6.2.1 向量的加法运算（导学案) -【上好课】高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

6.2.1向量的加法运算 导学案 1、 学习目标 1.理解并掌握向量加法的概念. 2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算. 3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性． 2、 重点难点 学习重点：1.向量加法的运算法则及其几何意义； 2.向量加法的三角形法则及平行四边形法则、向量加法 的交换律与结合律. 学习难点：1.对向量加法运算法则的理解； 2. 向量加法的三角形法则及平行四边形法则的拓展应用. 3、 导入新知 我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷，那么，向量是否也能像数一样进行运算呢？唐僧当年取经的路线是从东土大唐出发，先绕到新疆，再往天竺，若孙悟空单独前往，可以直接飞往西天，两种走法的位移相同吗？如果把位移看成向量，我们就引入了向量的运算． 1.向量加法法则概念的形成 1.1背景引入，引发思考 【物理背景】在物理学中，我们知道一个质点从点移动到点，再从点移动到点，与从点直接到点的位移结果相同.这说明位移这一矢量是可以合成的，即矢量是可以做加法运算的. 我们知道，位移、力是向量，它们可以合成．能否从位移、力的合成中得到启发，引进向量的加法呢？ 思考 如图6.2-1，某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？ 问题1：(1) 物理中的矢量与我们所学的向量有什么区别和联系？(2) 我们能不能把物理中位移的合成的有关方法和经验用于向量的合成？ 物理知识告诉我们，这个质点两次位移，的结果，与从点A直接到点C的位移结果相同．因此，位移可以看成是位移与合成的．数的加法启发我们，从运算的角度看，可以看作与的和，即位移的合成可以看作向量的加法． 【预设的答案】 联系：矢量和向量都是既有大小又有方向的量；区别：物理学中矢量通常是有作用点的，如：力、位移等，但是数学中向量是自由向量，可以任意平移的.即向量的应用范围是更广的. 能 1.2 探究典例，形成概念 【数学情境】假设在平面内任取一点，做，，那么你能说出的和向量是什么吗？ 如图6.2-2，已知非零向量，，在平面内取任意一点A，作，，则向量叫做与的和，记作，即． 求两个向量和的运算，叫做向量的加法．这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型． 我们再来看力的合成问题． 问题2：求上面两个向量的和向量时 ，你发现了什么特征吗？ 【活动预设】看这两个向量(有向线段)以及和向量(有向线段)的书写方式，探究出向量加法的三角形法则运算规律. 思考 如图6.2-3，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力与的作用，你能作出这个物体所受的合力吗？ 我们知道，合力在以OA，OB为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于这条对角线的长．从运算的角度看，可以看作是与的和，即力的合成可以看作向量的加法． 【活动预设】感受在力的合成过程中，三角形法则就不太方便了，需要探究新的向量加法的运算方法. 问题3：现在这两个向量具有什么特征？能否用三角形法则来对其求和？如果不行，有没有什么处理方法？ 【活动预设】 (1) 根据图象，这两个向量并不是首尾相连的，而是具有公共起点的两个向量，因而不能直接使用三角形法则； (2) 三角形法则适用于首尾相连的两个向量，故考虑将其中一个向量的起点平行移动到另一个向量的终点处.在利用三角形法则进行求和. 问题4：观察下图，将平移到处，根据三角形法则可知：即为与的和向量.那你发现四边形是什么四边形了吗？ 如图6.2-4，以同一点O为起点的两个已知向量，，以OA，OB为邻边作□OACB，则以O为起点的向量（OC是□OACB的对角线）就是向量与的和．我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型． 【活动预设】 (1) 借助三角形法则画出图像，找到和向量； (2) 进一步分析共起点的两个向量的和向量的平行四边形法则. 四边形是一个平行四边形.因此，以同一点为起点的两个向量与，以为邻边作平行四边形，则以为起点的向量就是向量与的和向量.我们把这样的方法称为向量的平行四边法则. 问题5：你能分析一下平行四边形法则和三角形法则的区别与联系吗？ 【预设的答案】此处通过列表呈现三角形法则、平行四边形法则之间的关系。 三角形法则 平行四边形法则 适用条件 首尾相连的两个向量 有公共起点的两个向量 作法 在平面内任取一点，作，，则 作，，以为邻边作平行四边形，连接，则 结论 是与的和向量 对角线是与的和向量 图形 联系 平行四边形法则与三角形法则是可以相互转化的 思考 向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？ 对于零向量与任意向量，我们规定 ． 例1 如图6.2-5，已知向量，，求作向量． 作法1：在平面内任取一点O（图6.2-6（1）），作，．则． 作法2：在平面内任取一点O（图6.2-6（2）），作，．以OA，OB为邻边作□OACB，连接OC，则． 