第05讲 位似（3个知识点+3种题型+分层练习）- 2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第05讲 位似（3个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．几何变换的类型 （1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．　　（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．　　　　（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．　　（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心． 知识点2．位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 知识点3．作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 题型强化 题型一．几何变换的类型 1．（2024•望花区三模）如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺之间的变换是　　 A．轴对称变换 B．平移变换 C．相似变换 D．旋转变换 【分析】根据轴对称变换，平移变换，相似变换，旋转变换的相关概念结合题目，采用排除法即可选出正确选项． 【解答】解：根据相似图形的定义可知，用放大镜将图形放大．属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换， 故选：． 【点评】本题考查的是相似图形的识别，关键在于要图形结合，熟记相似图形的定义． 2．（2020•东西湖区校级自主招生）在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点的终结点．已知点的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，这样依次得到，，，，，．若点的坐标为，则点的坐标为　　． 【分析】利用点的终结点的定义分别写出点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，，从而得到每4次变换一个循环，然后利用可判断点的坐标与点的坐标相同． 【解答】解：根据题意得点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，， 而， 所以点的坐标与点的坐标相同，为． 故答案为：． 【点评】本题考查了几何变换：四种变换方式：对称、平移、旋转、位似．掌握在直角坐标系中各种变换的对应的坐标变化规律． 3．（2022•龙岗区一模）如图，以锐角△的边、为边向外作正方形和正方形，连接、． （1）求证：△△； （2）图中△可以通过一次变换得到△，请你说出变换过程． 【分析】（1）利用正方形的性质得出，，，即可得出△△； （2）根据旋转前后图形的关系得出旋转中心和旋转角的度数即可． 【解答】证明：（1）四边形和四边形是正方形， ，， ， 即， 在△和△中，， △△， （2）△和△可以通过旋转而相互得到，△以点为旋转中心，顺时针旋转得到△． 【点评】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质和正方形的性质等知识，根据已知得出是解题关键． 题型二．位似变换 4．（2023秋•长治期末）如图，△与△是位似图形，位似中心为点．若，△的面积为2，则△的面积为　　 A．6 B．8 C．18 D．32 【分析】利用位似的性质得到△△，，所以，然后根据相似三角形的性质求解． 【解答】解：， ， △与△位似，点为位似中心， △△，， ， △△， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了位似变换，解答本题的关键是熟练运用相似三角形的性质解决问题． 5．（2024•市中区三模）如图，已知矩形与矩形是位似图形，是位似中心，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 　　． 【分析】由矩形中，点的坐标为，可求得点的坐标，又由矩形与矩形是位似图形，是位似中心，点的对应点点的坐标为，即可求得其位似比，继而求得答案． 【解答】解：四边形是矩形，点的坐标为， ，， 点的坐标为：， 矩形与矩形是位似图形，是位似中心，点的坐标为， 位似比为， ， 设，则， 解得：， ， 即点的坐标为：． 故答案为：． 【点评】此题考查了位似变换的性质．注意求得矩形与矩形的位似比是解此题的关键． 6．（2023•浠水县校级一模）如图，和与轴垂直，点的坐标是，△和△是位似三角形，且位似比是，点是的中心，反比例函数的图象经过点，与交于点． （1）求点坐标； （2）连接、，求四点边形的面积． 【分析】（1）利用位似三角形的性质先求解，，再求解，的坐标，可得反比例函数的解析式，从而可得答案； （2）先确定，再分别计算各三角形的面积即可． 【解答】解：（1）△和△是位似三角形，且位似比是， ， 点坐标是， ，， ， ，， ， 点是的中点， ， 即反比例函数为：， 轴， ， 即； （2）如图， ，，，，，， ， ， △的面积， △的面积， ． 【点评】本题考查的是位似三角形的性质，利用待定系数法求解反比例函数的解析式，图形与坐标，熟练地运用位似图形的性质求解点的坐标是解本题的关键． 题型三．作图-位似变换 7．（2022•龙岗区校级模拟）如图，已知反比例函数图象上一点，以原点为位似中心得到第四象限的点，位似比为，过点作轴于点，连接，则的面积为 A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】根据点在反比例函数图象上，设，根据位似比为得，设过点的反比例函数解析式为：，计算得，可得过点的反比例函数解析式为：，根据反比例函数中的几何意义，可得的面积，再算出的面积即可得． 【解答】解：点在反比例函数图象上， 设， 以原点为位似中心得到第四象限的点，位似比为， ， 设过点的反比例函数解析式为：， 则， 过点的反比例函数解析式为：， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了位似比，待定系数法求反比例函数，反比例函数的几何意义，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 8．