第05讲 圆与圆的对称性（2个知识点+5种题型+分层练习）- 2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第05讲 圆与圆的对称性（2个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 知识点2．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 题型强化 题型一．圆的认识 1．（2022秋•郧西县期末）由所有到已知点的距离大于或等于2，并且小于或等于3的点组成的图形的面积为　　 A． B． C． D． 2．（2021•市中区校级一模）把一个圆心为，半径为的小圆面积增加一倍，两倍，三倍，分别得到如图所示的四个圆（包括原来的小圆），则这四个圆的周长之比（按从小到大顺序排列）是　　． 3．（2020•丰台区一模）在中，，，点为线段上一动点，当点运动到某一位置时，它到点，的距离都等于，到点的距离等于的所有点组成的图形为，点为线段延长线上一点，且点到点的距离也等于． （1）求直线与图形的公共点的个数； （2）过点作交图形于点，的延长线交于点，当时，求线段的长． 题型二．圆心角、弧、弦的关系 4．（2024春•新城区校级月考）如图，内接于，点是弧的中点，是的直径．，，则的长为　　 A．5 B． C． D． 5．（2024•二道区校级模拟）如图①所示的是由可随意弯曲的硅胶灯带制成的弧形餐厅灯，图②是工人师傅设计灯带时所画的对应示意图，若此弧形餐厅灯的圆心角为，半径为2米，切裁时不计损耗，则制作此灯需要硅胶灯带的长度是 　　米．（结果保留 6．（2024•宣城一模）如图，在中，直径，正方形的四个顶点分别在半径、以及上，并且，求正方形的边长． 题型三、求圆中弦的条数 7．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 8．（23-24九年级下·全国·课后作业）的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有 个． 9．（九年级下·全国·课后作业）已知：线段AB = 4 cm，画图说明：和点A、B的距离都不大于3 cm的所有点组成的图形. 题型四、判断点与圆的位置关系 10．（22-23九年级下·广东湛江·期中）若的直径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系为（　　） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定 11．（23-24九年级下·甘肃张掖·开学考试）若的直径为3， ，则点P与的位置关系是：点P在 （填“内““外”或“上”） 12．（23-24九年级下·北京·期末）对于平面直角坐标系中的，点，点，给出如下定义：线段为⊙的弦，点是弦上任意一点．若，则称点是点关于的倍关联点． 已知，的半径为2，点的坐标为． (1)在点，，中，是点关于的2倍关联点的是 ； (2)在直线上，若是点关于⊙的2倍关联点，直接写出的取值范围； (3) 与轴正半轴交于点，对于线段上任意一点，在  上都存在点，使得点是点关于的倍关联点，直接写出的最大值和最小值． 题型五、利用弧、弦、圆心角的关系求解 13．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，已知是的直径，D，C是劣弧 的三等分点，，那么（    ） A． B． C． D． 14．（22-23九年级下·江苏南通·期末）如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径上一动点，若的直径为2，则的最小值是 ．    15．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，C是的直径上一点，过点 C作弦，使，若，求，的度数． 分层练习 一、单选题 1．⊙O的半径为4cm，点P到圆心O的距离为5cm，点P与⊙O的位置关系是（    ） A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定 2．若的半径是3，点在圆外，则点的长可能是（   ） A． B．3 C． D． 3．已知点P到圆心O的距离为3，若点P在圆外，则的半径可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．下列说法不正确的有（ ） ①直径是弦，弦是直径；②长度相等的弧是等弧；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；④在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，AB是⊙O的直径，C．D是弧BE上的三等分点，已知∠AOE=60°.则∠COE的度数为   （    ）    A．20 ° B．40 ° C．60° D．80° 6．已知点P到圆上的最远距离是5cm，最近距离是1cm，则此圆的半径是（ ） A．3cm B．2cm C．3cm或2cm D．6cm或4cm 7．在中，，，，M是的中点，以点C为圆心，1为半径作，则（    ） A．点M在外 B．点M在上 C．点M在内 D．不能确定 8．正方形ABCD的边长为2cm, A'、B'、C'、D'分别为AB、BC、CD、DA的中点,以AC, BD的交点O为圆心, 以1cm为半径,则A'、B'、C'、D'四个点在O上的点的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．在两个圆中有两条相等的弦，则下列说法正确的是（     ） A．这两条弦所对的弦心距相等 B．这两条弦所对的圆心角相等 C．这两条弦所对的弧相等 D．这两条弦都被垂直于弦的半径平分 10．如图，以矩形ABCD对角线AC为底边作等腰直角△ACE，连接BE，分别交AD，AC于点F，N，AM平分∠BAN．下列结论：①BE平分∠ABC；②AE＝EM；③∠BCM＝∠NCM；④AN2＝NF•NE；⑤BN2+EF2＝EN2，其中正确结论的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 二、填空题 11．已知⊙O 的直径为4，且OA=2，则点A与⊙O 的位置关系是 ． 12．如图，一拱桥呈抛物线状，桥的最大高度是32m，跨度是80m，在线段AB上距离中心M20m的D处，桥的高度是 m． 13．如图，是的直径，，点、是弧的三等分点，则 ．    14．学校有一个圆形花坛，要求将它三等分，以便在上面种植三种不同的花，你认为下列所给图中符合设计要求的图案是 ．（将所有符合设计要求的图案序号填上） 15．