高三数学开学摸底考（北京专用）-2024-2025学年高中下学期开学摸底考试卷

2025届高三下学期开学摸底考试卷（北京专用） 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，即，解得， 所以，又， 所以. 故选：A 2．复数的模为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】. 所以复数的模为. 故选：D. 3．已知向量，，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得，因为，，所以，得. 故选：A 4．已知函数是上的奇函数，则函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数是上的奇函数，所以，即恒过定点， 又因为的图象是由的图象向右平移个单位， 再向下平移个单位得到的，所以函数图象恒过， 故选：D 5．若的展开式中含的系数为15，则实数（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】的展开式的通项， 所以的展开式中含的系数为， 令，即，解得． 故选：D 6．已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，.则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【详解】由题得，准线方程为，设， 根据对称性，不妨假设点位于第一象限，过点作轴， 因为，则， 则，又因为是抛物线上一点， 则，代入上式有，解得或3， 显然由图知，则，则. 故选：A 7．在中内角所对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得：， 即：，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 8．设，则“直线与直线平行”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，所以，则有，解得， 当时，，，则重合， 当时，，，则平行， 所以等价于， 所以“直线与直线平行”能推出“”， “”不能推出“直线与直线平行”， 所以“直线与直线平行”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 9．“蝠”与“福”发音相同，在中国文化中，蝙蝠图案经常寓意福气临门．某商家设计的折叠储物凳是正三棱台形状，如图，其侧面展开图形似蝙蝠．每个侧面梯形的上底长为分米，下底长为分米，梯形的腰长为分米，忽略储物凳的表面厚度，则该正三棱台储物凳的储物容积为（   ） A．立方分米 B．立方分米 C．7立方分米 D．立方分米 【答案】D 【详解】如图，在正三棱台中，， 将棱台补全为正三棱锥， 设为底面的中心，连接，则平面， 而平面，所以， 因为，所以， ， 所以， 则正三棱台的高， 该正三棱台的上底面面积， 下底面面积， 所以该正三棱台储物凳的储物容积 . 故选：D. 10．设的三边长分别为、、，面积为（为正整数）．若，其中，，，，则（    ） A．为严格减数列 B．为严格增数列 C．为严格增数列，为严格减数列 D．为严格减数列，为严格增数列 【答案】B 【详解】    由已知，即的边为定值，不妨设，为定点，如图所示， 又，， 则， 即为定值， 又， 所以为定值， 即， 所以动点到定点，的距离之差的绝对值为定值， 满足双曲线定义， 所以动点的轨迹为以，为焦点的双曲线， 如图所示， 所以， 又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 则数列为递增数列， 所以当增大时，变大，即变大， 此时向远离处运动，即变大， 所以变大， 即数列为严格增数列，且，均为严格增数列， 故选：B. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知函数，则 ． 【答案】/ 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 12．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率e= . 【答案】2 【详解】对于双曲线，标准方程为，则，， 又双曲线的渐近线方程为，所以，解得， 则，，. 故答案为：2. 13．若对任意的实数，恒成立，则满足条件的一组，的值为 ， . 【答案】 【详解】由，所以可取， 由诱导公式知，， 所以可取， 故答案为：；. 14．在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.1852年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”，“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在的整数中，把被除余数为，被除余数为，被除余数也为的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列，则数列的项数为 . 【答案】 【详解】依题意既是的倍数也是的倍数还是的倍数，也就是的倍数， 所以，即，令， ∴，又因为，所以共项. 故答案为： 15．几位同学在研究函数（）时给出了下面几个结论： ①函数的值域为； ②若，则一定有； ③在是减函数； ④若规定，且对任意正整数n都有：，则对任意恒成立. 上述结论中正确结论的序号为 . 【答案】①②④ 【详解】由，且定义域为， 可知函数（）是奇函数， 当时，，得函数在区间上是增函数， 此时的值域为，再结合函数（）是奇函数， 可以得到函数的值域为；故选结论①； 由于函数在区间上是增函数，结合函数（）是奇函数， 可知函数在单调递增，从而有若，则一定有； 故选结论②，不选结论③； 由，根据， 则有， ， 通过不断的迭代，一定有：，， 故选④； 故答案为：①②④. 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（13分）如图，平面，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以，， 因为，为的中点，则， 因为，、平面，所以，平面. （2）解：因为平面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 由（1）可知，平面的一个法向量为， 则， 由图可知，二面角的平面角为锐角， 故二面角的余弦值为. 17．（14分）已知函数，由下列四个条件中选出三个： ①最大值为2；    ②最小正周期为； ③；    ④． (1)求函数的解析式及单调递减区间； (2)设．当时，的值域为，求的取值范围． 【答案】(1)，单调递减区间为(2) 【详解】（1）对于条件③，有， 因为，则，， 显然不成立，因此只能选择条件①②④， 则，， 所以，此时； 令，解之得； （2）由上可知 ， 当时，， 因为此时的值域为，则， 则， 故. 18．（13分）为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的1班~8班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（x轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数）：    (1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，试估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率； (2)若从高一2班抽测的10人中随机抽取1人，从高一5班抽测的10人中随机抽取1人，设X表示这2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求X的分布列和数学期望； (3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第k班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第k班抽到的这名同学身体素质不是优秀.