（2023•佳木斯二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以点为位似中心，在点的异侧作的位似图形△，使与△的相似比为；再以点为位似中心，在点的异侧作△的位似图形△，使△与△的相似比为以此类推，则点的坐标为 　　． 【分析】结合位似图形的性质，确定点的变化规律，即可获得答案． 【解答】解：根据题意，点的坐标为，在点的异侧作的位似图形△，使与△的相似比为， 则， 再以点为位似中心，在点的异侧作△的位似图形△，使△与△的相似比为， 则， 所以，点， 故点的坐标为，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查了坐标与图形、位似图形、点的坐标规律等知识，结合位似图形的性质确定点的变化规律是解题关键． 9．（2024•亳州二模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的图形△，并直接写出点坐标； （2）以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出放大后的图形△，并直接写出点坐标； （3）如果点在线段上，请直接写出经过（2）的变化后的对应点的坐标． 【分析】（1）利用关于轴对称的点的坐标特征得到点、、的坐标，然后描点即可； （2）利用关于原点为位似中心的定义点的坐标特征，把点、、的横纵坐标都乘以2得到点、、的坐标，然后描点即可； （3）把点的横纵坐标都乘以2即可． 【解答】解：（1）如图，△为所作，点坐标为； （2）如图，△为所作，点坐标为； （3）点的对应点的坐标为． 【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．也考查了轴对称变换． 分层练习 一、单选题 1．如图，四边形与四边形是位似图形，则位似中心是（  ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【知识点】判断位似中心 【分析】根据位似图形的定义: 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点的连线交于一点,对应边互相平行或在一条直线上,那么这两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,判断即可. 【详解】解:由图可知,对应边AG与CE的延长线交于点B， ∴点B为位似中心 故选B. 【点睛】此题考查的是找位似图形的位似中心，掌握位似图形的定义是解决此题的关键. 2．如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】在坐标系中画位似中心 【分析】直接利用位似图形的性质得出位似中心即可． 【详解】解：如图所示：位似中心的坐标为．    故选：D． 【点睛】本题主要考查了位似变换，解题的关键是正确掌握位似图形的性质． 3．如图，原点在网格格点上的平面直角坐标系中，两个三角形（顶点均在网格的格点上）是以点为位似中心的位似图形，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】在坐标系中画位似中心 【分析】根据位似中心的概念作图，根据坐标与图形性质解答即可． 【详解】解：分别连接、并延长交于点， 则点为位似中心， 故选：A． 【点睛】本题考查的是位似图形的概念，掌握位似图形的对应顶点的连线相交于一点，这个点叫做位似中心是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点，若与的相似比为3，已知，则它的对应点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查了位似变换的性质，坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵，与位似，位似中心是原点，若与的相似比为3，已知， ∴它的对应点的坐标是或 即或． 故选：C． 5．如图，，点，在第一象限，点的坐标为，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，使与的相似比为，若点的横坐标为，则点的横坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求位似图形的对应坐标 【分析】过点B作BM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，则BM∥DN，可得 ，再由位似图形的性质，可得，从而得到CN=2CM，根据坐标与图形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，过点B作BM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，则BM∥DN， ∴ ， ∴， ∵以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，使与的相似比为， ∴ ， ∴ ， ∴，即CN=2CM， ∵点的坐标为， ∴OC=1， ∵点的横坐标为， ∴CM=b-1， ∴CN=2b-2， ∴ON=CN-OC=2b-2-1=2b-3， ∴点D的横坐标为：3-2b． 故选：C． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形是相似图形、相似三角形的性质是解题的关键． 6．如图，三个正六边形全等，其中成位似图形关系的有（　　） A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 【答案】D 【知识点】位似图形的识别 【分析】将任意两个正六边形的对应顶点连接起来都相交于它们的交点，得到三个正六边形彼此位似，所以可知成位似图形关系的有3对． 【详解】∵将任意两个正六边形的对应顶点连接起来都相交于它们的交点 ∴三个正六边形彼此位似 ∴成位似图形关系的有3对． 故选D． 【点睛】考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似图形的对应顶点的连线相交于一点． 7．