第04讲 等比数列的概念（3大知识点+9大题型+分层练习）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019选修二）

第04讲 等比数列的概念 目录 题型归纳 1 题型01 等比数列的定义 2 题型02 确定等比中项、等比中项的应用 3 题型03 写出等比数列的通项公式 3 题型04 等比数列通项公式的基本量计算 4 题型05 由递推关系证明等比数列 4 题型06 等比数列下标和性质及应用 5 题型07 等比数列的其他性质 5 题型08 等比数列的单调性 6 题型09 利用等比数列的通项公式求数列中的项 6 分层练习 7 夯实基础 7 能力提升 9 知识点01等比数列的概念 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号 语言 在数列{}中，如果（或）(q≠0)成立，则称数列{}为等比数列，常数q称为等比数列的公比 递推 关系 或 知识点02等比中项 如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 若G是a与b的等比中项，则，所以=ab，即G=. 知识点03等比数列的通项公式 若等比数列{}的首项为，公比为q，则这个等比数列的通项公式是=(,q≠0). 题型01等比数列的定义 【例1】（22-23高二上·陕西榆林·期中）已知数列的通项公式为，则数列是（    ） A．以1为首项，为公比的等比数列 B．以3为首项，为公比的等比数列 C．以1为首项，3为公比的等比数列 D．以3为首项，3为公比的等比数列 【变式1】（21-22高二上·河南商丘·期中）若数列对任意正整数n都有，则（    ） A．17 B．18 C．34 D．84 【变式2】（24-25高二上·福建·期中）已知数列各项都是正数的数列，下列说法正确的是（   ） A．若是等差数列，则是等差数列 B．若是等比数列，则是等比数列 C．若是等差数列，则是等比数列 D．若是等比数列，则是等差数列 【变式3】（22-23高二上·陕西西安·期末）在公差大于的等差数列中，，且、、成等比数列，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 题型02 确定等比中项、等比中项的应用 【例2】（22-23高二上·山东临沂·期末）在等比数列中，，，则和的等比中项为（    ） A．10 B．8 C． D． 【变式1】（24-25高二上·江苏苏州·期中）在2和8之间插入3个实数，使得成等比数列，则的值为（    ） A． B．或4 C．4 D．5 【变式2】（23-24高二上·河北石家庄·期中）与的等比中项是 ． 【变式3】（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知等比数列满足，则 ． 题型03 写出等比数列的通项公式 【例3】（23-24高二上·湖北省直辖县级单位·期中）数列的前项和为，若，则（　　） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高二上·天津·期末）已知数列中，（且，则数列通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·广东茂名·期末）已知数列满足：，则 . 【变式3】（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 题型04 等比数列通项公式的基本量计算 【例4】（24-25高二上·江苏淮安·期中）若在1和81之间插入3个数，使这5个数成等比数列，则该等比数列的公比为（   ） A．3 B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·浙江宁波·期中）在各项均为正数的等比数列中，，若存在两项，使得，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【变式2】（23-24高二上·河北唐山·期末）已知等比数列的公比为q，且，，，则 . 【变式3】（23-24高二上·云南昆明·期末）在正项等比数列中，，． (1)求的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的最大项． 题型05 由递推关系证明等比数列 【例5】（23-24高二上·广东茂名·期末）已知数列满足，，且（，且），则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高二上·山西吕梁·期末）已知数列满足，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·广东深圳·期末）已知数满足，则数列的通项公式 ． 【变式3】（23-24高二上·湖北荆州·期末）在数列中，，则 . 题型06 等比数列下标和性质及应用 【例6】（24-25高二上·江苏连云港·期中）等比数列中，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·福建漳州·期中）等比数列中，，，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【变式2】（23-24高二上·广东茂名·期末）已知等比数列满足，，则 ． 【变式3】（24-25高二上·河北衡水·期末）在等比数列中，，则 ． 