6.1平面向量的概念（导学案）-【上好课】高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

6.1 平面向量的概念 导学案 1、 学习目标 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量,了解向量的实际背景.掌握向量与数量的区别. 2.掌握向量的几何表示,会用字母表示向量,用向量表示点的位置. 3.理解向量、零向量、单位向量、向量的长度(模)的意义,了解平行向量(共线向量)和相等向量的意义,并会判断向量间共线(平行)、相等的关系. 2、 重点难点 重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 3、 导入新知 情境导入： 情境一：小船由A地航行15 n mile 到达B地。试问小船能到达B地吗？    情境二：小船由A地向东南方向航行15 n mile 到达B地。试问小船能到达B地吗？ 问:位移和距离这两个量有什么不同？ 情境三：物体受到的重力是竖直向下的，物体的质量越大，它受到的重力越大。 情境四：物体在液体中受到的浮力是竖直向上的，物体浸在液体中的体积越大，它受到的浮力越大。问:你能通过这些物理量得出向量的概念吗？ 在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后只用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等．还有一些量则不是这样，例如下图中小船的位移，小船由A地向东南方向航行15 n mile到达B地（速度的大小为10 n mile/h)．这里，如果仅指出“由A地航行15 n mile”，而不指明“向东南方向”航行，那么小船就不一定到达B地了．这就是说，位移是既有大小又有方向的量．力、速度、加速度等也是这样的量．对这种既有大小又有方向的量加以抽象，就得到了我们本章将要研究的向量． 向量是近代数学中重要和基本的概念之一，向量理论具有丰富的物理背景、深刻的数学内涵．向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥着重要作用． 本章我们将通过实际背景引入向量的概念，类比数的运算学习向量的运算及其性质，建立向量的运算体系．在此基础上，用向量的语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的一些问题． 我们知道，力、位移、速度等物理量是既有大小、又有方向的量．本节我们将通过对这些量的抽象，形成向量概念及其表示方法；通过研究向量之间的一些特殊关系，初步认识向量的一些特征． （1） 向量的实际背景与概念 在本章引言中，小船位移的大小是A，B两地之间的距离15 n mile，位移的方向是东南方向；小船航行速度的大小是10 n mile/h，速度的方向是东南方向．又如，物体受到的重力是竖直向下的（图6.1-1)，物体的质量越大，它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的（图6.1-2)，物体浸在液体中的体积越大，它受到的浮力越大． 力、位移、速度等有各自的特性，而“既有大小，又有方向”是它们的共同属性．我们知道，从一支笔、一棵树、一本书……中，可以抽象出只有大小的数量“1”．类似地，我们可以对力、位移、速度……这些量进行抽象，形成一种新的量． 在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量(vector)，而把只有大小没有方向的量称为数量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等都是数量． 物理学中常称向量为矢量，数量为标量，你还能举出物理学中的一些向量和数量吗？ （2） 向量的几何表示 由于数量可以用实数表示，而实数与数轴上的点一一对应，所以数量可用数轴上的点表示，而且不同的点表示不同的数量．那么，该如何表示向量呢？ 我们仍以位移为例，小船以A为起点，B为终点，我们可以用连接A，B两点的线段长度代表小船行进的距离，并在终点B处加上箭头表示小船行驶的方向．于是，这条“带有方向的线段”就可以用来表示位移．受此启发，我们可以用带箭头的线段来表示向量，线段按一定比例（标度）画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向． 通常，在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段(directed line segment)(图6.1-3)． 通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段的长度也叫做有向线段的长度，记作． 有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定了． 向量可以用有向线段表示，我们把这个向量记作向量．有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．用有向线段表示向量，使向量有了直观形象． 向量的大小称为向量的长度（或称模），记作．长度为0的向量叫做零向量（zero vector)，记做．长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量（unit vector)． 向量也可以用字母，，，…表示． 4、 应用新知 例1 在图6.1-4中，分别用向量表示A地至B，C两地的位移，并根据图中的比例尺，求出A地至B，C两地的实际距离（精确到1km)． 【变式】如图所示，在平行四边形中成立的是（    ）    A． B． C． D． （3） 相等向量与共线向量 下面，我们通过向量之间的关系进一步认识向量． 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（parallel vectors)．如图6.1-5，用有向线段表示的向量与是两个平行向量． 向量与平行，记作． 