第9章 中心对称图形——平行四边形拓展之最值篇（优质类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

第9章 中心对称图形——平行四边形拓展之最值篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、将军饮马 【解惑】如图，在菱形中，边长为2，，点在对角线上，点为边中点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，垂线段最短，勾股定理，等边三角形的判定与性质，取关于的对称点，连接，进而可得是等边三角形，的最小值为的长，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，取关于的对称点，连接 ∵菱形中，， ∴，， ∴是等边三角形， ∵点为边中点 ∴点是的中点， ∴， ∴，即的最小值为的长， ∵为2， ∴， 在中， ∴ 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，已知菱形的两条对角线分别为10和24，、分别是边、的中点，是对角线上一点，则的最小值是（   ） A．13 B．10 C．24 D．12 【答案】A 【分析】作M关于的对称点Q，连接，交于P，连接，此时的值最小，连接，求出、，根据勾股定理求出长，证出，即可得出答案． 【详解】解：作M关于的对称点Q，连接，交于P，此时最小，最小值为长，连接、． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴点Q在上． ∵M为中点，． ∴Q为中点． ∵N为中点， 四边形是菱形， ∴，． ∴四边形是平行四边形． ∴，P是、中点． ∴，． 在中，由勾股定理得：，即， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能利用轴对称找出P的位置． 2．如图，正方形的边长为，为的中点，是对角线上一动点，连接、，由正方形对称性可知，与关于直线对称，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接交于点， ∵正方形的边长为，为的中点， ∴ ∵点和关于对称， 当与重合时，的最小值即为的长， 在中，根据勾股定理，得 ． 的最小值为 故答案为． 3．如图，菱形中，，，点E为的中点，点P为对角线上的任意一点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称-最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等知识点，确定P点的位置是解答本题的关键．找出B点关于的对称点D，连接交于P，则就是最小值，求出即可． 【详解】解：∵菱形中，，， ∴，， ∴是等边三角形， 连接交于P，连接， 由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，则， ∴， 即就是的最小值， ∵是等边三角形，点E为的中点， ∵，(等腰三角形三线合一的性质)． 在中，， ∴的最小值为． 故答案为：． 类型二、中位线最值 【解惑】如图，在中，，点D，点E分别是边上的动点，连结，点F，点M 分别是的中点，则的最小值为（　　） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质及三角形中位线定理，正确得出的最小值是解题的关键．过点B作于H，连接；当取最小值时，的值最小，由垂线段最短可知，当于点E时，的值最小，利用等腰三角形三线合一的性质求出的长，进而利用三角形等面积法求解即可． 【详解】解：如图，过点B作于H，连接；    ∵F，M分别是的中点， ∴， 当取最小值时，的值最小， 由垂线段最短可知，当于点E时，的值最小， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，在菱形中，分别是边上的动点，连接分别为的中点，连接．若，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，连接，利用三角形中位线定理，可知，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∵G，H分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， 当时，最小，得到最小值， 则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即的最小值为1， 故选：D． 2．如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，利用三角形中位线定理，可知，当时，最小，即得到最小值，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理求出最小值即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形， ， ，分别为、的中点， 是的中位线， ， 当时，则，最小，即得到最小值， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，垂线段最短，含角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线． 3．如图，四边形中，，，，点为线段的中点，为线段上的动点（含端点），点，分别为，的中点，则长度的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 1 2 【分析】本题考查三角形的中位线定理，勾股定理，垂线段最短，连接，根据三角形的中位线定理，得到，进而得到当最小时，最小，最大时，最大，根据垂线段最短，结合为线段上的动点（含端点），得到最小为的长，最大为的长，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵点，分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴当最小时，最小，最大时，最大， ∵为线段上的动点（含端点）， ∴时，最小， ∵， ∴当点与点重合时，最小，为的长为2， ∴的最小值为1， 当点与点重合时，最大，为的长， ∵，，， ∴， ∴的最大值为2． 