如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知DF＝4，则AC的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用相似三角形的性质求解、位似图形相关概念辨析 【分析】位似图形就是特殊的相似图形位似比等于相似比．利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】∵△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3， ∴AC：DF＝2：3， ∴AC：4＝2：3， 则AC＝． 故选C． 【点睛】本题主要考查位似的定义．解题的关键是掌握位似图形是相似图形的特殊形式，位似比等于相似比的特点． 8．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，如果以点为位似中心，在平面直角坐标系内画出使得与位似，且相似比为，则点的坐标为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】根据位似的定义和相似比，结合网格画出图形即可得出结果． 【详解】根据位似的定义和相似比，结合网格图，作出位似图形，如图所示，可以得出点的坐标为或， 故选：A． 【点睛】本题考查了网格图中作图，图中点的坐标表示，位似的定义和相似比的应用，掌握位似的作图是解题的关键． 9．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似图形的周长比等于相似比是解题关键．由已知可得，再根据位似图形的性质，易证，得到相似比，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴和的周长之比为， 故选：D． 10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是，先将△ABC绕点顺时针旋转90度得到，再以原点为位似中心作的位似图形，若与的相似比为1∶2，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标、求位似图形的对应坐标 【分析】根据△ABC绕点顺时针旋转90°的△A1B1C1，作出图形，再根据位似图形的性质得出对应点位置即可得出答案． 【详解】如图，将△ABC绕点顺时针旋转90度得到，此时A1坐标为（2，1）， 再以原点为位似中心作的位似图形，若与的相似比为1∶2，此时A2点应当有两个，分别是或， 故选：D. 【点睛】本题主要考查作图-位似变换与旋转变换，解题的关键是熟练掌握位似变换与旋转变换的定义与性质． 二、填空题 11．画位似图形的依据是 ． 【答案】两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 【分析】由位似图形的定义：两个图形是相似图形，而且每组对应点所在的直线经过同一点，结合相似三角形的判定解答即可． 【详解】解：画位似图形的依据是：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 故答案为：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 【点睛】本题考查了位似图形的有关知识，如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线经过同一点，那么这两个图形叫做位似图形，熟知位似图形的概念是关键． 12．如图，△与△是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1 : 2，则点A（1 , 2）在第一象限的对应点A1的坐标是 ． 【答案】（2,4） 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】根据位似图形的性质，点A的对应点A1的坐标是点A的横纵坐标的2倍，直接写出即可． 【详解】解：∵△与△是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1 ∶ 2， ∴点A（1，2）在第一象限的对应点（2，4） 故答案是（2，4） 【点睛】本题考查了位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键． 13．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的周长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的周长为 ． 【答案】8 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查位似图形的性质．根据正方形的周长为4和位似比求出，进而即可求解． 【详解】解：正方形与四边形是位似图形， 四边形是正方形， 正方形的边长为，， ， 四边形的周长为， 故答案为：8． 14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A（－1，1），B（2，3），C（0，3）．现以坐标原点为位似中心，作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为．则点A的对应点A′的坐标为 ． 【答案】或 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），当△ABC与△A′B′C′在位似中心同侧时，它的对应点的坐标是（kx，ky），当△ABC与△A′B′C′在位似中心异侧时，它的对应点的坐标是（﹣kx，﹣ky）． 【详解】解：当△ABC与△A′B′C′在位视中心同侧时， ∴在△A′B′C′中，A'的横坐标为×(﹣1),纵坐标为×1，即（-,）； 当△ABC与△A′B′C′在位似中心异侧时， ∴在△A′B′C′中，A'的横坐标为-×(﹣1),纵坐标为-×1，即（,-）； ∴点A′的坐标为（-，）或（，-）． 故答案为：（-,）或（,-）． 【点睛】本题考查位似变换；坐标与图形性质．掌握位似图形的坐标变换规律和分类讨论是解题的关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，边在x轴上，在y轴上，A、C的坐标分别为．如果矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积是矩形面积的4倍，则点B的对应点的坐标是 ． 