7.2.2 平行线的判定（教学课件）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版2024）

人教版（2024）七年级数学下册 第七章 相交线与平行线 7.2 平行线 7.2.2 平行线的判定 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1.理解平行线的三种判定方法，会结合图形用符号语言表示平行线的判定的书写格式. 2.经历推导平行线的判定方法的过程，初步体验简单推理的过程，体验数学中的转化思想. 3.能根据平行线的判定方法判断两条直线是否平行. 情景导入 图1和图2中的两条直线平行吗？你是怎样判断的？ 图1 图2 在同一平面内，不相交的两条直线互相平行. 相交 平行 我们已经知道，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行．但是，由于直线是无限延伸的，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据两条直线不相交来判断它们是否平行．那么，有没有其他判定方法呢？ 思考 在下图利用直尺和三角尺画平行线的过程中，三角尺起着什么作用？ a b 2 1 保持∠1与∠2 相等的作用. 新知探究 记图中紧贴三角尺的直尺的边所在直线为c，得到右图.可以看出，画互相平行的直线a和b，实际上就是分别画相等的∠1和∠2的一条边，而 ∠1和∠2正是直线a，b被直线c截得的同位角．这说明，如果同位角∠1＝∠2，那么a∥ b． a b c 1 2 一般地，有如下利用同位角判定两条直线平行的基本事实： 判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：同位角相等，两直线平行. 新知探究 两条直线被第三条直线所截，同时得到同位角、内错角和同旁内角．由同位角相等，可以判定两条直线平行，能否利用内错角或同旁内角来判定两条直线平行呢？ 探究：如图直线a，b被直线c所截. （1）内错角∠1与∠2满足什么条件时，能得到a∥ b？ a b c 3 1 2 4 如果∠1＝∠2，由判定方法1，能得到a∥ b ，理由如下：因为∠1＝∠2， 而∠2＝∠4 （为什么？），所以∠1＝∠4，即同位角相等，从而a∥ b. 这样，就得到了利用内错角判定两条直线平行的方法： 判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行． ∠1＝∠2 对顶角相等 探究：如图直线a，b被直线c所截. （2）同旁内角∠1与∠3满足什么条件时，能得出a∥ b？ ∠1+∠3=180 ° a b c 3 1 2 4 类似地，如果∠1与∠3互补，由判定方法1或判定方法2，能得到a∥ b （为什么？）． 判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简单说成：同旁内角互补，两直线平行． ∵1+3=180°，(已知) 4+3=180°，(邻补角的性质) ∴1=4. (同角的补角相等) ∴a∥ b. (同位角相等，两直线平行) 这样，就得到了利用同旁内角判定两条直线平行的方法： ① ∵∠2 = ∠6 (已知)， ∴ ___∥___ ( ). ② ∵ ∠3 = ∠5 (已知)， ∴ ___∥____ ( ). ③ ∵ ∠4 + ___ = 180° (已知)， ∴ ___∥___ ( ). AB CD AB CD ∠5 AB CD 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 根据条件完成填空. 练一练 例题讲解 课本例题 例1 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？ 分析：垂直总与直角联系在一起，进而可以用相应角的关系来判断两条直线是否平行． 1 2 b c a 解： 这两条直线平行. 理由如下： ∵b⊥a，∴∠1=90°. 同理 ∠2=90°.∴∠1=∠2. 又∠1和∠2是同位角， ∴b∥ c（同位角相等，两直线平行） 此处符号 “∵”表 示 “因为”， 符号 “∴” 表示 “所以”． 你还能利用其他方法说明b∥ c吗？ 1 2 b c a 方法二 解： 这两条直线平行. 理由如下： ∵b⊥a，∴∠1=90°. 同理 ∠2=90°.∴∠1=∠2. 