6.2.4 向量的数量积 （第1课时）（教学设计)-【上好课】高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

6.2.4平面向量的数量积 第1课时 教学设计 1、 教学目标 1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义． 2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质，并能运用性质进行相关的判断和运算． 3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力．发展学生从特殊到一般的能力，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯． 2、 重点难点 教学重点： 平面向量数量积的概念、用平面向量数量积表示向量的模及夹角． 教学难点： 平面向量数量积定义的理解，平面向量数量积的性质． 3、 学情分析&教材分析 平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段.它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，并可以从代数的角度解决相关的几何问题，给解决问题带来便利，是全章重点之一. 这节内容综合性较强，体现了向量的工具作用，特别是在解析几何方面，可以培养学生的数学应用意识和创新精神. 本节所涉及的核心素养有：数学运算、数学抽象、逻辑推理. 学情分析 在此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的概念及运算,但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便.如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用起来更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题. 4、 学习目标 1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功. 2.掌握向量数量积的定义及投影向量. 3.会计算平面向量的数量积． 5、 导入新知 我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数(即它的坐标)来表示．那么，如何用坐标表示直角坐标平面内的一个向量呢？ 前面我们学习了向量的加、减运算．类比数的运算，出现了一个自然的问题：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？ 【实际情境】观察小车的运动，讨论功的计算公式． 提问：（1）力对小车有没有做功？能不能用初中所学的W=FS，为什么？ （2）如何解决力不在位移方向时功的计算？分别考虑力F的两个分力做功的情况？ （3）力F在位移方向的分力是什么？功的计算公式是什么？ 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移（图6.2-18），那么力所做的功 ， 其中是与的夹角． 预设互动回答： 力有做功，但是不能用W=FS，因为力F不在位移S的方向上； 对力F进行正交分解，垂直于位移方向的分力F2不做功，只有在位移方向的分力F1做功； 在位移方向的分力F1大小为，力所做的功=力在位移方向的分力大小×位移大小． 【设计意图】向量数量积概念不是凭空产生的，用人拉小车这一实例，让学生感受“向量乘以向量”这样的问题是客观存在的，是源于实际生活的. 功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定．这给我们一种启示，能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？受此启发，我们引入向量“数量积”的概念． 因为力做功的计算公式中涉及力与位移的夹角，所以我们先要定义向量的夹角概念． 已知两个非零向量，（图6.2-19），是平面上的任意一点，作，． 则叫做向量与的夹角． 显然，当时，与同向；当时，与反向． 如果与的夹角是，我们说与垂直，记作 ． 已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，我们把数量叫做向量与的数量积（或内积（inner product）），记作，即． 规定：零向量与任一向量的数量积为0． 对比向量的线性运算，我们发现，向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关． 6、 应用新知 例9 已知，，与的夹角，求． 解：． 【变式】已知平面向量，满足，且与的夹角为. 求的值； 【答案】 3； 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】 根据数量积的定义代入计算即可得出结果； 【详解】 由可得； 即可得. 例10 设，，，求与的夹角． 解：由，得．因为，所以． 【变式】已知▱ABCD中，∠DAB＝60°，则与的夹角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】C 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析、相等向量 【分析】利用向量的夹角定义直接得解. 【详解】如图，与的夹角为， 故选：C 如图6.2-20(1)，设，是两个非零向量，，，我们考虑如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影(project)，叫做向量在向量上的投影向量． 如图6.2-20(2)，我们可以在平面内任取一点，作，．过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量． 2.向量的投影 ◆探究 如图6.2-20(2)，设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，那么与，，之间有怎样的关系？ 显然，与共线，于是． 下面我们探究与，的关系，进而给出的明确表达式．我们分为锐角、直角、钝角以及，等情况进行讨论． 当为锐角(图6.2-21(1))时，与方向相同，，所以 ； 当为直角(图6.2-21(2))时，，所以 ； 当θ为钝角(图6.2-21(3))时，与方向相反，所以 即． 当时，，所以 当时，，所以． 从上面的讨论可知，对于任意的，都有． 【设计意图】 1.引导学生通过自主研究，明确两个向量的夹角决定它们的投影以及数量积的符号，进一步从细节上理解向量数量积的定义． 2.通过课前尝试练习，使学生尝试计算数量积，巩固对定义的理解，课堂上师生展开互动分析，并进行归纳总结，为数量积的性质埋下伏笔． 3. 向量数量积的性质 ◆探究 从上面的探究我们看到，两个非零向量与相互平行或垂直时，向量在向量上的投影向量具有特殊性．这时，它们的数量积又有怎样的特殊性？ 