22.1.4 第1课时 二次函数的图象和性质-【名师学案】2024-2025学年九年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

22.1.4 二次函数y=ax*十bx十c的图象和性质 第1课时 二次函数v三ax十bx十c的图象和性质 4知识储备4 知识点三 抛物线y=ar十bx十c的图象和性质 抛物线y一ax*十bx十c的对称轴是直线 3.二次函数y=-2x②-4x+1的图象大致是 ,顶点是 ###### 当r三 时,y有最大(小)值,是 增大而 ,当x- ( B D 。 ;若a~0,恰好相反. 4.关于二次函数v-2-*}+4x-1,下列说法正 ( 确的是 _~ A基础练 {必备知识梳理一 A.图象与y轴的交点坐标为(0,1) 知识点- 抛物线y=ax}+bx十c与y=a( B.图象的对称轴在y轴的右侧 一h){*}十k的关系 C.当x0时,v的值随x值的增大而减小 1.把二次函数v-2x*}-4x十1通过配方化成 D.y的最小值为一3 y-a(x-h)②十的形式是 5.若抛物线y=ax*}十bx十c与x轴的两个交点为 ( ) (一1,0),(3,0),则该抛物线的对称轴为( A.y-2(x-1)-3 By-2(x-1)②+3 ) A.直线x三-3 C.y-2(x-1)*-1 B.直线x-3 D.y-2(x-1)②+1 C.直线x-1 D.直线x--1 知识点二 抛物线y=ax}十bx十c的顶点公式 6.已知二次函数y=-r+2x十3. 2.(1)【新课标·补充解题过程】阅读解题过程 (1)求函数图象的顶点坐标,并画出这个函数 完成填空: 的图象; 求二次函数y一ax*十bx十c的图象的对称轴 (2)①已知函数图象上两点A(x,y)和 和顶点坐标. B(x,y),若1<x<x,则y与y 解:将y=ax^{}十bx十c的二次项系数化为1. 的大小关系为 ②当一1x4时,求v的取值范围. 配方,得y=a[{} n ]十c. '.y-a(x十 十C. -5-4-3-2-1 012345 即y=a(x十 )2十 .'.抛物线的对称轴是直线 ,顶点 坐标是 . (2)【运用】抛物线y=-2x*+8x+2的顶点 坐标是 ,对称轴是 37 九年级数学·上船 知识点四 抛物线y一ax{}十bx十c的平移 C素养练 7.(1)在平面直角坐标系中,将二次函数y=*② 11.(2023·嘉兴)在二次函数y=x2-2tx+3 一2x士3的图象向右平移2个单位长度,再 (t0)中. 向上平移3个单位长度所得抛物线对应的函 (1)若它的图象过点(2,1),则.的值为 数表达式为 ( ) (2)当0<x<3时,v的最小值为-2,求出 A.y=(x-3)*+5 B.y-(x+2)2+5 的值; C.-(x+2)-1 D.y=(x-3)*-1 (3)如果A(m-2,a),B(4,b),C(m,a)都在 (2)【T7(1)变式·逆向思维】将抛物线y=x2} 这个二次函数的图象上,且a b3.求 +4x十1先向右平移 个单位长度,再向下 n的取值范围 平移 个单位长度得到抛物线y一x^{-4 B综合练 8.当x2时,二次函数y=-x^{}+2x十n有最 大值4,则的值是 -_ ) A.1 B.2 C.4 D.6 9.二次函数y=ax*+2ax十 c的图象如图所示,下列说 法不正确的是 ( ) A.a>0,c<0 B.对称轴为直线x=-1 C.当x<-1时,v随x的增大而减小 D.函数的最大值是一a十c 10.如图,二次函数v三x②十ax十3的图象经过 点P(-2,3). (1)求a的值和图象的顶点坐标; (2)点Q(n:n)在该二次函数图象上. ①当n一2时,求n的值; ②若点Q到y轴的距离小于2,请根据 图象直接写出n的取值范围 . 核心 素养 运算能力 几何直观 模型观念 助学勤敏 优质高数 38 微专题四 二次函数值的大小比较 【例】已知点A(-1,y),B(4,)在y=-十 方法3(距离比较法):.抛物线开口向 2x十c的图象上,比较y和y的大小. 对称轴为直线x=_...抛物线上的点,离 对称轴越远,对应的函数值就 解:方法1(代入法):当x=-1时,三-(-1)^* ,又:点 A(-1,v)到对称轴的距离比点B(4,v)到 -2X 对称轴的距离 (填“远”或“近”),y 当x-4时,=-4+2×+c= 'y 2. y. 【针对练习】 方法2(增减性法);.抛物线的对称轴为直线 1.已知抛物线y=ax^{②}+2ax+c(a<0)过点 ,点A(-1,y)关于对称轴的对称 A(一3,y),B(2,y),则y与y;的大小关 点A的坐标是(3,_).:'a=-1_0,开 系是 口向 ,'在对称轴右侧y随x的增大 2.已知抛物线y=ar{}+bx十c(a>0)过点 而 A(-4,0),B(2,0),C(5.y)和D(-2,y) 又.3 4..y V2. 