九年级数学开学摸底考（北京专用）-2024-2025学年初中下学期开学摸底考试卷

2024-2025学年九年级下学期开学摸底考 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题2分，共16分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题2分，共16分） 09. _______________ 10. ________________ 11. _______________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 三、解答题（共68分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（5分） 19．（5分） 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（5分） 22．（5分） 23．（5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（6分） 25．（5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（6分） 27．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 28．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年九年级数学下学期开学摸底考 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册全部。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．下列图形中是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 2．二次函数图象的顶点坐标是　　 A． B． C． D． 3．已知是一元二次方程一个根，则下列等式正确的是　　 A． B． C． D． 4．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则抛物线的顶点在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．如图，在中，弦，相交于点，连接，．若，则的大小为　　 A． B． C． D． 6．如图，的半径为1，将的内接正六边形绕点顺时针旋转，第一次与自身重合时，点经过的路径长为　　 A．1 B． C． D． 7．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共15个，这些球除颜色以外没有任何其他区别，从中任取1个球，记下颜色后放回，摇匀．诚诚通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.2左右，则袋子中红球的个数最有可能是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．12个 8．如图，中，，是的外接圆，的延长线交边于点．若，，则的长为　　 A． B． C． D． 二、填空题（共16分，每题2分） 9．（2分）将抛物线向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为，则的值为 　　． 10．（2分）如图，已知点，，，在一条直线上，并且，那么这两个全等三角形属于全等变换中的　 　． 11．（2分）如果关于的方程有两个实数根，那么的取值范围是 　　． 12．（2分）已知抛物线与直线交（抛物线）于点，，．若点在抛物线上且在直线下方（不与点，重合），则点的纵坐标的取值范围为 ． 13．（2分）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心．是上的点，，垂足为．若，，则的半径为 　　． 14．（2分）如图，是的直径，是的弦，过点的切线交的反向延长线于点，若，，则图中阴影部分的面积为 　　． 15．（2分）如图，在正方形中，点在边上，且，过点作交于点，在矩形内部作正方形，若矩形的面积为2，则正方形的面积为 　　． 16．（2分）小明和小刚各有一枚硬币，小明在硬币的正面贴上黄色标签，反面贴上红色标签；小刚在硬币的正面贴上蓝色标签，反面贴上红色标签，两人分别抛掷各自的硬币．求硬币落地后出现颜色相同的概率． 解：列表如下（请补充下表）． 小明 小刚 篮 红 黄 　　 　　 红 　　 　　 总共有 　　种可能的结果，每种结果出现的可能性 　　．其中硬币落地后出现颜色相同的结果有 　　种，其概率为 　　． 三、解答题(共68分，第17-19题，每题5分，20题6分，第21-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分)解答写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．（5分）用公式法解方程：． 18．（5分）先化简，再求值：，其中． 19．（5分）如图，在△中，，，以为旋转中心，分别将线段，顺时针旋转得到线段，，交于点．若，求的长． 20．（6分）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的一根为负数，求的取值范围． 21．（5分）数学兴趣小组对以下尺规作图问题进行了研究． 已知：如图，及外一点．求作：直线，使与相切于点． 李华同学经过探索，想出了两种作法．具体如下（已知点是直线上方一点） 作法一（如图 作法二（如图 ①连接，作线段的垂直平分线，交于点；②以点为圆心，以的长为半径作，交于点；③作直线，则直线是的切线． ①连接，交于点，过点作的垂线；②以点为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点；③连接，交于点；④作直线，则直线是的切线． 