由向量数量积的定义，可以得到向量数量积的如下重要性质． 设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 (1)． (2)． 如果是否有，或? (3)当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ◆常记作． 此外，由还可以得到 (4) ． 【设计意图】 将尝试练习的结论推广得到数量积的运算性质，使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识． 7、 能力提升 题型一、两向量的数量积 【练习1】已知向量，，与的夹角为，且，则实数k的值为 A． B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【解析】由题意结合平面向量数量积的定义可得，转化条件为，代入即可得解. 【详解】向量，，与的夹角为， ， 又，， ， 由，可得解得. 故选：D. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 反思感悟　定义法求平面向量的数量积 若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． 向量数量积的求法 (1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键． (2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．　　　　 求平面向量数量积的步骤 (1)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]； (2)分别求|a|和|b|； (3)求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去． 题型二、两向量的夹角 【练习2】已知为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】根据向量数量积的定义和运算律求解即可. 【详解】设与的夹角为， 因为为单位向量， ，即， 即， 即， 所以，即. 故选：C. 反思感悟　(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出． (2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ. 题型三、投影向量 【练习3】 已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、求投影向量 【分析】根据题意，结合向量的运算法则，求得，结合向量的投影向量的计算方法，即可求解. 【详解】由向量和满足，，， 可得，解得， 所以向量在向量上的投影向量. 故选：A. 反思感悟　求投影向量的两种方法 (1)b在a方向上的投影向量为|b|cos θ·，θ为a，b的夹角，a在b方向上的投影向量为|a|cos θ·. (2)b在a方向上的投影向量为·，a在b方向上的投影向量为·.　　 任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于|a|cos θe(θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量)． 题型四、向量的模 【练习4】已知向量，满足，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、已知模求数量积 【分析】对两边平方，可得，再对平方可得答案. 【详解】因为，所以， 即，可得， 又，则. 故选：A. 求向量模的一般思路及常用公式 (1)求向量模的常见思路 (2)常用公式 ①(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2； ②|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.　　 8、 课堂总结 1．知识清单： (1)向量的夹角． (2)向量数量积的定义． (3)投影向量． (4)向量数量积的性质． 2．方法归纳：数形结合法． 3．常见误区：向量夹角共起点；a·b>0⇏两向量夹角为锐角，a·b<0⇏两向量夹角为钝角． （1） 向量数量积的概念 1.已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2.关于数量积的结果 (1)非零向量数量积的运算结果是一个数量， 当0°≤θ<90°时，a·b>0； 当90°<θ≤180°时，a·b<0； 当θ＝90°时，a·b＝0. (2)特别地，如若a或b等于零，则a·b＝0. （2） 向量的投影 关于投影向量 (1)向量a在b方向上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦决定． (2)向量a在b方向上的投影向量·. (3)注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示为|b|cos θ. （3） 向量数量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a|·|b|. (5)cos θ＝. 向量数量数量积的注意点： (1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写． (2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0. (3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量． (4)|a|＝是求向量的长度的工具． (5)区分0·a＝0与0·a＝0． (6)a·b>0是a与b夹角为锐角的必要不充分条件；a·b<0是a与b夹角为钝角的必要不充分条件． 【设计意图】 （1）梳理本节课对于向量数量积的认知； （2）鼓励学生积极攀登知识高峰，进一步体会学习向量数量积的必要性. 9、 作业设计 教科书习题6.2第1〜9, 14题. 【设计意图】 通过设计不同层次的作业既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，从而达到激发兴趣和“减负”的目的． 练习（第20页） 1．已知，，和的夹角是，求． 1．解析：． 2．已知中，，，当或时，试判断△ABC的形状． 2．解析：． 所以当时，，为钝角，为钝角三角形； 当时，，为直角，为直角三角形． 3．已知，为单位向量，当向量，的夹角分别等于，，时，求向量在向量上的投影向量． 3．解析 ：当时，向量在向量上的投影向量为； 当时，向量在向量上的投影向量为； 当时，向量在向量上的投影向量为． 与向量的线性运算一样，定义了向量的数量积后，就要研究数量积运算是否满足一些运算律． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$