故答案为：1，2． 类型三、两动一定 【解惑】菱形的边长为4，，点、分别是、上的动点，的最小值为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，垂线段最短，菱形的性质， 先作点P关于的对称点，连接，则，当点C，Q，三点共线时，取最小值，为的长，当时，取最小值，再根据勾股定理求出答案． 【详解】如图所示，作点P关于的对称点，连接，则， ∴， 当点C，Q，三点共线时，取最小值，为的长， 当时，取最小值． ∵， ∴， ∴, 解得， ∴的最小值为． 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，菱形的边长为2，，，分别是，上的两个动点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题及菱形的性质，解题的关键是作出关于的对称点，连接，当时，有最小值，最小值为的长，解直角三角形求得即可． 【详解】解：如图，关于的对称点，连接， 菱形关于对称，是边上点， 是边上的点，， 当时，有最小值，最小值为的长． 菱形的边长为2，， ， 的最小值为． 故选：C． 2．如图，在边长为的正方形中，、分别是边、上的动点，且＝，为中点，是边上的一个动点，则＋的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】延长到，使，则，，当，，三点共线时，的值最小，根据题意，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧上，圆外一点到圆上一点距离的最小值．根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：延长到，使，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 当，，三点共线时，的值最小， ∵，点是的中点，， ∴， ∴点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧上，圆外一点到圆上一点距离的最小值． ∵， ∴， ∴的最小值是． 故答案为∶． 【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正方形的性质，勾股定理，正确的找到点的位置是解题的关键． 3．如图，正方形的边长为，为上的一点，，为上的一点，，为上一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作点F关于对称点，过点作于点H，连结，根据正方形是轴对称图形，是一条对称轴，可得点F关于的对称点在线段上，P为上的一个动点，，则，的最小值为的长，再证明四边形是矩形，得到，求出，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作点F关于对称点，过点作于点H，连结接， ∵正方形是轴对称图形，是一条对称轴， ∴点F关于的对称点在线段上， ∵P为上的一个动点， ∴， 则，的最小值为的长， ∵， ∴， ，四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形性质，矩形的判定与性质，轴对称性质，两点之间线段最短，掌握正方形性质，轴对称性质，两点之间线段最短是解题关键． 类型四、两定一定长 【解惑】如图，E为正方形中边上的一点，且，M、N分别为边、上的动点，且始终保持，则的最小值为（ ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作交于，过点作，过点作，两直线交于点，连接，由勾股定理求出的长，证明，得出，证明四边形是平行四边形，得出，，从而推出，当点、、三点共线时，的值最小，为，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作交于，过点作，过点作，两直线交于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴当点、、三点共线时，的值最小，为， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【融会贯通】 1．如图，是直线上长度固定为1的一条动线段．已知点，，则的最小值是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称最短路线问题．在轴上取点，使，则四边形为平行四边形，作点关于直线的对称点，则，即、、三点共线时，最小值为的长． 【详解】解：如图，在轴上取点，使，则四边形为平行四边形， ∵点，， ，， ， 作点关于直线的对称点， ，， ，即、、三点共线时，最小值为的长， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为， 故选：A． 2．如图，是菱形的对角线，，点E，F是AC上的动点，且，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了建桥选址问题，利用平移，将两条线段和转化为折线段的长是解题的关键． 连接交于，以，为邻边作平行四边形，则，，所以，即的最小值． 【详解】解：如图所示，连接交于，以，为邻边作平行四边形， ，， ， ，， ， ∵在菱形中，， ∴是等边三角形， ∴， ， ∵在菱形中，， ∴在中，， ∴， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ． 即的最小值为． 故选：D． 3．