【答案】或 【知识点】坐标与图形、求位似图形的对应坐标 【分析】根据位似图形的面积比等于相似比的平方，结合矩形的面积是矩形面积的4倍，可以得到相似比是2；接下来结合相似比为2，B点的坐标为，可以得到点的坐标. 【详解】解：∵矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积是矩形面积的4倍， ∴两矩形的相似比为2， 又∵A、C的坐标分别为 ∴B点的坐标为， ∴点的坐标是或． 【点睛】本题主要考查位似图形的性质，明确位似图形的面积比与相似比的关系是关键． 16．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为 ．      【答案】 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】根据位似图形的性质即可求出答案． 【详解】解：， ， 设周长为，设周长为， 和是以点为位似中心的位似图形， ． ． 和的周长之比为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质． 17．如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点是位似中心，已知点，点，．则点的坐标为 ．（结果用含，的式子表示）    【答案】 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】过点分别作轴的垂线垂足分别为，根据题意得出，则，得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点分别作轴的垂线垂足分别为，    ∵与的相似比为，点是位似中心， ∴ ∵， ∴, ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了求位似图形的坐标，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 18．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是 ． 【答案】（3，2）或（﹣3，﹣2） 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】根据相似图形的性质即可完成． 【详解】解：∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的， ∴两矩形的相似比为1：2， ∵B点的坐标为（6，4）， ∴点B′的坐标是（3，2）或（﹣3，﹣2）， 【点睛】本题考查了位似变换、矩形的性质及坐标与图形的知识，解题的关键是根据两图形的面积的比确定其位似比，注意有两种情况． 三、解答题 19．如图，已知点，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求此反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)过点A作直线：，使它与反比例函数仅有一个公共点，求直线的解析式． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一元二次方程根的判别式的应用； （1）将代入反比例函数，待定系数法求得反比例函数解析式，进而求得点的坐标，待定系数法求直线解析式，即可求解； （2）根据函数图象写出反比例函数在一次函数图象上方的自变量的取值范围，即可求解； （3）直线：（）经过点，则直线：，联立直线与，得出一元二次方程，根据题意，令判别式为，求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 即反比例函数的解析式为：， 又∵点在反比例函数， ∴，解得， ∴点的坐标为：， 把点、的坐标代入， 得：， 解之，得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）根据图象可知，当或时，一次函数的值小于反比例函数的值， ∴不等式的解集为：或； （3）∵直线：（）经过点， ∴，即， ∴直线：， 由与，消去，得：， 即， ∵直线与反比例函数仅有一个公共点， ∴． ∴， ∴直线的解析式为． 20．每个小方格是边长为1个单位长度的小正方形，菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示． （1）以O为位似中心，在第一象限内将菱形OABC放大为原来的2倍得到菱形OA1B1C1，请画出菱形OA1B1C1，并直接写出点B1的坐标； （2）将菱形OABC绕原点O顺时针旋转90°得到菱形OA2B2C2，请画出菱形OA2B2C2． 【答案】（1）见解析，B1（8，8）；（2）见解析 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】（1）将菱形OABC的边长均扩大为原来的两倍即可得到菱形OA1B1C1，直接根据点B1在坐标系中的位置写出其坐标即可； （2）根据图形旋转的性质画出菱形OA2B2C2． 【详解】解析：（1）如图所示：由点B1在坐标系中的位置可知，B1（8，8）； （2）如图所示． 【点睛】本题考查的是旋转变换、位似变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键． 21．如图，以某点为位似中心，将进行位似变换得到，记与对应边的比为k，求位似中心的坐标和k的值． 【答案】， 【知识点】求两个位似图形的相似比、在坐标系中画位似中心 【分析】本题考查了位似图形的知识；连接、，由位似图形的性质得为位似中心，结合题意计算即可得到答案． 【详解】解：连接、，并延长交点为， 则为位似中心，由图形知点的坐标为， ∴，即． 22．如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，是关于点A的位似图形，且点的坐标为．求点的坐标． 【答案】点的坐标为． 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】如图，作轴于，轴于，先根据已知点的坐标得到，，，，再根据位似的性质得到，利用相似比计算出，，在中，根据勾股定理计算出，则，然后根据第四象限点的坐标特征写出点的坐标即可． 【详解】解：如图，作轴于，轴于， ，，， ，，，， 是关于点的位似图形， ， ， 即， 解得，， 在中，， ， 点的坐标为，． 【点睛】本题考查了位似变换：位似的两个图形必须是相似图形，对应点的连线都经过同一点，对应边平行．