我们规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量，都有． 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量（equal vector)．如图6.1-6，用有向线段表示的向量与相等，记作． 任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关；同时，两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的模和方向确定． 如图6.1-7，，，是一组平行向量，任作一条与所在直线平行的直线，在上任取一点，则可在l上分别作出，，．这就是说，任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量（collinear vectors)． 例2 如图6.1-8，设O是正六边形ABCDEF的中心． （1）写出图中的共线向量； （2）分别写出图中与，，相等的向量． 【变式】如图，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形.在图中所示的向量中： (1)分别写出与，相等的向量； (2)写出与的相反向量； (3)写出与模相等的向量. 5、 能力提升 题型一、向量的有关概念及辨析 【练习1】下列说法中正确的是（    ） A．平行向量就是向量所在的直线平行的向量 B．长度相等的向量叫相等向量 C．零向量的长度为零 D．共线向量是在一条直线上的向量 题型二、相等向量与共线向量 【练习2】下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型三　向量的表示与向量的模 【练习3】在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 6、 课堂总结 1.向量的概念及表示 (1)定义:既有大小又有方向的量叫做向量. (2)表示: ①有向线段:具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、方向、长度. (3)两个特殊向量: ①零向量与非零向量: 长度为0的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写时,可写为.长度不为0的向量称为非零向量. ②单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量. 2.向量间的关系 (1)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量a,b平行,记作a∥b.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有0∥a. (2)相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;向量a与b相等,记作a=b. 练习（第4页） 1．下列量中哪些是向量？ 悬挂物受到的拉力，压强，摩擦力，频率，加速度． 2．画两条有向线段，分别表示一个竖直向下、大小为18 N的力和一个水平向左、大小为28 N的力．（用1 cm长表示10 N） 3．指出图中各向量的长度．（规定小方格的边长为0.5） 4．将向量用具有同一起点的有向线段表示． （1）当与是相等向量时，判断终点与的位置关系； （2）当与是平行向量，且时，求向量的长度，并判断的方向与的方向之间的关系． 习题6.1（第5页） 复习巩固 1．在如图所示的坐标纸（规定小方格的边长为1）中，用直尺和圆规画出下列向量： （1），点在点的正南方向； （2），点在点北偏西方向； （3），点在点南偏西方向． 2．如图，点是平行四边形ABCD的对角线的交点，且，，，分别写出平行四边形ABCD和折线中与，，相等的向量． 综合运用 3．判断下列结论是否正确（正确的在括号内打“√”，错的打“×”），并说明理由． （1）若与都是单位向量，则． （ ） （2）方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量． （ ） （3）直角坐标平面上的轴、轴都是向量． （ ） （4）若与是平行向量，则． （ ） （5）若用有向线段表示的向量与不相等，则点与不重合． （ ） （6）海拔、温度、角度都不是向量． （ ） 4．如图，在矩形中，，，分别为边，的中点，在以，，，，，为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相等的向量共有多少对？ 思考与阅读 向量及向量符号的由来 向量最初应用于物理学，被称为矢量．很多物理量，如力、位移、速度、电场强度、磁感应强度等都是向量．向量的概念萌芽于二千多年前，大约在公元前350年，古希腊著名学者亚里士多德（Aristotle，公元前384一前322)就知道了力可以表示成向量．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国科学家牛顿（Isaac Newton，1642-1727)． 向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出“箭头表示方向，线段长表示大小”的有向线段来表示它．1806年，瑞士人阿尔冈（J．R． Argand,1768-1822)以表示有向线段或向量．1827年，默比乌斯（A． F．Mobius,1790-1868)以表示起点为A，终点为B的向量，这种用法被数学家广泛接受．另外，哈密顿（W．R．Hamilton，1805-1865）、吉布斯（J．W．Gibbs,1839-1903)等人则以小写希腊字母表示向量．后来，字母上加箭头表示向量的方法逐渐流行，尤其用在手写稿中；为了方便印刷，人们又用粗黑体小写字母a，b等表示向量．这两种符号一直沿用至今． 莱布尼茨（G．W．Leibniz，1646-1716）曾经从位置几何学研究的视角进行过预想：“我已经发现了一些完全不同的有新特点的元素，即使在没有任何图形的情况下，它也能有利于表达思想、表达事物的本质．