第16章 二次根式知识归纳与题型突破（单元复习 10类题型清单）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（沪科版）

第16章 二次根式知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、二次根式 1．二次根式的概念 1．二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式. 2．二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数. 2．二次根式有无意义的条件 1．二次根式有意义：被开方数为非负数，即； 2．二次根式无意义：被开方数为负数，即； 3．二次根式的性质 1．二次根式（）的非负性 （）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）． 2．二次根式的性质：（） 3．二次根式的性质： 二．最简二次根式与同类二次根式 1．最简二次根式 （1）最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 （2）化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） （3）分母有理化 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号. 2．同类二次根式 （1）同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 （2）合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 三、二次根式的运算 1．二次根式的乘法 （1）二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） （2）二次根式的乘法法则的推广: ① ②，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. （3）二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） （4）二次根式的乘法法则的逆用的推广： 2．二次根式的除法 （1）二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） （2）二次根式的除法法则的推广：. 3．二次根式的除法 （1）二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 （2）二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 4．二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 03 题型归纳 题型一　判断是否为二次根式 例题：（24-25九年级上·山西长治·期末）下列根式是二次根式的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】本题考查了二次根式．熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．形如的式子是二次根式． 根据二次根式的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，，不是二次根式，是二次根式， ∴A、B、D不符合要求；C符合要求； 故选：C． 巩固训练 1．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，理解二次根式中被开方数是非负数是解决问题的关键． 一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．直接利用二次根式的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A．当时，原式无意义，故A不一定不是二次根式； B．当时，原式无意义，故B不一定是二次根式； C．恒成立，故C一定是二次根式； D．当时，原式无意义，故D不一定是二次根式； 故选：C． 2．（24-25九年级上·河南周口·期中）在式子，，，，，，中，二次根式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如“”这样的式子是二次根式．根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：，，，，是二次根式， ，没有意义， 不是二次根式， 是整式， 即二次根式有4个， 故选：C． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一定是二次根式的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的定义，二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，根据二次根式的定义，分别判断各式即可． 【详解】解：①符合二次根式的定义，故正确； ②无意义，故错误； ③中的，符合二次根式的定义，故正确； ④中的，符合二次根式的定义，故正确； ⑤是开3次方，故错误； ⑥中的，符合二次根式的定义，故正确． 正确的有①③④⑥，共4个． 故选：B． 题型二　求二次根式的值 例题：（23-24八年级下·浙江衢州·期中）当时，二次根式的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，先将代入，再利用二次根式的性质化简求解即可． 【详解】当时， ． 故选：C． 巩固训练 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式求值，将代入二次根式，直接求解即可． 【详解】解：当时， 故选：B． 2．（23-24九年级上·海南儋州·期末）当时，二次根式的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的基本性质及化简，二次根式的定义，把代入原式化简即可． 【详解】解：当时，原式， 故选：B． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义，把代入求值即可． 【详解】解：当时，二次根式， 故选：D． 题型三　根据二次根式有意义条件求范围 例题：（22-23八年级下·江苏·周测）若二次根式有意义，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件得到，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：， 解得：． 故选：D． 巩固训练 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）当a是怎样的实数时，在实数范围内有意义（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数非负．根据被开方数非负得到，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故选：C． 2．（24-25九年级上·河南新乡·期末）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式中的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， 故选：D． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）若，则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、二次根式有意义的条件、负整数指数幂 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，求代数式的值，解题的关键是掌握：在二次根式中，要求字母必须满足条件，即被开方数是非负的，则当时，二次根式有意义，当时，二次根式无意义．据此得到关于的不等式组，继而得到、的值，再代入计算即可．也考查了负整数指数幂． 【详解】解：根据题意，得， 解得：， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 故选：A． 题型四　根据二次根式有意义求值 例题：（23-24八年级下·吉林松原·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的非负性、代数式求值等知识点，根据二次根式的非负性求得x、y的值成为解题的关键． 先根据二次根式的非负性求得x，进而求得y，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知为实数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式有意义的条件得出的值，进而得出的值，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）已知实数x，y满足，则的小数部分是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式有意义的条件及无理数的估算，结合已知条件求得的值是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件求得的值，然后求出，利用无理数的估算求得小数部分． 【详解】解：由题意可得：， 则， 则， ， ， 则的小整数部分是2，小数部分是， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，则 ． 【答案】25 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，求出x的值是解题关键；利用二次根式有意义的条件进行求解即可； 【详解】解：由题意知：， 解得：， ， ， 故答案为：25； 题型五　最简二次根式的判断 例题：（23-24八年级上·黑龙江绥化·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查最简二次根式的判别．最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数中不能含有分母；②被开方数不能含有开得尽的因数或因式．根据最简二次根式的定义，依次作出判断即可． 【详解】解：A．被开方数含有分母，不是最简二次根式，故该选项错误； B．是最简二次根式，故该选项正确； C．被开方数含有开的尽的因数，故该选项错误； D．被开方数含有分母，故该选项错误． 故选：B． 巩固训练 1．（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式 【分析】本题考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义：“被开方数中不含有分母，且被开方数中不含开得尽方的因数或因式”进行判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴是最简二次根式， 故选：A． 