证明：如图1，为直径， ． 　　 ． 是的半径， 直线是的切线． 证明： 请仔细阅读，并完成相应的任务． （1）“作法一”中的“依据”是指 　　． （2）请写出“作法二”的证明过程． 22．（5分）第19届亚运会开幕式上，东道主中国以镶嵌着梅、兰、竹、菊图案的花窗，向八方宾朋展现中国五千年的文化．为了让学生深入了解中国文化，老师将以下4张卡片背面朝上放在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取一张卡片，并向大家介绍卡片上图案对应的含义． （1）请问随机抽取一张卡片，抽中“菊”的概率为 　　； （2）若老师将“梅、兰、竹、菊”四张卡片单独拿出，邀请小明和小华有放回的抽取．请利用画树状图或列表的方法，求两人抽到的卡片上是相同名称的概率． 23．（5分）已知，，为正整数，．设，，，为坐标原点．若，且． （1）求图象经过，，三点的二次函数的解析式； （2）点是抛物线上的一动点，直线交线段于点，若，的面积，满足，求此时点的坐标． 24．（6分）如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一个动点，连接．过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形（提示：过点作于点，过点作于点． （2）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 25．（6分）如图，在中，直径弦于点，连接，，过点作交于点，过点作的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 26．（6分）在平面直角坐标系中，，，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线． （1）若点在该抛物线上，求的值； （2）当时，对于，都有，求的取值范围． 27．（7分）【问题提出】如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 【问题解决】解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连结（或将绕着点逆时针旋转得到，把、、集中在中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出中线的取值范围是 　　． 【应用】如图②，在中，为边的中点，已知，，，求的长． 【拓展】如图③，在中，，点是边的中点，点在边上，过点作交边于点，连结．已知，，则的长为 　　． 28．（7分）如图，在平面直角坐标系中，已知的半径为2，且与轴、轴的正半轴分别交于点、，点是该坐标平面内一点，给出如下的定义： ①若在上存在一点，使得、两点间的距离小于或等于1，则称点为的“集团点”； ②若点（点不在直线上）关于直线的对称点在上或其内部，则称点为的“明德点”； ③若点同时满足条件①②，则称点为的“明德集团点”． （1）在点，，中，的“明德集团点”是　　； （2）若点是的“集团点”，点所在的区域称为“集团辐射区域”，求该“集团辐射区域”的面积；当点在直线上时，求点的纵坐标的取值范围； （3）若点是的“明德点”，且，求点的横坐标的最大值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学下学期开学摸底考 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册全部。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．下列图形中是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 2．二次函数图象的顶点坐标是　　 A． B． C． D． 3．已知是一元二次方程一个根，则下列等式正确的是　　 A． B． C． D． 4．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则抛物线的顶点在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．如图，在中，弦，相交于点，连接，．若，则的大小为　　 A． B． C． D． 6．如图，的半径为1，将的内接正六边形绕点顺时针旋转，第一次与自身重合时，点经过的路径长为　　 A．1 B． C． D． 7．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共15个，这些球除颜色以外没有任何其他区别，从中任取1个球，记下颜色后放回，摇匀．诚诚通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.2左右，则袋子中红球的个数最有可能是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．12个 8．如图，中，，是的外接圆，的延长线交边于点．若，，则的长为　　 A． B． C． D． 二、填空题（共16分，每题2分） 9．将抛物线向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为，则的值为 　　． 10．如图，已知点，，，在一条直线上，并且，那么这两个全等三角形属于全等变换中的　 　． 11．如果关于的方程有两个实数根，那么的取值范围是 　　． 12．已知抛物线与直线交（抛物线）于点，，．若点在抛物线上且在直线下方（不与点，重合），则点的纵坐标的取值范围为 ． 13．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心．是上的点，，垂足为．若，，则的半径为 　　． 14．