第9章 中心对称图形——平行四边形（优质类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

第9章 中心对称图形——平行四边形思维导图 【类型覆盖】 类型一、特殊平行四边形与函数图象结合 【解惑】如图1，在菱形中，，点在边上，连接，动点从点出发，在菱形的边上沿匀速运动，运动到点C时停止．在此过程中，的面积y随着运动时间x的函数图象如图2所示，则的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是动点函数图象问题、菱形的性质、勾股定理．设菱形的边长为，过点作于，根据图象可求出，再根据菱形的性质求出，根据图象当点到达点时，，据此计算即可求解． 【详解】解：设菱形的边长为，过点作于，如图， ， 则， ， ， ，， 由图可知，当点在点时，的面积最大， 此时， 解得：或（舍去）， ，， 当点到达点时，， ， ． 故选：A． 【融会贯通】 1．如图1，在矩形中，点P从点A出发，匀速沿向点D运动，连接，设点P的运动距离为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为中点时，的长为（   ） A．5 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，从函数图象中获取信息是解题的关键． 根据图2中点的实际意义可得∶当时， ，再根据图2中点的实际意义可得∶， ，然后在中，利用勾股定理可求出，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解∶由图2可得∶ 当时，， 当点P的运动距离为0时，的长为6， 当时，． 由图2可得∶ 当时，， 当点的运动距离为a时，的值最大，最大为6， 当点P运动到和点B重合时，的值最大， ，， 在中，， ． ， ， 点P为的中点， ， ， 故选∶D． 2．如图1，在等边中，于点D，动点E从顶点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向点D运动，将绕点C逆时针旋转得到是上一点，．设随时间t变化的函数图象如图2所示，已知函数图象上最低点的纵坐标是4，则最低点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】设交于点N，连接，作于点Q．由旋转可知由等边三角形的性质可知，，证明，得到，则点F的运动轨迹为，且，证明，则当时，取得最小值4，证明为等边三角形，得到，则得到，则即可． 【详解】解：设交于点N，连接，作于点Q． ∵将绕点C逆时针旋转得到 ∴， ∵是等边三角形，于点D， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴点F的运动轨迹为，且， ∴， 即， ∴当时，取得最小值4， 此时 ∴， ∴为等边三角形， ， ， ． ∴最低点的横坐标为． 故答案为： 【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，证明点F的运动轨迹为是解题的关键 ． 3．如图（1），点F从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，点F运动时，的面积随时间的变化关系图象如图（2），则菱形的面积为 ．      （1）                   （2） 【答案】 【分析】本题主要考查了四边形的动点问题，菱形的性质，勾股定理等知识，设点A到的距离为h，根据动点函数图像求出h， 过点D作交的延长线与点E，则， 利用勾股定理求出，由菱形的性质得出，利用勾股定理求出，最后计算菱形的面积即可． 【详解】解：设点A到的距离为h， 由点F的运动轨迹和速度可知，，且， 解得：， 过点D作交的延长线与点E， 则， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴， 故答案为： 类型二、平行四边形的平移、旋转、折叠 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且点，，直线以每秒1个单位长度的速度向右平移，经过(    )秒该直线可将平行四边形的面积平分． A．3 B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】此题考查了平行四边形的性质、用待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象与几何变换，首先连接、，交于点D，当经过D点时，该直线可将的面积平分，然后计算出过D且平行直线的直线解析式，从而可得直线要向下平移6个单位，进而可得答案． 【详解】解：连接、，交于点D，当经过D点时，该直线可将的面积平分， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 设的解析式为，且直线平行于， ∴， ∵直线经过点， ∴的解析式为， 把代入得，， 解得， 在直线上，当时，， 解得， ∵， ∴直线要向右平移3个单位， ∴经过3秒该直线可将平行四边形的面积平分， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，的顶点A，B，C的坐标分别是，，，将绕点A 逆时针旋转，每次旋转，则第75次旋转结束时，点D的坐标为（      ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质和旋转的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质得出点D的坐标，进而利用旋转的性质得出规律解答即可． 