题型07 等比数列的其他性质 【例7】（21-22高二上·河南·期中）若是各项均为正数的等比数列，且，，则（    ） A． B． C． D．或 【变式1】（21-22高二上·福建漳州·期中）设等比数列的前项和为，若，则（    ） A．65 B．66 C．67 D．64 【变式2】（22-23高二上·天津河西·期末）在等比数列中，，则 . 【变式3】（22-23高二上·北京·期末）在等比数列中，若，，则 . 题型08 等比数列的单调性 【例8】（23-24高二上·福建漳州·期末）已知正项等比数列的前项积为，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】（22-23高二上·河南省直辖县级单位·期末）等比数列为递减数列，若，，则（    ） A． B． C． D．6 【变式2】（22-23高二上·甘肃酒泉·期中）等比数列是递减数列，前n项的积为，若，则 ． 【变式3】（22-23高二上·云南昆明·期末）写出同时满足下列条件的数列的一个通项公式： ； ①数列是递减数列，② 题型09 利用等比数列的通项公式求数列中的项 【例9】（24-25高二上·江苏镇江·期中）在等比数列中，若，，则（    ） A．-32 B．-16 C．16 D．32 【变式1】（23-24高二上·浙江杭州·期末）在等比数列中， ， ，则的值为（　　） A． B．0 C． D．1 【变式2】（23-24高二上·上海闵行·期中）等比数列中，已知，，则 . 【变式3】（23-24高二上·重庆·期末）已知数列是正项等比数列，且，，则 . 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知等比数列中，，，则（    ） A．2 B．﹣2 C． D．4 2．（23-24高二上·山东青岛·期末）等差数列的首项为1，公差为，若成等比数列，则（    ） A．0或 B．2或 C．2 D．0或2 3．（24-25高二上·江苏·期中）已知等比数列的公比，且满足，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（22-23高二上·甘肃嘉峪关·期末）已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝3an＋2，则a2 019＝（    ） A．32 019＋1 B．32 019－1 C．32 019－2 D．32 019＋2 二、多选题 5．（23-24高二上·江苏南通·期末）下列结论正确的是（    ） A．若是等差数列，则是等比数列 B．若是等比数列，则是等比数列 C．若是等比数列，则是等比数列 D．若是等差数列，则是等比数列 6．（23-24高二上·广东·期末）已知是等差数列，公差不为0，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）等比数列中，若，则 ． 8．（23-24高二上·天津·期末）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为 . 四、解答题 9．（22-23高二上·天津北辰·期末）已知数列的前项和为，且.在数列中，，. (1)求的通项公式； (2)证明：是等比数列. 10．（20-21高二上·山东济南·期末）已知等比数列中，，． (1)求数列的通项公式; (2)令，求数列的前项和． 11．（23-24高二上·广东清远·期末）已知数列的前项和为，． (1)求的通项公式． (2)是否存在正整数使，，成等比？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 12．（23-24高二上·甘肃兰州·期中）在等比数列中， (1)已知，求 (2)已知，求. 13．（24-25高二上·上海·期中）已知数列的各项均为正实数，，且（）. (1)求证：数列是等比数列； (2)若数列满足，求数列中的最大项与最小项. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·福建厦门·期末）已知等比数列满足，，则（    ） A． B． C．3 D． 2．（23-24高二上·贵州毕节·期末）已知等比数列的第二项为1，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高二上·山东菏泽·期末）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数.例如.则下列结论正确的是（    ） A． B． C．数列是等比数列 D． 4．（23-24高二上·四川宜宾·期末）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房 (如图)，例如：从蜂房只能爬到号或号蜂房，从号蜂房只能爬到号或号蜂房……以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二上·陕西西安·期末）等比数列的各项均为正数，公比为，其前项的乘积记为．若，，则（    ） A． B． C． D．当且仅当时， 6．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知等比数列的公比为，前项积为，若，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（22-23高二上·天津·期末）已知数列的前项和为，满足对任意的，均有，则 . 8．