如图，是的直径，是的弦，过点的切线交的反向延长线于点，若，，则图中阴影部分的面积为 　　． 15．如图，在正方形中，点在边上，且，过点作交于点，在矩形内部作正方形，若矩形的面积为2，则正方形的面积为 　　． 16．小明和小刚各有一枚硬币，小明在硬币的正面贴上黄色标签，反面贴上红色标签；小刚在硬币的正面贴上蓝色标签，反面贴上红色标签，两人分别抛掷各自的硬币．求硬币落地后出现颜色相同的概率． 解：列表如下（请补充下表）． 小明 小刚 篮 红 黄 　　 　　 红 　　 　　 总共有 　　种可能的结果，每种结果出现的可能性 　　．其中硬币落地后出现颜色相同的结果有 　　种，其概率为 　　． 三、解答题(共68分，第17-19题，每题5分，20题6分，第21-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分)解答写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．（5分）用公式法解方程：． 18．（5分）先化简，再求值：，其中． 19．（5分）如图，在△中，，，以为旋转中心，分别将线段，顺时针旋转得到线段，，交于点．若，求的长． 20．（6分）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的一根为负数，求的取值范围． 21．（5分）数学兴趣小组对以下尺规作图问题进行了研究． 已知：如图，及外一点．求作：直线，使与相切于点． 李华同学经过探索，想出了两种作法．具体如下（已知点是直线上方一点） 作法一（如图 作法二（如图 ①连接，作线段的垂直平分线，交于点；②以点为圆心，以的长为半径作，交于点；③作直线，则直线是的切线． ①连接，交于点，过点作的垂线；②以点为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点；③连接，交于点；④作直线，则直线是的切线． 证明：如图1，为直径， ． 　　 ． 是的半径， 直线是的切线． 证明： 请仔细阅读，并完成相应的任务． （1）“作法一”中的“依据”是指 　　． （2）请写出“作法二”的证明过程． 22．（5分）第19届亚运会开幕式上，东道主中国以镶嵌着梅、兰、竹、菊图案的花窗，向八方宾朋展现中国五千年的文化．为了让学生深入了解中国文化，老师将以下4张卡片背面朝上放在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取一张卡片，并向大家介绍卡片上图案对应的含义． （1）请问随机抽取一张卡片，抽中“菊”的概率为 　　； （2）若老师将“梅、兰、竹、菊”四张卡片单独拿出，邀请小明和小华有放回的抽取．请利用画树状图或列表的方法，求两人抽到的卡片上是相同名称的概率． 23．（5分）已知，，为正整数，．设，，，为坐标原点．若，且． （1）求图象经过，，三点的二次函数的解析式； （2）点是抛物线上的一动点，直线交线段于点，若，的面积，满足，求此时点的坐标． 24．（6分）如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一个动点，连接．过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形（提示：过点作于点，过点作于点． （2）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 25．（6分）如图，在中，直径弦于点，连接，，过点作交于点，过点作的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 26．（6分）在平面直角坐标系中，，，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线． （1）若点在该抛物线上，求的值； （2）当时，对于，都有，求的取值范围． 27．（7分）【问题提出】如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 【问题解决】解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连结（或将绕着点逆时针旋转得到，把、、集中在中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出中线的取值范围是 　　． 【应用】如图②，在中，为边的中点，已知，，，求的长． 【拓展】如图③，在中，，点是边的中点，点在边上，过点作交边于点，连结．已知，，则的长为 　　． 28．（7分）如图，在平面直角坐标系中，已知的半径为2，且与轴、轴的正半轴分别交于点、，点是该坐标平面内一点，给出如下的定义： ①若在上存在一点，使得、两点间的距离小于或等于1，则称点为的“集团点”； ②若点（点不在直线上）关于直线的对称点在上或其内部，则称点为的“明德点”； ③若点同时满足条件①②，则称点为的“明德集团点”． （1）在点，，中，的“明德集团点”是　　； （2）若点是的“集团点”，点所在的区域称为“集团辐射区域”，求该“集团辐射区域”的面积；当点在直线上时，求点的纵坐标的取值范围； （3）若点是的“明德点”，且，求点的横坐标的最大值． 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学下学期开学摸底考 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D C D A B C B 二、填空题（共16分，每题2分） 9．12． 10．轴对称变换． 11．且． 12．． 13．13． 14．． 15．． 16．4；相等；1；． 三、解答题(共68分，第17-19题，每题5分，20题6分，第21-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分)解答写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．