如图，四边形为菱形，，，为上的两个动点，且，点是的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的三边关系，取的中点，连接、、、，可得四边形为平行四边形，得到，进而得到，即可得当点三点共线时，的值最小，又由菱形的性质可得为等边三角形，进而由三线合一得到，利用勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：取的中点，连接、、、， ∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 类型五、平行线之间距离最短 【解惑】如图，在中，，，P为边上的一动点，以、为邻边作，则对角线长度的最小值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】记、相交于点，过点做于点，以，为邻边作平行四边形，由平行四边形的性质可知是中点，最短也就是最短，当时最短，即与重合，然后根据等腰三角形和含角的直角三角形的性质即可求出的最小值． 【详解】解：记、相交于点，过点做于点， 四边形是平行四边形， ，， 要最短就是最短，当时最短， 即与重合， ，， 是等腰三角形， ， ， 根据直角三角形中角对应的边等于斜边的一半， ， 最小值， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、含角的直角三角形、等腰三角形性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是适当辅助线构造含角的直角三角形． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，P为边上一动点，以，为边作平行四边形，则对角线的长度的最小值为（　　） A．6 B．12 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及垂线段最短的性质等知识；解题的关键是作高线构建直角三角形． 由平行四边形的性质可知是中点，最短也就是最短，过作的垂线，然后根据直角三角形的性质即可求出的最小值． 【详解】如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵最短也就是最短， ∴过点O作，即为所求， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为：， 故选：A． 2．如图，在中，，，．点为边上任意一点，连结，以，为邻边作，连结，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质．以，为邻边作平行四边形，由平行四边形的性质可知是中点，最短也就是最短，所以应该过作的垂线，根据垂线段最短即可解决问题． 【详解】解：，，， ，， ，， 设，交于点，过点作， 四边形是平行四边形， ，， 最短也就是最短， 当与重合时，的值才是最小， 则的最小值为， 故答案为：． 3．如图，在中，，P为边上一动点，以为边作平行四边形，则对角线的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形性质以及垂线段最短的性质等知识；解题的关键是作高线构建等腰直角三角形．过C点作于D点，由题意知，当P点与D点重合时，最短，再利用直角三角形的性质及勾股定理即可求得最小值． 【详解】解：如图，过C点作于D点， ∵四边形为平行四边形， ， 为平行线间的距离， ， 当P点与D点重合，Q点与C点重合时，最短； ， ； 由勾股定理得：， 即， 的最小值为； 故答案为：． 类型六、隐直线 【解惑】如图，长方形中，，点E是一个动点，且的面积始终等于长方形面积的四分之一．若的最小值为10，则的面积是（    ）． A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题根据的面积始终等于长方形面积的四分之一，得到点在的垂直平分线上运动，连接，，，根据垂直平分线性质和两点之间，线段最短，得到，利用勾股定理算出，即可解题． 【详解】解：的面积始终等于长方形面积的四分之一， 记点到的高为，又， ， 有，整理得，即点在的垂直平分线上运动， 连接，，， 点在的垂直平分线上运动， ，， 要最小，即最小， 当、、三点共线时，取得最小值为的长， 的最小值为10，即， ， 的面积是． 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、垂直平分线性质、两点之间，线段最短、熟练掌握相关性质并灵活运用，即可解题． 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，，，动点P满足，则点P到A、B两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先由，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值． 【详解】解：设△ABP中AB边上的高是h． ∵， ∴AB•h=AB•AD， ∴h=AD=2， ∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离． 在Rt△ABE中，∵AB=5，AE=2+2=4， ∴BE=， 即PA+PB的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称——最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键． 2．如图，长方形中，，点是长方形内的一个动点，且的面积始终等于长方形面积的．若的最小值为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，垂直平分线性质，过点作于点，由的面积始终等于长方形面积的可得，即得点的轨迹为的垂直平分线，连接，，得到，进而得到，可知当点、、三点共线时，的值最小，最小值为的长，即得，最后利用勾股定理计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图1，过点作于点， 则， ∵的面积始终等于长方形面积的， ∴ ∴， ∴点的轨迹为的垂直平分线， 连接，，则， ∴， 可知当点、、三点共线时，的值最小，如图2，最小值为的长， ∵的最小值为， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，在矩形中，，以为边在矩形外部作，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，准确应用矩形的性质是解题的关键． 