第05讲 圆与圆的位置关系（3个知识点+3种题型+分层练习）- 2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第05讲 圆与圆的位置关系（3个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．圆与圆的位置关系 （1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含． 如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交． （2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系： ①两圆外离⇔d＞R+r； ②两圆外切⇔d＝R+r； ③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）； ④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）； ⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）． 知识点2．相切两圆的性质 相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点． 这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便． 知识点3．相交两圆的性质 （1）相交两圆的性质： 相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦． 注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系． （2）两圆的公切线性质： 两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等． 两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上． 题型强化 题型一．圆与圆的位置关系 1．（2024•浦东新区校级三模）已知的半径为 3 ，的半径长，如果，那么与不可能存在的位置关系是　　 A ． 两圆内含 B ． 两圆内切 C ． 两圆相交 D ． 两圆外切 2．（2024•金山区二模）如图，在中，，，，以点为圆心作半径为1的圆，是上的一个点，以为圆心，为半径作圆，如果圆和圆有公共点，那么的取值范围是 　　． 3．（2024•徐汇区三模）已知：的直径，与相交于点、，的直径与相交于点，设的半径为，的长为． （1）如图，当点在线段上时，求关于的函数解析式，并写出定义域； （2）当点在直径上时，如果的长为3，求公共弦的长； （3）设与相交于，试问能否为等腰三角形？如果能够，请直接写出的长度（不必写过程）；如果不能，请简要说明理由． 题型二．相切两圆的性质 4．（2024•松江区二模）已知矩形中，，，分别以，为圆心的两圆外切，且点在内，点在内，那么半径的取值范围是　　 A． B． C． D． 5．（2023•普陀区三模）如图，在矩形中，对角线与相交于点，，．分别以点、为圆心画圆，如果与直线相交、与直线相离，且与内切（圆心距半径之差），那么的半径长的取值范围是 　　． 6．（2024•静安区三模）如图1所示，某种汽车转子发动机的平面图，其中的转子形状接近于如图2所示的曲边三角形，其中等边的边长为，分别以、、为圆心，为半径作、、．为的中心． （1）若为上任意一点，则的最小值为 　　，最大值为 　　． （2）转子沿圆转动时，始终保持与相切，的半径为，的半径为，当圆心在线段的延长线上时，求、两点间的距离． 题型三．相交两圆的性质 7．（2023•浦东新区校级模拟）已知在中，，，如果以为圆心为半径的和以为直径的相交，那么的取值范围　　 A． B． C． D． 8．（2024•杨浦区二模）已知矩形中，，以为半径的圆和以为半径的圆相交于点、，如果点到直线的距离不超过3，设的长度为，则的取值范围是 　　． 9．（2024•徐汇区二模）如图，和相交于点、，联结、、，已知，，． （1）求的半径长； （2）试判断以为直径的是否经过点，并说明理由． 分层练习 一、单选题 1．⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为4cm，圆心距O1O2=3cm，这两圆的位置关系是【 】 A．相交 B．内切 C．外切 D．内含 2．外切两圆的半径分别为2 cm和3cm，则两圆的圆心距是 A．1cm B．2cm C．3cm D．5cm 3．已知和的半径长分别是方程的两根，且，则和的位置关系为（  ） A．相交 B．内切 C．内含 D．外切 4．已知的半径为，的半径为，两圆的圆心距为，则这两圆的位置关系是(     ) A．相交 B．内含 C．内切 D．外切 5．如图，和内切，它们的半径分别为和，过作的切线，切点为，则的长为(     ) A．2 B．4 C． D． 6．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，．分别以点、为圆心画圆，如果与直线相交、与直线相离，且与内切，那么的半径长的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 7．已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和5cm，且它们内切，则圆心距O1O2等于 cm． 8．已知⊙O1与⊙O2相外切，⊙O1的半径为3，O1O2=5，则⊙O2的半径为 ． 9．已知与两圆外切，，的半径为3，那么的半径为 ． 10．已知半径均为1的两圆外切，那么半径为2且与这两个圆都相切的圆有 个． 11．已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是2，那么另一个圆的半径是 12．若两圆的半径分别是1和3，且两圆的位置关系是相切，则圆心距为 ． 13．已知两圆的半径长分别为2和5，两圆的圆心距为d，如果两圆没有公共点，那么d的取值范围是 14．圆与圆的五种位置关系的定义 两圆外离：两个圆没有公共点，且 时，叫做这两个圆外离． 