（5分）解：， △， ， 所以，．........................5分 18．（5分）解：原式 ，........................2分 当时， 原式 ．...................3分 19．（5分）解：旋转， △△， ， ， ，........................2分 旋转角度为， ， ， △是等腰直角三角形， ， ．.....................3分 20．（6分）（1）证明：，，， △ ． 对任意实数，， 对任意实数，方程总有两个实数根；........................3分 （2）解：， ，． 方程的一根为负数， ， ．.....................................3分 21．（5分）（1）解：由题意得，“作法一”中的“依据”是指直径所对的圆周角是直角． 故答案为：直径所对的圆周角是直角．.........................1分 （2）证明：由作法可得，，， ． ，， ．...................2分 ． ． 是的半径， 直线是的切线．........................2分 22．（5分）第19届亚运会开幕式上，东道主中国以镶嵌着梅、兰、竹、菊图案的花窗，向八方宾朋展现中国五千年的文化．为了让学生深入了解中国文化，老师将以下4张卡片背面朝上放在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取一张卡片，并向大家介绍卡片上图案对应的含义． （1）请问随机抽取一张卡片，抽中“菊”的概率为 　　； （2）若老师将“梅、兰、竹、菊”四张卡片单独拿出，邀请小明和小华有放回的抽取．请利用画树状图或列表的方法，求两人抽到的卡片上是相同名称的概率． 【答案】解：（1）共有四张卡片，且每张卡片被抽到可能性相同， 随机抽取一张卡片，抽中“菊”的概率为． 故答案为：．....................2分 （2）将写有“梅、兰、竹、菊”的四张卡片分别记为，，，， 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中两人抽到的卡片上是相同名称的结果有4种， 两人抽到的卡片上是相同名称的概率为．..................3分 23．（5分）解：（1），， ，即． ， ． 又 ， ，即． ，， ，是关于的一元二次方程①的两个不相等的正整数根， △，解得． 又为正整数，故或． 当时，方程①为，没有整数解． 当时，方程①为，两根为，． 综合知：，，． 设图象经过，，三点的二次函数的解析式为， 将点的坐标代入得，解得． 图象经过，，三点的二次函数的解析式为． 图象经过，，三点的二次函数的解析式为．...................3分 （2）如图，直线交线段于点， 由，得， ，， ， ， ，联立， 消去整理可得，， 由韦达定理：，而， ， ， 点坐标为：．.............................2分 24．（6分）（1）证明：如图所示，过作于点，过作于点， 四边形为正方形， ， ，， ， ， 四边形为矩形， ， ，即， 是正方形对角线的交点， ， 在和中， ， ， ， 矩形为正方形．.................3分 （2）解：的值为定值， 矩形为正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ，即， 在和中， ， ， ， ， 是定值．..................3分 25．（6分）（1）证明：为的切线， ， ， 为直径， ， ， ， ，， ， ；..................3分 （2）解：连接，如图，设的半径为，则，， ， ， 在中，， 在中，， 解得， ， ，， ， ，即， 解得， 即的长为．............................3分 26．（6分）解：（1）点在该抛物线 ， ， ；.................2分 （2）时，， ，的对称点的横坐标， 抛物线开口向上，， ．...........4分 27．（7分）解：（1）在和中， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：；.................2分 （2）延长到，使得，连接，如图②， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ；..................3分 （3）延长到，使得，连接，，如图③， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：．........................2分 28．（7分）解：（1）由点为的“集团点”得：点在以原点为圆心，1和3分别为半径的圆所组成的圆环及圆环内， 即． ，，， 故，是的“集团点”， 根据对称性，由点是的“明德点”，则点必在关于直线的对称圆上或其内部（不含、两点）， 点坐标为． ， ，， 故只有是的“明德集团点”． 故答案为：．........................2分 （2） “集团辐射区域”为以原点为圆心，1和3分别为半径的圆所组成的圆环及圆环内部区域， 如图所示， ，即该“集团辐射区域”的面积为． 点在直线上， 设点坐标为，令，解得：； 令，解得：， 点的纵坐标的取值范围为：或．......................3分 （3）取中点，连接， ， ， 则点在以点为圆心，为半径的圆上， 又因为点为的“明德点”， 则点位于上方的半圆上运动（不含、两端点）， 当过点作平行于轴的切线时，即轴时，点横坐标最大， 点的横坐标的最大值为． .....................2分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学下学期开学摸底考 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册全部。