（23-24高二上·四川成都·期末）已知四个整数满足．若成等差数列，成等比数列，且，则的值为 ． 四、解答题 9．（23-24高二上·安徽·期末）公差不为零的等差数列中，是和的等比中项，且该数列前项之和为． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项之和的最小值． 10．（21-22高二上·黑龙江鸡西·期末）设正项等比数列满足，，，为数列的前n项和， (1)求的通项公式； (2)当n满足什么条件时，恒成立？ 11．（22-23高二上·河北保定·期末）某人购买某种教育基金，今年5月1日交了10万元，年利率5%，以后每年5月1日续交2万元，设从今年起每年5月1日的教育基金总额依次为，，，……. (1)写出和，并求出与之间的递推关系式； (2)求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式. 12．（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 等比数列的概念 目录 题型归纳 1 题型01 等比数列的定义 2 题型02 确定等比中项、等比中项的应用 5 题型03 写出等比数列的通项公式 6 题型04 等比数列通项公式的基本量计算 8 题型05 由递推关系证明等比数列 11 题型06 等比数列下标和性质及应用 13 题型07 等比数列的其他性质 15 题型08 等比数列的单调性 16 题型09 利用等比数列的通项公式求数列中的项 19 分层练习 21 夯实基础 21 能力提升 29 知识点01等比数列的概念 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号 语言 在数列{}中，如果（或）(q≠0)成立，则称数列{}为等比数列，常数q称为等比数列的公比 递推 关系 或 知识点02等比中项 如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 若G是a与b的等比中项，则，所以=ab，即G=. 知识点03等比数列的通项公式 若等比数列{}的首项为，公比为q，则这个等比数列的通项公式是=(,q≠0). 题型01等比数列的定义 【例1】（22-23高二上·陕西榆林·期中）已知数列的通项公式为，则数列是（    ） A．以1为首项，为公比的等比数列 B．以3为首项，为公比的等比数列 C．以1为首项，3为公比的等比数列 D．以3为首项，3为公比的等比数列 【答案】A 【知识点】等比数列的定义 【分析】由通项公式可知，这是等比数列，然后利用等比数列的定义求出首项和公比即可. 【详解】因为，，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列. 故选：A 【变式1】（21-22高二上·河南商丘·期中）若数列对任意正整数n都有，则（    ） A．17 B．18 C．34 D．84 【答案】B 【知识点】等比数列的定义、由递推关系式求通项公式 【分析】根据递推公式，可求出数列的通项公式，从而可求出的值. 【详解】因为， 所以时，， 两式相减，得，即， 又时，得也适合， 所以时，， 所以． 故选：B． 【变式2】（24-25高二上·福建·期中）已知数列各项都是正数的数列，下列说法正确的是（   ） A．若是等差数列，则是等差数列 B．若是等比数列，则是等比数列 C．若是等差数列，则是等比数列 D．若是等比数列，则是等差数列 【答案】C 【知识点】判断等差数列、等比数列的定义 【分析】利用等差数列、等比数列的定义逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于AC选项，若数列为等差数列，设其公差为，则为正常数， 所以，数列是等比数列， 但不是常数，故数列不是等差数列，A错C对； 对于BD选项，若数列为等比数列，设其公比为， 则不是常数，故数列不是等比数列， 不是常数，故数列不是等差数列，BD都错. 故选：C. 【变式3】（22-23高二上·陕西西安·期末）在公差大于的等差数列中，，且、、成等比数列，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等比数列的定义、分组（并项）法求和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】设等差数列的公差为，则，根据题中条件可得出关于的方程，求出的值，可得出数列的通项公式，再利用并项求和法可求得数列的前项和. 【详解】设等差数列的公差为，则，所以，， 所以，，， 因为、、成等比数列，则，即， 即， 因为，则，所以，， 对任意的，， 所以，的前项和为 . 故选：A. 题型02 确定等比中项、等比中项的应用 【例2】（22-23高二上·山东临沂·期末）在等比数列中，，，则和的等比中项为（    ） A．10 B．8 C． D． 【答案】C 【知识点】确定等比中项 【分析】根据等比中项的定义可得结果. 【详解】根据等比中项的定义可得和的等比中项为. 故选：C 【变式1】（24-25高二上·江苏苏州·期中）在2和8之间插入3个实数，使得成等比数列，则的值为（    ） A． B．或4 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】等比中项的应用 【分析】根据等比中项求解即可. 【详解】由为等比中项可知，， 又可知， 所以， 故选：C 【变式2】（23-24高二上·河北石家庄·期中）与的等比中项是 ． 