（1）图①中有 条弧，分别为 ； （2）写出图②中的一个半圆 ；劣弧： ；优弧： ． 16．如图，在中，，，点为的中点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接．则的长度的取值范围是 ． 17．如图，已知为等边三角形，，将边绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，点E为上一点，且．连接，则的最小值为 ． 18．等腰直角中，，，点是平面内一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当 填度数度时，可以取最大值，最大值等于 ． 三、解答题 19．如图，在中，请利用圆规和无刻度直尺作出劣弧的中点．（不写作法，保留作图痕迹） 20．如图是某影视城的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，，，且、与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？ 21．如图，在中，，，，点从点出发沿边以的速度向点移动，同时，点从点出发沿边以的速度向点移动．当、两点中有一点到达终点时，另一点随之停止运动． (1)几秒后，的面积等于？ (2)在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以点为圆心，为半径的圆正好经过点？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． 22．如图，在正方形中，动点从点出发，沿运动到点停止．过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连结，直线与交于点．设为，且． (1)当时， ， ； (2)当点在上时， ①求的值； ②当为轴对称图形时，求的大小； (3)若正方形的面积为，直接写出面积的最大值． 23．已知：AB，CF都是⊙O的直径，AH，CD都是⊙O的弦，CD⊥AB于点E，AH＝CD． （1）如图1，求证：AH⊥CF； （2）如图2，延长AH，CD交于点P，求证：PH＝PD； （3）如图3，在（2）的条件下，延长AC，HE交于点Q，若∠Q＝45°，CQ＝2，求HE的长． 24．【问题探究】 （1）如图1，在四边形中，，是的中点，F是上一动点（足够长），将沿折叠，得到，点B的对应点为P，连接，求的最小值； 【问题解决】 （2）如图2，某景区有一块五边形的场地为场地出入口，为吸引更多游客，计划在该场地内部修建一个观景亭M欣赏周围美景，在边上修建一个喷水池N（大小忽略不计），其中，点F在上，且，观景亭M恰好在以为直径的上，并在观景亭M和喷水池N以及喷水池N与出入口E之间沿等距离的挂上灯笼进行装饰，为了节约成本，要使得线段之和最短，试求的最小值． 25．【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为，点A在上，点B为线段中点，过点B作垂线l．点P是上一动点，点P关于直线l的对称点为，试探究点的轨迹． 【问题解决】经过讨论，小组同学猜想点在一个确定的圆上，下面是部分证明过程： 证明： 证明过程缺失 ∴点在以点______为圆心，______为半径的圆上． （1）请你补全证明中的缺失过程． 【结论应用】（2）如图②，的半径为，点A与点C在上且．点B为线段上的点，且，过点B作的垂线l．点P是上一动点，点P关于直线l的对称点为．当点P从点A运动到点C时，点的运动路径长为______． 【拓展提升】（3）如图③，若把上述问题的条件“”去掉，其它条件不变，为直径．点D到点距离d的取值范围是______． 26．如图，为等边三角形，以为顶点作Rt，绕着点旋转，且， (1)如图1，，，当旋转到左侧，且三点共线时，求点B到的距离； (2)如图2，连接，取上一点，连接并延长交于点，连接，若为等边三角形，求证： (3)如图3，，，连接为中点，连接，当最小时，直接写出面积 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 圆与圆的对称性（2个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 知识点2．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 题型强化 题型一．圆的认识 1．（2022秋•郧西县期末）由所有到已知点的距离大于或等于2，并且小于或等于3的点组成的图形的面积为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意、利用圆的面积公式计算即可． 【解答】解：由所有到已知点的距离大于或等于2，并且小于或等于3的点组成的图形的面积为以3为半径的圆与以2为半径的圆组成的圆环的面积， 即， 故选：． 【点评】本题考查的是圆的认识、圆的面积的计算，掌握圆的面积公式是解题的关键． 2．（2021•市中区校级一模）把一个圆心为，半径为的小圆面积增加一倍，两倍，三倍，分别得到如图所示的四个圆（包括原来的小圆），则这四个圆的周长之比（按从小到大顺序排列）是　　． 【分析】设最小的圆的面积是，则其它三个圆的面积分别是，，．由题意得四个圆是相似形，根据面积比可求得其相似比，根据周长比等于相似比即可得到答案． 【解答】解：设最小的圆的面积是，则其它三个圆的面积分别是，，， 所有的圆都是相似形，面积的比等于半径的比的平方， 因而半径的比是，周长的比等于相似比，即半径的比，是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了圆相似形时，面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比． 3．（2020•丰台区一模）在中，，，点为线段上一动点，当点运动到某一位置时，它到点，的距离都等于，到点的距离等于的所有点组成的图形为，点为线段延长线上一点，且点到点的距离也等于． （1）求直线与图形的公共点的个数； （2）过点作交图形于点，的延长线交于点，当时，求线段的长． 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，求得，得到，推出，于是得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到，求得，推出点在上，根据垂径定理得到，求得，于是得到结论． 【解答】解：（1）直线与图形的公共点的个数为1个； 点到点，的距离都等于， 点为的中垂线与的交点， 到点的距离等于的所有点组成图形， 图形是以点为圆心，为半径的圆， 根据题意补全图形如图所示， 连接， ， ， 点到点的距离也等于， ， ， ， ， 为的切线， 直线与图形的公共点的个数为1个； （2）， ， ， ， ， 点在上， 交图形于点， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ． ． 