江西省十校协作体2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试卷

江西省十校协作体2025届高三第一次联考数学试卷 命题人：盛林艳钟新宝审题人：杨平庄新强 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合A=y=V2-x,y∈R},B={x>-2,x∈Z,则A∩B=() A.{-1,0,1,2 B.{-1,0,1 C.N D.N 2.设aeR,Z= 3+ai 其中i为虚数单位.则“a>1”是“Z>V10”的() i A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.己知向量a=(3,-4)b=(←2，m),c=(2,1),若a+bLc,则m=() A.-6 B.-2 C.2 D.6 4.某学校高一年级在校人数为00人，其中男生350人，女生250人，为了解学生身高发展 情况，按分层随机抽样的方法抽出的男生身高为一个样本，其样本平均数为172cm,抽出的 女生身高为一个样本，其样本平均数为160cm,估计该校高一学生的平均身高为() A.162 cm B.164 cm C.167cm D.169cm 5.下列函数中最小值为4的是( 4 4 A.y=x2+2x+4 B.y=sinx+ C.y=2+22-x D.y=Inx+. sin x x 6.某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊5名跳水运动员进入跳水比赛决赛，现采用抽签法决定 决赛跳水顺序，在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运 动员丙第一个出场”的概率为() B. 1 C.4 D.3 7.已知圆x-2+1与双尚线若-a>0>0的条渐近线交于A,8两点，且1=1， 则该双曲线的离心率为() A.2 B.√3 C.3 D. 413 13 13 8.己知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)-2,f(1)=4且当x>0时，f(x)>2,若存 在x∈[1,2]，使得f(ax2-4x)+f(2x)=1,则a的取值范围是（) 江西省十校协作体2025届高三第 引 引 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设函数f(x)=x23-x2+ax-1,则() A.当a=-1时，f(x)的极大值大于0B.当a≥ 时，f(x)无极值点 3 C.a∈R,使f(x)在R上是减函数D.Va∈R,曲线y=f(x)的对称中心的横坐标为定值 10.已知函数fx)=Asin(ax+p(A>0,w>0,0<p<π)的部分图象如图所示，则() A.f(x)的单调递增区间是[5+8k,-1+8k],k∈Z B.f(x)的单调递增区间是[5π+8kπ，-π+8kπ]，k∈Z C.f(x)在[2元，2π]上有3个零点 D.将函数图象向左平移3个单位长度得到的图象所对应的函数为奇函数 A M' -2 第10题图 第11题图 11.如图，在正三棱台ABC-DF中，AB=AD=2,∠BEF=T,点M在△DEF内运动（包含边 3 界)，则下列结论正确的是() ADC与BE所成角的余弦值是 B.MC与平面ABED平行时，M点的轨迹长度是2 C.MC与平面DP所成角的余弦值最大值是Y 3 D.当MC⊥M时，M点的轨迹长度是2V3r 9 次联考数学试卷第1页共2页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上。 .1-引x-的展开式办y的系数为 13.等比数列{a}共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q= 14.若函数y=log.(5a-2)x2-4ax+2]有最小值，则a的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15.(13分)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且b2+c2-d=bc. (I)求cosA的值： (2)若△ABC是锐角三角形，a=√3，求b+c的取值范围. 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD,AD⊥DC,AB∥DC, AB=二CD=AD=l,M为棱PC的中点， (I)证明：BM/平面PAD: (2)若PC=V5,PD=1,求二面角P-BM-D的余弦值： B 17.(15分)椭圆c:千多-1ab>0,日，只分别是椭园c的左、右焦点，是箱圆上在 意一点，△PF,F,的周长为4+23，椭圆c的离心率为5 (1)求椭圆C的标准方程 (2)过点(-3,0)作直线1与椭圆C交于M,N两点. ①若直线的斜率为气，求AMN的面积： ②椭圆C的左、右顶点分别为A,B,连接AN与BM,求直线AN与BM交点的轨迹方程」 江西省十校协作体2025届高三第 18.(17分)已知函数f(x)=x2-anx-1(a∈R) (1)若f()的图象在x=1处的切线方程为3x-y+b=0,求a,b的值： (2)讨论f(x)的零点的个数 ③若a=2,证明：+日号0： 19.