高一数学开学摸底考（上海专用）-2024-2025学年高中下学期开学摸底考试卷

2025届高一下学期开学摸底考试卷（上海专用） 数学·参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1． 2． 3． 4．/ 5． 6． 7．0 8．, 9． 10． 11． 12． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 14 15 16 C C A A 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（1）. (6分) （2）. (14分) 18．（1）当时，， 任取、且，即， ， ，则，，所以，，， 因此，函数在上是严格减函数； (6分) （2）对任意的，，可得， (7分) 令，则，令，其中， 所以，，. 因此，实数的取值范围是. (14分) 19．（1）解：由表格，可知的值先增大，后减小，所以显然，函数模型②满足要求， 又由表格可知， 代入，得，解得， 所以. (6分) （2）解：因为第天的打卡人数为万人，所有，解得. 易知， (7分) 当且为正整数时，， 因为为减函数，所以； (10分) 当且为正整数时，， 所以， 当且仅当时等号成立. 综上知，该商场在第天时日营业收入最小，最小为万元. (14分) 20．（1）由表示不小于x的最小整数，，得， 所以实数x的取值范围是. (4分) （2）函数定义域为，而函数在上单调递增，值域为， 因此，即有，所以函数的值域为； (6分) 显然，，由，得， 则有，而时，不等式不成立，则，必有，即， 因此，，解得，所以实数的取值范围. (10分) （3）当时，，函数在上单调递减，在是单调递增， 因此函数在上单调递增，在是单调递减，，而， 于是在上的值域为，，， 依题意，，，即，， 当时，，显然当时，，则，， 当时，，而恒成立，则，， 所以实数的取值范围. (18分) 21．（1）对任意，得， 所以具有性质； 对任意，得. 易得只需取，则， 所以不具有性质 (4分) （2）设二次函数满足性质. 则对任意， 满足. 若，取，，矛盾. 所以，此时， 满足，即为偶函数 (10分) （3）由于，函数的定义域为R. 易得. 若函数具有性质，则对于任意实数， 有 ，即. 即. 由于函数在上严格递增，得. 即. 当时，得，对任意实数恒成立. 当时，易得，由，得， 得，得. 由题意得对任意实数恒成立， 所以，即 当时，易得，由，得， 得，得. 由题意得对任意实数恒成立， 所以，即 综上所述，的取值范围为. (18分) 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2024-2025学年高一下学期开学摸底考试卷 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1 ． ____________________ 2 ． ____________________ 3． ____________________ 4 ． ____________________ 5． ___ _________________ 6 ． ____________________ 7． ____________________ 8 ． ____________________ 9． ____________________ 10 ． ____________________ 11． ____________________ 12 ． ____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 1 3 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17． （14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20．（18分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21．（18分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数 学 第 1 页（共 6 页） 数 学 第 2 页（共 6 页） 数 学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高一下学期开学摸底考试卷 数 学·答题卡 姓名： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题每题 5 分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题(本大题共有 5 题，满分 78 分，第 17-19 题每题 14 分，第 20、 21 题每题 18 分.) 17．（14 分） 18．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号 贴条形码区 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选 择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 5．正确填涂 缺考标记 数 学 第 4 页（共 6 页） 数 学 第 5 页（共 6 页） 数 学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18 分） 21．（18 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025届高一下学期开学摸底考试卷（上海专用） 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第一册+6.1。 一一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知全集，集合，则 . 2．不等式的解集是 . 3．已知，是第四象限角，则 . 4．若函数，则 . 5．周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是 ． 6．已知幂函数在区间上是严格增函数，则 . 7．已知，则 ． 8．若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是 . 9．设，则函数的所有零点之和为 ． 10．已知函数是定义在上的偶函数，在上严格增函数.若，则实数的取值范围是 . 11．某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库. 因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米（）. 现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）. 不考虑其他因素，若乙队要确保竞标成功，则实数的取值范围是 . 12．设，，若存在，使得成立，则正整数的最大值为 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．已知，则“”是“”的（   ）条件． A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 14．设a，，则下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 15．