【点评】本题考查圆的认识，圆周角定理，垂径定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 题型二．圆心角、弧、弦的关系 4．（2024春•新城区校级月考）如图，内接于，点是弧的中点，是的直径．，，则的长为　　 A．5 B． C． D． 【分析】连接，先求得，进而得到，再利用直角三角形的性质求得，又由点是弧的中点得，进而利用勾股定理即可得解． 【解答】解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， 点是弧的中点， ， ， 即， 解得， 故选：． 【点评】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，弧与弦之间的关系，直径所对的圆周角是直角，掌握直径所对的圆周角是直角是关键． 5．（2024•二道区校级模拟）如图①所示的是由可随意弯曲的硅胶灯带制成的弧形餐厅灯，图②是工人师傅设计灯带时所画的对应示意图，若此弧形餐厅灯的圆心角为，半径为2米，切裁时不计损耗，则制作此灯需要硅胶灯带的长度是 　　米．（结果保留 【分析】根据弧长的计算公式计算即可． 【解答】解：弧形餐厅灯的圆心角为，半径为， 制作此灯需要硅胶灯带的长度是． 故答案为：． 【点评】本题考查了弧长的计算，解题的关键是掌握弧长公式：（弧长为，圆心角度数为，圆的半径为． 6．（2024•宣城一模）如图，在中，直径，正方形的四个顶点分别在半径、以及上，并且，求正方形的边长． 【分析】连接，先根据正方形的性质得出是等腰直角三角形，进而得出，即可得出；接下来在中运用勾股定理求出的值即可． 【解答】解：连接， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，即， ． 【点评】本题主要是正方形的性质以及圆的认识问题，直接求解比较困难，考虑作辅助线进行求解． 题型三、求圆中弦的条数 7．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【答案】C 【知识点】求圆中弦的条数 【分析】本题主要考查了圆的弦．熟练掌握弦的定义是解决问题的关键．弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦． 根据圆的弦的定义解答． 【详解】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 8．（23-24九年级下·全国·课后作业）的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有 个． 【答案】7 【知识点】求圆中弦的条数、求过圆内一点的最长弦 【分析】本题主要考查了圆的弦的概念．熟练掌握圆的弦的定义和性质，是解决问题的关键．圆的弦的定义：连接圆上任意两点间的线段叫做弦．最大弦是直径． 根据的半径为，得到直径，根据，得到在半圆上，有3个，另一侧也有3个，加上长度为的是与B点重合，一共有7个． 【详解】如图，∵的半径为， ∴直径， ∴弦长的整数值有或或或，共4种可能， 当或或时,各有2条, 当时有1条, ∴这样的弦共有7条． ∴这样的点P共有7个． 故答案为：7． 9．（九年级下·全国·课后作业）已知：线段AB = 4 cm，画图说明：和点A、B的距离都不大于3 cm的所有点组成的图形. 【答案】所求图形为阴影部分（包括阴影的边界）. 【知识点】圆的基本概念辨析、求圆中弦的条数 【分析】以A，B点为圆心，半径为3作圆，重叠的部分即为所求. 【详解】如图所示，以点A，B为圆心，3cm为半径画圆，两个圆相交的部分为阴影部分，图中阴影部分就是到点A和点B的距离都不大于3 cm的所有点组成的图形. 【点睛】此题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据题意画出图形，根据所学的点与圆的位置关系的判断方法来解答. 题型四、判断点与圆的位置关系 10．（22-23九年级下·广东湛江·期中）若的直径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系为（　　） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定 【答案】B 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据题意得出，从而即可得出答案，熟练掌握点与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：∵的直径为，所以半径为，点到圆心的距离为， ∴， ∴点与的位置关系为：点在圆上， 故选：B． 11．（23-24九年级下·甘肃张掖·开学考试）若的直径为3， ，则点P与的位置关系是：点P在 （填“内““外”或“上”） 【答案】外 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】由条件可求得圆的半径为1.5，由条件可知点P到圆心的距离大于半径，可判定点P在圆外． 本题主要考查点与圆的位置关系，利用点到圆心的距离d与半径r的大小关系判定点与圆的位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵的直径为3， ∴半径， ∵， ∴， ∴点P在外． 故答案为：外． 12．（23-24九年级下·北京·期末）对于平面直角坐标系中的，点，点，给出如下定义：线段为⊙的弦，点是弦上任意一点．若，则称点是点关于的倍关联点． 已知，的半径为2，点的坐标为． (1)在点，，中，是点关于的2倍关联点的是 ； (2)在直线上，若是点关于⊙的2倍关联点，直接写出的取值范围； (3) 与轴正半轴交于点，对于线段上任意一点，在  上都存在点，使得点是点关于的倍关联点，直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1)、； (2)； (3)最小值是1，最大值是． 【知识点】一次函数与几何综合、判断点与圆的位置关系、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据新定义可知，，所以是的中点，连接，根据垂径定理可知，，据此判断可得出结果； （2）可推出点在以为直径的圆上运动，当直线于相切于点时，设直线交轴于，交轴于，解求得，进而得出，解求得结果，当直线于相切于点时，设直线交轴于，交轴于，同样的方法得出结果； （3）根据，，可求得的最小值是，此时点在点或点处，；连接，，可得出，从而，进而得到，从而得到，进一步得出结果． 