我的这个新系统能紧跟可见的图形，以一种自然的、分析的方式，通过一个确定的程序同时给出解、构造和几何的证明．”莱布尼茨所说的“有新特点的元素”和“新系统”就是逐渐形成和发展起来的向量及其理论． 向量进入数学并得到发展，是从复数的几何表示开始的．1797年，丹麦测量学家韦塞尔（Caspar Wessel，1745-1818）把复数表示为向量，并利用向量定义复数运算．他把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了利用复数表示、研究平面中的向量． 发展到现在，向量在数学、物理、计算机科学与技术等学科，以及社会生产、生活、经济、金融与贸易等各领域中都有广泛的应用，成为解决这些领域中各种问题的有力工具． 你能说一说用符号表示向量所起的重要作用吗？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.1 平面向量的概念 导学案 1、 学习目标 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量,了解向量的实际背景.掌握向量与数量的区别. 2.掌握向量的几何表示,会用字母表示向量,用向量表示点的位置. 3.理解向量、零向量、单位向量、向量的长度(模)的意义,了解平行向量(共线向量)和相等向量的意义,并会判断向量间共线(平行)、相等的关系. 2、 重点难点 重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 3、 导入新知 情境导入： 情境一：小船由A地航行15 n mile 到达B地。试问小船能到达B地吗？    情境二：小船由A地向东南方向航行15 n mile 到达B地。试问小船能到达B地吗？ 问:位移和距离这两个量有什么不同？ 情境三：物体受到的重力是竖直向下的，物体的质量越大，它受到的重力越大。 情境四：物体在液体中受到的浮力是竖直向上的，物体浸在液体中的体积越大，它受到的浮力越大。问:你能通过这些物理量得出向量的概念吗？ 在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后只用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等．还有一些量则不是这样，例如下图中小船的位移，小船由A地向东南方向航行15 n mile到达B地（速度的大小为10 n mile/h)．这里，如果仅指出“由A地航行15 n mile”，而不指明“向东南方向”航行，那么小船就不一定到达B地了．这就是说，位移是既有大小又有方向的量．力、速度、加速度等也是这样的量．对这种既有大小又有方向的量加以抽象，就得到了我们本章将要研究的向量． 向量是近代数学中重要和基本的概念之一，向量理论具有丰富的物理背景、深刻的数学内涵．向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥着重要作用． 本章我们将通过实际背景引入向量的概念，类比数的运算学习向量的运算及其性质，建立向量的运算体系．在此基础上，用向量的语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的一些问题． 我们知道，力、位移、速度等物理量是既有大小、又有方向的量．本节我们将通过对这些量的抽象，形成向量概念及其表示方法；通过研究向量之间的一些特殊关系，初步认识向量的一些特征． （1） 向量的实际背景与概念 在本章引言中，小船位移的大小是A，B两地之间的距离15 n mile，位移的方向是东南方向；小船航行速度的大小是10 n mile/h，速度的方向是东南方向．又如，物体受到的重力是竖直向下的（图6.1-1)，物体的质量越大，它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的（图6.1-2)，物体浸在液体中的体积越大，它受到的浮力越大． 力、位移、速度等有各自的特性，而“既有大小，又有方向”是它们的共同属性．我们知道，从一支笔、一棵树、一本书……中，可以抽象出只有大小的数量“1”．类似地，我们可以对力、位移、速度……这些量进行抽象，形成一种新的量． 在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量(vector)，而把只有大小没有方向的量称为数量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等都是数量． 物理学中常称向量为矢量，数量为标量，你还能举出物理学中的一些向量和数量吗？ （2） 向量的几何表示 由于数量可以用实数表示，而实数与数轴上的点一一对应，所以数量可用数轴上的点表示，而且不同的点表示不同的数量．那么，该如何表示向量呢？ 我们仍以位移为例，小船以A为起点，B为终点，我们可以用连接A，B两点的线段长度代表小船行进的距离，并在终点B处加上箭头表示小船行驶的方向．于是，这条“带有方向的线段”就可以用来表示位移．受此启发，我们可以用带箭头的线段来表示向量，线段按一定比例（标度）画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向． 通常，在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段(directed line segment)(图6.1-3)． 通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段的长度也叫做有向线段的长度，记作． 有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定了． 向量可以用有向线段表示，我们把这个向量记作向量．有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．用有向线段表示向量，使向量有了直观形象． 向量的大小称为向量的长度（或称模），记作．长度为0的向量叫做零向量（zero vector)，记做．长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量（unit vector)． 