在直线外做直线，且两直线间的距离为，延长至P，使得，则关于直线对称，连接，交直线于点，此时，根据两点之间线段最短可知的最小值为，然后根据勾股定理计算即可． 【详解】解：在直线外作直线，且两直线间的距离为，延长至P，使得，则关于直线对称，连接，交直线于点，此时，根据两点之间线段最短可知的最小值为， ， ， 到的距离是：， ， ， ， ∴的最小值为． 故答案为:． 类型七、手拉手最值 【解惑】如图，在等边三角形中，为边上的高，是直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，则在点的运动过程中，线段的长的最小值是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，因为是直线上的一个动点，所以将线段绕点逆时针旋转得到线段，在点M运动过程中，点N在线段上运动，再根据垂线段最短可得当时，最短，再证明，即可由等边三角形与直角三角形的性质求解． 【详解】解：如图，当点M在点D处时，线段绕点逆时针旋转得到线段，当点M在点C处时，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接， ∵是直线上的一个动点， ∴将线段绕点逆时针旋转得到线段，在点M运动过程中，点N在线段上运动， 根据垂线段最短可得，当时，最短， 由旋转可知：，， 连接， ∴是等边三角形， ∴，， ∵等边三角形中，为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，垂线段最短的性质，点N在线段上运动是解题的关键，也是本题的难点． 【融会贯通】 1．如图，在平行四边形中，，，E是边延长线上一点，连接，是等边三角形，连接，则的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形，等边三角形．熟练掌握平行四边形性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含的直角三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 在射线上取点G，使，连接，，根据平行四边形性质证明是等边三角形，得到，，根据是等边三角形，得到，，得到，得到，得到，得到，点F在直线上运动，当时，根据含的直角三角形的性质得到的最小值为． 【详解】在射线上取点G，使，连接，， ∵平行四边形中， ，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F在直线上运动， 当时，最小， 此时，， ∴, ∴的最小值为． 故选：D． 2．如图，在边长为4的正方形中，E是对角线上的动点，以为边作正方形，H是的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，延长，交于点，过H点作于时，此时最小，又H是的中点，结合计算即可． 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定方法，点到直线的距离垂线段最短等知识点，本题的关键是能想到连接，进而确定出G点的运动路径，再由点到直线距离垂线段最短求值． 【详解】解：连接，延长，交于点， ∵四边形，四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴， 当E点位于C点时，G点位于处， 当E点位于A点时，G点位于C处， 故E点在上运动时，G点在上运动， 故由点到直线的距离垂线段最短可知： 过H点作于时，此时最小，又H是的中点， ∴， 又， ∴， 故答案为：． 3．在中，，，，点为边的中垂线上一动点，连接绕点沿逆时针方向旋转，得到线段，连接，则线段的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质．作，连接，在上取点，使，证明，推出，得到点在直线上运动，当时，线段取得最小值，据此求解即可． 【详解】解：作，连接，在上取点，使， ∵，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵边的中垂线， ∴，， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，， ∵绕点沿逆时针方向旋转，得到线段，即，， ∴， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， 当时，线段取得最小值， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 故答案为：． 类型八、矩形对角线最短 【解惑】如图，已知正方形的边长为4，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③；④的最小值为，其中结论正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题意易证四边形为矩形，得出，根据正方形的性质易证为等腰直角三角形，结合勾股定理即可求出，故①正确；由等腰直角三角形的性质得出，从而得出四边形的周长，故②正确；连接，证明，即可证，故③正确；根据垂线段最短可知当时，最小，即此时最小，结合勾股定理求解即可求出的最小值为，故④错误． 【详解】解：∵，，四边形为正方形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴． ∵P是正方形对角线上一点， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，故①正确； ∵为等腰直角三角形， ∴． ∵四边形为矩形， ∴四边形的周长，故②正确； 如图，连接． ∵四边形为矩形， ∴． ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴当最小时，最小． 根据垂线段最短可知当时，最小，即此时最小． ∵四边形为正方形， ∴此时点P为正方形对角线交点， ∴此时， ∴的最小值为，故④错误． 综上可知正确的个数为3个． 故选C． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短，三角形全等的判定和性质等知识．熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，则线段的最小值是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，连接，先证明四边形是矩形，得，当时，取得最小值，再由三角形面积公式和勾股定理求出的长，即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 又， 四边形是矩形， ， 当时，取得最小值， 此时，， ， ，，， ， ， ， 的最小值是， 故选：A． 2．如图，中，，，，点D为边上一动点，过点D作于E，于F，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， 此时，， 即， 解得：， ∴． 故答案为：． 3．如图，在中，，，，点为斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，则的最小值为 ． 【答案】/0.8 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，连接，可得四边形是矩形，即得，，得到，当时，的值最小，即的值最小，利用勾股定理求出，再根据三角形的面积求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 当时，的值最小，即的值最小， ∵，，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 类型九、费马距离 【解惑】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝6，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，则PA+PB+PC的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形的性质得到AC＝4，由旋转的性质得到AC＝CE＝4，CP＝CF，∠PCF＝60°＝∠ACE，得到△PCF是等边三角形，求得PC＝PF，当P，F在直线EB上时，PA+PB+PC的值最小，根据勾股定理得到EB==2，于是得到结论． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝6， ∴AB＝2，AC＝4， 将△ACP绕点C逆时针旋转60°得到△CFE，连接PF，EB． 由旋转的性质可知：AC＝CE＝4，CP＝CF，∠PCF＝60°＝∠ACE， ∴△PCF是等边三角形， ∴PC＝PF， ∵PA＝EF， ∴PA+PC+PB＝PB+PF+EF， ∵PB+PF+EF≥EB， ∴当P，F在直线EB上时，PA+PB+PC的值最小， ∵∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°， ∴EB==2， ∴PA+PB+PC的最小值为2， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，已知，，点在内，将绕着点逆时针方向旋转得到．则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质知是等边三角形，则最小值为的长，利用勾股定理即可求得． 【详解】解：连接，过点作，交的延长线于， ∵将绕着点逆时针方向旋转得到， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴当点共线时，最小，最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在Rt△BFH中，由勾股定理得， ， ∴AE+PB+PC的最小值为， 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质等知识，将AE+PB+PC最小值转化为BF的长是解题的关键， 2．如图，在中，，，为其内部一点，连接、、，其中，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，轴对称—最短路线，解题的关键是正确作出辅助线，灵活运用相关知识．线段，，共端点，呈放射状，求线段的最小值，符合费马点模型的拓展特征．由于带有系数““，所以需要旋转． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接． 则． 由旋转的性质，得， ． ， 连接，当且仅当，，，四点共线时，取得最小值．过点作的延长线于点． ，，， ，．， ． ，． ， ， 即的最小值为． 故答案为：． 3．【阅读材料】十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点A、B、C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点 P的位置，费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将 绕点B顺时针旋转得到，连接，可得 为等边三角形，故，由旋转可得 因，由两点之间线段最短可知，的最小值与线段的长度相等． 【解决问题】如图2，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若，求的最小值 ． 