【变式】如图，已知向量、，用向量加法的三角形法则作出向量． (1)  (2)  (3)   【解析】（1）解：作，，，则即为所求作的向量.    （2）解：作，，，则即为所求作的向量.    （3）解：作，，，则即为所求作的向量.        在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和；向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量. ◆探究 (1)如果向量，共线，它们的加法与数的加法有什么关系？你能作出向量吗？ (2)结合例1，探索，，之间的关系． 一般地，我们有 ， 当且仅当，方向相同时等号成立． 根据数的运算的学习经验，定义了一种运算，就要研究相应的运算律，运算律可以有效地简化运算． ◆探究 数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？ 如图6.2-7(1)，作，，以，为邻边作□ABCD，容易发现，，故．又，所以． 由图6.2-7(2)，你能否验证 ? 综上所述，向量的加法满足交换律和结合律． 4、 应用新知 例2 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图6.2-8，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15 km/h，同时江水的速度为向东6 km/h． (1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； (2)求船实际航行的速度的大小(结果保留小数点后一位)与方向(用与江水速度间的夹角表示，精确到1°)． 解：(1)如图6.2-9．表示船速，表示江水速度，以AD，AB为邻边作□ABCD，则表示船实际航行的速度． (2)在中，，，于是 因为，所以利用计算工具可得． 因此，船实际航行速度的大小约为16.2 km/h，方向与江水速度间的夹角约为68°． 【变式】某人在静水中游泳的速度为，河水自西向东的流速为1m/s，此人朝正南方向游去，求他的实际前进方向和速度． 【答案】实际前进方向为南偏东，速度为. 【分析】如图所示，河水速度为，，人的速度为，，根据向量加法得到答案. 【详解】如图所示：河水速度为，，人的速度为，， 则，，，. 故实际前进方向为南偏东，速度为. 用向量的加法解决实际问题，一般步骤如下： （1）由题意作出相对应的几何图形，用向量表示相应问题中既有大小又有方向的量； (2)利用三角形法则或平行四边形法则,进行向量的加法运算； (3)利用直角三角形的知识解决问题. 5、 能力提升 题型一、向量加法的三角形法则 【练习1】如图是平行四边形，则在向量（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为，进而根据向量加法的三角形法则求解即可. 【详解】解：因为在平行四边形中，， 所以 故选：D 思维升华　(1)用三角形法则求和向量，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”. (2)向量求和的多边形法则：＋＋＋…＋An－1An＝.特别地，当An和A1重合时，＋＋＋…＋An－1A1＝0. 题型二、向量加法的平行四边形法则 【练习2】如图，在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定图形，利用向量加法的平行四边形法则计算即得. 【详解】依题意，， 所以. 故选：A 反思感悟　向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 三角形法则 平行四边形法则 适用条件 (1)首尾相接 (2)适用于任何两个非零向量求和 (1)共起点 (2)仅适用于不共线的两个向量求和 作法 在平面内任取一点，作，，则 作，，以为邻边作平行四边形，连接，则 结论 是与的和向量 对角线是与的和向量 图形 联系 平行四边形法则与三角形法则是可以相互转化的 当两个向量不共线时，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 题型三、共线向量的加法与向量加法的运算律 【练习3】下列四个等式： ①；    ②；    ③；    ④． 其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】根据向量加法的运算律、相反向量的性质，结合向量加法的运算法则逐一判断即可. 【详解】由向量的运算律及相反向量的性质可知①②是正确的，③符合向量的加法法则，也是正确的，对于④，向量的线性运算，结果应为向量，故④错误， 故答案为：①②③ 反思感悟　向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行． (2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． 题型四、向量加法的实际应用 【练习4】如图，小船要从处沿垂直河岸的方向到达对岸处，此时水流的速度为6km/h，测得小船正以8km/h的速度沿垂直水流的方向向前行驶，求小船在静水中速度的大小及方向. 【答案】小船在静水中的速度的大小为，方向与水流方向的夹角为，其中，. 【分析】设表示小船垂直于河岸行驶的速度，表示水流的速度，作出符合实际问题的平行四边形，解三角形，即可求出. 【详解】设表示小船垂直于河岸行驶的速度，表示水流的速度，如图： 连接BC，过点B作AC的平行线，过点A作BC的平行线，两条直线交于点D， 则四边形ACBD为平行四边形， 所以就是小船在静水中的速度. 在中，，， ， ， ∴小船在静水中的速度的大小为10 km/h，方向与水流方向的夹角为，其中，. 【点睛】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则在实际问题中的应用，数形结合，属于中档题. 反思感悟　应用向量解决实际问题的基本步骤 (1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题． (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题． (3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题． 6、 课堂总结 1.向量加法的定义 (1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. (2)对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a. 2.向量求和的法则 (1)向量加法的三角形法则．向量加法的三角形法则要“首尾相接”. (2)向量加法的平行四边形法则．应用平行四边形法则的前提是两向量“共起点”. 3.向量三角不等式． |a＋b|与|a|，|b|之间的关系 一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立. 4.向量加法的运算律． (加法交换律)a＋b＝b＋a； (加法结合律)(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 4．方法归纳：数形结合法． 5．常见误区：向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量移到共同起点． 6.准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则.使用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾顺次相接”.和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点.向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0. 7.(1)要注意向量的几何表示，画出图形进行化简或计算. (2)要灵活运用向量加法的运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序. 　 练习（第10页） 1．如图，在下列各小题中，已知向量，，分别用两种方法求作向量． 2．当向量，满足什么条件时，（或）？ 2．解析：当，方向相反，且|时，． 当，方向相反，且时，． 3．根据图示填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 3．解析：（1）；（2）；（3）；（4）． 4．如图，四边形是平行四边形，点在上，判断下列各式是否正确（正确的在括号内打“√”，错的打“×”）． （1）． （ ） （2）． （ ） （3）． （ ） 4．解析：（1）×；（2）√；（3）×． 5．有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行的速度的大小为，方向为北偏西，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向． 5．如图，表示水流的速度，表示小船的速度． 由已知得，，， 以，为邻边作□ABCD，则表示小船实际航行的速度，，，延长到点，使，连接，则．又，所以是等边三角形． 在中，是的中线，所以 ，从而． 在中，． 所以小船实际航行的速度的大小是，方向与河岸垂直． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2.1向量的加法运算 导学案 1、 学习目标 1.理解并掌握向量加法的概念. 2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算. 3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性． 2、 重点难点 学习重点：1.向量加法的运算法则及其几何意义； 2.向量加法的三角形法则及平行四边形法则、向量加法 的交换律与结合律. 学习难点：1.对向量加法运算法则的理解； 2. 向量加法的三角形法则及平行四边形法则的拓展应用. 3、 导入新知 我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷，那么，向量是否也能像数一样进行运算呢？唐僧当年取经的路线是从东土大唐出发，先绕到新疆，再往天竺，若孙悟空单独前往，可以直接飞往西天，两种走法的位移相同吗？如果把位移看成向量，我们就引入了向量的运算． 1.向量加法法则概念的形成 1.1背景引入，引发思考 【物理背景】在物理学中，我们知道一个质点从点移动到点，再从点移动到点，与从点直接到点的位移结果相同.这说明位移这一矢量是可以合成的，即矢量是可以做加法运算的. 我们知道，位移、力是向量，它们可以合成．能否从位移、力的合成中得到启发，引进向量的加法呢？ 思考 如图6.2-1，某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？ 问题1：(1) 物理中的矢量与我们所学的向量有什么区别和联系？(2) 我们能不能把物理中位移的合成的有关方法和经验用于向量的合成？ 1.2 探究典例，形成概念 【数学情境】假设在平面内任取一点，做，，那么你能说出的和向量是什么吗？ 我们再来看力的合成问题． 问题2：求上面两个向量的和向量时 ，你发现了什么特征吗？ 思考 如图6.2-3，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力与的作用，你能作出这个物体所受的合力吗？ 问题3：现在这两个向量具有什么特征？能否用三角形法则来对其求和？如果不行，有没有什么处理方法？ 问题4：观察下图，将平移到处，根据三角形法则可知：即为与的和向量.那你发现四边形是什么四边形了吗？ 问题5：你能分析一下平行四边形法则和三角形法则的区别与联系吗？ 思考 向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？ 对于零向量与任意向量，我们规定 ． 例1 如图6.2-5，已知向量，，求作向量． 【变式】如图，已知向量、，用向量加法的三角形法则作出向量． (1)  (2)  (3)   ◆探究 (1)如果向量，共线，它们的加法与数的加法有什么关系？你能作出向量吗？ (2)结合例1，探索，，之间的关系． 4、 应用新知 例2 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图6.2-8，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15 km/h，同时江水的速度为向东6 km/h． (1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； (2)求船实际航行的速度的大小(结果保留小数点后一位)与方向(用与江水速度间的夹角表示，精确到1°)． 【变式】某人在静水中游泳的速度为，河水自西向东的流速为1m/s，此人朝正南方向游去，求他的实际前进方向和速度． 5、 能力提升 题型一、向量加法的三角形法则 【练习1】如图是平行四边形，则在向量（    ） A． B． C． D． 题型二、向量加法的平行四边形法则 【练习2】如图，在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 题型三、共线向量的加法与向量加法的运算律 【练习3】下列四个等式： ①；    ②；    ③；    ④． 其中正确的是 ．（填序号） 题型四、向量加法的实际应用 【练习4】如图，小船要从处沿垂直河岸的方向到达对岸处，此时水流的速度为6km/h，测得小船正以8km/h的速度沿垂直水流的方向向前行驶，求小船在静水中速度的大小及方向. 6、 课堂总结 1.向量加法的定义 (1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. (2)对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a. 2.向量求和的法则 (1)向量加法的三角形法则．向量加法的三角形法则要“首尾相接”. (2)向量加法的平行四边形法则．应用平行四边形法则的前提是两向量“共起点”. 3.向量三角不等式． |a＋b|与|a|，|b|之间的关系 一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立. 4.向量加法的运算律． (加法交换律)a＋b＝b＋a； (加法结合律)(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 4．方法归纳：数形结合法． 5．常见误区：向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量移到共同起点． 6.准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则.使用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾顺次相接”.和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点.向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0. 7.(1)要注意向量的几何表示，画出图形进行化简或计算. (2)要灵活运用向量加法的运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序. 　 练习（第10页） 1．如图，在下列各小题中，已知向量，，分别用两种方法求作向量． 2．当向量，满足什么条件时，（或）？ 3．根据图示填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 4．如图，四边形是平行四边形，点在上，判断下列各式是否正确（正确的在括号内打“√”，错的打“×”）． （1）． （ ） （2）． （ ） （3）． （ ） 5．有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行的速度的大小为，方向为北偏西，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$