向量也可以用字母，，，…表示． 4、 应用新知 例1 在图6.1-4中，分别用向量表示A地至B，C两地的位移，并根据图中的比例尺，求出A地至B，C两地的实际距离（精确到1km)． 解： 表示A地至B地的位移，且； 表示A地至C地的位移，且． 【变式】如图所示，在平行四边形中成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质及相等向量的定义判断即可. 【详解】在平行四边形中且，且， 所以，. 故选：D （3） 相等向量与共线向量 下面，我们通过向量之间的关系进一步认识向量． 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（parallel vectors)．如图6.1-5，用有向线段表示的向量与是两个平行向量． 向量与平行，记作． 我们规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量，都有． 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量（equal vector)．如图6.1-6，用有向线段表示的向量与相等，记作． 任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关；同时，两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的模和方向确定． 如图6.1-7，，，是一组平行向量，任作一条与所在直线平行的直线，在上任取一点，则可在l上分别作出，，．这就是说，任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量（collinear vectors)． 例2 如图6.1-8，设O是正六边形ABCDEF的中心． （1）写出图中的共线向量； （2）分别写出图中与，，相等的向量． 解：（1）是共线向量； 是共线向量； 是共线向量． （2） 【变式】如图，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形.在图中所示的向量中： (1)分别写出与，相等的向量； (2)写出与的相反向量； (3)写出与模相等的向量. 【答案】(1)， (2)， (3)，，，，，， 【分析】（1）根据相等向量的定义直接求解即可； （2）根据相反向量的定义直接求解即可； （3）根据模相等向量的定义求解即可. 【详解】（1）由题意，． （2）由题意，与的相反向量为：，． （3）由题意，与模相等的向量为：，，，，，，． 5、 能力提升 题型一、向量的有关概念及辨析 【练习1】下列说法中正确的是（    ） A．平行向量就是向量所在的直线平行的向量 B．长度相等的向量叫相等向量 C．零向量的长度为零 D．共线向量是在一条直线上的向量 【答案】C 【分析】直接根据共线向量、相等向量、零向量的概念判断即可． 【详解】解：平行向量也叫共线向量，是指方向相同或相反的两个向量，另外规定零向量与任意向量平行，故A，D错； 相等向量是指长度相等、方向相同的向量，故B错； 长度为零的向量叫零向量，故C对； 故选：C． 【点睛】本题主要考查平面向量的有关概念，属于基础题． 1．判断一个量是否为向量的2个关键条件 (1)大小；(2)方向，两个条件缺一不可． 2．理解零向量和单位向量应注意的问题 (1)零向量的方向是任意的； (2)单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．　　 解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长度,只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题. 题型二、相等向量与共线向量 【练习2】下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据平面向量的相关概念，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】对于①，由共线向量的定义可知：方向相反的两个向量也是共线向量，故①错误； 对于②，长度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正确； 对于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③错误； 对于④，若，可能只是方向不相同，但模长相等，故④错误. 故选：A 相等向量与共线向量的探求方法: (1)寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线. (2)寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量. 题型三　向量的表示与向量的模 【练习3】在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)． 【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模 【分析】（1）根据要求画出点的位置即可； （2）根据要求画出点的位置即可； （3）向量由点指向点，画出图形即可求出． 【详解】（1）所求向量如图所示： （2）所求向量如图所示： （3）由图知，是等腰直角三角形，所以． (1)向量的两种表示方法 ①几何表示法:先确定向量的起点,再确定向量的方向,最后根据向量的长度确定向量的终点; ②字母表示法:为了便于运算可用字母a,b,c表示,为了联系平面几何中的图形性质,可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量. (2)向量的模也就是向量的长度,求解已知图形中的向量的模的问题,一般转化为求图形中线段的长度问题. 【感悟提升】 用有向线段表示向量的步骤 　　 6、 课堂总结 1.