【详解】解：∵的顶点A，B，C的坐标分别是，，， ， 当逆时针旋转时，第一次时，； 第二次时，； 第三次时，； 第四次时，； ， 第75次旋转结束时，点的坐标为， 故选：C． 2．如图，在中，，，点是上一点，将四边形沿翻折得到四边形，点正好落在延长线上的点处． （1）的长为 ； （2）若，则的长为 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． （1）结合折叠的性质证明为等腰三角形，即可获得答案； （2）连接，结合折叠的性质证明，在中利用勾股定理解得即可． 【详解】解：（1）∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2 （2）如图，连接， ∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴在中，由（1）得到， ， 故答案为： 3．在平行四边形中，点是的中点，连结，将沿直线翻折，得到．      (1)如图1，延长交于点，求证：； (2)如图2，连结并延长交于，求证：； (3)当，时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接并延长交的延长线于，证出，得到，再由角平分线性质定理及面积关系得，从而得出，即可得出结论； （2）设与交于点，根据等腰三角的三线合一，证出，得到，再根据平行四边形的判定得到为平行四边形，得到，即可得出结论； （3）根据已知，得到，得到直角，得出，，得到为等腰直角三角形，根据即可得出结论． 【详解】（1）证明：见图1，连接并延长交的延长线于，   ， ； ∵点是的中点， ； 在和中， ， ， ， 即为的中点； ∴； 又为的平分线，且设E点到的距离分别为， 则； ∴， ； ， ， 即， ， ； （2）证明：见图2，延长交于G，设与交于点，    由（1）知，为等腰三角形， 等腰三角的三线合一， ； 在和中， ， ， ， 垂直平分，； 又， ； ； ， 即四边形为平行四边形， ∴， 即； （3）解：同图2， ， ， ， ； 在中， ， ， ， ； 在直角三角形中， ， 为等腰直角三角形， ． 【点睛】本题主要考查三角形全等，等腰三角形，平行四边形的性质，角平分线的性质定理，三角形内角和、勾股定理等知识，采用数形结合的方法构造三角形全等以及熟练掌握等腰三角形三线合一的运用是解题的关键． 类型三、菱形的平移、旋转、折叠 【解惑】如图，在菱形中，是的中点．过点作，垂足为．将沿点到点的方向平移，得到．设分别是的中点，当点与点重合时，四边形的面积为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题. 如图, 连接交于,首先证明四边形是平行四边形，再证明求出即可解决问题. 【详解】如图, 连接交于，    由题意 ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， ， ∴， ∴，， ∵P是的中点， ， ， ， 平行四边形的面积 故选: B． 【融会贯通】 1．如图，四边形是菱形，其顶点C在x轴上，顶点A的坐标是，将菱形沿x轴向右平移2个单位长度，则平移后点C的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平移的性质，两点间距离公式，先根据点A的坐标是，得出，根据菱形的性质得出，即可得出，根据平移性质得出点的坐标为． 【详解】解：∵点A的坐标是， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵将菱形沿x轴向右平移2个单位长度， ∴平移后点C的对应点的坐标为． 故选：C． 2．如图，在菱形纸片中，是边上一点，将沿直线翻折，使点落在上，连接．已知，，则的度数为 ．    【答案】/85度 【分析】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，根据菱形性质可知，，，根据折叠可知，，，求出，根据等腰三角形性质求出即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， 根据折叠可知，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 3．【教材呈现】如图是华师版数学教材八年级下册第117页的部分内容． (1)【问题解决】请根据教材分析，结合图1，写出完整的证明过程： (2)【结论应用】如图2，直线分别交矩形的边于点E、F，将矩形沿翻折，使点C与点A重合，点D落到点处·若，则矩形的面积为 (3)【拓展探究】如图3，直线分别交平行四边形的边于点E、F，将平行四边形沿翻折，使点A与点C重合，点D与点重合，连结，若，，则四边形的面积是 【答案】(1)见解析 (2)32 (3)15 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，矩形的判定及性质，三角形全等的判定及性质 （1）证明，再由，即可证明四边形是菱形； （2）连接交于点G，连接，由折叠可知，垂直平分，根据（1）的结论可得四边形是菱形，分别求出的边即可求面积． （3）过点作，交延长线于点，可求出，设，则，则，在中，由勾股定理得，，即可求出答案； 【详解】（1）问题解决：证明： 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：【结论应用】连接交于点，连接， 由折叠可知，垂直平分， 由（1）可得四边形是菱形， ， 由折叠可知，， ， ， ， ， 在中，， ． 