【详解】（1）如图， 图中， ∵，，则应为，但此时不在圆上，故点不是点关于⊙的倍关联点， 图中， ∵，，则在圆上，故点是点关于⊙的倍关联点， 图， 连接，作于， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是点关于⊙的倍关联点． 故答案为、． （2）如图， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， 当直线于⊙相切于点时，设直线交轴于，交轴于， 可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 当直线于⊙相切于点时，设直线交轴于，交轴于， 连接， 可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）∵，， ∴的最小值是， 当点在点或点时，， 如图， 连接，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，即点是的中点，最大，当，最小，此时， 此时， 综上所述，的最小值是，最大值时． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，与圆有关的位置关系，一次函数的图像和性质等知识，解决问题的关键是根据新定义转化题意． 题型五、利用弧、弦、圆心角的关系求解 13．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，已知是的直径，D，C是劣弧 的三等分点，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查的是弧与圆心角的关系，根据题意先求出，再利用邻补角即可求出即可． 【详解】解：∵D，C是劣弧 的三等分点，， ∴， ∴， 故选B． 14．（22-23九年级下·江苏南通·期末）如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径上一动点，若的直径为2，则的最小值是 ．    【答案】 【知识点】最短路径问题、三角形三边关系的应用、用勾股定理解三角形、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】作点关于的对称点，连接交于点，连接，由三角形两边之和大于第三边即可得出此时最小，连接，根据点是半圆上一个三等分点、点是的中点，即可得出，再利用勾股定理即可求出的值，此题得解． 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，轴对称中最短路线问题，三角形的三边关系以及勾股定理，根据三角形的三边关系确定取最小值时点的位置是解题的关键． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，连接， 此时最小，连接，如图所示．   点和点关于对称， ． 点是半圆上一个三等分点，点是的中点， ，， ． ， ． 故答案为：． 15．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，C是的直径上一点，过点 C作弦，使，若，求，的度数． 【答案】， 【知识点】等边对等角、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，弧与圆心角之间的关系；先证明，，，再利用弧与圆心角之间的关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴的度数为，． ∵， ∴， ； ∴的度数是． 分层练习 一、单选题 1．⊙O的半径为4cm，点P到圆心O的距离为5cm，点P与⊙O的位置关系是（    ） A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定 【答案】C 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】根据点到圆心的距离与圆的半径的大小关系进行判断即可． 【详解】解：∵OP＝5＞4， ∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外． 故选：C． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系．熟练掌握点到圆心的距离与圆的半径的大小关系判断点与圆的位置关系，是解题的关键． 2．若的半径是3，点在圆外，则点的长可能是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】根据点在圆外时，点与圆心的距离大于半径即可确定． 【详解】解：的半径是3，点在圆外， ∴的长大于3． 而3、、均不超过3，， 故的长可能是； 故选：A． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，当点在圆外时，圆心与点的距离大于半径，点在圆上时，圆心与点的距离等于半径，点在圆内时，圆心与点的距离小于半径；掌握这一知识是关键． 3．已知点P到圆心O的距离为3，若点P在圆外，则的半径可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径 【分析】根据点与圆的位置关系判断得出即可． 【详解】解：∵点P在圆外，且， ∴， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①点P在圆外则，②点P在圆上则，③点P在圆内则． 4．下列说法不正确的有（ ） ①直径是弦，弦是直径；②长度相等的弧是等弧；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；④在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】根据弦、直径的定义对①进行判断；根据等弧的定义对②进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对③进行判断；根据圆周角定理对④进行判断． 【详解】解：直径是弦，弦不一定是直径，所以①错误；能够完全重合的弧是等弧，长度相等的弧不一定是等弧，所以②错误；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以③正确；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，所以④错误． 故选C． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了圆周角定理． 5．