(17分)甲乙两人各有eW)张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标 有数字1,3,5，…，2n-1,乙的卡片上分别标有数字2,4,6，…，2n.两人进行n轮比赛，在每轮比赛中， 两人各自从自己持有的卡片中随机选择一张，并比较所选卡片上的数字大小，数字大的得1 分，数字小的得0分，然后各自弃置此轮所选卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）， 设n轮比赛后甲的总得分为X. (1)当=2,3,4,5时，请写出n轮比赛后X的分布列（不需要计算过程，不需要列表）： (2)设数列{an}满足：8=P(x=n-2)m≥2)，且已知a6=57,4,=120,4=247,a,=502. )当n≥2时，请你直接猎想a,与a1，的递推关系式（不要推理过程，直接给出答案）： )结合（①中的递推关系，请你求出n轮比赛后甲的总得分X不低于n-2的概率， 次联考数学试卷第2页共2页江西省十校协作体 2025 届高三第一次联考数学答案 一、1A 2A 3C 4C 5C 6A 7D 8B 1、A 由题， 得 ，故 ，进而 ， 2、A 因为 ，所以 . 令 ，即 ，解得 或 ，所以 推得出 ，故充分性成立； 由 推不出 ，故必要性不成立；所以“ ”是“ ”的充分不必要条件. 3、C 由题意可得 ，因为 ，所以 ， 解得 4、C 由题意可知， ，且 ， 所以样本平均数 ， 故该校高一学生的平均身高的估计值为 ． 5、C 对于 A， ，当且仅当 时取等号，所以其最小值为 ，A 不符合题意； 对于 B，因为 ， ，当且仅当 时取等号，等号取不到，所以 其最小值不为 ，B 不符合题意； 对于 C，因为函数定义域为 ，而 ， ，当且仅当 ，即 时 取等号，所以其最小值为 ，C 符合题意； 对于 D， ，函数定义域为 ，而 且 ，如当 ， ，D 不符合题意． 6、 A “运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”可分为甲最后一个出场或甲在中 间出场，方法数为 ，在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出 场”的前提下，“运动员丙第一个出场”，即“运动员丙第一个出场，运动员乙不是最后一个 出场”，方法数为 ，因此所求概率为 ． 7、D圆 的圆心为 ，半径 ， 双曲线 的渐近线方程为 ，即 ， 因为 ，所以圆心 到双曲线的渐近线的距离 ， 所以 ，即 ，所以 ，即该双曲线的离心率为 . 8、B 二、9 BD 10 AC 11ABD 9、 10、AC 由图象得 ，周期 ，得 ， 所以 ， ． 令 ，解得 ，故单调递增区间为 ．A正确，B错误；令 ，解得 ， 令 得 ，解得 ，可知 C选项正确；函数图象关于直 线 对称，向左平移 3个单位长度，图象关于 轴对称，得到的函数为偶函数，故 D错误． 11 ABD A 选项、 G 取 EF 的中点 G，连接 CG、DG，DC，CG 平行且等于 BE，在三棱台中，易得 DC=DG= 2 3，CG=2， 易得 DCG 的余弦值为 3 6 ，A正确。 B选项、 G H 取 EF 的中点 G、取 DF 的中点 H，连接 CG、CH、HG，易得 CG 平行且等于 BE，易得 CH 平行且等 于 AD，所得面 CHG 平行面 ABED，面 CHG 与面 FDE 相交与 HG，HG 为三角形 FDE 的中位线，HG=2， B 正确。 C 选项、 J K 过 C 作 CJ 垂直面 DEF 于 J，取 DE 的中点为 K，连接 FK，点 J 在 FK 上，CJ 为定值，在面 DEF 内的动点 M到 E点时，EJ 的距离最长，此时 CEJ 的正切值最小， CEJ 的余弦值最大。  CFJ 的正弦值为 2 3 ，CF=2，所以 CJ= 2 2 3 ，FJ= 2 3 ，在三角形 DEF 中，FK= 2 3 ，KJ= 4 3 ， 又因为 KE=2，所以 JE= 2 7 3 ，所以 CE= 2 3 ， CEJ 的余弦值是 7 3 ，C错误。 D选项、 J o T 过 C 作 CJ 垂直面 DEF 于 J，由 C 选项可知, CJ= 2 2 3 ，FJ= 2 3 ，此时 M 点运动到点 J 时， MC MF。以 CF 为直径的球与面 DEF 的交线，就是 M 点的轨迹。取 O 为 CF 的中点，T 为 JF 的 中点，点 M在以 T为圆心，TJ 为半径的圆弧上运动，这段圆弧对的圆心角为 120°，TJ= 1 3 ， 这段圆弧的长度为 2 3 9  。 三、 12、-25 13、0.5 14、  20, 1, 2 5        12、 当 取 1， 取 ， 的系数为 ；当 取 ， 取 时，得 的系数为： .所以 的系数为： . 13、0.5 设等比数列 na 的奇数项的和、偶数项的和分别为 ， . 由题意可得 解得 所以 ．故答案为：0.5. 14． 