【答案】或 【知识点】确定等比中项 【分析】由等比中项性质列方程求等比中项即可. 【详解】令与的等比中项是，则，故. 故答案为：或 【变式3】（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知等比数列满足，则 ． 【答案】3 【知识点】等比中项的应用 【分析】根据等比中项的性质即可求解. 【详解】由可得， 故答案为：3 题型03 写出等比数列的通项公式 【例3】（23-24高二上·湖北省直辖县级单位·期中）数列的前项和为，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】写出等比数列的通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】利用求得，进而求得正确答案. 【详解】依题意，， 当时，， 当时，由得， 两式相减并整理得， 所以数列从第项起是等比数列，则， 即，所以. 故选：D 【变式1】（22-23高二上·天津·期末）已知数列中，（且，则数列通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】写出等比数列的通项公式、构造法求数列通项 【分析】由已知得，进而确定数列的通项公式，即可求. 【详解】由，知：且()， 而，， ∴是首项、公比都为3的等比数列，即， 故选：C 【变式2】（23-24高二上·广东茂名·期末）已知数列满足：，则 . 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式 【分析】由题意构造数列，由此可得当时，，进一步即可求解. 【详解】设，的前项和为，则， 当时，，即， 当时，，满足题意， 所以，. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】求等差数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）利用与的关系式即可求解； （2）由（1）得出数列是以为首项，为公差的等差数列，然后利用公式求解即可. 【详解】（1）当时，，得， 当时，由得，， 两式相减得：， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，且. （2）由（1）知， 所以时，， 因此，数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以. 题型04 等比数列通项公式的基本量计算 【例4】（24-25高二上·江苏淮安·期中）若在1和81之间插入3个数，使这5个数成等比数列，则该等比数列的公比为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等比数列定义知，求解即得答案. 【详解】设这5个数组成的等比数列为，公比为，则，. ∵， 即 解得 故选：C. 【变式1】（24-25高二上·浙江宁波·期中）在各项均为正数的等比数列中，，若存在两项，使得，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】先求出该等比数列的公比，再将后式化简，得出和的关系，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，因为，所以， 即，解得或（舍去）． 因为，所以，即，所以， 所以或或 所以的值为或或，所以的最小值为． 故选：A． 【变式2】（23-24高二上·河北唐山·期末）已知等比数列的公比为q，且，，，则 . 【答案】/0.5 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等比数列，得，求出的值即可. 【详解】因为等比数列的公比为q，且，，， 所以，即，即，解得或（舍）， 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·云南昆明·期末）在正项等比数列中，，． (1)求的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的最大项． 【答案】(1) (2) 【知识点】确定数列中的最大（小）项、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）根据等比数列通项公式列式求解即可； （2）解，根据数列的单调性求最值即可. 【详解】（1）设正项等比数列的公比为，， 由题意可得， 因为，所以，解得或（舍去）， 所以等比数列的首项为，公比为，通项公式. （2）由（1）得，所以， 令解得， 所以当时，，即， 又，，， 所以数列的最大项为, 题型05 由递推关系证明等比数列 【例5】（23-24高二上·广东茂名·期末）已知数列满足，，且（，且），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由递推关系证明等比数列、写出等比数列的通项公式 【分析】根据题意分析可知数列是以首项为1，公比为的等比数列，即可得结果. 【详解】因为，则，且， 又因为，，即， 可知数列是以首项为1，公比为的等比数列，所以. 故选：A. 【变式1】（22-23高二上·山西吕梁·期末）已知数列满足，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由递推关系证明等比数列、由递推关系式求通项公式 【分析】根据递推公式得到是以为首项，以为公比的等比数列，则，然后利用累加法即可求解. 