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．下列图形中是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用中心对称图形的定义即可得出答案． 【解答】解：观察四个选项可知，只有选项中的图形绕某一点旋转后能与自身重合， 因此选项中的图形是中心对称图形， 故选：． 【点评】本题考查中心对称图形的识别，掌握定义是解题的关键．平面内，如果把一个图形绕着某一点旋转后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 2．二次函数图象的顶点坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】二次函数的顶点坐标是，据此解答即可． 【解答】解：根据二次函数知， 函数的顶点坐标是：． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的性质和二次函数的顶点式．解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程中的、所表示的意义． 3．已知是一元二次方程一个根，则下列等式正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】把代入方程得到、、的关系，从而可对各选项进行判断． 【解答】解：是一元二次方程一个根， ． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 4．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则抛物线的顶点在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 【分析】由抛物线的解析式可求出顶点的横纵坐标，结合已知条件即可判断抛物线的顶点所在象限． 【解答】解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， 即， 顶点的横坐标为，纵坐标为，，， ，， 抛物线的顶点在第四象限， 故选：． 【点评】此题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程根的判别式和二次函数的顶点坐标公式是解题的关键． 5．如图，在中，弦，相交于点，连接，．若，则的大小为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据圆周角定理即可得到的度数． 【解答】解：，、所对弧都是， ． 故选：． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．掌握圆周角定理是解题的关键． 6．如图，的半径为1，将的内接正六边形绕点顺时针旋转，第一次与自身重合时，点经过的路径长为　　 A．1 B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意第一次与自身重合时旋转角是，然后根据弧长公式即可求得． 【解答】解：正六边形绕中心顺时针旋转第一次与自身重合时旋转角是， 点运动的路径长． 故选：． 【点评】本题考查了旋转对称图形，也考查了学生的理解能力和计算能力，解此题的关键是求出第一次重合的旋转角． 7．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共15个，这些球除颜色以外没有任何其他区别，从中任取1个球，记下颜色后放回，摇匀．诚诚通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.2左右，则袋子中红球的个数最有可能是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．12个 【答案】 【分析】根据红球出现的频率和球的总数，可以计算出红球的个数． 【解答】解：由题意得，（个， 袋子中红球的个数最有可能是3个， 故选：． 【点评】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是理解利用频率估计概率的原理． 8．如图，中，，是的外接圆，的延长线交边于点．若，，则的长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接并延长交于点，由垂径定理得出，作交的延长线于．则，得出，设，，根据，构建方程求出即可解决问题． 【解答】解：连接并延长交于点， ， ， ，， ， 作交的延长线于． ，， ， ，设，， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键． 二、填空题（共16分，每题2分） 9．将抛物线向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为，则的值为 　12　． 【答案】12． 【分析】根据平移方式和平移后的解析式即可由二次函数图象的平移规律写出原抛物线的顶点式，再整理成一般式即可． 【解答】解：根据题意可知将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到抛物线， 原抛物线解析式为， 整理，得：，即， ． 故答案为：12． 【点评】本题考查二次函数图象的平移，平移规律“上加下减，左加右减”．解题的关键是熟练掌握平移规律． 10．如图，已知点，，，在一条直线上，并且，那么这两个全等三角形属于全等变换中的　轴对称变换　． 【分析】观察图形，根据轴对称变换解答． 【解答】解：由图可知，这两个全等三角形属于全等变换中轴对称变换． 故答案为：轴对称变换． 