如图，AB是⊙O的直径，C．D是弧BE上的三等分点，已知∠AOE=60°.则∠COE的度数为   （    ）    A．20 ° B．40 ° C．60° D．80° 【答案】D 【知识点】圆周角定理、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】先求出∠BOE=120°，再运用“等弧对等角”即可求解 【详解】解：∵∠AOE=60°， ∴∠BOE=180°-∠AOE=120°， ∴ 的度数是120°， ∵C、D是上的三等分点， ∴弧CD与弧ED的度数都是40度， ∴∠COE=80°． 故选D． 【点睛】本题考查邻补角的概念和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 6．已知点P到圆上的最远距离是5cm，最近距离是1cm，则此圆的半径是（ ） A．3cm B．2cm C．3cm或2cm D．6cm或4cm 【答案】C 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，注意此题的两种情况．从过该点和圆心的直线中，即可找到该点到圆的最小距离和最大距离． 分两种情况：点在圆外，直径等于两个距离的差；点在圆内，直径等于两个距离的和． 【详解】解：∵点P到的最近距离为1cm，最远距离为5cm，则： 当点P在圆外时，则的直径为，半径是2cm； 当点P在圆内时，则的直径是，半径为3cm， 故选C． 7．在中，，，，M是的中点，以点C为圆心，1为半径作，则（    ） A．点M在外 B．点M在上 C．点M在内 D．不能确定 【答案】A 【知识点】判断点与圆的位置关系、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．根据题意画出图形，由勾股定理求出的长，再由直角三角形的性质得出的长，再与的半径相比较即可． 【详解】解：如图， 在中，，，， ． 是的中点， ， 点在外． 故选：A． 8．正方形ABCD的边长为2cm, A'、B'、C'、D'分别为AB、BC、CD、DA的中点,以AC, BD的交点O为圆心, 以1cm为半径,则A'、B'、C'、D'四个点在O上的点的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】试题解析：连接O A'，O B'，O C'，O D'． ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC=CD=DA=2cm，且BD⊥AC． ∵A'、B'、C'、D'分别为AB、BC、CD、DA的中点， ∴O A'=O B'=O C'=O D' =AB=1cm， ∴A'、B'、C'、D'四点在以O为圆心，1cm为半径的圆上． 故选D. 9．在两个圆中有两条相等的弦，则下列说法正确的是（     ） A．这两条弦所对的弦心距相等 B．这两条弦所对的圆心角相等 C．这两条弦所对的弧相等 D．这两条弦都被垂直于弦的半径平分 【答案】D 【知识点】垂径定理的推论、利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，但在不同圆中则应另当别论． 【详解】A. 这两条弦所对的弦心距不一定相等，原说法错误，故本选项错误； B. 这两条弦所对的圆心角不一定相等，原说法错误，故本选项错误； C. 这两条弦所对的弧不一定相等，原说法错误，故本选项错误； D. 这两条弦都被垂直于弦的半径平分(垂径定理)，原说法正确，故本选项正确； 故选D. 【点睛】此题考查圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，解题关键在于掌握其性质定理 . 10．如图，以矩形ABCD对角线AC为底边作等腰直角△ACE，连接BE，分别交AD，AC于点F，N，AM平分∠BAN．下列结论：①BE平分∠ABC；②AE＝EM；③∠BCM＝∠NCM；④AN2＝NF•NE；⑤BN2+EF2＝EN2，其中正确结论的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用弧、弦、圆心角的关系求证、利用矩形的性质证明、用勾股定理解三角形 【分析】连接DE，有矩形的性质可得：，，，由此得出点A、B、C、D、E都在以AC为直径的圆上，根据同弧或等弧所对的圆周角相等得，，根据全等三角形的判定定理及性质可得，即，，可证明结论①；根据三角形外角性质及角平分线的性质可得，可证明结论②；根据等边对等角及三角形外角的性质，利用各角之间的等量关系即可证明结论③；根据相似三角形的判定和性质即可证明结论④；将绕点A逆时针旋转90°，得到，连接EG，根据全等三角形的判定和性质可得：，，利用各角之间的关系可得，再由勾股定理及等量代换即可证明结论⑤． 【详解】解：连接DE，如图： ∵四边形ABCD为矩形，为AC为底的等腰直角三角形， ∴，，， ∴点A、B、C、D、E都在以AC为直径的圆上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴BE平分，故①正确； ∵， 而， ∵AM平分， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； 将绕点A逆时针旋转90°，得到，连接EG，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转90°，得到， ∴，， ∴， ∴， ∴，故⑤正确， ∴正确的有①②③④⑤， 故选：A． 【点睛】题目主要考查矩形的性质，四边形外接圆的性质，相似三角形及全等三角形的判定和性质，旋转的性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些性质是解题关键． 二、填空题 11．已知⊙O 的直径为4，且OA=2，则点A与⊙O 的位置关系是 ． 【答案】点A在⊙O上 【知识点】圆 【详解】试题分析：因为⊙O 的直径为4，且OA=2，所以d=r，所以点A在⊙O上． 考点：点与圆的位置关系． 12．如图，一拱桥呈抛物线状，桥的最大高度是32m，跨度是80m，在线段AB上距离中心M20m的D处，桥的高度是 m． 【答案】24 【知识点】圆 【详解】试题分析：建立如图所示的坐标系，则点A、C的坐标为A（-40,0），C（0，32），设函数解析式为，代入点A、C的坐标得 ，解得，所以，令x=20，则y=24． 考点：二次函数的应用 13．如图，是的直径，，点、是弧的三等分点，则 ．    【答案】112°． 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】根据∠AOE的度数求出∠BOE的度数，根据圆心角、弧、弦的关系定理解答即可． 