注意利用相似比计算线段的长． 23．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)在第四象限画出以点为位似中心的位似图形，与的位似比为； (3)求以，，，四个点为顶点构成的四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】画轴对称图形、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】本题考查了坐标系中轴对称，位似比一定的位似图形的画法，熟练掌握坐标系中轴对称变化的规律，位似比的定值作图是解题的关键． （1）根据，，，确定关于轴的对称点坐标分别为，，，描点，再顺次连接即可； （2）根据位似比确定点的坐标，描点，后顺次连接即可； （3）连接，，由图可知四边形是梯形，利用梯形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，连接，， 由图可知四边形是梯形，且上底，下底，高为， 该四边形的面积为：． 24．综合与实践 主题：某数学实践小组以标准对数视力表为例，探索视力表中的数学知识 操作：步骤一：用硬纸板复制视力表中视力为0.1，0.2所对应的“E”，并依次编号为①，②，垂直放在水平桌面上，开口的底部与桌面的接触点为，； 步骤二：如1图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点，与点O在一条直线上为止． 结论：这时我们说，在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同． 探究：（1）①如1图，与之间存在什么关系？请说明理由； ②由标准视力表中的，，可计算出时，___________mm； 运用：（2）如果将视力表中的两个“E”放在如2图所示的平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心为点O，①号“E”与②号“E”的相似比为，点P与点Q为一组对应点．若点Q的坐标为，则点P的坐标为___________． 【答案】（1）①相等，见解析；②43.2；（2） 【知识点】相似三角形实际应用、求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查了相似三角形的应用，位似的性质． （1）①根据题意证明，从而得到，即可得到；②把，，，代入即可求解． （2）根据位似比为，代入数据计算即可． 【详解】解：（1）①． 由题意得， ∴， ∴， ， ； ②，，，， ． ． 故答案为：． （2）①号“E”与②号“E”的相似比为，点P与点Q为一组对应点．若点Q的坐标为， 点P的坐标为，即， 故答案为：． 25．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．    (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出将放大后的； (3)判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是，Q点的坐标为 【知识点】平移(作图)、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、在坐标系中画位似中心 【分析】（1）根据平移规律，画图即可． （2）根据位似的性质，确定坐标，后画图即可． （3）根据位似的性质，确定坐标，解答即可． 本题考查了平移作图，位似作图，待定系数法，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，的顶点坐标分别为、、． 将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的坐标分别为、、．画图如下：    则即为所求． （2）解：由、、．以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，将放大后的坐标分别为、、．画图如下：    则即为所求． （3）解：∵、、，、、． ∴直线为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得 故Q点的坐标为． 故与，是关于某一点为位似中心的位似图形，且位似中心为Q点的坐标为． 26．在△ABC中，∠ACB是锐角，点D在射线BC上运动，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接EC． （1）操作发现：若AB=AC，∠BAC=90°，当D在线段BC上时（不与点B重合），如图①所示，请你直接写出线段CE和BD的位置关系和数量关系是　 　，　 　； （2）猜想论证： 在（1）的条件下，当D在线段BC的延长线上时，如图②所示，请你判断（1）中结论是否成立，并证明你的判断． （3）拓展延伸： 如图③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动，试探究：当锐角∠ACB等于　 　　　度时，线段CE和BD之间的位置关系仍成立（点C、E重合除外）？此时若作DF⊥AD交线段CE于点F，且当AC=3时，请直接写出线段CF的长的最大值是　　 【答案】(1) CE=BD，CE⊥BD；(2) 仍然成立   (3) 45°； ； 【知识点】相似三角形的综合问题 【分析】（1）线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，根据旋转的性质得到AD=AE，∠BAD=∠CAE，得到△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质可得CE=BD，∠ACE=∠B，得到∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，即可得结论CE=BD，CE⊥BD．（2）（1）中的结论仍然成立，证明的方法与（1）一样；（3）过A作AM⊥BC于M，过E点作EN垂直于MA延长线于N（如图3），根据已知条件易证Rt△AMD≌Rt△ENA，可得NE=MA，再证明Rt△AMD∽Rt△DCF，设DC=x，根据相似三角形的性质列出比例式，得到CF与x的二次函数关系式，利用二次函数性质解决问题即可. 