m 十3=0没有实数根，∴.不论m为何值，该函数的图象与x轴没 有公共点：(2)解：y=x2一2m.x十m°十3=(x一m)2+3.把函数 y=(x一m)严十3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到 函数y=(x一m)的图象，它的顶点坐标是(m,0),.这个函数 的图象与x轴只有一个公共点.∴.把该函数的图象沿y轴向下 平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共3之不力 点.10.解：(1)0(2)画图象如图所示：(3)①函数图象关 2 于y轴对称；②函数有最小值一1；③当x>1时，y随x增大而 增大.(4)①33②2③-1<a<0 22.3实际问题与二次函数 第1课时二次函数与几何图形的面积 知识储备 1品 Aac-b2 Aa 2.x二次函数取值范围 -174方法技巧专题（一）二次函数与线段长度和（差）问题 类型一线段长度和最小问题 解题技巧 解决线段长度和最小问题的关系是先利用对称 性找到使线段长度和最小的点（作其中一点关于动点 所在直线的对称，点，连接对称点、另一点，与动点所在 的直线的交点即为所求作的点)，然后利用待定系数 法求直线解析式，进一步求点的坐标， 【例】已知抛物线y=x2一2x 3与x轴交于A,B两点（点A在 点B的左侧)，与y轴交于点C, 点D(4,y)在抛物线上，E是该抛 物线对称轴上一动点，求当BE十DE的值最小 时点E的坐标. 类型二线段长度差最大问题 解：令y=x2-2x-3=0, 解题技巧 解决线段差最大问题的关键是先找到使线段差 则x1= x2= 最大的点，当三点共线时，线段差最大，然后用待定系 :A点在B点左侧，∴.A(,0),B( ,0). 数法求该直线的解析式，进一步求该点的坐标 ,D(4,y)在抛物线上， 2.（2024·常德模拟)如图，抛物线y=ax2十 ∴.y=43-2×4-3= ·D(4, bx+c经过点A(5,5)和点O(0,0),且它的对 :点B与点A关于对称轴直线x=1对称， 称轴是直线x=2. 连接AD交对称轴于点E,点E即为使BE十 (1)此抛物线的解析式是 DE最小的点，设直线AD的解析式为y=kx十 (2)点B(2,8)在此抛物线的对称轴上，点P b,把A( ,0),D(4,)代入，得 是y轴上的一个动点，当PA一PB的值 十b=0.k= 解得。 ∴.y= 最大时，求点P的坐标. 4k+b= b= 当x=1时，y= 点E的坐标是(1，). 【变式练习】 1.(2024·宁夏模拟)如图，抛物线y=ax2十 bx十3(a≠0)交x轴于A(-1,0),B两点，交 y轴于点C,抛物线的对称轴是直线x=1. (1)则抛物线的解析式是 (2)在对称轴上找一点P,当以P,A,C为顶 点的三角形周长最小时，求点P的坐标 助学助教优质高数40 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式 $知识储备 知识点二利用“顶点式”求二次函数的解析式 1.已知抛物线上的三个点的坐标或x,y的三对对 4.已知某二次函数的图象如图所示，则这个二 应值时，通常设抛物线的解析式是 次函数的解析式为 ,然后代入解析式，解三元一次方程组 A.y=2(x+1)2+8 求a,b,c的值. B.y=18(x+1)2-8 2.已知抛物线的顶点和图象经过的另一个点的坐 标，可设抛物线的解析式是 Cy=号-1D+8 3.已知抛物线与x轴的两个交点(1,0)和(，0)， D.y=2(.x-1)2-8 可设抛物线的解析式是y=a(x一)(x一x2), 5.已知一个二次函数的图象形状与开口方向都 再把另一个点的坐标代入求a的值， 和抛物线y=4x2相同，且顶点坐标为(2,3)， A基础练 是必各知汉旅理二 则这个二次函数的解析式是 6.已知某二次函数的图象经过点(1，一3)，当 知识点一 利用“一般式”求二次函数的解析式 x=2时，函数有最小值一4，求这个二次函数 1.已知二次函数的图象经过点(3,2)，(2,0)和 的解析式 (0,2)三点，则此抛物线的解析式是 A.y=2x2+x+2 B.y=x2+3x+2 C.y=x2-2x+3 D.y=x2-3.x+2 2.已知二次函数y=x2+b.x十c,当x=1时， y=0:当x=一1时，y=8,则这个二次函数的 解析式是 知识点三利用“交点式”求二次函数的解析式 3.【教材P42习题T11变式】如图，二次函数 7.【教材P42习题T10(3)变式】如图，抛物线的 y=ax2十bx十c(a≠0)的图象经过A,B,C三 解析式为 点.写出A,B,C三点的坐标，并求其解析式 A.y=x2-2.x+3 B.y=x2-2.x-3 C.y=x2+2x-3 D.y=x2+2x+3 8.一条抛物线与x轴两个交点的横坐标分别是 1和3，与y轴交点的纵坐标是3，则此抛物线 的解析式是 易错点○因考虑问题不全面而漏解 9.若抛物线经过点（一1,0），(4,0)，其形状与 y=3.x的形状相同，则此抛物线的解析式是 【点津】两条抛物线的形状相同，则|a相等， 41 九年级数学·上册 B综合练 爱关键能力提升一 10.【新中考·结论开放】一条抛物线的对称轴 是直线x=3,顶点到x轴的距离是2，开口 向上，请写出一个符合条件的解析式 11.如图，抛物线的顶点M在y 轴上，抛物线与直线y=x十1 相交于A,B两点，且点A在 x轴上，点B的横坐标为2， 那么抛物线的函数关系式为 C素养练 学科素养培育二 12.若二次函数y=a.x2十bx十c的x与y的部 14.(中考·伊春)如图，抛物线y= 分对应值如下表： x2+bx十c经过点A(-1,0),点 B(2,一3)，与y轴交于点C,抛物 6-5-4 -3-2 -1 y…-13-3353m 线的顶点为D. (1)此抛物线的解析式是 (1)观察上表可求得m的值是 (2)抛物线上是否存在点P,使△PBC的面 (2)求这个函数的解析式： 积是△BCD面积的4倍，若存在，请求 (3)若点A(n十2，y1),B(n,y1)在该抛物线 出点P的坐标；若不存在，请说明理由 上，求n的值. 13.(2023·绍兴)已知二次函数y=一x2十bx十c. (1)当b=4,c=3时， ①该函数图象的顶点坐标是 ②当一1≤x≤3时，求y的取值范围： (2)当x≤0时，y的最大值为2；当x>0时， y的最大值为3，求二次函数的表达式. 核心 几何直观 运算能力 素养 模型观念 推理能力 助学助餐优质高数42