【点评】本题考查了几何变换的类型，熟记常见的几何变换并准确识图是解题的关键． 11．如果关于的方程有两个实数根，那么的取值范围是 　且　． 【答案】且． 【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0． 【解答】解：关于的方程有两个实数根， △且， 即， 解得， 的取值范围为且． 故答案为：且． 【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式△：当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 12．已知抛物线与直线交（抛物线）于点，，．若点在抛物线上且在直线下方（不与点，重合），则点的纵坐标的取值范围为． 【答案】． 【分析】分别求出点，坐标，根据图象开口方向及顶点坐标求解． 【解答】解：把代入得， ， 把代入得， 解得或， 点坐标为，点坐标为． ， 抛物线开口向上，顶点坐标为， 抛物线顶点在下方， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质． 13．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心．是上的点，，垂足为．若，，则的半径为 　13　． 【答案】13． 【分析】设的半径为，由垂径定理得，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：连接，如图所示： 设的半径为， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得：， 即的半径为． 故答案为：13． 【点评】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 14．如图，是的直径，是的弦，过点的切线交的反向延长线于点，若，，则图中阴影部分的面积为 　　． 【答案】． 【分析】由，推导出，则，由切线的性质得，可证明，则，求得，，所以，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：，且， ， ， ， 与相切于点， ， ， ，， ， ， ， ， △是等边三角形，， ，， ， 故答案为：． 【点评】此题重点考查切线的性质、扇形面积的计算等知识，推导出是解题的关键． 15．如图，在正方形中，点在边上，且，过点作交于点，在矩形内部作正方形，若矩形的面积为2，则正方形的面积为 　　． 【答案】． 【分析】设，则，然后表示出、的长，根据矩形的面积公式即可计算出的值，再根据正方形的面积公式计算即可． 【解答】解：， 设， 则， 四边形是正方形， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， 矩形的面积为2， ， 解得， 正方形的面积为， 故答案为：． 【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，熟练掌握这些几何图形的性质是解题的关键． 16．小明和小刚各有一枚硬币，小明在硬币的正面贴上黄色标签，反面贴上红色标签；小刚在硬币的正面贴上蓝色标签，反面贴上红色标签，两人分别抛掷各自的硬币．求硬币落地后出现颜色相同的概率． 解：列表如下（请补充下表）． 小明 小刚 篮 红 黄 　（黄，蓝）　 　　 红 　　 　　 总共有 　　种可能的结果，每种结果出现的可能性 　　．其中硬币落地后出现颜色相同的结果有 　　种，其概率为 　　． 【答案】补充表格见解答；4；相等；1；． 【分析】根据题意补充表格即可；由表格可知，共有4种等可能的结果，其中硬币落地后出现颜色相同的结果有1种，再利用概率公式可知，其概率为． 【解答】解：列表如下： 小明 小刚 篮 红 黄 （黄，蓝） （黄，红） 红 （红，蓝） （红，红） 由表格可知，总共有4种可能的结果，每种结果出现的可能性相等．其中硬币落地后出现颜色相同的结果有1种，其概率为． 故答案为：4；相等；1；． 【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 三、解答题(共68分，第17-19题，每题5分，20题6分，第21-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分)解答写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．（5分）用公式法解方程：． 【分析】先把方程化为一般式，再计算出判别式的值，然后根据求根公式法解方程． 【解答】解：， △， ， 所以，． 【点评】本题考查了解一元二次方程公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． 18．（5分）先化简，再求值：，其中． 【答案】，1． 【分析】根据整式的加减运算法则以及乘法运算进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案． 【解答】解：原式 ， 当时， 原式 ． 【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则以及乘法运算法则，本题属于基础题型． 19．（5分）如图，在△中，，，以为旋转中心，分别将线段，顺时针旋转得到线段，，交于点．若，求的长． 【答案】． 【分析】由旋转的性质以及三角形内角和很容易得到，所以△是等腰直角三角形，进而即可得解． 【解答】解：旋转， △△， ， ， ， 旋转角度为， ， ， △是等腰直角三角形， ， ． 【点评】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 20．（6分）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的一根为负数，求的取值范围． 