又∠1和∠2是内错角， ∴b∥ c （内错角相等，两直线平行） 例1 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？ 1 2 b c a 方法三 解： 这两条直线平行. 理由如下： ∵b⊥a，∴∠1=90°. 同理 ∠2=90°.∴∠1+∠2=180°. 又∠1和∠2是同旁内角， ∴b∥ c （同旁内角互补，两直线平行） 例1. 完成下面的说理过程，并在括号里中填上适当的理由. 如图，在三角形ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，且∠1+∠2=90°. 试说明：DE∥BC. 解：∵CD⊥AB（已知）， ∴∠1+________=90°（ ）. ∵∠1+∠2=90°（已知）， ∴________=∠2（ ）. ∴DE∥BC（ ）. ∠CDE 垂直的定义 ∠CDE 同角的余角相等 内错角相等，两直线平行 课外例题 例2. 如图，下列推理中正确的是________.（填序号） ①∵∠B=∠BEF，∴AB∥EF； ②∵∠B=∠CDE，∴AB∥CD； ③∵∠DCE+∠AEF=180°，∴AB∥EF； ④∵∠A+∠AEF=180°，∴AB∥EF. ①②④ 课堂练习 (1)如果∠B=∠DCG，那么可以判断哪两条直线平行？为什么？ (2)如果∠D=∠DCG，那么可以判断哪两条直线平行？ 为什么？ (3)如果∠D+∠DFE=180°，那么可以判断哪两条直线平行？为什么？ A B D C E F G (1) AB∥ CD，同位角相等，两直线平行. (2) AD∥ BC，内错角相等，两直线平行. (3) AD∥ EF，同旁内角互补，两直线平行. 1. 如图，E 是 AB 上一点，F 是 DC 上一点，G 是 BC 延长线上一点. 2. 如图，木工常用角尺画平行线，你能说出其中的道理吗？ 解：∵∠BAC=∠DCE. ∴AB∥CD.（同位角相等，两直线平行） A B C D E 3. 在铺设钢轨时，两条钢轨必须是互相平行的.如图，已知∠2是直角，要判断两条钢轨是否平行，只需要再度量图中标出的哪个角？为什么？ 解：①可度量∠3 的度数，因为∠3 与∠2 是同旁内角，若∠3=90°， 则∠3+∠2=180°.根据“同旁内角互补，两直线平行”可得两条钢轨平行. ②也可度量∠4 的度数，因为∠4 与∠2 是同位角，若∠4=90°. 则∠4=∠2.根据“同位角相等，两直线平行”可得两条钢轨平行. ③还可度量∠5 的度数，因为∠5与∠2是内错角，若∠5=90°， 则∠5=∠2.根据“内错角相等，两直线平行”可得两条钢轨平行. 4. 如图是两条道路相互垂直的交叉路口，你能画出它的平面示意图（用两条平行线段表示一条道路）吗？你能用类似的方法，画出这两条道路成45°角的交叉路口的平面示意图吗？ 解：两条道路互相垂直时如图①所示. 两条道路成45°角时如图②所示. ① ② 45° 分层练习 1. 如图，能判断 的条件是( ) D （第1题） A. B. C. D. （第2题） 2. [2024成都七中期中] 如图，下列条件中不 能判定 的是( ) A A. B. C. D. 3. 如图，分析图形，完成填空. （第3题） （1）如果 ，那么____//____； （2）如果 ，那么____//____； （3）如果 ，那么____//____； （4）如果 ，那么____//____. （第4题） 4. 如图所示，木工师傅用角尺画出工件边缘的 两条垂线，这两条垂线是否平行？ ____.（填“是”或“否”） 是 5.如图是被钉在一起的木条,, ，若测得 , ,要使木条，木条 至 少要旋转____. 6.[2024南昌期中] 如图，已知与 相交于点 ，点，分别是与 上的两点， ， ，请说明 的理由. 【解】， ， ， ， . 7.[2024泰安期中] 如图，与相交于点， ， 且平分.判断直线， 是否平行？并说明理由. 【解】 ，理由如下： 因为平分 ， 所以 . 因为 ， 所以 . 因为 ， 所以.所以 . 8. 在探究“过直线外一点作已知直线 的平行线”的活动中，王玲同学通过 如图的折纸方式找到了符合要求的直线，在这个过程中她可能用到的推理依 据组合是( ) ① ② ③ ④ ①平角的定义；②邻补角的定义；③角平分线的定义； ④同旁内角互补，两直线平行；⑤两直线平行，内错角相等. A. ②④ B. ③⑤ C. ①②⑤ D. ①③④ √ 【点拨】 如图，设直线与纸片的边交于点,直线 与纸片的边交 于点.