6.2.2 向量的减法运算（导学案) -【上好课】高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

6.2.2 向量的减法运算 导学案 1、 学习目标 1.借助实例和平面向量的几何表示，理解相反向量的含义、向量减法的意义. 2.掌握向量减法的几何意义. 3.能熟练地进行向量的加、减综合运算． 2、 重点难点 1.学习重点：向量减法的运算和几何意义； 2.学习难点：对向量减法定义的理解，向量的三角不等式. 3、 导入新知 1.创设问题，类比数的减法运算定义向量的减法运算 问题1：（1）在数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”. 类比数的减法，如何定义向量的减法法则？ （2）类比实数的相反数是，对于向量，你能定义“相反向量”吗？它有哪些性质？ （3）你认为向量的减法该怎样定义？ 思考 在数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”．类比数的减法，向量的减法与加法有什么关系？如何定义向量的减法法则？ 2. 动手实践，理解向量减法的几何意义 问题2：已知向量，向量的几何意义是什么？ 追问：（1）在图中，如果从的终点到的终点作向量，那么所得向量是什么？ (2) 如果改变图中向量的方向，使∥，怎样作出呢？ ◆探究 向量减法的几何意义是什么？ 思考 (1)在图6.2-11中，如果从的终点到的终点作向量，那么所得向量是什么？ (2)如果改变图6.2-11中向量的方向，使∥怎样作出－呢？ 4、 应用新知 例3 如图6.2-12(1)，已知向量，，，，求作向量，． 【变式】如图所示，解答下列各题： (1)用表示； (2)用表示； (3)用表示； (4)用表示. 对于相反向量的两点说明 (1)相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量． (2)避免一个误区：即将相反向量等同于方向相反的向量，而是方向相反且模相等的向量． 例4 如图6.2-13，在□ABCD中，，，你能用，表示向量，吗？ 【变式】如图，已知，，，，试用表示以下向量： (1)； (2)； (3). 对向量减法的三点说明 (1)向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，，就可以把减法转化为加法. (2)两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点． (3)向量减法满足三角形法则. 在用三角形法则作向量减法时，要注意“共起点，连终点，指向被减”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆． 5、 能力提升 题型一、向量的减法运算 【练习1】如图，向量等于（    ） A． B． C． D． 题型二、向量减法的几何意义 【练习2】下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三、用已知向量表示其他向量 【练习3】在中，点为边上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 题型四、向量加减法的综合应用 【练习4】在平行四边形中，为对角线上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 6、 课堂总结 知识清单： 1. 相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. 设向量，我们把与长度相同，方向相反的向量叫做的相反向量。 记作：。 规定：的相反向量仍是。 2. 向量减法的概念：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算叫做向量的减法． 3.向量减法的几何意义。 4.注意点： (1)零向量的相反向量仍是零向量． (2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0． (3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0． 练习（第12页） 1．如下图，在各小题中，已知，，分别求作． 2．填空： ； ； ； ； ． 3．作图验证：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2.2 向量的减法运算 导学案 1、 学习目标 1.借助实例和平面向量的几何表示，理解相反向量的含义、向量减法的意义. 2.掌握向量减法的几何意义. 3.能熟练地进行向量的加、减综合运算． 2、 重点难点 1.学习重点：向量减法的运算和几何意义； 2.学习难点：对向量减法定义的理解，向量的三角不等式. 3、 导入新知 1.创设问题，类比数的减法运算定义向量的减法运算 问题1：（1）在数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”. 类比数的减法，如何定义向量的减法法则？ （2）类比实数的相反数是，对于向量，你能定义“相反向量”吗？它有哪些性质？ （3）你认为向量的减法该怎样定义？ 【预设的答案】（1）先定义相反向量；（2）与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，性质如下：①；②零向量的相反向量仍是零向量；③；④如果互为相反向量，那么，，；（3）减去一个向量等于加上这个向量的相反向量. 思考 在数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”．类比数的减法，向量的减法与加法有什么关系？如何定义向量的减法法则？ 与数x的相反数是－x类似，我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作－．由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此和－互为相反向量，于是 －(－)＝． 我们规定，零向量的相反向量仍是零向量． 2. 动手实践，理解向量减法的几何意义 问题2：已知向量，向量的几何意义是什么？ 【活动预设】 如图1，，，，连接，由向量减法的定义知 在四边形中，平行与且等于，所以是平行四边形，所以 （向量减法的作图步骤）如图2，已知向量，在平面内任取一点（强调共起点），作，，则，即可以表示为从减向量的终点指向被减向量的终点的向量（需格外强调向量减法的结果的方向，明确向量减法的几何意义）. 追问：（1）在图中，如果从的终点到的终点作向量，那么所得向量是什么？ (2) 如果改变图中向量的方向，使∥，怎样作出呢？ 【预设的答案】（1）向量；（2）当向量共线时，详见向量的三角不等式. 由两个向量和的定义易知 ＋(－)＝(－)＋＝， 即任意向量与其相反向量的和是零向量．这样，如果，互为相反向量，那么 ＝－，＝－，＋＝． 向量加上的相反向量，叫做与的差，即 －＝＋(－)． 求两个向量差的运算叫做向量的减法． 我们看到，向量的减法可以转化为向量的加法来进行：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． ◆探究 向量减法的几何意义是什么？ 