【详解】解：（1）①∵AB=AC，∠BAC=90°， ∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE， ∴AD=AE，∠BAD=∠CAE， ∴△BAD≌△CAE， ∴CE=BD，∠ACE=∠B， ∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°， ∴线段CE，BD之间的位置关系和数量关系为：CE=BD，CE⊥BD； （2）（1）中的结论仍然成立．理由如下： 如图2， ∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE， ∴AE=AD，∠DAE=90°， ∵AB=AC，∠BAC=90° ∴∠CAE=∠BAD， ∴△ACE≌△ABD， ∴CE=BD，∠ACE=∠B， ∴∠BCE=90°， 所以线段CE，BD之间的位置关系和数量关系为：CE=BD，CE⊥BD； （3）过A作AM⊥BC于M，过E点作EN垂直于MA延长线于N，如图3， ∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE， ∴∠DAE=90°，AD=AE， ∴∠NAE=∠ADM，易证得Rt△AMD≌Rt△ENA， ∴NE=AM， ∵CE⊥BD，即CE⊥MC，∴∠MCE=90°， ∴四边形MCEN为矩形， ∴NE=MC，∴AM=MC， ∴∠ACB=45°， ∵四边形MCEN为矩形， ∴Rt△AMD∽Rt△DCF， ∴=，设DC=x， ∵在Rt△AMC中，∠ACB=45°，AC=3， ∴AM=CM=3，MD=3﹣x，∴=， ∴CF=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+， ∴当x=时有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及二次函数的应用，解决第（3）问，利用相似三角形的性质构建二次函数模型是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 位似（3个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．几何变换的类型 （1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．　　（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．　　　　（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．　　（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心． 知识点2．位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 知识点3．作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 题型强化 题型一．几何变换的类型 1．（2024•望花区三模）如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺之间的变换是　　 A．轴对称变换 B．平移变换 C．相似变换 D．旋转变换 2．（2020•东西湖区校级自主招生）在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点的终结点．已知点的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，这样依次得到，，，，，．若点的坐标为，则点的坐标为　　． 3．（2022•龙岗区一模）如图，以锐角△的边、为边向外作正方形和正方形，连接、． （1）求证：△△； （2）图中△可以通过一次变换得到△，请你说出变换过程． 题型二．位似变换 4．（2023秋•长治期末）如图，△与△是位似图形，位似中心为点．若，△的面积为2，则△的面积为　　 A．6 B．8 C．18 D．32 5．（2024•市中区三模）如图，已知矩形与矩形是位似图形，是位似中心，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 　　． 6．（2023•浠水县校级一模）如图，和与轴垂直，点的坐标是，△和△是位似三角形，且位似比是，点是的中心，反比例函数的图象经过点，与交于点． （1）求点坐标； （2）连接、，求四点边形的面积． 题型三．作图-位似变换 7．（2022•龙岗区校级模拟）如图，已知反比例函数图象上一点，以原点为位似中心得到第四象限的点，位似比为，过点作轴于点，连接，则的面积为 A．6 B．8 C．10 D．12 8．（2023•佳木斯二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以点为位似中心，在点的异侧作的位似图形△，使与△的相似比为；再以点为位似中心，在点的异侧作△的位似图形△，使△与△的相似比为以此类推，则点的坐标为 　　． 9．（2024•亳州二模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的图形△，并直接写出点坐标； （2）以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出放大后的图形△，并直接写出点坐标； （3）如果点在线段上，请直接写出经过（2）的变化后的对应点的坐标． 分层练习 一、单选题 1．如图，四边形与四边形是位似图形，则位似中心是（  ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，原点在网格格点上的平面直角坐标系中，两个三角形（顶点均在网格的格点上）是以点为位似中心的位似图形，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点，若与的相似比为3，已知，则它的对应点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 5．如图，，点，在第一象限，点的坐标为，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，使与的相似比为，若点的横坐标为，则点的横坐标为（  ） A． B． C． D． 6．如图，三个正六边形全等，其中成位似图形关系的有（　　） A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 7．