直接写出方差，，，的大小关系（无需过程）. 【答案】(1)；(2)分布列见解析，数学期望；(3). 【详解】（1）依题意，从高一年级的（1）班~（8）班抽测共80人， 其中身体素质监测成绩达到优秀的共有， 所以估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率为. （2）依题意，高一2班抽测的10人中优秀的有6人，高一5班抽测的10人中优秀的有7人， 则可取， ，，， 则的分布列为： 0 1 2 的数学期望. （3）依题意，，服从两点分布，则， ，服从两点分布，则， ，服从两点分布，则， ，服从两点分布，则， 所以. 19．（15分）已知椭圆经过点，离心率为. (1)求的方程； (2)若，为上的两点，且直线与直线的斜率之积为，求证：直线过定点. 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）①当直线的斜率不存在时，设． 则，， ，不合题意． ②当直线的斜率存在时，设，,， 联立方程，得． ，，． 又， 即． 将，代入上式， 得，即， 解得或， 当时，，恒过点，不符合题意，故舍去； 当时，，恒过点，符合题意； 直线过定点. 20．（15分）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)当且时，判断与的大小，并说明理由. 【答案】(1)(2)单调递增区间为；单调递减区间为和； (3)，理由见解析 【详解】（1）当时，；； 而，； 故曲线在点处的切线方程为，即. （2）的定义域为，且；令，得. 当变化时，与的变化情况如下表： ﹣ ﹣ 0 + 单调递减 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递增区间为；单调递减区间为和； （3）当且时，，证明如下： 令，则. 设，则. 所以当时，；当时，. 所以在上单调递减，在（上单调递增. 从而，即， 所以的单调递增区间为和（. 当时，，即； 当时，，即. 综上，当且时，. 21．（15分）已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，若时，规定． (1)若，写出及的值； (2)若数列是等差数列，求数列的通项公式； (3)设集合，求证：且． 【答案】(1)(2)(3)证明见解析 【详解】（1）依题意，，，，， 故得； （2）由题可知，所以，所以． 若，则， 所以，与是等差数列矛盾． 所以． 设，因为是各项均为正整数的递增数列，所以． 假设存在使得． 设，由得． 由得，与是等差数列矛盾． 所以对任意都有． 所以数列是等差数列，． （3）因为对于，所以． 所以，即数列是递增数列． 先证明． 假设，设正整数． 由于，故存在正整数使得，所以． 因为是各项均为正整数的递增数列，所以． 所以． 所以． 又因为数列是递增数列，所以，矛盾． 所以． 再证明． 由题可知． 设且，因为数列是各项均为正整数的递增数列， 所以存在正整数，使得． 令． 若，则，即，所以． 所以，所以． 若，则， 所以． 所以，所以． 因为，所以． 所以． 综上，且． 1 / 6 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2025届高三下学期开学摸底考试卷（北京专用） 数学·答题卡 ( 准考证号： 姓 名： _________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题 4 分，共 4 0分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C ] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二 、填空题（每小题5分，共 25 分） 11 ． ____________________ 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ 14 ． ____________________ 15 ． ____________________ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三 、解答题（共 85 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 16．（13分） 1 7．（14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 8．（13分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三下学期开学摸底考试卷（北京专用） 数学·参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D A D D A C A D B 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．/ 12．2 13． 14． 15．①②④ 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（13分） 【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以，， 因为，为的中点，则， 因为，、平面，所以，平面.（5分） （2）解：因为平面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 由（1）可知，平面的一个法向量为， 则， 由图可知，二面角的平面角为锐角， 故二面角的余弦值为.（13分） 17．（14分） 【详解】（1）对于条件③，有， 因为，则，，（2分） 显然不成立，因此只能选择条件①②④，（4分） 则，， 所以，此时； 令，解之得；（6分） （2）由上可知 ，（8分） 当时，， 因为此时的值域为，则，（10分） 则， 故.（14分） 18．（13分） 【详解】（1）依题意，从高一年级的（1）班~（8）班抽测共80人， 其中身体素质监测成绩达到优秀的共有， 所以估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率为.（4分） （2）依题意，高一2班抽测的10人中优秀的有6人，高一5班抽测的10人中优秀的有7人， 则可取， ，，，（6分） 则的分布列为： 0 1 2 的数学期望.（8分） （3）依题意，，服从两点分布，则， ，服从两点分布，则， ，服从两点分布，则， ，服从两点分布，则， 所以.（13分） 19．（15分） 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的方程为；（4分） （2）①当直线的斜率不存在时，设． 则，， ，不合题意． （6分） ②当直线的斜率存在时，设，,， 联立方程，得． ，，． （8分） 又， 即． 将，代入上式， 得，即， 解得或，（12分） 当时，，恒过点，不符合题意，故舍去； 当时，，恒过点，符合题意； 直线过定点. （15分） 20．（15分） 【详解】（1）当时，；； 而，；（2分） 故曲线在点处的切线方程为，即.