【详解】由可得：， 若，则，与题中条件矛盾，故， 所以，也即数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以， 则有， 也即，所以， 故选：. 【变式2】（23-24高二上·广东深圳·期末）已知数满足，则数列的通项公式 ． 【答案】 【知识点】构造法求数列通项、写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列 【分析】由题意可得，即是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的通项公式求解即可. 【详解】由可得：，又, ， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·湖北荆州·期末）在数列中，，则 . 【答案】2017 【知识点】由递推关系式求通项公式、由递推关系证明等比数列、写出等比数列的通项公式 【分析】先利用待定系数法将表示为并求，再利用等比数列的性质可得的通项公式，进而求. 【详解】将用待定系数法来表示，即, 整理得，则，得. 于是可表示为， 又， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即. 所以. 故答案为：. 题型06 等比数列下标和性质及应用 【例6】（24-25高二上·江苏连云港·期中）等比数列中，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】运用等比数列的下标性质计算即可. 【详解】等比数列中，，，则. 故选：C. 【变式1】（24-25高二上·福建漳州·期中）等比数列中，，，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】D 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】由等比数列性质计算即可. 【详解】由， 可得：即， 又，所以， 由，可得：， 故选：D 【变式2】（23-24高二上·广东茂名·期末）已知等比数列满足，，则 ． 【答案】12 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质计算即可. 【详解】等比数列满足，，由，得. 故答案为：12 【变式3】（24-25高二上·河北衡水·期末）在等比数列中，，则 ． 【答案】 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】根据题意，由等比数列的性质代入计算，即可得到结果. 【详解】因为是等比数列， 所以， 所以或， 又在等比数列中，偶数项的符号相同，所以. 故答案为： 题型07 等比数列的其他性质 【例7】（21-22高二上·河南·期中）若是各项均为正数的等比数列，且，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【知识点】等比数列的其他性质 【分析】根据等比数列的通项公式可得，求出公比再代入通项公式，即可得到答案； 【详解】设数列的公比为，则，所以（舍去），因此. 故选：C. 【变式1】（21-22高二上·福建漳州·期中）设等比数列的前项和为，若，则（    ） A．65 B．66 C．67 D．64 【答案】A 【知识点】等比数列的其他性质 【分析】根据等比数列的性质，是等比数列，即可列式求解. 【详解】因为是等比数列，且前项和为， 故可得：是等比数列， 即是等比数列，则，解得：. 故选：A. 【变式2】（22-23高二上·天津河西·期末）在等比数列中，，则 . 【答案】4 【知识点】等比数列的其他性质 【分析】根据等比数列性质运算求解. 【详解】由题意可得：. 故答案为：4. 【变式3】（22-23高二上·北京·期末）在等比数列中，若，，则 . 【答案】64 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列的其他性质 【分析】利用等比数列的性质化简求值即可. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，， 所以，可得， 所以. 故答案为：64. 题型08 等比数列的单调性 【例8】（23-24高二上·福建漳州·期末）已知正项等比数列的前项积为，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】等比数列下标和性质及应用、等比数列的单调性 【分析】结合等比数列的性质及数列的单调性判断各选项即可. 【详解】由已知数列各项均为正，因此乘积也为正，公比，若，则， 由等比数列性质知，所以，故选项A错误； 又，因为，所以，所以， 则，故先增后减，所以，故选项B正确； 若，则，又，无法判断与1的大小，即无法判断与1的大小，故与大小没法判断，故选项CD错误. 故选：B 【变式1】（22-23高二上·河南省直辖县级单位·期末）等比数列为递减数列，若，，则（    ） A． B． C． D．6 【答案】A 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用、等比数列的单调性 【分析】由结合，可得为方程的两个根，又，解得，，再结合等比数列通项公式即可得出. 【详解】由为等比数列，得，又， ∴为方程的两个根， 解得，或，， 由为递减数列得，∴，， ∴， 则， 故选：A. 