如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知DF＝4，则AC的长为（　　）    A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，如果以点为位似中心，在平面直角坐标系内画出使得与位似，且相似比为，则点的坐标为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 9．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是，先将△ABC绕点顺时针旋转90度得到，再以原点为位似中心作的位似图形，若与的相似比为1∶2，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 11．画位似图形的依据是 ． 12．如图，△与△是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1 : 2，则点A（1 , 2）在第一象限的对应点A1的坐标是 ． 13．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的周长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的周长为 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A（－1，1），B（2，3），C（0，3）．现以坐标原点为位似中心，作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为．则点A的对应点A′的坐标为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，边在x轴上，在y轴上，A、C的坐标分别为．如果矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积是矩形面积的4倍，则点B的对应点的坐标是 ． 16．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为 ．      17．如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点是位似中心，已知点，点，．则点的坐标为 ．（结果用含，的式子表示）    18．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是 ． 三、解答题 19．如图，已知点，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求此反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)过点A作直线：，使它与反比例函数仅有一个公共点，求直线的解析式． 20．每个小方格是边长为1个单位长度的小正方形，菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示． （1）以O为位似中心，在第一象限内将菱形OABC放大为原来的2倍得到菱形OA1B1C1，请画出菱形OA1B1C1，并直接写出点B1的坐标； （2）将菱形OABC绕原点O顺时针旋转90°得到菱形OA2B2C2，请画出菱形OA2B2C2． 21．如图，以某点为位似中心，将进行位似变换得到，记与对应边的比为k，求位似中心的坐标和k的值． 22．如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，是关于点A的位似图形，且点的坐标为．求点的坐标． 23．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)在第四象限画出以点为位似中心的位似图形，与的位似比为； (3)求以，，，四个点为顶点构成的四边形的面积． 24．综合与实践 主题：某数学实践小组以标准对数视力表为例，探索视力表中的数学知识 操作：步骤一：用硬纸板复制视力表中视力为0.1，0.2所对应的“E”，并依次编号为①，②，垂直放在水平桌面上，开口的底部与桌面的接触点为，； 步骤二：如1图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点，与点O在一条直线上为止． 结论：这时我们说，在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同． 探究：（1）①如1图，与之间存在什么关系？请说明理由； ②由标准视力表中的，，可计算出时，___________mm； 运用：（2）如果将视力表中的两个“E”放在如2图所示的平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心为点O，①号“E”与②号“E”的相似比为，点P与点Q为一组对应点．若点Q的坐标为，则点P的坐标为___________． 25．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．    (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出将放大后的； (3)判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请直接写出点的坐标． 26．在△ABC中，∠ACB是锐角，点D在射线BC上运动，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接EC． （1）操作发现：若AB=AC，∠BAC=90°，当D在线段BC上时（不与点B重合），如图①所示，请你直接写出线段CE和BD的位置关系和数量关系是　 　，　 　； （2）猜想论证： 在（1）的条件下，当D在线段BC的延长线上时，如图②所示，请你判断（1）中结论是否成立，并证明你的判断． （3）拓展延伸： 如图③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动，试探究：当锐角∠ACB等于　 　　　度时，线段CE和BD之间的位置关系仍成立（点C、E重合除外）？此时若作DF⊥AD交线段CE于点F，且当AC=3时，请直接写出线段CF的长的最大值是　　 学科网（北京）股份有限公司 $$