【答案】 【分析】将绕点顺时针旋转得到，连接，，作交的延长线于点，首先证明，求出的值即可解决问题．本题属于三角形综合题，考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，连接，，作交的延长线于点， 在中，，， ， 由旋转的性质可知：，、是等边三角形， ， ， ， 当、、、共线时，的值最小， ，， ， ，， ，， ， 的最小值为， 故答案为：． 类型十、其他最值 【解惑】如图：等边三角形中，，E、F分别是边上的动点，且，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点D、G，连接，则可得，，因此转而求的最小值；过A作，且，连接，可证明，则有，进而转化为求的最小值，当点E在线段上时，取得最小值，在中由勾股定理即可求得最小值，从而求得的最小值． 【详解】解：如图，取的中点D、G，连接， ∴，， ∴； ∵， ∴的最小值转化为求的最小值； 在等边三角形中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； 过A作，且，连接， 则， ∴， ∴， ∴， ∴当点E在线段上时，取得最小值，且最小值为线段的长； ∵， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为．    故选：C． 【点睛】本题考查了求线段和的最小值问题，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，把求的最小值转化为求的最小值，进而转化为求的最小值，是本题的难点与关键所在． 【融会贯通】 1．如图，在正方形中，，是对角线上的动点，以为边作正方形，是的中点，连接，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】取AD中点O，连接OE，得到△ODE≌△HDG，得到OE=HG,当OE⊥AC时，OE有最小值，此时△AOE是等腰直角三角形，OE=AE，再根据正方形及勾股定理求出OE，即可得到GH的长． 【详解】取AD中点O，连接OE，得到△ODE≌△HDG，得到OE=HG,当OE⊥AC时，OE有最小值，此时△AOE是等腰直角三角形，OE=AE， ∵AD=AB=4, ∴AO=AB=2 在Rt△AOE中，由勾股定理可得OE2+AE2=AO2=4,即2OE2=4 解得OE= ∴GH的最小值为 故选A． 【点睛】本题考查了正方形的性质,根据题意确定E点的位置是解题关键． 2．如图，是边长为2的等边三角形，点E为中线上的动点．连接，将绕点C顺时针旋转得到．连接，，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据题意，证明，进而得出点在射线上运动，作点关于的对称点，连接，设交于点，则，则当三点共线时，取得最小值，即，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵为中线上的动点，是边长为2的等边三角形， ，，， ∵将绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， ∴点在射线上运动， 如图所示， 作点关于的对称点，连接， 设交于点，则， 在中，，则， 则当三点共线时，取得最小值，即， ， ， ， 在中，， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，旋转的性质知识点，熟练掌握等边三角形的性质以及轴对称的性质是解题的关键． 3．如图，在边长为5的正方形中，点M为线段上一点，且，点P是对角线上一动点，过点P作于点E，于点F，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接、、，交于点，利用正方形性质和已知条件可证得四边形是矩形，再证得，由，可知当点B、P、M三点共线时，即点P和点重合时，为最小值，再运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接、、、交于点， ∵，正方形边长为5， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点B、P、M三点共线时，即点P和点重合时，为最小值， 在中，， 故的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，正确作出辅助线是解决本题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 中心对称图形——平行四边形拓展之最值篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、将军饮马 【解惑】如图，在菱形中，边长为2，，点在对角线上，点为边中点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【融会贯通】 1．如图，已知菱形的两条对角线分别为10和24，、分别是边、的中点，是对角线上一点，则的最小值是（   ） A．13 B．10 C．24 D．12 2．如图，正方形的边长为，为的中点，是对角线上一动点，连接、，由正方形对称性可知，与关于直线对称，则的最小值是 ． 3．如图，菱形中，，，点E为的中点，点P为对角线上的任意一点，连接，，则的最小值为 ． 类型二、中位线最值 【解惑】如图，在中，，点D，点E分别是边上的动点，连结，点F，点M 分别是的中点，则的最小值为（　　） A． B． C．3 D． 【融会贯通】 1．如图，在菱形中，分别是边上的动点，连接分别为的中点，连接．若，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．1 2．如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 3．如图，四边形中，，，，点为线段的中点，为线段上的动点（含端点），点，分别为，的中点，则长度的最小值为 ，最大值为 ． 