【变式2】（22-23高二上·甘肃酒泉·期中）等比数列是递减数列，前n项的积为，若，则 ． 【答案】2 【知识点】等比数列的单调性、等比数列下标和性质及应用 【分析】由题意可得，且，由条件可得，化简得，再由，求得的值． 【详解】解：等比数列是递减数列，其前项的积为，若，设公比为， 则由题意可得，且． ，． 又由等比数列的性质可得，． 故答案为：2． 【变式3】（22-23高二上·云南昆明·期末）写出同时满足下列条件的数列的一个通项公式： ； ①数列是递减数列，② 【答案】（答案不唯一） 【知识点】等比数列的单调性 【分析】本题属于开放性问题，只需找到符合题意的，令，再检验即可. 【详解】令，因为函数在定义域上单调递减，且当时， 所以单调递减，且，符合题意. 故答案为：（答案不唯一） 题型09 利用等比数列的通项公式求数列中的项 【例9】（24-25高二上·江苏镇江·期中）在等比数列中，若，，则（    ） A．-32 B．-16 C．16 D．32 【答案】D 【知识点】利用等比数列的通项公式求数列中的项 【分析】利用等比数列的性质即可得出. 【详解】设等比数列的公比为， . 故选：D. 【变式1】（23-24高二上·浙江杭州·期末）在等比数列中， ， ，则的值为（　　） A． B．0 C． D．1 【答案】C 【知识点】利用等比数列的通项公式求数列中的项 【分析】利用等比数列的通项公式求解. 【详解】∵为等比数列， ∴公比， ∴， ∴， 故选：C . 【变式2】（23-24高二上·上海闵行·期中）等比数列中，已知，，则 . 【答案】2 【知识点】利用等比数列的通项公式求数列中的项 【分析】由等比数列的性质可得答案. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，，所以，所以， 所以. 故答案为：2. 【变式3】（23-24高二上·重庆·期末）已知数列是正项等比数列，且，，则 . 【答案】/ 【知识点】利用等比数列的通项公式求数列中的项、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等比数列的性质可求出公比的平方，结合，即可求得答案. 【详解】由题意知数列是正项等比数列，且，， 设数列的公比为q，则， 则， 故答案为： 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知等比数列中，，，则（    ） A．2 B．﹣2 C． D．4 【答案】A 【分析】由已知结合等比数列的性质即可求解. 【详解】解：∵等比数列中，，， 所以，解得. 又，可得与同号， 故. 故选：A. 2．（23-24高二上·山东青岛·期末）等差数列的首项为1，公差为，若成等比数列，则（    ） A．0或 B．2或 C．2 D．0或2 【答案】A 【分析】利用等比中项及等差数列的通项公式即可求解. 【详解】因为成等比数列， 所以， 因为等差数列的首项为1，公差为， 所以，即，解得或. 故选：A. 3．（24-25高二上·江苏·期中）已知等比数列的公比，且满足，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由等比数列的通项公式计算基本量即可. 【详解】由于，， 所以，两式相除得， 解得或， 因为，所以. 故选：A 4．（22-23高二上·甘肃嘉峪关·期末）已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝3an＋2，则a2 019＝（    ） A．32 019＋1 B．32 019－1 C．32 019－2 D．32 019＋2 【答案】B 【分析】根据题意和构造法可得，结合等比数列的定义和通项公式求出，即可求解. 【详解】设，则， 由，得， 所以，又， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 得，则， 所以. 故选：B. 二、多选题 5．（23-24高二上·江苏南通·期末）下列结论正确的是（    ） A．若是等差数列，则是等比数列 B．若是等比数列，则是等比数列 C．若是等比数列，则是等比数列 D．若是等差数列，则是等比数列 【答案】ABD 【分析】由已知结合等比数列和等差数列的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，由题意，公差， 则为非零常数，所以是等比数列，故A正确； 对于B，由题意，公比， 则为非零常数，所以是等比数列，故B正确； 对于C，当时，， 此时不是等比数列，故C错误； 对于D，由题意得，且 则为非零常数，所以是等比数列，故D正确. 故选：ABD. 6．（23-24高二上·广东·期末）已知是等差数列，公差不为0，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据等差数列通项公式和等比中项列出等式，化简求解即可. 【详解】因为成等比数列，所以，则， 又不为0，所以， ，符号不确定，故A错误. ，故B正确； 所以，故C正确； ，故D错误； 故选：BC. 三、填空题 7．（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）等比数列中，若，则 ． 【答案】 【分析】利用等比数列的定义及等比中项计算即可. 【详解】设的公比为，则， 由等比中项的性质知. 故答案为：. 8．