当 0<a<1 时，外层函数 logay u 为减函数，要使函数有最小值，对于内层函数   25 2 4 2u a x ax    有最大值，所以  2 5 2 0 16 8 5 2 0 a a a        2 , 5 a  又 0 1,a  所以 20 5 a  ;当 1a  时，外层函数 logay u 为增函数，要使函数有最小值，对于内层函数   25 2 4 2u a x ax    有最小值，有  2 5 2 0 16 8 5 2 0 a a a        ，解得 1 2, 2 a  又 1a  ，所以 1 2,a  综上所述，实数a的取值范围是  20, 1, 2 5        四、15.（1）因为 2 2 2b c a bc   ， 由余弦定理可得 2 2 2 1cos 2 2 2 b c a bcA bc bc      . 5 分 （2）因为 1cos 2 A  ，  0, πA ，则 π 3 A  ， 由正弦定理可得 2 sin sin sin b c a B C A    ， 所以，   π2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 3 b c B C B A B B B             π2sin sin 3 cos 3sin 3 cos 2 3 sin 6 B B B B B B           ， 9 分 因为 ABC 为锐角三角形，则 π0 2 2π π0 3 2 B C B           ，解得 π π 6 2 B  ， 所以， π π 2π 3 6 3 B   ，则 π 3sin ,1 6 2 B           ， 故 π2 3 sin 3,2 36b c B          . 即b c 的取值范围是 3,2 3 . 13 分 16.（1）取 PD的中点N，连接 AN，MN，如图所示： M 为棱 PC的中点， //MN CD ， 1 2 MN CD ， //AB CDQ ， 1 2 AB CD ， //AB MN ， AB MN ， 四边形 ABMN是平行四边形， //BM AN ， 又 BM  平面 PAD，MN 平面 PAD， //BM 平面 PAD； 6分 （2） 5PC  ， 1PD  ， 2CD  ， 2 2 2PC PD CD   ， PD DC  ， 平面 PDC 平面 ABCD，平面 PDC 平面 ABCD DC ， PD 平面 PDC， PD 平面 ABCD， 又 AD，CD 平面 ABCD， PD AD  ， PD CD ，由 AD DC ， 8 分 以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为 x， y， z轴建立空间直角坐标系，如图： 则  0,0,1P ，  0,0,0D ，  1,0,0A ，  0,2,0C ， 10,1, 2 M      ，  1,1,0B ， （i）故 10,1, 2 DM        ，  1,1,0DB   设平面 BDM 的一个法向量为� = �, �, � ， 则 1 0 2 0 n DM y z n DB x y              ，令 2z  ，则 1y   ， 1x  ，  1, 1,2n   ， 10 分 平面 PBM 的一个法向量为  , ,m a b c ,  10,1, , 1,1, 1 2 PM PB          则 1 0 2 0 m PM b c m PB a b c               ，令 2c  ，则 1b  ， 1a  ，故  1,1,2m  ， 12 分 , 4 2cos , 36 6 n mn m n m            ， 由于二面角 P BM D  的平面角为锐角，故二面角 P BM D  的余弦值为 2 3 ； 15 分 17.(1）由题意知 2 2 4 2 3, 3 , 2 a c c a         解得 2, 3, 1a c b   ， ∴椭圆 C 的方程为 2 2 1 4 x y  . 5 分 （2）如图， 设 1 1 2 2( , ), ( , ),M x y N x y 2 ( 3,0), ( 2,0), (2,0).F A B 设 : 3,l x ty  联立 2 2 1, 4 3 0, x y x ty         得 2(4 ) 6 5 0,t y ty    1 2 1 22 2 6 5, . 4 4 ty y y y t t       6 分 ① 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 3 3| | || | | || | | ( 0), 2 2F MN QF N QF M S S S QF y y y y y y          2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 16 80| | ( ) ( ) 4 4 ty y y y y y y y t           . 2 3 36, 5MF N t S    ； 10 分 ②设 2 1 2 1 : ( 2), : ( 2) 2 2AN BM y yl y x l y x x x       ， 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 22( 2) ( 2) 2 2 2 2 2 y y y x y x yxx x x x x x y x y y                ， 12 分 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 ( 3) 2 5 , 2 ( 3) 2 y x y y ty y ty y y x y y y ty y ty y y            由 2 1 2 1 5 6 y y y y t   ，得 1 2 1 2 5 ( ) 6 ty y y y  ， 1 2 2 1 5 25 2 6 6 5,5 12 6 6 y yx x y y        4 3 x   . 