故答案为：32 （3）解：【拓展探究】如图，过点作，交延长线于点， 将平行四边形沿直线翻折，使点的对称点与点重合， 则由（1）可知：四边形是菱形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 解得， 所以， 则四边形的面积是：． 故答案为：15 类型四、矩形的平移、旋转、折叠 【解惑】如图，在矩形中，，，对角线、相交于点O．将沿着射线的方向平移线段的长度得到，点A、O的对应点分别为点D、E．则四边形的周长为（  ） A．20 B．16 C．10 D．8 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，平移的性质和勾股定理，熟练掌握它们的性质是解题的关键． 根据矩形的性质和平移的性质，可以得到、、、的长，然后即可求得四边形的周长． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ，， 在中 ， ， 将沿着射线的方向平移线段的长度得到， ， ，， ， 四边形的周长为． 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，且轴．可移动的直线：，从直线的位置出发，沿轴正方向平移，平移距离为，有以下结论：①当时，直线的表达式为；②若矩形的四个顶点分别在直线的两侧，则；③当时，点和点关于直线对称．其中正确的有（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】根据一次函数的平移得出右平移个单位，得到直线，即可判断①，根据若矩形的四个顶点分别在直线的两侧，可得，即可判断②，根据，得出直线，根据坐标系得出的坐标，求得中点坐标在直线上，即可判断③，据此即可求解． 【详解】解：∵直线，右平移个单位，得到直线， 故①正确； 当直线经过点时，即 解得：， 即，由①可得 当直线经过点时，即 解得：， 即，则， ∴若矩形的四个顶点分别在直线的两侧，则；故②错误， ③当时，直线 ∵矩形的顶点，，且轴． ∴ ∴的中点为，即， 又，当时，， 即在直线上， ∴点和点关于直线对称．故③正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，一次函数的平移，熟练掌握一次函数的平移是解题的关键． 2．如图，矩形中，顶点，，，将矩形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第100秒旋转结束时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转及点的坐标变化规律，能由所给旋转方式得出第100秒旋转结束时点的位置，与第4秒旋转结束时点的位置相同是解题的关键．根据所给旋转方式可知每旋转八秒，点的坐标重复出现，再根据四边形是矩形，求出点坐标可解决问题． 【详解】解：， 每旋转八次，点的坐标重复出现． 余4， 第100秒旋转结束时点的位置，与第4秒旋转结束时点的位置相同． 连接和， 四边形是矩形， 和互相平分， ，， ，， 点的坐标为． 又， 第4秒旋转结束时的点与点关于坐标原点对称， 此时点的坐标为． 即第100秒旋转结束时，点的坐标为． 故答案为：． 3．在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)如图1，将矩形沿直线EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，直线分别交矩形的边于点E、F． ①求证：． ②若，，求折痕的长． (2)如图2，将矩形沿直线翻折，点C、D分别落在点，处，若，，，连接，当点E为的三等分点时，求的值． 【答案】(1)①见解析；②； (2)或． 【分析】题目主要考查矩形的性质，翻折的性质及勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点进行分类讨论是解题关键． （1）①根据翻折的性质得出，再由等角对等边即可证明；②过点F作于点H，再由翻折的性质及勾股定理得出，利用矩形的判定和性质即可得出结果； （2）分两种情况分析：①若E为的三等分点，且，②若E为的三等分点，且，作出相应图形，然后利用其性质及勾股定理求解即可． 【详解】（1）①证明：∵将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ②如图1，过点F作于点H． ∵将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴由①可得． ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． （2）①若E为的三等分点，且，如图2所示． ∵， ∴，． 过点E作于点M， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴． ∵将矩形沿折叠， ∴，，， ∴， ∴． ②若E为的三等分点，且，如图3所示． ∴，．过点E作于点N， 同理可得，， ∴， 同理由折叠可得，，， ∴， ∴． 综上所述，的值为或． 类型五、正方形的平移、旋转、折叠 【解惑】如图，已知正方形的顶点，规定把正方形 “先沿y轴翻折，再向下平移1个单位长度”为一次变换，这样连续经过次变换后，正方形的顶点C的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了正方形的性质、平移的性质和轴对称的性质等知识，根据题意找到规律：奇数次变换后点C的横坐标为，偶数次变换后点C的横坐标为3；经过3次变换后，变换的次数比点C的纵坐标的绝对值大3，且点C的纵坐标均为负数．