两圆外切：两个圆 ，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的 时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点． 两圆相交：两个圆有 时，叫做这两圆相交． 两圆内切：两个圆 ，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的 时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点． 两圆内含：两个圆 ，且一个圆上的点都在另一个圆的 时，叫做这两个圆内含． 15．在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12．如果分别以A、C为圆心的两圆外切，且圆A与直线BC相交，点D在圆A外，那么圆C的半径长r的取值范围是 ． 16．已知⊙O1和⊙O2的半径分别是一元二次方程（x-1）（x-2）=0的两根，且O1O2=2，则⊙O1和⊙O2的位置关系是 ． 17．已知⊙O1和⊙O2的半径分别是一元二次方程的两根，且O1O2=1，则⊙O1和⊙O2的位置关系是 ． 18．如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则sin∠EAB的值为 ． 三、解答题 19．如图，已知是与的公共弦，与交于点C，的延长线与交于点P，连接并延长，交于点D． (1)连接如果．求证： ； (2)如果，求证：． 20．如图，半圆O的直径，点C在半圆O上，，垂足为点H，点D是弧AC上一点． (1)若点D是弧的中点，求的值； (2)连接交半径于点E，交于点F，设． ①用含m的代数式表示线段的长； ②分别以点O为圆心为半径、点C为圆心为半径作圆，当这两个圆相交时，求m取值范围． 21．如图：已知，用直尺和圆规作图（保留作图痕迹，写出必要的文字说明．） (1)在图（1）中，点是外一点，过点作的一条切线． (2)在图（2）中，与外离，作一条直线与都相切． 22．如图，已知在中，，，，点是射线上一点（不与点、重合），过作，垂足为点，以为圆心，长为半径的圆与边相交的另一个交点为点，点是边上一点，且，连接．    (1)如果圆与直线相切，求圆的半径长； (2)如果点在线段上，设线段，线段，求关于的函数解析式及的取值范围； (3)如果以为直径的圆与以为直径的圆外切于边上的点，求线段的长． 23．要对一块长60米、宽40米的矩形荒地进行绿化和硬化． (1)设计方案如图①所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形面积的，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽． (2)某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为和，且到的距离与到的距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个设想是否成立？若成立，求出圆的半径；若不成立，说明理由． 24．如图，已知中，，，，点D是射线上一动点（不与A、B重合），过点D作，交射线于点E，点Q为中点，连接并延长，交射线于点P． (1)如图，当点D在线段上时， ①若，求的长； ②当与相似时，求的长． (2)当是以为腰的等腰三角形时，试判断以点A为圆心、为半径的与以C为圆心、为半径的的位置关系，并说明理由． 25．在平面直角坐标系（如图）中，已知抛物线经过点、两点，与轴的交点为点，对称轴为直线． (1)求此抛物线的表达式； (2)已知以点为圆心，半径为的圆记作圆，以点A为圆心的圆记作圆A，如果圆A与圆外切，试判断对称轴直线与圆A的位置关系，请说明理由； (3)已知点在轴的正半轴上，且在点的上方，如果，请求出点的坐标． 26．【问题提出】用n个圆最多能把平面分成几个区域？ 【问题探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论． 探究一：如图1，一个圆能把平面分成2个区域． 探究二：用2个圆最多能把平面分成几个区域？ 如图2，在探究一的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前1个圆有2个交点，将新增加的圆分成2部分，从而增加2个区域，所以，用2个圆最多能把平面分成4个区域． 探究三：用3个圆最多能把平面分成几个区域？ 如图3，在探究二的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前2个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成部分，从而增加4个区域，所以，用3个圆最多能把平面分成8个区域． （1）用4个圆最多能把平面分成几个区域？ 仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图． （2）【一般结论】用n个圆最多能把平面分成几个区域？ 为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成______________部分，从而增加___________________个区域，所以，用n个圆最多能把平面分成__________________个区域．（将结果进行化简） （3）【结论应用】 ①用10个圆最多能把平面分成_________个区域； ②用___________个圆最多能把平面分成422个区域． 27．已知在中，，点O为边上一点，以点O为圆心，为半径作，交边于点D（点D不与点A、C重合）． (1)当时，判断点B与的位置关系，并说明理由； (2)过点C作，交延长线于点E．以点E为圆心，为半径作，延长，交于点． ①如图1，如果与的公共弦恰好经过线段的中点，求的长； ②连接、，如果与的一条边平行，求的半径长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 圆与圆的位置关系（3个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．