2．（23-24八年级下·青海玉树·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题主要考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A.，故不是最简二次根式； B.是最简二次根式； C.，故不是最简二次根式； D.，故不是最简二次根式； 故选：B． 3．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）下列根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简二次根式的判断、利用二次根式的性质化简、化为最简二次根式 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．据此进行判断即可． 【详解】A、，被开方数里含有能开得尽方的因数4，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； B、符合最简二次根式的条件，故是最简二次根式，本选项符合题意； C、，被开方数里含有分母，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； D、，被开方数里含有能开得尽方的因式，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； 故选：B． 题型六　化为最简二次根式 例题：（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）化简： ； ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，根据二次根式乘法和除法法则进行化简即可． 【详解】解：， ， 故答案为：，． 巩固训练 1．（23-24八年级上·广东肇庆·阶段练习）化简： ， ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可求解． 【详解】解：； ． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 2．（23-24八年级下·浙江·期中）化简成最简二次根式： ； ． 【答案】 / 【详解】直接根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．进行计算即可． 【解答】解：；． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确计算是解题的关键． 3．（22-23八年级上·宁夏银川·阶段练习）化简： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式的性质． 4．（23-24八年级·全国·假期作业）把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)2（a，b，c均大于0）． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）直接计算得到答案； （2）直接计算得到答案； （3）直接计算得到答案； （4）直接计算得到答案； （5）直接计算得到答案． 【详解】（1） 故的最简二次根式为：； （2） 故的最简二次根式为：； （3） 故的最简二次根式为：； （4） 故的最简二次根式为：； （5）∵a，b，c均大于0 ∴． 【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的相关知识． 题型七　同类二次根式的判断 例题：（24-25九年级上·四川宜宾·期中）下列二次根式中，能与合并的二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同类二次根式、最简二次根式的判断 【分析】本题考查同类二次根式和化简二次根式为最简二次根式，先将每个二次根式化为最简二次根式，判断是否为的同类二次根式，即可判断各选项． 【详解】解：A. ，不能与合并，故该选项不符合题意； B. ，能与合并，故该选项符合题意；     C. ，不能与合并，故该选项不符合题意；     D. ，不能与合并，故该选项不符合题意； 故选：B． 巩固训练 1．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）在，，中与可以合并的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念，掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念解答即可． 【详解】解：，与可以合并， ，与可以合并； ，与不可以合并； 则与可以合并的个数有2个． 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【知识点】同类二次根式、化为最简二次根式 【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，掌握“把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式”是解题的关键． 先化简成最简二次根式，逐项比较被开方数即可， 【详解】解：A、，，两者被开方数相同，是同类二次根式，故本选项正确； B、，与，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误； C、，与，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误； D、与，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误． 故选：A． 3．（2024八年级上·上海·专题练习）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是（   ） A．3 B． C．1 D．0 【答案】C 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的概念列出方程，解方程求的值． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得：， 故选：C． 题型八　二次根式的混合运算 例题：（23-24八年级下·山西太原·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质等知识点，根据二次根式的性质化简二次根式成为解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，然后再运用二次根式的四则混合运算法则计算即可； （2）先根据二次根式的性质化简，然后再运用二次根式的四则混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据完全平方公式，平方差公式，化简绝对值进行计算即可求解； （2）根据二次根式的除法以及二次根式的性质化简，进而即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．（24-25八年级下·全国·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算、化简绝对值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算： （1）先计算二次根式的乘法，化简二次根式、绝对值，再合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的乘除，再进行二次根式的加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（24-25八年级上·山东济南·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算． （1）利用二次根式性质先化简，先计算二次根式的除法，再根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式先化简，再根据二次根式加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（24-25九年级上·河南南阳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式性质，二次根式的减法运算，以及二次根式的混合运算，解题的关键在于掌握相关运算法则． （1）利用二次根式性质化简各项，再利用二次根式的减法运算法则计算，即可解题； （2）利用二次根式性质化简各项，再根据先乘除，后加减，有括号的先算括号的运算顺序计算，即可解题． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型九　比较二次根式的大小 例题：（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）比较大小： （1） 8； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较． （1）利用平方法比较大小即可； （2）利用分子有理化，即可比较大小． 【详解】解：（1）， ， ∴，∴，故答案为：； （2）， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）比较下列实数的大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较和二次根式的性质等知识点．把根号外的因式平方后移入根号内，比较结果的大小，即可求出答案． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·上海·期末）比较大小： ．（填“”，“”，或“”） 【答案】 【分析】本题考查了比较实数的大小，以及二次根式的性质，先把根号外的因式移入根号内，再根据实数的大小比较方法（绝对值大的反而小）比较大小即可． 【详解】解：，， ， ， ， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·河北邢台·期末）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】= 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的大小比较，掌握相应的法则是解题的关键． 把分母有理化即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型十　已知字母的值，化简求值 例题1：（23-24八年级下·云南曲靖·阶段练习）计算：已知，，，求的值． 【答案】13 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式、平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 利用完全平方公式、平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】解： ． 