则y与y:的大小关系是 微专题 函数图象共存问题 解题技 【针对练习】 对于二次函数与一次函数的图象在同一坐标 1.二次函数y=ax*十bx十c的图 系中的共存问题,解题的关键是利用图象分别判断 象如图所示,则一次函数y一 各字母的取值范围,当相同字母的取值范围一致 ) bx十c的图象可能是 时,图象才符合要求 【例】(2024·东营模拟)一次函数y=ax十b(a :0)与二次函数y=ar*十bx十c(a去0)在同 一平面直角坐标系中的图象可能是 ) #####4# 2.在同一平面直角坐标系中,二次 函数y=ax*}与一次函数y=bx A 士c的图象如图所示,则二次函 (答题模板)A答案:直线呈上升趋势,则 数y=ax十bx十c的图象可能是 0; 0,与v轴交于正半轴,则b ###4#在## 抛物线开口向下,则a 0,对称轴在y 轴左侧,则a与b___号(填“同”或“异”), C B 故0...A D (填“正确”或“错 误”).用类似的方法判断可得 正确. 39 九年级数学·上册第2课时二次函数y=a(x一h)2的图象和性质 知识储备 1.x=h(h,0)减小增大向下增大减小2.h左h A基础练 1.D2.D3.C4.(1)>1减小增大>-1(2)y<y(3)y>y5.解： 由题意，得y=a(x-3),把点(1,4)代入，得4=a(1一3)，解得a=1,∴.a的值是1. 当x>3时随x的增大而增大.6(1)B(2)A7.y=(x-2)8A<19 D10.B山.A2.解：y=子(x一，∴该函数图象开口向上，对称轴是直线： =h,当x=h时，该函数取最小值0.，当自变量x的值满足3≤x≤5时，与其对应的 函数值y的最小值为3，∴①若<3，则当x=3时y取最小值3，即子（3-)=3， 解得h1=6(不合题意，舍去)，h2=0:②若3≤h≤5，则当x=h时，y取最小值0，与题 设矛盾，故该种情况不存在③若5<，则当x=5时y取最小值3，即号(5-)= 3,解得h=2(不合题意，舍去)，，=8.综上所述，h的值是0或8.13.解：(1)依题 -2k+b=0,: 意，得A(-2,0),B(0,4).设直线AB的解析式为y=kx+,则6=4. (k=2,b=4.∴.经过A,B两点的直线解析式为y=2x十4：(2)过C作CD⊥x轴于D 点.，点C在抛物线y=(x+2)2上，.设点C(x,x+4x+4),由(1)知，OA=2,OB =4,∴AD=-2-x,CD=+4r十4，Sa=Sew-5am-Sam=2(r+ 4r+4+40(-x)-2(x+4r+4)(-2-x)-合×2×4=r+2x.x+2x= 3,.x=一3，x=1(舍去).当x=-3时，y=(-3十2)=1，.点C的坐标为（一3,1）. 第3课时二次函数y=a(x一h)2十k的图象和性质 知识储备 1.抛物线形状位置x=h(h,k)上（下）左（右）h,k2.上减小增大 A基础练 1.D2.A3.C4.(1)<1>111(2)<5.D6.(1)A(2)左3下 17.(1)-22一2(2)下x=2(2,-2)解：(3)当x>2时，y随x的增大 而减小，当x<2时y随x的增大而增大.8D9.C0.C山.1)号解：(2) 当y=0时，一名(x-5)十6=0，解得：=1，=-1（不合题意，合去）.∴点D的 坐标为(11,0)，OD=11m.,从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相 同0C=0D-1mCD-0C+0D-2m.(3)当x=10时y--专10-5)+ 6=-要+6=日“点(10，号)在抛物线y=-名(x-5)+6上.又：日≈1.83>1 8,∴.顶部F不会碰到水柱.12.(1)y=(x+1)一4解：(2)△BCM是直角三角形， 理由如下：令y=(x十1)-4=0，解得x1=1,x=-3..B(-3,0),A(1,0).∴.OB OC=3.∴.∠OCB=∠OBC=45°.：M(-1,-4),C(0,-3),作MH⊥y轴，∴.MH= CH=1.∴.∠MCH=∠CMH=45°.∴.∠BCM=180°-∠BCO-∠MCH=90°.即 △BCM是直角三角形：(3)由(2)知BC=√3+3=3√2，CM=√+下=√2， ∠BCM=90.∴Sam=2BC.CM=X3EXE=3.:Saw=7ABG0=号 X4X3=6,∴.S国边形Be=SA十S△M=9. 22.1.4二次函数y=a.x2+bx+c的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2十bx十c的图象和性质 知识储备 ……5 （-2a4a b4ac0)-。1ac-0 减小 Aa 增大 ………2 A基础练 … 1.C2.1)5 (会) b bb Aac-b 2a Aa 2a -54-3-241012 (2)(2,10)直线x=2 2 …………3 3.B4.D5.C6.