圆与圆的位置关系 （1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含． 如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交． （2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系： ①两圆外离⇔d＞R+r； ②两圆外切⇔d＝R+r； ③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）； ④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）； ⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）． 知识点2．相切两圆的性质 相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点． 这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便． 知识点3．相交两圆的性质 （1）相交两圆的性质： 相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦． 注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系． （2）两圆的公切线性质： 两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等． 两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上． 题型强化 题型一．圆与圆的位置关系 1．（2024•浦东新区校级三模）已知的半径为 3 ，的半径长，如果，那么与不可能存在的位置关系是　　 A ． 两圆内含 B ． 两圆内切 C ． 两圆相交 D ． 两圆外切 【分析】两圆半径和等于圆心距时， 两圆外切 ． 设两圆的半径分别为和，且，圆心距为：外离， 则；外切， 则；相交， 则；内切， 则；内含， 则． 根据题意得出，即可得出结论 ． 【解答】解：的半径为 3 ，的半径长， ， 即， 与不可能存在的位置关系是两圆外切 ． 故选：． 【点评】本题考查了圆与圆的位置关系， 利用了两圆外切时圆心距等于两圆半径的和 ． 2．（2024•金山区二模）如图，在中，，，，以点为圆心作半径为1的圆，是上的一个点，以为圆心，为半径作圆，如果圆和圆有公共点，那么的取值范围是 　　． 【分析】分两种情况进行解答，即当当与外切，与外切，分别画出相应的图形，根据直角三角形的边角关系，锐角三角函数的定义以及勾股定理列方程求出外切、内切情况下的值即可． 【解答】解：当与外切时，如图1，连接，过点作，垂足为， 在中，，，， ， 由于， 设，则， ，， 在中，，，，由勾股定理得， ， 即， 解得； 当与内切时，如图2， 设，则，，， 在中，，，，由勾股定理得， ， 即， 解得； 当圆和圆有公共点，的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题考查圆与圆的位置关系，直角三角形的边角关系，掌握圆与圆的位置关系，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键． 3．（2024•徐汇区三模）已知：的直径，与相交于点、，的直径与相交于点，设的半径为，的长为． （1）如图，当点在线段上时，求关于的函数解析式，并写出定义域； （2）当点在直径上时，如果的长为3，求公共弦的长； （3）设与相交于，试问能否为等腰三角形？如果能够，请直接写出的长度（不必写过程）；如果不能，请简要说明理由． 【分析】（1）欲求关于的函数解析式，连接，证明即可； （2）求公共弦的长，作，垂足为．通过圆的知识得出，转化为求的长；分为两种情况：点在线段上时；点在线段上时，求出的长； （3）为等腰三角形，分为两种情况：点在线段上时；点在线段上时，根据角的关系先求出角的度数，从而求出的长度． 【解答】解：（1）连接， 的直径， ． ， ． ． ． ， ． 关于的函数解析式为，定义域为． （2）作，垂足为， 是的弦， ． 设两圆的公共弦与相交于，则垂直平分， ． 当点在线段上时，， ． ． ． 当点在线段上时，． ． ． ． （3）能为等腰三角形，的长度为或． 【点评】本题难度较大，数形结合，考查了两圆的位置关系、相似三角形的性质和函数结合，做题时一定要分析各种情况，不要遗漏． 题型二．相切两圆的性质 4．（2024•松江区二模）已知矩形中，，，分别以，为圆心的两圆外切，且点在内，点在内，那么半径的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据勾股定理求出的长，再根据以，为圆心的两圆外切得出的半径，最后根据点和圆的位置关系，求出的取值范围即可． 【解答】解：连接， 四边形为矩形， ， 以，为圆心的两圆外切， 的半径为， 点在内， ， ， 在内， ， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了相切两圆的性质以及点和圆的位置关系，求出的半径是本题解题的关键． 5．（2023•普陀区三模）如图，在矩形中，对角线与相交于点，，．分别以点、为圆心画圆，如果与直线相交、与直线相离，且与内切（圆心距半径之差），那么的半径长的取值范围是 　　． 【分析】设的半径是，由与直线相交、与直线相离，得到；两圆的圆心距是、半径是和，两圆内切，由此即可求出的半径长的取值范围． 【解答】解：如图，作于，于， 四边形是矩形， ， ， 是的中位线， 同理：， 设的半径是， 与直线相交、与直线相离， ， 由题意知，不然和不能内切， ， ， 两圆的圆心距， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查圆与圆的位置关系，矩形的性质，关键是掌握圆与圆的位置关系的判定方法． 6．（2024•静安区三模）如图1所示，某种汽车转子发动机的平面图，其中的转子形状接近于如图2所示的曲边三角形，其中等边的边长为，分别以、、为圆心，为半径作、、．