第一次对折后，射线与射线 重合，由平角的定 义及角平分线的定义可得 .第二次对折 后，射线和射线重合,同理可得 , .由同旁内角互补，两直线平行可得 .故选D. （第9题） 9. 如图，在三角形中，点,, 分别 在,,上，连接,, ,则下列条 件：;; ; ; . 不能判定 的有( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【点拨】①若,则 ;②若,则; ③若 ,则;④若,则 ; ⑤若 ,则 . 故②④⑤不能判定 . 10. 一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原 来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度是( ) D A. 第一次右拐 ,第二次左拐 B. 第一次左拐 ,第二次左拐 C. 第一次右拐 ,第二次右拐 D. 第一次左拐 ,第二次右拐 （第11题） 11. 如图，平分 ，平分，垂直于点， 与 平行吗？请补全下列解题过程. 解：平分 （已知）, _______ （________________）. 平分 （已知）， 角平分线的定义 _______ （________________）. ______________ . 又 （由已知易得）， ______________ . 角平分线的定义 同旁内角互补，两直线平行 ____//____（_______________________）. 12. 如图，直线上有两点 ，，分别引两条射线，，与 在直线 异侧， ， ，射线，分别绕点， 点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒，在射线转 动一周的时间内，当 的值为_______时，与 平行. 4或40 【点拨】分三种情况： ①如图①，与在 的异侧时， 此时 ， . , . 要使，则 ， 即 ， 解得 ； ① ②如图②,旋转到与都在 的右侧时， 此时 ， . , . 要使，则 ， 即 ， 解得 ； 12. 如图，直线上有两点 ，，分别引两条射线，，与 在直线 异侧， ， ，射线，分别绕点， 点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒，在射线转 动一周的时间内，当 的值为_______时，与 平行. 4或40 ② ③如图③，旋转到与都在 的左侧时， 此时 ， .此时 . 要使，则 ， 即 ， 解得 . 12. 如图，直线上有两点 ，，分别引两条射线，，与 在直线 异侧， ， ，射线，分别绕点， 点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒，在射线转 动一周的时间内，当 的值为_______时，与 平行. 4或40 ③ ， 此情况不存在. 综上所述，当的值为4或40时，与 平行. 13. 如图，已知，分别与交于点 ，，且， ，若添加一个条件使得 ，请写出一个符 合要求的条件：____________________________，并说明理由. （答案不唯一） 【解】理由：因为 ， 所以 ， 所以 . 又因为 ,所以 ， 所以 . 14. 【动手操作】如图①，小明把一副三角尺的直角顶点重叠在一起. 如图②，固定三角板 ，将三角板绕点以每秒 的速度顺时 针转动，当边与 边的反向延长线重合时，转动停止，转动时间为 秒. 【解决问题】 ① ② （1）在转动过程中，与 之间的数量关系为_____________________. 【点拨】当时， ， ， ; 当时， ， ， . 综上，与 之间的数量关系为 . 【解】当 时， ， 易得，解得 ； 当时，不存在 . 综上，当时， 的值为4. （2）当时，求 的值. 14. 【动手操作】如图①，小明把一副三角尺的直角顶点重叠在一起. 如图②，固定三角板 ，将三角板绕点以每秒 的速度顺时 针转动，当边与 边的反向延长线重合时，转动停止，转动时间为 秒. 【解决问题】 ① ② 课堂小结 平行线的判定 判定方法 __________，两直线平行 定义法 同一个平面内，两条直线_______ 同位角相等 ___________，两直线平行 同旁内角互补 不相交 __________，两直线平行 内错角相等 $$