故交点的轨迹方程为 4 3 x   . 15 分 （1）由题意得   2 af x x x   ， 又  f x 的图象在 1x  处的切线方程为3 0x y b   ， 所以  1 2 3 1 af    ，解得 1a   ， 所以   2 ln 1f x x x   ，所以  1 0f  ，所以 3 0b  ，解得 3b   . 5 分 （2）由题意得  f x 的定义域为  0,  ，   2 af x x x   ， 当 0a  时，   0f x  ，  f x 在  0,  上单调递增， 又  1 0f  ，所以  f x 有且仅有一个零点 1； 6 分 当0 2a  时，令   0f x  ，解得 1 2 ax   ， 易知在 0, 2 a       上，   0f x  ，则  f x 在 0, 2 a       上单调递减， 在 ,2 a       上，   0f x  ，则  f x 在 ,2 a       上单调递增， 又  1 0 2 af f         ， 1 2 0a af e e         ， 所以  f x 在 0, 2 a       上有一个零点，  f x 在 ,2 a       上有一个零点 1， 所以  f x 在 0, 2 a       ， ,2 a       上各有一个零点； 8分 当 2a  时，令   0f x  ，解得 1x  ， 易知在  0,1 上，   0f x  ，则  f x 在  0,1 上单调递减， 在  1, 上，   0f x  ，则  f x 在  1, 上单调递增， 故  f x 的最小值为  1 0f  ，故  f x 仅有一个零点； 9 分 当 2a  时，令   0f x  ，解得 1 2 ax   ， 易知在 0, 2 a       上，   0f x  ，则  f x 在 0, 2 a       上单调递减，且  1 0f  ， 所以  f x 在 0, 2 a       上有一个零点 1， 在 ,2 a       上，   0f x  ，则  f x 在 ,2 a       上单调递增， 又  1 0 2 af f         ，      2 22 2e e 1 1 1 2 0a af a a a a         ， 所以  f x 在 ,2 a       上有一个零点， 故  f x 在 0, 2 a       ， ,2 a       上各有一个零点. 综上，当 0a  或 2a  时，  f x 仅有一个零点； 当0 2a  或 2a  时，  f x 有两个零点. 12 分 （2）证明：若 2a  ，则   2 2ln 1f x x x   ， 所以      2 1 122 x x f x x x x       ， 令   0f x  ，解得 1x  ，令   0f x  ，解得0 1x  ， 所以  f x 在  0,1 上单调递减，在  1, 上单调递增， 所以    min 1 0f x f  ，所以   0f x  ， 14 分 当且仅当 1x  时，等号成立； 令   2 1 1 e ex xg x   ， 0x  ，所以      2 e 1 e 2 ee x x xx x xg x      ， 令   0g x  ，解得0 2x  ，令   0g x  ，解得 2x  ， 所以  g x 在  0,2 上单调递增，在  2, 上单调递减， 所以    max 2 0g x g  ，所以   0g x  ，当且仅当 2x  时，等号成立， 所以    f x g x ，即   2 1 1 0 e ex xf x    . 17 分 19. (1) !2 1)1(, !2 1)0(2  XPXPn 时， ; !3 1)2(, !3 4)1(, !3 1)0(3  XPXPXPn 时 !4 1)3(, !4 11)2( 4 11)1( !4 1)0(4  XPXPXPXPn ， ！ ，时 !5 1)4(, !5 26)3(, !5 66)2(, !5 26)1(, !5 1)0(5  XPXPXPXPXPn 时 (8 分) 规律从 n=1开始每一类情况下所有概率的分子以“三角形”的形式列出来，刚好得到了一个“欧拉三角”（与 杨辉三角形类似) (欧拉三角不影响得分, 仅供找规律参考) 当 n≥2 时 , 502,247,120,57,26,11,4,1 98765432  aaaaaaaa 猜 想 ),2(2 *1 Nnnnaa nn  13分 当 n≥2时 P(X=n-1)= ！n 1 ;递推关系 an+1=2an+n 变形为 an+1+n+2=2(an+n+1),于是数列{an+n+1}从第二项起成等比数列,所以 an+n+1=2n,an=2n-n-1(n≥2，n∈N*)， 因此 P(X=n-2)= ! 12 n nn  ，于是 P(X≥n-2)= ! 2 n nn  (n≥2，n∈N*) 17分