（23-24高二上·天津·期末）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】变形得到，故为公比为2的等比数列，从而得到通项公式. 【详解】， 又，故为公比为2的等比数列， 故，所以. 故答案为： 四、解答题 9．（22-23高二上·天津北辰·期末）已知数列的前项和为，且.在数列中，，. (1)求的通项公式； (2)证明：是等比数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由可求得数列的通项公式； （2）推导出，结合等比数列的定义可证得结论成立. 【详解】（1）解：因为数列的前项和为，且. 当时，， 当时，， 也满足，故对任意的，. （2）解：当时，，可得，所以，， 且，则，，， 以此类推可知，对任意的，，所以，， 因此，数列是公比为的等比数列. 10．（20-21高二上·山东济南·期末）已知等比数列中，，． (1)求数列的通项公式; (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基本量代换，用通项公式代入列方程组解得； （2）由，判断为等差数列，套公式求和. 【详解】（1）设等比数列的首项为，公比为，由题意得：    解得 所以. （2）， 所以数列为等差数列，又, 所以． 11．（23-24高二上·广东清远·期末）已知数列的前项和为，． (1)求的通项公式． (2)是否存在正整数使，，成等比？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【分析】（1）根据求数列的通项公式； （2）结合数列的通项公式，和三个数成等比数列的有关结论，求的值. 【详解】（1）当时，， 当时，， 又符合， 所以的通项公式为. （2）存在，理由如下： 设存在，使，，成等比，则 所以：解得：或（舍去）. 所以：可使，，成等比. 12．（23-24高二上·甘肃兰州·期中）在等比数列中， (1)已知，求 (2)已知，求. 【答案】(1)或 (2)6 【分析】(1) 已知等比数列的通项公式代入，求出q，最后求出； (2) 已知项的和，代入等比数列的通项公式，求出，由，求 【详解】（1）设公比为，则，所以， 解得，由， 所以可知或； （2）设公比为q，由题意得：， 两式相除得：，所以， 又因为，所以， 解得. 13．（24-25高二上·上海·期中）已知数列的各项均为正实数，，且（）. (1)求证：数列是等比数列； (2)若数列满足，求数列中的最大项与最小项. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大项为；最小项为 【分析】（1）根据等比数列的定义，结合题目中的等式，可得答案； （2）由（1）可得数列的通项公式，结合对数运算可得数列的通项公式，利用幂函数单调性，可得答案. 【详解】（1）证明：由，则，， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列. （2）由（1）可得， 当时，，则数列的最小项为， 由函数在上单调递减，则数列的最大项为. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·福建厦门·期末）已知等比数列满足，，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据数列是等比数列，所以，据此即可求解. 【详解】因为数列是等比数列，所以， 所以或，因为，， 所以. 故选：C. 2．（23-24高二上·贵州毕节·期末）已知等比数列的第二项为1，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分性必要性的定义以及等比数列性质即可求解. 【详解】因为等比数列的第二项为1，所以数列的偶数项一定为正， 若，则，即， 此时，故，即充分性成立； 若，则，所以或， 此时或，所以不一定成立，即必要性不成立. 故选：A. 3．（23-24高二上·山东菏泽·期末）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数.例如.则下列结论正确的是（    ） A． B． C．数列是等比数列 D． 【答案】C 【分析】根据题意，由特殊值，即可判断ABD，再根据等比数列的定义，以及欧拉函数，即可判断C. 【详解】因为，，，所以，故A错误； 且，故B错误； 因为所有偶数与不互素，所有奇数与互素，所以，， 所以，即数列是等比数列，故C正确； ，，所以，故D错误. 故选：C 4．（23-24高二上·四川宜宾·期末）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房 (如图)，例如：从蜂房只能爬到号或号蜂房，从号蜂房只能爬到号或号蜂房……以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据递推关系以及构造法求得正确答案. 【详解】依题意，（），， 当时， ， ，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. 故选：A 【点睛】本题首先是考查观察能力，通过观察题目所给图象，探究数列的递推关系.其次是根据递推关系求通项公式，利用的是构造函数法以及等比数列的定义，将递推关系转化为等比数列的形式，从而可利用等比数列的知识来对问题进行求解. 二、多选题 5．（23-24高二上·陕西西安·期末）等比数列的各项均为正数，公比为，其前项的乘积记为．