解：(1)y=-x2+2x+3= 一(x一1)+4，.函数图象的顶点坐标为(1,4).图 172 象如图所示.(2)①y1>y:②当一1<x<4时，y的取值范围是一5<y≤4.7. (1)A(2)218.C9.D10.解：(1)把P(-2,3)代入y=x2+a.x+3,得3=(- 2)-2a十3，解得a=2.,y=x”+2x+3=(x+1)2+2,.顶点坐标为(-1,2).(2)① 把x=2代入y=x+2x十3，得y=11,.当m=2时，n=11.②由题意，知一2<m< 2,此时2≤n<11.11.(1)1.5解：(2)抛物线y=x2一21.x+3对称轴为x=t.若0 <t≤3，当x=1时函数取最小值，∴.t-2+3=-2,解得t=√5：若t>3,当x=3时 函数取最小值9一6十3=一2，解得=子（不符合题意，合去），综上所述的值为 √5：(3)，A(m-2,a),C(m,a)都在这个二次函数的图象上，.二次函数y=x2一2tx 十3的对称轴直线x=1即为直线x=m一？+m=m-1.1=m-一1.：1>0，m-1 2 >0,解得m>1.:'m一2<m,∴.A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，在y=x一21x十3 中，令x=0得y=3,∴抛物线y=x2一21x+3与y轴交点为(0,3).点(0,3)关于对 称轴直线x=m一1的对称点为(2m-2,3).:b<3.∴.4<2m-2,解得m>3:①当A (n一2，a),B(4,b)都在对称轴左侧时，，y随x的增大而减小，且a<b,∴.4<m一2， 解得m>6.此时m满足的条件为m>6:②当A(m一2，a)在对称轴左侧，B(4,b)在对 称轴右侧时，a<b,∴.B(4,b)到对称轴直线x=m一1距离大于A(m一2，a)到对称 轴直线x=m一1的距离.，.4一(m一1)>m一1一(m一2)，解得：m<4.此时m满足的 条件是3<m<4,综上所述，3<m<4或m>6. 微专题四二次函数值的大小比较 【例】(-1)c-34c-8>1y<下减小<>下1小近 【针对练习】1.y1>y:2.y,>y: 微专题五函数图象共存问题 【例C(答题模板)>><同<错误C 【针对练习】1.D2.D 方法技巧专题（一）二次函数与线段长度和（差）问题 【例】-13-1355-15-k511x+122 【变式练习】 1.(1)y=-x2+2x十3解：(2)：A(-1,0),对称轴为直线x=1..B(3,0). △PBC的周长为：PA+PC+AC,AC是定值，.当PA+PC最小时，△PAC的周长 最小.点A,B关于对称轴对称，连接BC交对称轴于点P,则点P为所求的点.设直 C的解析式为y=k十c,将B(3,0),C(0,3)代入得2解得c=3. lc=3, 直线BC的解析式为y=一x+3,.当x=1时，y=-x+3=2..点P的坐标是(1， 2).2.(1)y=x2-4x解：(2)设直线AB的解析式为y=kx十m,把A(5,5),B(2, 8)代人得8·解得0，直线AB的解析式为y一一x+0,当PA PB的值最大时，A,B,P在同一条直线上，当x=0时，y=一x+10=10.点P的坐 标是(0,10). 第2课时用待定系数法求二次函数的解析式 知识储备 1.y=ax2+bx+c 2.y=a(x-h)2+k A基础练 1.D2.y=x2-4x+33.解：A(-1,0),B(0,-3),C(4,5).把A,B,C三点代入y (a-b+c=0, a=1, =ax+b.x十c中，16a十4b十c=5,解得b=-2,∴.y=x2-2x-3.4.D5.y=4 c=-3. c=-3. (x一2)2十36.解：由题意可知此二次函数的顶点是(2，一4)，设其解析式是y=a(x -2)2-4.把(1，-3)代入，得-3=a(1-2)-4,解得a=1,.y=(x-2)2-4.7.B 8.y=x2-4x+39.y=3x-9.x-12或y=-3.x2+9x+1210.y=(x-3)+2 (答案不唯一)11.y=x2一112.(1)一3解：(2)由表可知此二次函数的顶点为 (一3,5)，设其解析式是y=a(x+3)+5,把点(-2,3)代入，得3=a(-2+3)+5, 解得4=一2.y=一2(x十3)+5：(3)由题意，得十2+=一3，解得n=一4.n的 2 值为-4.13.解：(1)①(2,7)②：-1≤x≤3中含有顶点(2,7)，.当x=2时，y 有最大值7,2-(-1)>3-2，当x=一1时，y有最小值为：一2，.当-1≤x≤3 时，一2≤y≤7.(2)：x≤0时，y的最大值为2：x>0时，y的最大值为3，∴函数的最 大值是3.“抛物线的对称轴x=名在y轴的右侧6>0.”抛物线开口向下，x≤0 时y的最大值为2“c=2.又二有3.b=±2.心0，∴6=2.心二次函 -173