【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可； （2）求方程两根，结合条件则可求得的取值范围． 【解答】（1）证明：，，， △ ． 对任意实数，， 对任意实数，方程总有两个实数根； （2）解：， ，． 方程的一根为负数， ， ． 【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． 21．（5分）数学兴趣小组对以下尺规作图问题进行了研究． 已知：如图，及外一点．求作：直线，使与相切于点． 李华同学经过探索，想出了两种作法．具体如下（已知点是直线上方一点） 作法一（如图 作法二（如图 ①连接，作线段的垂直平分线，交于点；②以点为圆心，以的长为半径作，交于点；③作直线，则直线是的切线． ①连接，交于点，过点作的垂线；②以点为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点；③连接，交于点；④作直线，则直线是的切线． 证明：如图1，为直径， ． 　直径所对的圆周角是直角　 ． 是的半径， 直线是的切线． 证明： 请仔细阅读，并完成相应的任务． （1）“作法一”中的“依据”是指 　　． （2）请写出“作法二”的证明过程． 【答案】（1）直径所对的圆周角是直角． （2）见解答． 【分析】（1）根据圆周角定理可得答案． （2）结合全等三角形的判定证明，可得，再结合切线的判定可得结论． 【解答】（1）解：由题意得，“作法一”中的“依据”是指直径所对的圆周角是直角． 故答案为：直径所对的圆周角是直角． （2）证明：由作法可得，，， ． ，， ． ． ． 是的半径， 直线是的切线． 【点评】本题考查作图—复杂作图、圆周角定理、切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22．（5分）第19届亚运会开幕式上，东道主中国以镶嵌着梅、兰、竹、菊图案的花窗，向八方宾朋展现中国五千年的文化．为了让学生深入了解中国文化，老师将以下4张卡片背面朝上放在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取一张卡片，并向大家介绍卡片上图案对应的含义． （1）请问随机抽取一张卡片，抽中“菊”的概率为 　　； （2）若老师将“梅、兰、竹、菊”四张卡片单独拿出，邀请小明和小华有放回的抽取．请利用画树状图或列表的方法，求两人抽到的卡片上是相同名称的概率． 【答案】（1）． （2）． 【分析】（1）直接利用概率公式可得答案． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及两人抽到的卡片上是相同名称的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）共有四张卡片，且每张卡片被抽到可能性相同， 随机抽取一张卡片，抽中“菊”的概率为． 故答案为：． （2）将写有“梅、兰、竹、菊”的四张卡片分别记为，，，， 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中两人抽到的卡片上是相同名称的结果有4种， 两人抽到的卡片上是相同名称的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 23．（5分）已知，，为正整数，．设，，，为坐标原点．若，且． （1）求图象经过，，三点的二次函数的解析式； （2）点是抛物线上的一动点，直线交线段于点，若，的面积，满足，求此时点的坐标． 【分析】（1）由勾股定理得到，即，然后代入已知条件中得到，然后利用一元二次方程根与系数的关系求得与的值，利用待定系数法求得二次函数的解析式； （2）由已知和的面积比得到与的比，从而确定点坐标，然后利用待定系数法求得直线的解析式，然后联立方程组求点坐标． 【解答】解：（1），， ，即． ， ． 又 ， ，即． ，， ，是关于的一元二次方程①的两个不相等的正整数根， △，解得． 又为正整数，故或． 当时，方程①为，没有整数解． 当时，方程①为，两根为，． 综合知：，，． 设图象经过，，三点的二次函数的解析式为， 将点的坐标代入得，解得． 图象经过，，三点的二次函数的解析式为． 图象经过，，三点的二次函数的解析式为． （2）如图，直线交线段于点， 由，得， ，， ， ， ，联立， 消去整理可得，， 由韦达定理：，而， ， ， 点坐标为：． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、根与系数的关系、勾股定理及解方程组等知识点，熟练掌握相关运算性质及方法并数形结合是解题的关键． 24．（6分）如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一个动点，连接．过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形（提示：过点作于点，过点作于点． （2）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析部分； （2）8． 【分析】（1）作出辅助线，得到，然后再判断，得到，则有，即可判断矩形为正方形； （2）由四边形为正方形，四边形是正方形可知，，故可得，得到，即可判断，为定值． 【解答】（1）证明：如图所示，过作于点，过作于点， 四边形为正方形， ， ，， ， ， 四边形为矩形， ， ，即， 是正方形对角线的交点， ， 在和中， ， ， ， 矩形为正方形． （2）解：的值为定值， 矩形为正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ，即， 在和中， ， ， ， ， 是定值． 【点评】本题考查了正方形的性质，判定和矩形的性质，关键是结合图形得出三角形全等． 25．