存在使不等式成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．已知函数，设（）为实数，且．给出下列结论： ①若，则； ②若，则． 其中正确的是（    ） A．①与②均正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①与②均不正确 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．化简下列各式： (1)； (2). 18．已知函数的表达式为. （1）当时，求证：在上是严格减函数； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．浦东某购物中心开业便吸引了市民纷纷来打卡（观光或消费），某校数学建模社团根据调查发现：该购物中心开业一个月内（以天计），每天打卡人数与第天近似地满足函数（万人），为正常数，且第天的打卡人数为万人． (1)经调查，打卡市民（含观光）的人均消费（元）与第天近似地满足下表： （天） 10 14 18 22 26 30 （元） 131 135 139 143 139 135 现给出以下三种函数模型：①，②，③．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述打卡市民（含观光）的人均消费（元）与第天的关系，并求出该函数的解析式； (2)确定的值，并在问题（1）的基础上，求出该购物中心日营业收入（，为正整数）的最小值（单位：万元）． （注：日营业收入日打卡人数人均消费）． 20．已知，我们定义函数表示不小于的最小整数，例如：，. (1)若，求实数的取值范围； (2)求函数的值域，并求满足的实数的取值范围； (3)设，，若对于任意的，都有，求实数的取值范围. 21．函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质. (1)分别判断函数与是否具有性质，并说明理由； (2)已知为二次函数，若存在正实数，使得函数具有性质.求证：是偶函数； (3)已知为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高一下学期开学摸底考试卷（上海专用） 数学•全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第一册+6.1。 一一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知全集，集合，则 . 【答案】 【分析】利用集合的补集运算即可得解. 【解析】因为，， 所以. 故答案为：. 2．不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据分式的运算性质分类讨论求出不等式的解集. 【解析】或，得. 故答案为：. 3．已知，是第四象限角，则 . 【答案】 【分析】由题意利用同角三角函数基本关系式即可求解. 【解析】因为，是第四象限角， 则，可得. 故答案为：. 4．若函数，则 . 【答案】/ 【分析】根据自变量取值所在区间确定应代入的解析式求分段函数值即可. 【解析】由， 则. 故答案为：. 5．周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是 ． 【答案】 【分析】设扇形的半径为，圆心角为，依题意可得，再由扇形的面积公式及基本不等式计算可得. 【解析】设扇形的半径为，圆心角为， 依题意可得，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 即扇形圆心角为时扇形的面积取得最大值. 故答案为：. 6．已知幂函数在区间上是严格增函数，则 . 【答案】 【分析】根据幂函数的定义及性质得到方程（不等式）组，解得即可. 【解析】因为幂函数在区间上是严格增函数， 所以，解得. 故答案为： 7．已知，则 ． 【答案】0 【分析】将齐次正余弦的分式，利用同角三角函数商的关系化弦为切，代值计算即得. 【解析】由. 故答案为：0. 8．若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是 . 【答案】, 【分析】先将方程变形为变形为，再利用程在,上有解，可得的不等式，从而可确定实数的取值范围． 【解析】方程可变形为，由于方程在上有解， 而当,时，，所以，解得， 即实数的取值范围是,． 故答案为：,． 9．设，则函数的所有零点之和为 ． 【答案】 【分析】画出函数图象。利用对称性即可求解. 【解析】由一元二次函数的图象和性质可知函数的图象如图所示， 根据图象可知共有个零点，且个零点关于对称， 所以零点之和为， 故答案为： 10．已知函数是定义在上的偶函数，在上严格增函数.若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先由定义域关于原点对称解得，再结合函数单调性与对称性，转化不等式为求解可得. 【解析】因为为偶函数，故即， 即为， 由为偶函数，则， 又在上严格增函数，且为偶函数， 故在上为严格减函数， 故，解得或. 则实数的取值范围是. 故答案为：. 11．某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库. 因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米（）. 现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）. 不考虑其他因素，若乙队要确保竞标成功，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意得甲工程队整体报价，由题意可得，孤立参数根据对勾函数的性质确定函数单调性从而得最小值即可得实数的取值范围. 【解析】若仓库前面墙体的长为米（），则左右两面墙宽度为， 则甲工程整体报价为， 若乙队要确保竞标成功则， 所以，则， 因为，所以函数， 当且仅当时，即时，函数有最小值， 所以函数在上单调递增，故， 故，则，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 12．设，，若存在，使得成立，则正整数的最大值为 【答案】 【解析】由题设且上有，所以，使得成立，只需即可，进而求得正整数的最大值. 【解析】由题意知：，使成立， 而当且仅当时等号成立， ∴，而，即， ∴仅需成立即可，有，故正整数的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：结合基本不等式有，即，应用对勾函数的性质求值域，并将存在性问题转化为函数闭区间内有解，只要即可求最值. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．已知，则“”是“”的（   ）条件． A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【答案】C 【分析】结合诱导公式及特殊角的三角函数值求出两个条件的的值，进而结合充分、必要条件的定义判断即可. 【解析】由题意，， 由，即，则或， 由，则， 所以“”是“”的必要非充分条件． 故选：C. 14．设a，，则下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数幂的运算性质，可得AB错；根据对数的运算性质，可得C正确，D错. 