【详解】∵∠AOE=78°，AB是⊙O的直径，点C、D是弧BE的三等分点 ∴∠BOE=180°﹣78°=102°． ∵点C、D是弧BE的三等分点， ∴∠BOD102°=68°． ∠AOD=180º-68º=112º 故答案为：112°． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，掌握在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解题的关键． 14．学校有一个圆形花坛，要求将它三等分，以便在上面种植三种不同的花，你认为下列所给图中符合设计要求的图案是 ．（将所有符合设计要求的图案序号填上） 【答案】②③④ 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】本题考查了圆的基本性质，根据圆的旋转不变性即可解决． 【详解】解：∵要求将它三等分 ∴①是不正确的； ②和③都是首先把圆三等分， 根据圆的旋转不变性，在每一部分内做了相同的图形； ④是把圆六等分，每一种占其中的2份． ∴②③④符合要求． 故答案为：②③④ 15．（1）图①中有 条弧，分别为 ； （2）写出图②中的一个半圆 ；劣弧： ；优弧： ． 【答案】 2； , ； ； ； ． 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】（1）根据弧的定义求解可得； （2）根据半圆、劣弧、优弧概念求解可得． 【详解】解：（1）图①中有2条弧，分别为 , ； 故答案为：2， , ； （2）写出图②中的一个半圆 ； 劣弧： ；优弧：． 故答案为： ； ；． 【点睛】本题主要考查圆的认识，解题的关键是掌握优弧、半圆、劣弧的概念． 16．如图，在中，，，点为的中点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接．则的长度的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质说明线段或角相等、求一点到圆上点距离的最值、用勾股定理解三角形、根据三线合一证明 【分析】以点为圆心，为半径作圆，连接并延长，交于点和，根据题意可得，，，根据分析图中为最大值，为最小值． 【详解】解：如图，以点为圆心，为半径作圆，连接并延长，交于点和， ∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴，， ∵将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴点、、三点共线， 由图可知，可能在线段上， 此时，取得最小值：， 也可能在延长线上， 此时，取得最大值：， ∴的长度的取值范围是． 故答案：． 【点睛】本题考查勾股定理、旋转的性质、等腰三角形三线合一的性质．分析出当时，点有两种情况并找出的最大值与最小值是解题的关键． 17．如图，已知为等边三角形，，将边绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，点E为上一点，且．连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】由平行判断成比例的线段、根据旋转的性质求解、求一点到圆上点距离的最值、等边三角形的性质 【分析】过E作，交于H，根据等边三角形的性质和旋转的性质，得到，进而得到，根据平行线分线段成比例定理，得到，得到，取的中点P，连接，可得点E在以H为圆心，为直径的弧上运动，当B、E、H三点共线时，的长最小，过点B作于Q，利用勾股定理求出，即可得到的最小值． 【详解】解：如图，过E作，交于H， 为等边三角形， ， 将边绕点A顺时针旋转，得到线段， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 取的中点P，连接， ，即点H为的中点， ， ， 点E在以H为圆心，为直径的弧上运动， 为定值2， 当B、E、H三点共线时，的长最小， 过点B作于Q， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 即的最小值为 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，根据题意正确作出辅助线是解题关键． 18．等腰直角中，，，点是平面内一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当 填度数度时，可以取最大值，最大值等于 ． 【答案】 【知识点】求一点到圆上点距离的最值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】连接、．先证明，则，，点在以点为圆心，长为半径的圆周上运动，当、、在同一直线上上最长，据此解答即可． 【详解】解：如图一，连接、． 是等腰直角三角形， ，， 将绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ． ， 如图二， 点在以点为圆心，长为半径的圆周上运动， 当、、在同一直线上最长， ， 故答案为：； 【点睛】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，点到圆上距离的最值问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 三、解答题 19．如图，在中，请利用圆规和无刻度直尺作出劣弧的中点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查弦、弧、圆周角的关系、垂直平分线的性质等知识点，掌握垂直平分线的尺规作图法是解题的关键． 如图：连接，然后作出线段的垂直平分线与劣弧的交点即为所求． 【详解】解：如图：点D即为所求． 20．如图是某影视城的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，，，且、与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？ 【答案】 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径 【分析】首先根据圆切线的性质，得出，然后根据四边形是矩形得出，进而得出，，再设半径为r，根据勾股定理，列出方程，即可解得半径，进而得解. 【详解】设其切点为F，连，交于点E ∵是的切线 ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴，． 设半径为r, 在中， ∴ ∵即 ∴ 答：圆弧形门的最高点离地面的高度为． 【点睛】此题主要考查圆的切线的性质以及运用勾股定理列出方程，熟练运用，即可解题. 21．