类型三、两动一定 【解惑】菱形的边长为4，，点、分别是、上的动点，的最小值为（   ） A． B．2 C．3 D． 【融会贯通】 1．如图，菱形的边长为2，，，分别是，上的两个动点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 2．如图，在边长为的正方形中，、分别是边、上的动点，且＝，为中点，是边上的一个动点，则＋的最小值是 ． 3．如图，正方形的边长为，为上的一点，，为上的一点，，为上一个动点，则的最小值为 ． 类型四、两定一定长 【解惑】如图，E为正方形中边上的一点，且，M、N分别为边、上的动点，且始终保持，则的最小值为（ ） A．4 B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，是直线上长度固定为1的一条动线段．已知点，，则的最小值是（   ） A． B．4 C． D． 2．如图，是菱形的对角线，，点E，F是AC上的动点，且，若，则的最小值为 ． 3．如图，四边形为菱形，，，为上的两个动点，且，点是的中点，连接，则的最小值为 ． 类型五、平行线之间距离最短 【解惑】如图，在中，，，P为边上的一动点，以、为邻边作，则对角线长度的最小值是（    ） A． B． C．1 D． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，P为边上一动点，以，为边作平行四边形，则对角线的长度的最小值为（　　） A．6 B．12 C． D． 2．如图，在中，，，．点为边上任意一点，连结，以，为邻边作，连结，则的最小值为 ． 3．如图，在中，，P为边上一动点，以为边作平行四边形，则对角线的最小值为 ． 类型六、隐直线 【解惑】如图，长方形中，，点E是一个动点，且的面积始终等于长方形面积的四分之一．若的最小值为10，则的面积是（    ）． A．10 B．12 C．14 D．16 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，，，动点P满足，则点P到A、B两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，长方形中，，点是长方形内的一个动点，且的面积始终等于长方形面积的．若的最小值为，则的长为 ． 3．如图，在矩形中，，以为边在矩形外部作，且，连接，则的最小值为 ． 类型七、手拉手最值 【解惑】如图，在等边三角形中，为边上的高，是直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，则在点的运动过程中，线段的长的最小值是（　　） A．2 B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在平行四边形中，，，E是边延长线上一点，连接，是等边三角形，连接，则的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 2．如图，在边长为4的正方形中，E是对角线上的动点，以为边作正方形，H是的中点，连接，则的最小值为 ． 3．在中，，，，点为边的中垂线上一动点，连接绕点沿逆时针方向旋转，得到线段，连接，则线段的最小值是 ． 类型八、矩形对角线最短 【解惑】如图，已知正方形的边长为4，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③；④的最小值为，其中结论正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，则线段的最小值是（   ） A． B．5 C． D． 2．如图，中，，，，点D为边上一动点，过点D作于E，于F，连接，则线段的最小值为 ． 3．如图，在中，，，，点为斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，则的最小值为 ． 类型九、费马距离 【解惑】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝6，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，则PA+PB+PC的最小值为（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，已知，，点在内，将绕着点逆时针方向旋转得到．则的最小值为(    ) A． B． C． D． 2．如图，在中，，，为其内部一点，连接、、，其中，则的最小值为 ． 3．【阅读材料】十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点A、B、C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点 P的位置，费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将 绕点B顺时针旋转得到，连接，可得 为等边三角形，故，由旋转可得 因，由两点之间线段最短可知，的最小值与线段的长度相等． 【解决问题】如图2，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若，求的最小值 ． 类型十、其他最值 【解惑】如图：等边三角形中，，E、F分别是边上的动点，且，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在正方形中，，是对角线上的动点，以为边作正方形，是的中点，连接，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 2．如图，是边长为2的等边三角形，点E为中线上的动点．连接，将绕点C顺时针旋转得到．连接，，则周长的最小值是 ． 3．如图，在边长为5的正方形中，点M为线段上一点，且，点P是对角线上一动点，过点P作于点E，于点F，则的最小值为 ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$