为的中心． （1）若为上任意一点，则的最小值为 　　，最大值为 　　． （2）转子沿圆转动时，始终保持与相切，的半径为，的半径为，当圆心在线段的延长线上时，求、两点间的距离． 【分析】（1）过点作交于点，交于点，解，求得，进而根据点的位置，求得最值； （2）根据题意画出图形，根据两圆的位置关系可得，进而根据勾股定理，即可求解． 【解答】解：（1）如图所示，过点作交于点，交于点， 等边的边长为，为的中心， ，， ， 又，， 当点在点时，取得最小值，最小值为， 当点在或点时，取得最大值，最大值为， 故答案为：；； （2）如图所示， 由（1）可得，则， ， ， ， ． 【点评】本题考查了解直角三角形，圆与圆的位置关系，综合运用是解题的关键． 题型三．相交两圆的性质 7．（2023•浦东新区校级模拟）已知在中，，，如果以为圆心为半径的和以为直径的相交，那么的取值范围　　 A． B． C． D． 【分析】过等腰三角形的顶点作底边的垂线，根据“三线合一”得到垂足为底边的中点，得到的长，在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，然后找两个特殊位置：一个是以点为圆心，长为半径的圆与底边相切，此时圆的半径为的长；一个是以点为圆心，长为半径的圆与边有两个交点，此时圆的半径为的长，由两特殊位置求出的圆的半径，写出满足题意的的取值范围即可． 【解答】解：由题意得：， ， 由勾股定理得：， 设的半径为， 根据两圆相交得： ， 解答：， 故选：． 【点评】本题考查了两圆的位置关系，解题的关键是正确的作出图形，难度不算很大． 8．（2024•杨浦区二模）已知矩形中，，以为半径的圆和以为半径的圆相交于点、，如果点到直线的距离不超过3，设的长度为，则的取值范围是 　　． 【分析】如图，当在的左侧时，连接，，，过作于，作于，如图，当在的右侧时，连接，，，过作于，交于，再分别求解的值，从而得到答案． 【解答】解：如图，当在的左侧时，连接，，，过作于，作于， 已知矩形，，， 四边形为矩形，，， ，， ， ，为圆心， 是的垂直平分线， ，， ， ， ， 在△中，， 解得：， 如图，当在的右侧时，连接，，，过作于，交于， 已知矩形，，， ，，四边形为矩形， ， 同理可得： ，， ， ， ， 在△中，， ， 综上所述：点到直线的距离不超过3，则； 故答案为：． 【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理的应用，两圆的位置关系，线段的垂直平分线的性质等，确定临界点是解答本题的关键． 9．（2024•徐汇区二模）如图，和相交于点、，联结、、，已知，，． （1）求的半径长； （2）试判断以为直径的是否经过点，并说明理由． 【分析】（1）连接，由勾股定理求出，再求出，再由勾股定理求出即可； （2）由勾股定理逆定理判断是否为直角即可． 【解答】解：（1）连接，和交于点，如图： 是和的公共弦， ，， ， ， ． （2）经过． 证明：，，， ， ， 在以为直径的圆上． 【点评】本题主要考查了相交圆的性质，合理运用勾股定理及其逆定理是本题解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为4cm，圆心距O1O2=3cm，这两圆的位置关系是【 】 A．相交 B．内切 C．外切 D．内含 【答案】B 【详解】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）．因此， ∵⊙O1和⊙O2的半径分别为1㎝和4㎝，且O1O2＝3㎝， ∴4－1=3，即两圆圆心距离等于两圆半径之差． ∴⊙O1和⊙O2的位置关系是内切．故选B． 2．外切两圆的半径分别为2 cm和3cm，则两圆的圆心距是 A．1cm B．2cm C．3cm D．5cm 【答案】D 【详解】本题直接告诉了两圆的半径及两圆外切，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．外离，则P＞R+r；外切，则P=R+r；相交，则R-r＜P＜R+r；内切，则P=R-r；内含，则P＜R-r．（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）． 解答：解：根据两圆外切时，圆心距等于两圆半径和可知，圆心距=2+3=5cm．故选D． 3．已知和的半径长分别是方程的两根，且，则和的位置关系为（  ） A．相交 B．内切 C．内含 D．外切 【答案】A 【分析】解答此题，先要求一元二次方程的两根，然后根据圆与圆的位置关系判断条件，确定位置关系．圆心距<两个半径和，说明两圆相交. 【详解】解：解方程x2-6x+8=0得： x1=2，x2=4， ∵O1O2=5，x2-x1=2，x2+x1=6， ∴x2-x1＜O1O2＜x2+x1． ∴⊙O1与⊙O2相交． 故选A． 【点睛】此题综合考查一元二次方程的解法及两圆的位置关系的判断，关键解出两圆半径． 4．已知的半径为，的半径为，两圆的圆心距为，则这两圆的位置关系是(     ) A．相交 B．内含 C．内切 D．外切 【答案】D 【分析】根据圆和圆的位置的判定方法计算判断． 【详解】解：∵⊙O1的半径r为2cm，⊙O2的半径R为4cm，两圆的圆心距O1O2为6cm， ∴两圆的圆心距等于两半径之和， ∴两圆外切． 故选D． 【点睛】本题考查了圆和圆的位置：若两圆的圆心距、半径分别为d、R、r，则两圆外离⇔d＞R+r；两圆外切⇔d=R+r；两圆相交⇔R-r＜d＜R+r（R≥r）；两圆内切⇔d=R-r（R＞r）；两圆内含⇔d＜R-r（R＞r）． 5．如图，和内切，它们的半径分别为和，过作的切线，切点为，则的长为(     ) A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题可将O1和O2、O2和A连接起来，构成以O1O2为斜边的直角三角形，再根据勾股定理即可得出O1A的长． 【详解】解：连接O1和O2、O2和A，构成以O1O2为斜边的直角三角形， 则O1A===． 故选C． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，两圆内切，圆心距等于两圆的半径差，再根据图形作出直角三角形求解． 