如图，在中，，，，点从点出发沿边以的速度向点移动，同时，点从点出发沿边以的速度向点移动．当、两点中有一点到达终点时，另一点随之停止运动． (1)几秒后，的面积等于？ (2)在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以点为圆心，为半径的圆正好经过点？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1秒后，面积为； (2)不存在以点为圆心，为半径的圆正好经过点． 【知识点】圆的基本概念辨析、用勾股定理解三角形、动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理的应用，圆的基本性质，由勾股定理列方程求解是解决问题的关键． （1）经过x秒钟的面积等于，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出和的长可列方程求解； （2）设运动时间为x秒，则， ，，再由勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：设经过x秒以后，面积为，此时， ， ， 由，得， 整理得：， 解得：，（舍）； 答：1秒后，面积为； （2）解：设运动时间为x秒，以P为圆心，为半径的圆正好经过点Q时，则 ， ，， 由勾股定理，得， 整理，得， ∵， ∴方程无实数解， ∴不存在以点为圆心，为半径的圆正好经过点． 22．如图，在正方形中，动点从点出发，沿运动到点停止．过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连结，直线与交于点．设为，且． (1)当时， ， ； (2)当点在上时， ①求的值； ②当为轴对称图形时，求的大小； (3)若正方形的面积为，直接写出面积的最大值． 【答案】(1) (2)①，②的大小为或，见解析 (3) 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断、利用弧、弦、圆心角的关系求解、根据正方形的性质证明、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）当时，根据正方形的性质，结合，得到，利用等腰三角形的性质计算即可． （2）根据（1）中的思路，用表示、、，进一步求解、，利用三角形内角和求解，可得；当为轴对称图形时，分析可得有两种情况或，若，则，求得，若，则，求得． （3）点在上时，三点在以正方形对角线交点为圆心为半径的圆上，点在上时，移动到B时，点重合，面积最大为，当点在上时，的距离最大时面积最大，最大为，即可得出整个过程中的最大面积． 【详解】（1）∵正方形， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∴；； ∴， 故答案为：． （2）①∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∴；； ∴ ∴ ∴ ∴； ②为轴对称图形， 为等腰角形， ∴ ∴有两种情况或， 若， 则即 解得， 若 则 又 ∴ ∴的大小为或 （3）当点在上时， ∵， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵当点在上时，， ∴整个运动过程中， ∴三点在圆上，弧所对的圆周角是，所对的圆心角是， 又∵正方形对角线互相垂直平分， ∴圆心为正方形对角线交点，半径为的长度， ∵， ∴， ∴，， 当点在上时，移动到B时，点重合， 面积最大为， 当点在上时，的距离最大时面积最大， 面积最大为， ∴面积最大为． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质、正方形的性质、轴对称图形的特点、和圆的判定，需要分类讨论，判断出的移动轨迹是解题关键． 23．已知：AB，CF都是⊙O的直径，AH，CD都是⊙O的弦，CD⊥AB于点E，AH＝CD． （1）如图1，求证：AH⊥CF； （2）如图2，延长AH，CD交于点P，求证：PH＝PD； （3）如图3，在（2）的条件下，延长AC，HE交于点Q，若∠Q＝45°，CQ＝2，求HE的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【知识点】特殊三角形的三角函数、利用弧、弦、圆心角的关系求证、利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】（1）要证明AH⊥CF，只要证明即可，根据垂径定理和∠AOF=∠BOC，即可证明结论成立； （2）要证明PH=PD，只要证明PA=PC即可，根据AH=CD，即可得到进而得到 ，然后即可得到结论成立； （3）要求的长，过点A作AK⊥QH于点K，连接DH，如图3所示，证明，再根据∠Q=45°，CQ=2，证明，再利用全等三角形的性质、锐角三角函数、勾股定理即可求得的长． 【详解】解：（1）证明：∵AH＝CD， ∴ ∵AB是直径，CD⊥AB， ∴ ∵∠AOF＝∠BOC，∴ ∴AH⊥CF； （2）证明：连接AC，如图2所示， ∵AH＝CD， ∴ ∴ ∴， ∴∠PCA＝∠PAC， ∴PC＝PA， 又∵CD＝AH， ∴PD＝PH， 即PH＝PD； （3）过点A作AK⊥QH于点K，连接DH，如图3所示， ∵四边形ACDH内接于⊙O， ∴∠PAC＝∠PDH， 由（2）知，∠PAC＝∠PCA， ∴∠PDH＝∠PCA， ∴DH∥AC， ∴∠CQE＝∠DHE， ∵∠CEQ＝∠DHE，CE＝DE， ∴（AAS）， ∴EQ＝EH，CQ＝DH＝2， ∵∠Q＝45°，AK⊥QH， ∴∠Q＝∠QAK＝45°，∴AK＝QK， ∵∠CEQ+∠AEK＝180°﹣∠AEC＝90°，∠AEK+EAK＝90°， ∴∠EAK＝CEQ＝∠PCA﹣∠Q＝∠PAC﹣∠QAK＝∠HAK， ∵∠AKE＝∠AKH＝90°，AK＝AK，∠EAK＝∠HAK， ∴（ASA）， ∴EK＝HK，AE＝AH＝CD， 设EK＝x，则EH＝EQ＝2x， ∴AK＝QK＝3x，AQ＝， AE＝＝＝AH＝CD， ∴CE＝＝， ∴AC＝＝， ∵AQ﹣AC＝CQ， ∴ 解得，x＝， ∴EH＝ 【点睛】本题是一道圆的综合题目，主要考查垂径定理、弧、弦、圆心角之间的关系、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求需要的条件，利用数形结合的思想解答． 24．