若，，则（    ） A． B． C． D．当且仅当时， 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，确定数列，再结合数列性质即可求解作答. 【详解】正项等比数列前n项之积，由得：， 于是得，解得，所以，因为，所以，，故A正确； 因为， ，即，因为等比数列的各项均为正数，所以，故B正确； ，因为， 当时，取得最大值，所以，故C正确； 由， 当时，即，解得或（舍）， 所以时，，故D错误， 故选：ABC. 6．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知等比数列的公比为，前项积为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先通过条件确定和的取值情况，然后利用等比数列的性质计算即可. 【详解】由已知，又，， 所以，，A正确，B错误； ， ， ， 所以，C正确，D错误. 故选：AC. 三、填空题 7．（22-23高二上·天津·期末）已知数列的前项和为，满足对任意的，均有，则 . 【答案】 【分析】根据递推公式得到，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，利用等比数列的通项即可求解. 【详解】因为对任意的，均有，则有， 当时，，所以； 当时，，也即， 因为，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，则， 故答案为：. 8．（23-24高二上·四川成都·期末）已知四个整数满足．若成等差数列，成等比数列，且，则的值为 ． 【答案】333 【分析】设公差为x，从而由题意列式得到，化为，结合b为整数确定x的取值，进而确定的值. 【详解】因为成等差数列，故设公差为x，则， 由成等比数列，得，结合， 得，整理得， 由于为整数，且，故x为整数，， 则，需满足，即， 结合b为整数，代入，可得只有当时，才为整数， 当时，，则，不合题意； 当时，，则，，，适合题意， 则， 故答案为：333 【点睛】关键点点睛：本题考查了数列的综合应用，解答的关键是利用等差等比数列的性质来设参数x，得出后，要结合题意确定x的值，进而求得答案. 四、解答题 9．（23-24高二上·安徽·期末）公差不为零的等差数列中，是和的等比中项，且该数列前项之和为． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项之和的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）设等差数列的公差为，则，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式； （2）解不等式，得出满足条件的正整数的最大值，再结合等差数列的求和公式可求得的最小值. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为，则， 因为是和的等比中项，则，即， 即，整理可得，① 又因为数列的前项和为，可得②， 解得，，所以，. （2）解：由，可得， 而，所以，满足条件的的最大值为， 因此，数列的前项之和的最小值为. 10．（21-22高二上·黑龙江鸡西·期末）设正项等比数列满足，，，为数列的前n项和， (1)求的通项公式； (2)当n满足什么条件时，恒成立？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列公式计算得到答案. （2）确定，，解不等式得到答案. 【详解】（1），，， 解得，， 所以； （2）， 故． ，即，即，解得， n的取值范围是 11．（22-23高二上·河北保定·期末）某人购买某种教育基金，今年5月1日交了10万元，年利率5%，以后每年5月1日续交2万元，设从今年起每年5月1日的教育基金总额依次为，，，……. (1)写出和，并求出与之间的递推关系式； (2)求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式. 【答案】(1)，， (2)证明见解析， 【分析】（1）由已知可得和，仿写可得与之间的递推关系式； （2）结合上问中的递推关系再证明即可，再由基本量法求出通项； 【详解】（1），， ， （2）证明： 是以50为首项，为公比的等比数列. ， 12．（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）先利用递推式求得，再利用已知条件结合化简得，从而根据等比数列定义判断数列为等比数列，然后写出通项公式即可； （2）推出，假设存在3项，，成等比数列，则，即，结合解得，与已知矛盾，即可判断. 【详解】（1）由题意知，当时，，因为，所以，① 因为，所以，所以，② 两式相减得，所以. 由①②，数列是以2为首项，4为公比的等比数列，所以数列的通项公式； （2）由（1）知，，所以， 所以. 假设数列中存在3项，，，（其中成等差数列）成等比数列， 则，互不相等， 所以，即. 又因为m，k，p成等差数列，所以，所以. 化简得，所以，又，所以与已知矛盾. 所以在数列中不存在3项，，成等比数列. 【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关求得关于的表达式，从而分析得解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$