6．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，．分别以点、为圆心画圆，如果与直线相交、与直线相离，且与内切，那么的半径长的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，勾股定理求得，进而根据平行线分线段成比例得出，根据题意，画出相应的图形，即可求解． 【详解】解：如图所示，当圆O与相切时，过点作， ∵矩形中，对角线与相交于点，，． ∴，，，， ∴ ∴， 则；    当圆O与相切时，过点作于点，如图所示，    则 则 ∴与直线相交、与直线相离，且与内切时，， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，根据题意画出图形是解题的关键． 二、填空题 7．已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和5cm，且它们内切，则圆心距O1O2等于 cm． 【答案】2 【详解】因为两圆内切，所以圆心距等于两圆的半径之差，故O1O2=5﹣3=2． 8．已知⊙O1与⊙O2相外切，⊙O1的半径为3，O1O2=5，则⊙O2的半径为 ． 【答案】2． 【详解】试题分析：根据两圆外切，圆心距等于两圆半径之和，得该圆的半径是5﹣3=2． 故答案是2． 考点：圆与圆的位置关系． 9．已知与两圆外切，，的半径为3，那么的半径为 ． 【答案】2 【分析】由两圆外切，圆心距等于两圆半径的和，即可求得结果． 【详解】与两圆外切， , ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了两圆的位置关系：两圆外切时两圆的圆心距与两圆半径的关系，掌握这一关系是解题的关键． 10．已知半径均为1的两圆外切，那么半径为2且与这两个圆都相切的圆有 个． 【答案】5 【分析】运用半径为1cm的两个圆外切，画出图形半径为2cm且和这两个圆相外切的共有两个，与其中一个圆外切一个圆内切共有两个，与两圆都内切的有一个． 【详解】结合图形：⊙1、⊙2为半径为1cm的两外切圆， 则与两圆两两外切的有两种：⊙3、⊙4， 与其中一个圆外切，另一个圆内切的有：⊙6、⊙7， 与两小圆都内切的圆有：⊙5， 所以一共有5种， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了两圆相切是的几种位置关系，解题关键是能够想到两圆两两外切的这种情况． 11．已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是2，那么另一个圆的半径是 【答案】1或5 【分析】设与内切，的半径为3，圆心距，分①在的内部和②在的内部两种情况，分别画出图形进行求解即可得． 【详解】解：由题意，设与内切，的半径为3，圆心距， 分以下两种情况： ①如图，当在的内部时， 则的半径为； ②如图，当在的内部时， 则的半径为； 综上，另一个圆的半径为1或5， 故答案为：1或5． 【点睛】本题考查了圆心距、圆与圆的位置关系，正确分两种情况讨论是解题关键． 12．若两圆的半径分别是1和3，且两圆的位置关系是相切，则圆心距为 ． 【答案】2或4 【分析】两圆相切可分为内切和外切，所以根据两种情况分别计算出圆心距即可． 【详解】内切时圆心距为：3-1=2；外切时圆心距为：3+1=4； 故答案为：2或4 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系：外离，则d＞R+r；外切，则d=R+r；相交，则R-r＜d＜R+r；内切，则d=R-r；内含，则d＜R-r．（d表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径） 13．已知两圆的半径长分别为2和5，两圆的圆心距为d，如果两圆没有公共点，那么d的取值范围是 【答案】或/或 【分析】两圆相离，可能外离，或者内含，分情况即可求出d的取值范围． 【详解】解：两圆相离有两种情况： 内含时圆心距大于等于0，且小于半径之差， 故； 外离时圆心距大于半径之和， 故， 所以d的取值范围是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查根据两圆的位置关系判断圆心距与半径之间的关系，熟记概念是解题的关键． 14．圆与圆的五种位置关系的定义 两圆外离：两个圆没有公共点，且 时，叫做这两个圆外离． 两圆外切：两个圆 ，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的 时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点． 两圆相交：两个圆有 时，叫做这两圆相交． 两圆内切：两个圆 ，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的 时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点． 两圆内含：两个圆 ，且一个圆上的点都在另一个圆的 时，叫做这两个圆内含． 【答案】 每个圆上的点都在另一个圆的外部 有唯一公共点 外部 两个公共点 有唯一公共点 内部 没有公共点 内部 【分析】根据圆与圆的五种位置关系的定义逐项分析填空即可求解． 【详解】解：两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离． 两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点． 两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交． 两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点． 两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含． 故答案为：每个圆上的点都在另一个圆的外部；有唯一公共点；外部；两个公共点；有唯一公共点；内部；没有公共点；内部． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，理解圆与圆的五种位置关系是解题的关键． 15．在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12．如果分别以A、C为圆心的两圆外切，且圆A与直线BC相交，点D在圆A外，那么圆C的半径长r的取值范围是 ． 【答案】1＜r＜8 【分析】由四边形ABCD是矩形，可得∠B＝90°，AD＝BC＝12，AB＝5，根据勾股定理，得AC＝13，分别以A、C为圆心的两圆外切，且圆A与直线BC相交，点D在圆A外，根据圆与圆相切的性质即可求出r的取值范围． 【详解】如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，AD＝BC＝12，AB＝5， 根据勾股定理，得 AC＝＝13， ∵分别以A、C为圆心的两圆外切，且圆A与直线BC相交， ∴13﹣5＝8， ∵点D在圆A外， ∴13﹣12＝1， ∴1＜r＜8， 所以圆C的半径长r的取值范围是1＜r＜8． 故答案为：1＜r＜8． 【点睛】本题考查了相切两圆的性质、切线的性质、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，解决本题的关键是综合运用以上知识． 16．已知⊙O1和⊙O2的半径分别是一元二次方程（x-1）（x-2）=0的两根，且O1O2=2，则⊙O1和⊙O2的位置关系是 ． 【答案】相交. 【详解】此题考查圆与直线的位置关系 ，，，，所以两圆相交 答案 相交 17．已知⊙O1和⊙O2的半径分别是一元二次方程的两根，且O1O2=1，则⊙O1和⊙O2的位置关系是 ． 【答案】相交 【详解】∵x2﹣2x+=0， 解得：x=或x=， 又∵⊙O1和⊙O2的半径分别是一元二次方程x2﹣2x+=0的两根， ∴⊙O1和⊙O2的半径分别是与， ∵+=2，﹣=，且O1O2=1， ∴⊙O1和⊙O2的位置关系是相交． 故答案为相交． 18．如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则sin∠EAB的值为 ． 【答案】． 【详解】试题分析：设正方形的边长为y，EC=x， 由题意知，AE2=AB2+BE2， 即（x+y）2=y2+（y-x）2， 由于y≠0， 化简得y=4x， ∴sin∠EAB=． 考点：1．相切两圆的性质；2．勾股定理；3．锐角三角函数的定义 三、解答题 19．如图，已知是与的公共弦，与交于点C，的延长线与交于点P，连接并延长，交于点D． (1)连接如果．求证： ； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相交圆的性质，综合运用垂径定理、直角三角形的判定以及平行线分线段成比例是本题解题的关键． （1）连接，由直角三角形的判定可知为直角三角形，然后根据圆周角定理求出的度数即可证明； （2）过作于E，过作于F，根据垂径定理和平行线分线段成比例来证明即可． 【详解】（1）连接，如图： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∴， 由圆周角定理可知，， ∵是与的公共弦，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴； （2）过作于E，过作于F，如图： ∴， ∴， ∴， 由垂径定理可知，， ∴， ∴． 20．如图，半圆O的直径，点C在半圆O上，，垂足为点H，点D是弧AC上一点． (1)若点D是弧的中点，求的值； (2)连接交半径于点E，交于点F，设． ①用含m的代数式表示线段的长； ②分别以点O为圆心为半径、点C为圆心为半径作圆，当这两个圆相交时，求m取值范围． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】（1）连接，过点作，垂足为点M．由垂径定理，，再利用直角三角形即可得结论． （2）①作交于点G，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可，②利用圆的位置关系即可得出结论． 【详解】（1）连接， ∵点D是弧的中点，是直径， ∴     ∴ ， ∴， ∴．     过点作，垂足为点M．由垂径定理，． 在中，，，． 在中，．     ．     ∴． （2） ①作交于点G. ∴ ∴    ∴， ∴．     又∵ ∴ ∴    ∴， ∴．     ∴．     ②设，，． 当两圆内切时，．     由于，，所以两圆不可能内切．     当两圆外切时，． 解得．     所以当两圆相交时，． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，需要利用参数解决问题，属于中考压轴题． 21．如图：已知，用直尺和圆规作图（保留作图痕迹，写出必要的文字说明．） (1)在图（1）中，点是外一点，过点作的一条切线． (2)在图（2）中，与外离，作一条直线与都相切． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图作切线，切线的判定，圆周角定理． （1）直接以为直径作圆，利用直径所对的圆周角是直角，可得，可证直线是切线； （2）作直线，作垂直于直线的半径，连接交于点，分别以为直径作圆，与和分别交于点，连接，则直线与都相切． 【详解】（1）解：①连接，作线段的垂直平分线，交于点； ②以点为圆心，以的长为半径作，交于点； ③作直线，则直线是的切线； 如图，直线即为所作； （2）解：①作直线， ②作垂直于直线的半径， ③连接交于点， ④分别以为直径作圆，与和分别交于点， ⑤作直线，则直线与都相切． 如图，直线即为所作． 22．如图，已知在中，，，，点是射线上一点（不与点、重合），过作，垂足为点，以为圆心，长为半径的圆与边相交的另一个交点为点，点是边上一点，且，连接．    (1)如果圆与直线相切，求圆的半径长； (2)如果点在线段上，设线段，线段，求关于的函数解析式及的取值范围； (3)如果以为直径的圆与以为直径的圆外切于边上的点，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意画出草图，记圆与直线相切于点，连接，利用勾股定理得到，设，则，利用三角函数得到，据此建立方程求解，即可解题； （2）作于点，根据线段，线段，得到，，，再利用三角函数表示出，，，，再结合勾股定理，即可解题． （3）根据题意画出草图，设，则，，，由（2）同理可得，，再结合圆周角定理和三角函数求解，即可解题． 【详解】（1）解：记圆与直线相切于点，连接，如图所示：   ， ，，， ， 设，则， ， ， 解得， 经检验是方程的解， 圆的半径长为； （2）解：作于点，   线段，线段， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ， ， ， 整理得； （3）解：设，则，，，    由（2）同理可得， ， 为直径，在上， ， ， ， 解得． 经检验是方程的解． ． 【点睛】本题考查切线的性质，勾股定理，解直角三角形，圆周角定理，列函数解析式，分式方程的应用，熟练掌握各知识点的融会贯通是解题关键． 23．要对一块长60米、宽40米的矩形荒地进行绿化和硬化． (1)设计方案如图①所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形面积的，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽． (2)某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为和，且到的距离与到的距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个设想是否成立？若成立，求出圆的半径；若不成立，说明理由． 【答案】(1)10米 (2)设想成立，10米 【分析】本题考查一元二次方程实际应用，二元一次方程组的实际应用．正确的识图，列出方程和方程组，是解题的关键． （1）设两块绿地周围的硬化路面的宽都为米，根据“两块绿地面积的和为矩形面积的”列出方程求解即可； （2）设圆的半径为米，到的距离为米， 根据题意分别列出圆半径与长方形的长和宽的方程，组成方程组，求解即可． 【详解】（1）解：设两块绿地周围的硬化路面的宽都为米，根据题意，得： 解之，得： 经检验，不符合题意，舍去． 所以，两块绿地周围的硬化路面宽都为10米． （2）设想成立． 设圆的半径为米，到的距离为米，根据题意，得： ， 解得：．符合实际． 所以，设想成立，此时，圆的半径是10米． 24．如图，已知中，，，，点D是射线上一动点（不与A、B重合），过点D作，交射线于点E，点Q为中点，连接并延长，交射线于点P． (1)如图，当点D在线段上时， ①若，求的长； ②当与相似时，求的长． (2)当是以为腰的等腰三角形时，试判断以点A为圆心、为半径的与以C为圆心、为半径的的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)① ，② (2)外离，理由见解析； 【分析】（1）① 过点作，交于，根据已知可得四边形为矩形，要求，可先求得的正切值，由，，，，可依次求得长，点Q为中点，可得，，由此在可求得，即可求得的长； ② 当与相似时，利用，要求，求出即可，利用，在中解直角三角形可求得，设，再通过解直角三角形求出，可求得的长，由此得解； （2）要判断两圆的位置关系，需求出两圆的半径，，，通过利用是以为腰的等腰三角形，解直角三角形求出和，然后半径之和与两圆心距离比较，即可得到解决． 【详解】（1）解：① 过点作，交于，如图所示， ，，， ，， 解得， ， ， ， ，， ， 在中， ，， ， 点Q为中点， ， ，，， 四边形为矩形， ，， ， ， ． ② 当与相似时, 过点作，交于， ， ，， ， ，，， ， ， ，， ，， 设，则，， ， 点Q为中点， ， ，，， 在中，， ， ，即， 解得：， ， 在中，， ， ， ． （2）解：当是以为腰的等腰三角形时，过点作于，过点作，交于，如图所示， 则，， 点Q为中点， ， ， ， ，即为角平分线， ，， ，， 设， ，， ， ，，， ，，， 在中，设， ， ， ， ， 在中， ，即， 解得，即， ，， 以点A为圆心、为半径的，即半径为 与以C为圆心、为半径的，即半径为， ，两圆心距离， ， 两圆的位置关系为外离． 【点睛】本题综合考查了解直角三角形，相似三角形，等腰三角形，平行线的性质，圆的位置关系，勾股定理，熟练掌握解直角三角形的正弦，余弦，正切的计算，以及相似三角形，等腰三角形的性质，勾股定理的运用，圆的位置关系判定是解决问题的关键． 25．在平面直角坐标系（如图）中，已知抛物线经过点、两点，与轴的交点为点，对称轴为直线． (1)求此抛物线的表达式； (2)已知以点为圆心，半径为的圆记作圆，以点A为圆心的圆记作圆A，如果圆A与圆外切，试判断对称轴直线与圆A的位置关系，请说明理由； (3)已知点在轴的正半轴上，且在点的上方，如果，请求出点的坐标． 【答案】(1)此抛物线的表达式是 (2)对称轴直线与圆A的位置是相离，理由见详解 (3)点的坐标为 【分析】（1）直接用待定系数法求解即可； （2）设圆A的半径为r，又圆A与圆外切，所以，得到，即，即可判断； （3）过点作，垂足为，过点作轴，垂足为G，利用等角的正切值相等解决问题，，所以，，所以，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点、两点 ∴，解得 ∴此抛物线的表达式是； （2）答：对称轴直线与圆A的位置是相离 根据（1）得，抛物线的对称轴是直线， 抛物线与y轴的交点点坐标为， 所以， 所以圆的半径是， 设圆A的半径为r，又圆A与圆外切，所以， 又， 所以， 对称轴与x轴垂直，设垂足为M，那么的长就是圆A到对称轴的距离， 又对称轴是直线， 所以点的坐标为， 所以， 因为，即， 所以对称轴直线与圆A的位置是相离． （3）解：过点作，垂足为，过点作轴，垂足为G， 易得 ，， 又点坐标为， 点坐标为， 所以轴， 所以，，由勾股定理得 ， 所以，在中，， 在中，， 因为， 所以， 所以， 所以点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数与几何综合题，考查了待定系数法求解析式，圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，二次函数与角度的存在性问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 26．