（4分） （2）的定义域为，且；令，得. 当变化时，与的变化情况如下表： ﹣ ﹣ 0 + 单调递减 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递增区间为；单调递减区间为和；（8分） （3）当且时，，证明如下： 令，则.（10分） 设，则. 所以当时，；当时，. 所以在上单调递减，在（上单调递增. 从而，即， 所以的单调递增区间为和（.（12分） 当时，，即； 当时，，即. 综上，当且时，.（15分） 21．（15分） 【详解】（1）依题意，，，，， 故得；（4分） （2）由题可知，所以，所以． 若，则， 所以，与是等差数列矛盾． 所以．（4分） 设，因为是各项均为正整数的递增数列，所以． 假设存在使得． 设，由得． 由得，与是等差数列矛盾． 所以对任意都有． 所以数列是等差数列，．（7分） （3）因为对于，所以． 所以，即数列是递增数列．（9分） 先证明． 假设，设正整数． 由于，故存在正整数使得，所以． 因为是各项均为正整数的递增数列，所以． 所以． 所以． 又因为数列是递增数列，所以，矛盾． 所以．（11分） 再证明． 由题可知． 设且，因为数列是各项均为正整数的递增数列， 所以存在正整数，使得． 令． 若，则，即，所以． 所以，所以． 若，则， 所以． 所以，所以． 因为，所以． 所以． 综上，且．（15分） 1 / 6 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025 届高三下学期开学摸底考试卷（北京专用） 数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 5 分，共 25 分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共 85 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13 分） 17．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 18．（13 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15 分） 21．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025届高三下学期开学摸底考试卷（北京专用） 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．复数的模为（   ） A． B． C．1 D． 3．已知向量，，，且，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数是上的奇函数，则函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 5．若的展开式中含的系数为15，则实数（    ） A．2 B．1 C． D． 6．已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，.则（    ） A． B． C．3 D．4 7．在中内角所对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 8．设，则“直线与直线平行”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．“蝠”与“福”发音相同，在中国文化中，蝙蝠图案经常寓意福气临门．某商家设计的折叠储物凳是正三棱台形状，如图，其侧面展开图形似蝙蝠．每个侧面梯形的上底长为分米，下底长为分米，梯形的腰长为分米，忽略储物凳的表面厚度，则该正三棱台储物凳的储物容积为（   ） A．立方分米 B．立方分米 C．7立方分米 D．立方分米 10．设的三边长分别为、、，面积为（为正整数）．若，其中，，，，则（    ） A．为严格减数列 B．为严格增数列 C．为严格增数列，为严格减数列 D．为严格减数列，为严格增数列 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知函数，则 ． 12．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率e= . 13．若对任意的实数，恒成立，则满足条件的一组，的值为 ， . 14．在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.1852年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”，“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在的整数中，把被除余数为，被除余数为，被除余数也为的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列，则数列的项数为 . 15．几位同学在研究函数（）时给出了下面几个结论： ①函数的值域为； ②若，则一定有； ③在是减函数； ④若规定，且对任意正整数n都有：，则对任意恒成立. 上述结论中正确结论的序号为 . 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（13分）如图，平面，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 17．（14分）已知函数，由下列四个条件中选出三个： ①最大值为2；    ②最小正周期为； ③；    ④． (1)求函数的解析式及单调递减区间； (2)设．当时，的值域为，求的取值范围． 18．（13分）为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的1班~8班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（x轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数）：    (1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，试估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率； (2)若从高一2班抽测的10人中随机抽取1人，从高一5班抽测的10人中随机抽取1人，设X表示这2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求X的分布列和数学期望； (3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第k班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第k班抽到的这名同学身体素质不是优秀.直接写出方差，，，的大小关系（无需过程）. 19．（15分）已知椭圆经过点，离心率为. (1)求的方程； (2)若，为上的两点，且直线与直线的斜率之积为，求证：直线过定点. 20．（15分）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)当且时，判断与的大小，并说明理由. 21．（15分）已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，若时，规定． (1)若，写出及的值； (2)若数列是等差数列，求数列的通项公式； (3)设集合，求证：且． 2 / 4 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$