例题2：（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知 ，，求的值． 【答案】 【分析】先根据，，可判断，，再将原式化简，然后将已知条件整体代入求值即可． 本题主要考查了二次根式化简及二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键． 【详解】，， ，， ∴原式= ． 原式． 巩固训练 1．（2024·湖南怀化·一模）已知实数满足，求的值． 【答案】2022 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先根据二次根式有意义的条件得到，据此化简二次根式得到，则． 【详解】解：由二次根式有意义的条件可知，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（23-24八年级下·河北承德·期末）若，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值． （1）直接代入求解即可； （2）求得和的值，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴；， ∴． 3．（23-24八年级下·广东汕尾·期末）已知，求下列代数式的值 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，掌握公式是解题的关键． （1）将代入中即可求解； （2）利用完全平方公式得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：∵， ∴． 4．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）若x，y为实数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，先根据二次根式有意义的条件得出x的值，代入等式得出y的值，再代入所求代数式，依据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得． 【详解】解：由题意知， 解得：， 则， ∴原式． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16章 二次根式知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、二次根式 1．二次根式的概念 1．二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式. 2．二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数. 2．二次根式有无意义的条件 1．二次根式有意义：被开方数为非负数，即； 2．二次根式无意义：被开方数为负数，即； 3．二次根式的性质 1．二次根式（）的非负性 （）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）． 2．二次根式的性质：（） 3．二次根式的性质： 二．最简二次根式与同类二次根式 1．最简二次根式 （1）最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 （2）化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） （3）分母有理化 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号. 2．同类二次根式 （1）同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 （2）合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 三、二次根式的运算 1．二次根式的乘法 （1）二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） （2）二次根式的乘法法则的推广: ① ②，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. （3）二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） （4）二次根式的乘法法则的逆用的推广： 2．二次根式的除法 （1）二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） （2）二次根式的除法法则的推广：. 3．二次根式的除法 （1）二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 （2）二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 4．二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 03 题型归纳 题型一　判断是否为二次根式 例题：（24-25九年级上·山西长治·期末）下列根式是二次根式的是（   ）． A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南周口·期中）在式子，，，，，，中，二次根式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（2024八年级上·全国·专题练习）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一定是二次根式的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型二　求二次根式的值 例题：（23-24八年级下·浙江衢州·期中）当时，二次根式的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 巩固训练 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24九年级上·海南儋州·期末）当时，二次根式的值为（   ） A． B．2 C． D． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 题型三　根据二次根式有意义条件求范围 例题：（22-23八年级下·江苏·周测）若二次根式有意义，则（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）当a是怎样的实数时，在实数范围内有意义（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南新乡·期末）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 3．（2024八年级上·全国·专题练习）若，则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 题型四　根据二次根式有意义求值 例题：（23-24八年级下·吉林松原·期中）若，则 ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知为实数，且，则的值为 ． 2．（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）已知实数x，y满足，则的小数部分是 ． 3．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，则 ． 题型五　最简二次根式的判断 例题：（23-24八年级上·黑龙江绥化·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·青海玉树·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）下列根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 题型六　化为最简二次根式 例题：（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）化简： ； ． 巩固训练 1．（23-24八年级上·广东肇庆·阶段练习）化简： ， ． 2．（23-24八年级下·浙江·期中）化简成最简二次根式： ； ． 3．（22-23八年级上·宁夏银川·阶段练习）化简： (1) (2) (3) 4．（23-24八年级·全国·假期作业）把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)2（a，b，c均大于0）． 题型七　同类二次根式的判断 例题：（24-25九年级上·四川宜宾·期中）下列二次根式中，能与合并的二次根式的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）在，，中与可以合并的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（2024八年级上·上海·专题练习）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是（   ） A．3 B． C．1 D．0 题型八　二次根式的混合运算 例题：（23-24八年级下·山西太原·单元测试）计算： (1)； (2)． 巩固训练 1．（24-25八年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 2．（24-25八年级下·全国·阶段练习）计算： (1)； (2)． 3．（24-25八年级上·山东济南·期中）计算： (1) (2) 4．（24-25九年级上·河南南阳·期中）计算： (1)； (2)． 题型九　比较二次根式的大小 例题：（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）比较大小： （1） 8； （2） ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）比较下列实数的大小： ． 2．（23-24七年级下·上海·期末）比较大小： ．（填“”，“”，或“”） 3．（23-24八年级下·河北邢台·期末）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”） 题型十　已知字母的值，化简求值 例题1：（23-24八年级下·云南曲靖·阶段练习）计算：已知，，，求的值． 例题2：（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知 ，，求的值． 巩固训练 1．（2024·湖南怀化·一模）已知实数满足，求的值． 2．（23-24八年级下·河北承德·期末）若，，求下列各式的值． (1)； (2)． 3．（23-24八年级下·广东汕尾·期末）已知，求下列代数式的值 (1)； (2)． 4．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）若x，y为实数，且，求的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $$