6.2.1&6.2.2&6.2.3 向量的加法运算、向量的减法运算、向量的数乘运算（精讲）-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教A版2019必修第二册)

6.2.1&6.2.2&6.2.3 向量的加法运算、向量的减法运算、 向量的数乘运算 重点：1、向量加法的三角形法则、平行四边形法则及应用； 2、向量减法的三角形法则，平行四边形法则及应用； 3、向量数乘运算的意义、运算律、向量共线定理 难点：向量加法的三角形性质；向量减法的几何意义；向量共线定理的探究及其应用。 一、向量的加法运算 1、定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 2、三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量， 向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 3、平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O， 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，对角线就是a与b的和 【规定】零向量与任一向量a的和都有a＋00＋a＝. 【注意】（1）在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和； （2）平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量． 4、向量加法的运算律 结合律：a＋b＝b＋a 交换律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 二、向量的减法 1、相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. （1）规定：零向量的相反向量仍是仍是零向量； （2）－(－a)＝a； （3）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； （4）若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 【注意】相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面定义，相反向量必为平行向量． 2、向量的减法 （1）定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. （2）几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则 ＝a－b， 如图所示，即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量． 【注意】在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可． 三、向量的数乘运算 1、定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|； ②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反． 2、运算律：设λ，μ为任意实数，则有： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb； 特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb. 3、线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量． 对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 四、向量共线 1、向量共线的条件 （1）当向量时，与任一向量共线． （2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线． 反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，． 2、向量共线的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． 3、向量共线的性质定理：若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使． 【注意】 （1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况； （2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使； （3）有且只有一个实数，使． （4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一. 题型一 向量的加法运算 【例1】（2022·高一课时练习）如图，已知，求作. （1）； （2） 【变式1-1】（2022秋·天津河北·高一统考期中）化简（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2022·高一课时练习）向量（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2022·全国·高一专题练习）某人先向东走3km，位移记为，接着再向北走3km，位移记为，则表示（ ） A．向东南走 B．向东北走 C．向东南走 D．向东北走 【变式1-4】（2022·高一课前预习）正方形的边长为1，则为（ ） A．1 B． C．3 D． 【变式1-5】（2022秋·四川·高一四川省科学城第一中学校考阶段练习）如图，正六边形ABCDEF中，则（ ） A． B． C． D． 题型二 向量的减法运算 【例2