（6分）如图，在中，直径弦于点，连接，，过点作交于点，过点作的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解答； （2）． 【分析】（1）先根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，再利用平行线的性质得到，接着利用等角的余角相等得到，然后根据平行线的判定方法得到结论； （2）连接，如图，设的半径为，则，，先根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，在中利用勾股定理得到，解方程得到，然后证明，最后利用相似比计算出的长． 【解答】（1）证明：为的切线， ， ， 为直径， ， ， ， ，， ， ； （2）解：连接，如图，设的半径为，则，， ， ， 在中，， 在中，， 解得， ， ，， ， ，即， 解得， 即的长为． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、垂径定理和圆周角定理． 26．（6分）在平面直角坐标系中，，，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线． （1）若点在该抛物线上，求的值； （2）当时，对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）点代入解析式求得，进一步即可求得； （2）根据二次函数的性质即可得到的取值范围． 【解答】解：（1）点在该抛物线 ， ， ； （2）时，， ，的对称点的横坐标， 抛物线开口向上，， ． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键． 27．（7分）【问题提出】如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 【问题解决】解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连结（或将绕着点逆时针旋转得到，把、、集中在中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出中线的取值范围是 　　． 【应用】如图②，在中，为边的中点，已知，，，求的长． 【拓展】如图③，在中，，点是边的中点，点在边上，过点作交边于点，连结．已知，，则的长为 　　． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）证明得，再根据三角形三边关系求得的取值范围，进而得结论； （2）延长到，使得，连接，证明得，再证明，由勾股定理求得，进而得； （3）延长到，使得，连接，，证明，得，，再证明，由勾股定理求得，由线段垂直平分线性质得． 【解答】解：（1）在和中， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：； （2）延长到，使得，连接，如图②， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ； （3）延长到，使得，连接，，如图③， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了三角形的中线、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，体会出现中点的辅助线的添加方法，属于中考压轴题． 28．（7分）如图，在平面直角坐标系中，已知的半径为2，且与轴、轴的正半轴分别交于点、，点是该坐标平面内一点，给出如下的定义： ①若在上存在一点，使得、两点间的距离小于或等于1，则称点为的“集团点”； ②若点（点不在直线上）关于直线的对称点在上或其内部，则称点为的“明德点”； ③若点同时满足条件①②，则称点为的“明德集团点”． （1）在点，，中，的“明德集团点”是　　； （2）若点是的“集团点”，点所在的区域称为“集团辐射区域”，求该“集团辐射区域”的面积；当点在直线上时，求点的纵坐标的取值范围； （3）若点是的“明德点”，且，求点的横坐标的最大值． 【答案】（1）； （2）该“集团辐射区域”的面积为，点的纵坐标的取值范围为：或； （3）． 【分析】（1）由点为的“集团点”得：点在以原点为圆心，1和3分别为半径的圆所组成的圆环及圆环内，即．即可判断，是的“集团点”，根据对称性，由点是的“明德点”，则点必在关于直线的对称圆上或其内部（不含、两点），即可判断是的“明德集团点”； （2）根据题意可得“集团辐射区域”为以原点为圆心，1和3分别为半径的圆所组成的圆环及圆环内部区域，即可计算面积； （3）取中点，连接，根据，则，则点在以点为圆心，为半径的圆上，又因为点为的“明德点”，则点位于上方的半圆上运动（不含、两端点），当过点作平行于轴的切线时，即轴时，点横坐标最大，点的横坐标的最大值为． 【解答】解：（1）由点为的“集团点”得：点在以原点为圆心，1和3分别为半径的圆所组成的圆环及圆环内， 即． ，，， 故，是的“集团点”， 根据对称性，由点是的“明德点”，则点必在关于直线的对称圆上或其内部（不含、两点）， 点坐标为． ， ，， 故只有是的“明德集团点”． 故答案为：． （2） “集团辐射区域”为以原点为圆心，1和3分别为半径的圆所组成的圆环及圆环内部区域， 如图所示， ，即该“集团辐射区域”的面积为． 点在直线上， 设点坐标为，令，解得：； 令，解得：， 点的纵坐标的取值范围为：或． （3）取中点，连接， ， ， 则点在以点为圆心，为半径的圆上， 又因为点为的“明德点”， 则点位于上方的半圆上运动（不含、两端点）， 当过点作平行于轴的切线时，即轴时，点横坐标最大， 点的横坐标的最大值为． 【点评】本题是一道以圆为背景的新定义题，考查了两点间距离，圆的性质，圆周角定理及其推论，圆的切线，正确理解题意是解题的关键． 28 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$