【问题探究】 （1）如图1，在四边形中，，是的中点，F是上一动点（足够长），将沿折叠，得到，点B的对应点为P，连接，求的最小值； 【问题解决】 （2）如图2，某景区有一块五边形的场地为场地出入口，为吸引更多游客，计划在该场地内部修建一个观景亭M欣赏周围美景，在边上修建一个喷水池N（大小忽略不计），其中，点F在上，且，观景亭M恰好在以为直径的上，并在观景亭M和喷水池N以及喷水池N与出入口E之间沿等距离的挂上灯笼进行装饰，为了节约成本，要使得线段之和最短，试求的最小值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】线段问题(轴对称综合题)、折叠问题、求一点到圆上点距离的最值、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由点E是的中点及折叠的性质可知，进而可得以E为圆心、以为半径的经过点A、P．用勾股定理解求出，当E、P、D三点共线时，可取最小值，，由此可解； （2）作点E关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，，在四边形中，，当O、M、N、四点共线时，此时最小，最小值为的长度． 【详解】解：（1）由点E是的中点及折叠的性质可知：，且点F是的角平分线与的交点． ∴以E为圆心、以为半径的经过点A、P．                     ∵点E是中点，， ．                     在中，由勾股定理得，即， ．                     由图可知：当E、P、D三点共线时，可取最小值， ， 长的最小值为．                         （2）作点E关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，，在四边形中，，当O、M、N、四点共线时，此时最小，最小值为的长度．                     ，由对称可知，， ．                     由题意可得， ．                 在中，由勾股定理得：，即， ， ， 的最小值为．                     【点睛】本题考查折叠的性质，圆的基本性质，线段的最值问题，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 25．【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为，点A在上，点B为线段中点，过点B作垂线l．点P是上一动点，点P关于直线l的对称点为，试探究点的轨迹． 【问题解决】经过讨论，小组同学猜想点在一个确定的圆上，下面是部分证明过程： 证明： 证明过程缺失 ∴点在以点______为圆心，______为半径的圆上． （1）请你补全证明中的缺失过程． 【结论应用】（2）如图②，的半径为，点A与点C在上且．点B为线段上的点，且，过点B作的垂线l．点P是上一动点，点P关于直线l的对称点为．当点P从点A运动到点C时，点的运动路径长为______． 【拓展提升】（3）如图③，若把上述问题的条件“”去掉，其它条件不变，为直径．点D到点距离d的取值范围是______． 【答案】（1）A，2；（2） （3） 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查圆的综合应用，熟练掌握对称的性质，能够确定点的运动轨迹是解题的关键； （1）利用对称性可知，再由圆的定义可得在以A为圆心，2为半径的圆上； （2）作O点关于直线l的对称点，则在以为圆心，2为半径的的圆上，再求点的运动路径即可； （3）作O点关于直线l的对称点M，在以M为圆心，2为半径的的圆上，当直线l经过直径时，有最小值2，当直线l经过点A时，有最大值． 【详解】（1）∵点B为线段中点， ∴ ∴O、A点关于直线l对称 ∵点P关于直线l的对称点为， ∴ ∴以A为圆心，2为半径的圆上； （2）作O点关于直线l的对称点 ∵点P关于直线l的对称点为， ∴ ∵点P是上一动点， ∴在以为圆心，2为半径的的圆上， ∴点的运动路径长 （3）作O点关于直线l的对称点M ∵点P关于直线l的对称点为， ∴在以M为圆心，2为半径的的圆上 当直线l经过直径时，有最小值2, 当直线l经过点A时，有最大值 ∴ 26．如图，为等边三角形，以为顶点作Rt，绕着点旋转，且， (1)如图1，，，当旋转到左侧，且三点共线时，求点B到的距离； (2)如图2，连接，取上一点，连接并延长交于点，连接，若为等边三角形，求证： (3)如图3，，，连接为中点，连接，当最小时，直接写出面积 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、圆的基本概念辨析、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）利用含的直角三角形的性质，勾股定理求出，，判断，利用勾股定理求出，然后利用等面积法求解即可； （2）延长至点M，使，连接，，延长交于N，交于H，利用线段垂直平分线的性质可得出，利用三线合一的性质求出，则可证是等边三角形，证明，得出，利用三角形内角和定理可得出，则可证明，利用平行线分线段成比例可得出，同理可证，得出，即可得证； （3）过A作，在上取点M，使，连接，，利用三角形的中位线定理得出，，则点F在以L为圆心，为半径的圆上运动，证明可得出，则，故当A、F、M三点共线时，最小，如图，过F作于H，证明，可得出，可设，则，，∴，在中，利用勾股定理得出，解得（负值舍去），进而求出，利用三角形面积公式求出，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解∶∵为等边三角形， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 设点B到的距离为h， 则， ∴， 即点B到的距离为； （2）证明：延长至点M，使，连接，，延长交于N，交于H， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 又为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴； （3）解：过A作，在上取点M，使，连接，， 由（1）知， ∵F是的中点， ∴，， ∴点F在以L为圆心，为半径的圆上运动， ∵为等边三角形，，L是中点， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴ ∴ ∴， ∴， 当A、F、M三点共线时，最小， 在中，， 如图，过F作于H， ∴， ∴， ∴，即， ∴设，则，， ∴， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，解一元二次方程等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形求解是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$