向量的概念及表示 (1)定义:既有大小又有方向的量叫做向量. (2)表示: ①有向线段:具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、方向、长度. (3)两个特殊向量: ①零向量与非零向量: 长度为0的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写时,可写为.长度不为0的向量称为非零向量. ②单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量. 2.向量间的关系 (1)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量a,b平行,记作a∥b.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有0∥a. (2)相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;向量a与b相等,记作a=b. 练习（第4页） 1．下列量中哪些是向量？ 悬挂物受到的拉力，压强，摩擦力，频率，加速度． 1．解析：悬挂物受到的拉力，摩擦力，加速度都是向量． 2．画两条有向线段，分别表示一个竖直向下、大小为18 N的力和一个水平向左、大小为28 N的力．（用1 cm长表示10 N） 2．解析：图（1）表示竖直向下、大小为18 N的力，图（2）表示水平向左、大小为28 N的力． 3．指出图中各向量的长度．（规定小方格的边长为0.5） 3．解析：． 4．将向量用具有同一起点的有向线段表示． （1）当与是相等向量时，判断终点与的位置关系； （2）当与是平行向量，且时，求向量的长度，并判断的方向与的方向之间的关系． 4．解析：（1）当与是相等向量时，终点与重合． （2）当与方向相同时，，且与方向相反； 当与方向相反时，，且与方向相同． 习题6.1（第5页） 复习巩固 1．在如图所示的坐标纸（规定小方格的边长为1）中，用直尺和圆规画出下列向量： （1），点在点的正南方向； （2），点在点北偏西方向； （3），点在点南偏西方向． 1．解析： 2．如图，点是平行四边形ABCD的对角线的交点，且，，，分别写出平行四边形ABCD和折线中与，，相等的向量． 2．解析：与相等的向量有；与相等的向量有；与相等的向量有． 综合运用 3．判断下列结论是否正确（正确的在括号内打“√”，错的打“×”），并说明理由． （1）若与都是单位向量，则． （ ） （2）方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量． （ ） （3）直角坐标平面上的轴、轴都是向量． （ ） （4）若与是平行向量，则． （ ） （5）若用有向线段表示的向量与不相等，则点与不重合． （ ） （6）海拔、温度、角度都不是向量． （ ） 3．解析：（1）× 单位向量的长度都是1，但方向可能不同． （2）√ 方向为南偏西的向量与北偏东的向量方向相反，它们是共线向量． （3）× 轴和轴都只有方向而没有大小，因此它们不是向量． （4）× 因为同向或反向的向量是平行向量，与的方向不一定相同，模也不一定相等，所以不一定成立． （5）√ 假设点与重合，则，这与与不相等矛盾，所以点与不重合． （6） √ 因为海拔、温度、角度只有大小，没有方向，所以它们都不是向量． 拓广探索 4．如图，在矩形中，，，分别为边，的中点，在以，，，，，为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相等的向量共有多少对？ 4．解析：易知，则模为1的相等向量共有18对，其中与同向的共有6对；与反向的也有6 对；与同向的共有3对；与反向的也有3对．模为的相等向量共有4对．模为2的相等向量共有2 对．综上，相等的非零向量共有24对． 思考与阅读 向量及向量符号的由来 向量最初应用于物理学，被称为矢量．很多物理量，如力、位移、速度、电场强度、磁感应强度等都是向量．向量的概念萌芽于二千多年前，大约在公元前350年，古希腊著名学者亚里士多德（Aristotle，公元前384一前322)就知道了力可以表示成向量．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国科学家牛顿（Isaac Newton，1642-1727)． 向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出“箭头表示方向，线段长表示大小”的有向线段来表示它．1806年，瑞士人阿尔冈（J．R． Argand,1768-1822)以表示有向线段或向量．1827年，默比乌斯（A． F．Mobius,1790-1868)以表示起点为A，终点为B的向量，这种用法被数学家广泛接受．另外，哈密顿（W．R．Hamilton，1805-1865）、吉布斯（J．W．Gibbs,1839-1903)等人则以小写希腊字母表示向量．后来，字母上加箭头表示向量的方法逐渐流行，尤其用在手写稿中；为了方便印刷，人们又用粗黑体小写字母a，b等表示向量．这两种符号一直沿用至今． 莱布尼茨（G．W．Leibniz，1646-1716）曾经从位置几何学研究的视角进行过预想：“我已经发现了一些完全不同的有新特点的元素，即使在没有任何图形的情况下，它也能有利于表达思想、表达事物的本质．我的这个新系统能紧跟可见的图形，以一种自然的、分析的方式，通过一个确定的程序同时给出解、构造和几何的证明．”莱布尼茨所说的“有新特点的元素”和“新系统”就是逐渐形成和发展起来的向量及其理论． 向量进入数学并得到发展，是从复数的几何表示开始的．1797年，丹麦测量学家韦塞尔（Caspar Wessel，1745-1818）把复数表示为向量，并利用向量定义复数运算．他把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了利用复数表示、研究平面中的向量． 发展到现在，向量在数学、物理、计算机科学与技术等学科，以及社会生产、生活、经济、金融与贸易等各领域中都有广泛的应用，成为解决这些领域中各种问题的有力工具． 你能说一说用符号表示向量所起的重要作用吗？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$