【问题提出】用n个圆最多能把平面分成几个区域？ 【问题探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论． 探究一：如图1，一个圆能把平面分成2个区域． 探究二：用2个圆最多能把平面分成几个区域？ 如图2，在探究一的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前1个圆有2个交点，将新增加的圆分成2部分，从而增加2个区域，所以，用2个圆最多能把平面分成4个区域． 探究三：用3个圆最多能把平面分成几个区域？ 如图3，在探究二的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前2个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成部分，从而增加4个区域，所以，用3个圆最多能把平面分成8个区域． （1）用4个圆最多能把平面分成几个区域？ 仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图． （2）【一般结论】用n个圆最多能把平面分成几个区域？ 为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成______________部分，从而增加___________________个区域，所以，用n个圆最多能把平面分成__________________个区域．（将结果进行化简） （3）【结论应用】 ①用10个圆最多能把平面分成_________个区域； ②用___________个圆最多能把平面分成422个区域． 【答案】（1）在探究三的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前3个圆分别有2个交点，将新增的圆分成部分，从而增加6个区域，所以，用4个圆最多能把平面分成14个区域；（2）；；；（3）①92；②21 【分析】（1）在探究三的基础上，新增加的圆与前3个圆分别有2个交点，将新增的圆分成部分，所以，用4个圆最多能把平面分成2+2×1+2×2+2×3个区域； （2）为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成（2n-2）部分，从而增加（2n-2）个区域，所以，用n个圆最多能把平面分成2+2×1+2×2+2×3+2×4+…+2(n-1)区域求和即可; （3）①用n=10，代入规律，求代数式的值即可； ②设n个圆最多能把平面分成422个区域，利用规律构造方程，可得方程解方程即可． 【详解】解：（1）在探究三的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前3个圆分别有2个交点，将新增的圆分成部分，从而增加6个区域，所以，用4个圆最多能把平面分成2+2×1+2×2+2×3=14个区域； （2）为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成（2n-2）部分，从而增加（2n-2）个区域，所以，用n个圆最多能把平面分成区域数为 2+2×1+2×2+2×3+2×4+…+2(n-1)， =2+2(1+2+3+…+n-1)， =2+2， ， =; 故答案为：（2n-2）；（2n-2）；； （3）①用10个圆，即n=10，； ②设n个圆最多能把平面分成422个区域， 可得方程， 整理得， 因式分解得， 解得或（舍去）， ∴用21个圆最多能把平面分成422个区域． 故答案为：21． 【点睛】本题考查图形分割规律探究问题，圆与圆的位置关系，利用新增圆被原来每个圆都分成两个交点，其交点数就是新增区域数，发现规律后列式求和，利用规律解决问题，涉及数列n项和公式，代数式求值，解一元二次方程，仔细观察图形，掌握所学知识是解题关键． 27．已知在中，，点O为边上一点，以点O为圆心，为半径作，交边于点D（点D不与点A、C重合）． (1)当时，判断点B与的位置关系，并说明理由； (2)过点C作，交延长线于点E．以点E为圆心，为半径作，延长，交于点． ①如图1，如果与的公共弦恰好经过线段的中点，求的长； ②连接、，如果与的一条边平行，求的半径长． 【答案】(1)点B在内，见详解 (2)①；②或 【分析】（1）借助垂径定理，利用表示出和，通过比较和的大小确定点与圆的位置关系； （2）需要紧扣，第①问中结合连心线和公共弦的性质可以发现圆E和圆O是等圆，借助相似三角形的性质或锐角三角函数，用含k的代数式表示出、，从而求解； 第②问当时，过点作，证明出，在中，，得到解得则； 当，延长交延长线于点F，由，得到，解得或5（舍去），则． 【详解】（1）解：过点O作，垂足为点H， ∵过圆心，， ∴ ， ∵， ， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点B在内． （2）解：过点C作，垂足为M， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ， 又∵ ， ∵， ∴在中，，， 设，则， ∴， ①两圆的交点记为P、Q，连接， ∵与相交，是公共弦， ∴垂直平分，即， ∵经过的中点， ∴垂直平分， ∴，即， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，解得， ∴； ②由于点A在直线上， ∴不可能与平行， 则当时，过点作， ， ∵， ， ， ∵ ， ∵ ， ∵ ， 在中，， ∴ ； 当，延长交延长线于点F， ∵ ， ∴ ， ∵ ， 解得或5（舍去）， ∴， 综上：或． 【点睛】本题考查了圆和三角形相结合的问题，锐角三角函数，点与圆的位置关系，相交两圆的性质，相似三角形的判定与性质，本题的解题方法都是落在“解三角形”上，发现等角，并灵活解三角形是本题的突破点和难点. 学科网（北京）股份有限公司 $$