如图6.2-10，设＝，＝，＝－，连接AB， 由向量减法的定义知 ． 在四边形OCAB中，OBCA，所以OCAB是平行四边形． 所以． 由此，我们得到－的作图方法． 如图6.2-11，已知向量，，在平面内任取一点O，作，，则，即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义． 思考 (1)在图6.2-11中，如果从的终点到的终点作向量，那么所得向量是什么？ (2)如果改变图6.2-11中向量的方向，使∥怎样作出－呢？ 4、 应用新知 例3 如图6.2-12(1)，已知向量，，，，求作向量，． 作法：如图6.2-12(2)，在平面内任取一点，作，，，． 则，． 题型总结：化简向量的一般思路： （1）转化为向量的加法：首尾相接；（2）直接计算向量的减法：两向量共起点（起点的字母必须相同）. 【变式】如图所示，解答下列各题： (1)用表示； (2)用表示； (3)用表示； (4)用表示. 【答案】(1). (2) (3) (4) 【知识点】相反向量、向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】（1）由向量的加法运算求解即可； （2）由向量的减法运算和相反向量的定义求解即可； （3）由向量的加法运算求解即可； （4）由向量的加法运算和相反向量的定义求解即可； 【详解】（1）因为. （2）因为. （3）因为. （4）因为. 对于相反向量的两点说明 (1)相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量． (2)避免一个误区：即将相反向量等同于方向相反的向量，而是方向相反且模相等的向量． 例4 如图6.2-13，在□ABCD中，，，你能用，表示向量，吗？ 解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道． 同样，由向量的减法，知． 【变式】如图，已知，，，，试用表示以下向量： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】向量减法的法则 【分析】由向量减法法则进行求解. 【详解】（1） （2） （3） 对向量减法的三点说明 (1)向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，，就可以把减法转化为加法. (2)两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点． (3)向量减法满足三角形法则. 在用三角形法则作向量减法时，要注意“共起点，连终点，指向被减”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆． 5、 能力提升 题型一、向量的减法运算 【练习1】如图，向量等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量减法法则的几何应用 【解析】根据向量的减法法则可得选项． 【详解】由向量的减法得， 故选：A． 反思感悟　1．向量减法运算的常用方法 2．向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和； (2)起点相同且为差． 做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．　 题型二、向量减法的几何意义 【练习2】下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】根据向量加法、减法的几何意义即可判断出，都错误，正确，根据向量的数乘运算即可判断错误． 【详解】解：，，． 故选：． 反思感悟　求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可． (2)可以直接用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量． 题型三、用已知向量表示其他向量 【练习3】在中，点为边上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用基底表示向量、向量减法的法则 【解析】利用向量的减法法则将分解即可得到结论． 【详解】由题,则 故选：A 【点睛】本题主要考查向量的基本定理的应用，根据向量的减法法则进行分解是解决本题的关键． 反思感悟　利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意 (1)一个关键 一个关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道． (2)三点注意 ①注意相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系； ②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律； ③注意在封闭图形中利用多边形法则．　　　　 题型四、向量加减法的综合应用 【练习4】在平行四边形中，为对角线上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形法则和平行四边形法则即可求解． 【详解】. 故选：A. 反思感悟　(1)解决此类问题要搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道． (2)主要应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题，在封闭图形中可利用向量加法的多边形法则，提升逻辑推理素养． 6、 课堂总结 知识清单： 1. 相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. 设向量，我们把与长度相同，方向相反的向量叫做的相反向量。 记作：。 规定：的相反向量仍是。 2. 向量减法的概念：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算叫做向量的减法． 3.向量减法的几何意义。 4.注意点： (1)零向量的相反向量仍是零向量． (2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0． (3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0． 练习（第12页） 1．如下图，在各小题中，已知，，分别求作． 1．解析： 2．填空： ； ； ； ； ． 2．解析：，，，，. 3．作图验证：． 3．解析：当其中有一个为时，显然成立； 当不共线时，如图，在□ABCD中，依次取AB，BC，CD，DA的中点E，F，G，H，连接EG，FH，则EG，FH将□ABCD分割成四个全等的平行四边形． 设EG，FH相交于点O，，，则，， 在□OEBF中，， 所以． 在□HOGD中，，因此，有． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$