【解析】由题中条件， 则，故A错； 则，故B错； 根据对数的运算法则，可得，即C正确； ，故D错. 故选：C. 15．存在使不等式成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据绝对值的三角不等式和一元二次不等式计算即可. 【解析】存在,不等式成立，变形即成立， 由于， 因此有， 两边平方， 解得或. 故选：A. 16．已知函数，设（）为实数，且．给出下列结论： ①若，则； ②若，则． 其中正确的是（    ） A．①与②均正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①与②均不正确 【答案】A 【分析】令，得到为递增函数，且为奇函数，①中，不妨设，结合，利用直线的方程得到，进而得到，可判断①正确；②中，不妨设，得到点，利用直线的方程得到，进而得到，可判定②正确. 【解析】令函数， 可得函数为单调递增函数， 又由，即， 所以函数为奇函数，图象关于点对称，如图（1）所示， ①中，因为，且，则， 不妨设， 则点，此时直线的方程为， 可得， 则， 可得， 又由，所以， 即，即，所以①正确； ②中，若，不妨设，则， 不妨设， 则点，此时直线的方程为， 可得， 则， 可得， 又由，所以， 即，即， 所以②正确. 故选：A.    【点睛】方法点拨：令函数，得到函数为递增函数，且为奇函数，求得点和，结合直线和的方程，得出不等式关系式是解答的关键. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．化简下列各式： (1)； (2). 【答案】(1)0； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式化简计算作答. （2）根据给定条件，利用诱导公式、同角公式化简计算作答. 【解析】（1）. （2）. 18．已知函数的表达式为. （1）当时，求证：在上是严格减函数； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）任取、且，作差，因式分解后判断的符号，由此可证得结论成立； （2）由已知得出，令，，则，利用二次函数的基本性质求出，即可得出实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， 任取、且，即， ， ，则，，所以，，， 因此，函数在上是严格减函数； （2）对任意的，，可得， 令，则，令，其中， 所以，，. 因此，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法： （1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且； （2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形； （3）定号：确定差的符号； （4）下结论：判断，根据定义得出结论. 即取值作差变形定号下结论. 19．浦东某购物中心开业便吸引了市民纷纷来打卡（观光或消费），某校数学建模社团根据调查发现：该购物中心开业一个月内（以天计），每天打卡人数与第天近似地满足函数（万人），为正常数，且第天的打卡人数为万人． (1)经调查，打卡市民（含观光）的人均消费（元）与第天近似地满足下表： （天） 10 14 18 22 26 30 （元） 131 135 139 143 139 135 现给出以下三种函数模型：①，②，③．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述打卡市民（含观光）的人均消费（元）与第天的关系，并求出该函数的解析式； (2)确定的值，并在问题（1）的基础上，求出该购物中心日营业收入（，为正整数）的最小值（单位：万元）． （注：日营业收入日打卡人数人均消费）． 【答案】(1)函数模型②满足要求， (2)，该商场在第天日营业收入最小为万元 【分析】（1）根据表格可知的值先增大，后减小，从而可得到函数模型②满足要求；然后根据表格中的数据代入函数的关系式即可求出答案； （2）直接根据即可求出的值，分且为正整数和且为正整数两种情况分段讨论去掉绝对值符号，从而可求函数的最小值. 【解析】（1）解：由表格，可知的值先增大，后减小，所以显然，函数模型②满足要求， 又由表格可知， 代入，得，解得， 所以. （2）解：因为第天的打卡人数为万人，所有，解得. 易知， 当且为正整数时，， 因为为减函数，所以； 当且为正整数时，， 所以，当且仅当时等号成立. 综上知，该商场在第天时日营业收入最小，最小为万元. 20．已知，我们定义函数表示不小于的最小整数，例如：，. (1)若，求实数的取值范围； (2)求函数的值域，并求满足的实数的取值范围； (3)设，，若对于任意的，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)值域为， (3) 【分析】（1）根据给定定义，直接列式求解作答. （2）由对数函数的单调性求出的值域，进而列出不等式，求出x值范围作答. （3）利用对勾函数求出在上的值域，再建立恒成立的不等式，借助二次函数性质分类讨论求解作答. 【解析】（1）由表示不小于x的最小整数，，得， 所以实数x的取值范围是. （2）函数定义域为，而函数在上单调递增，值域为， 因此，即有，所以函数的值域为； 显然，，由，得， 则有，而时，不等式不成立，则，必有，即， 因此，，解得，所以实数的取值范围. （3）当时，，函数在上单调递减，在是单调递增， 因此函数在上单调递增，在是单调递减，，而， 于是在上的值域为，，， 依题意，，，即，， 当时，，显然当时，，则，， 当时，，而恒成立，则，， 所以实数的取值范围. 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. 21．函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质. (1)分别判断函数与是否具有性质，并说明理由； (2)已知为二次函数，若存在正实数，使得函数具有性质.求证：是偶函数； (3)已知为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围. 【答案】(1)具有性质，不具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据性质的定义对函数与函数进行判断，从而确定正确答案. （2）性质的定义列不等式，求得，进而判断出是偶函数. （3）性质的定义列不等式，结合对数函数、指数函数的知识求得的取值范围. 【解析】（1）对任意，得， 所以具有性质； 对任意，得. 易得只需取，则， 所以不具有性质 （2）设二次函数满足性质. 则对任意， 满足. 若，取，，矛盾. 所以，此时， 满足，即为偶函数 （3）由于，函数的定义域为R. 易得. 若函数具有性质，则对于任意实数， 有 ，即. 即. 由于函数在上严格递增，得. 即. 当时，得，对任意实数恒成立. 当时，易得，由，得， 得，得. 由题意得对任意实数恒成立， 所以，即 当时，易得，由，得， 得，得. 由题意得对任意实数恒成立， 所以，即 综上所述，的取值范围为. 【点睛】求解新定义函数类型的题目，关键点是理解和运用新定义，将新定义的知识，转化为学过的知识来进行求解.求解含参数的不等式问题，需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏. 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$