据此进行解答即可． 【详解】由顶点知道，正方形的边长为2，点C的坐标为． ∴点C关于y轴的对称点的坐标为． 由题意，得 经过1次变换后点C的坐标为； 经过2次变换后点C的坐标为； 经过3次变换后点C的坐标为； 经过4次变换后点C的坐标为； 经过5次变换后点C的坐标为； 经过6次变换后点C的坐标为； …… 从以上可看出，奇数次变换后点C的横坐标为，偶数次变换后点C的横坐标为3；经过3次变换后，变换的次数比点C的纵坐标的绝对值大3，且点C的纵坐标均为负数． ∴这样连续经过次变换后，点C的横坐标为3，纵坐标为 ∴经过次变换后，点C的坐标为． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，点，在轴上，将正方形平移后，点成为新正方形的对称中心，则正方形的平移过程可能是（    ）    A．向右平移8个单位长度，再向下平移4个单位长度 B．向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度 C．向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 D．向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度 【答案】D 【分析】先根据点坐标推出正方形中的点坐标，再根据正方形的性质，求出对角线交点坐标，也就是对称中心的坐标，最后由正方形的平移转化到正方形的对称中心的平移即可就出平移过程． 【详解】∵四边形为正方形，已知在轴上，且点的坐标为， ∴根据正方形的性质可得正方形的边长， ∴点坐标为，点坐标为， ∵正方形的对称中心为对角线的交点，正方形对角线相互平分， ∴正方形的对称中心的坐标为的中点坐标， ∴对称中心的坐标为， ∵将正方形平移后，点成为新正方形的对称中心， ∴正方形的平移过程即为对称中心的平移过程， ∵正方形的对称中心的坐标为，平移后的正方形的对称中心为坐标原点， ∴可得出正方形的平移方式为向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度． 故选：D． 【点睛】本题考查中心对称，正方形的性质,点的平移等知识点，解题的关键是求出原来正方形的对称中心，结合对称中心点的平移方式得到正方形的平移方式． 2．如图，是正方形内一点，将绕点顺时针方向旋转后与重合，若，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，根据旋转的性质得到，是解答此题的关键． 【详解】解：由题可知：， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图所示，在正方形中，点为边的中点，连接，将沿着翻折，点的对称点为点，记与的交点为．    (1)如图1所示，连接并延长交边于点，求证：点是的中点； (2)如图2所示，延长交边于点，求证：点是的中点； (3)如图3所示，若，过点作，分别交，于点，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质及折叠的性质证明，得到，即可得证； （2）连接，根据平行线的性质及直角三角形的性质得到，即可得证； （3）根据勾股定理得到，，设，则，在与中，，求解即可解答． 【详解】（1）证明：如图， ∵四边形是正方形，设， ∴，，， ∵点为边的中点， ∴， 又∵将沿着翻折，点的对称点为点， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∴点是的中点；    （2）如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点；    （3）解：∵在正方形中，点为边的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 设，则， ∵， 在与中， ∵， ∴ ∴， ∴，， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握这些性质与判定是解题的关键． 类型六、一次函数中的特殊平行四边形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x、y轴交于点A、B，现将绕点O逆时针旋转后得到，直线与直线相交于点C． (1)求直线的表达式； (2)点M为线段上一点，的面积为，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，点P是直线上一点，点Q是直线上一点，当四边形是平行四边形时，请直接写出点P、Q的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)点P的坐标为，点Q的坐标为． 【分析】（1）根据一次函数求出、两点坐标，由旋转的性质，得到，，，进而得出、两点坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）设点M的坐标为，且，则，联立直线和，求出点的坐标，再结合的面积列方程，求出的值即可； （3）设点P的坐标为，点Q的坐标为，根据平行四边形对角线互相平分，结合坐标中点公式，求出、的值，即可得到点P、Q的坐标． 【详解】（1）解：一次函数的图像与x、y轴交于点A、B， 令，则，令，则， ，， ，， 由旋转的性质可知，，，， ，， 设直线的表达式为， 则，解得：， 直线的表达式为； （2）解：点M为线段上一点， 设点M的坐标为，且， ， 联立，解得：， ， 的面积为， ， ， ， 点M的坐标为； （3）解：点P是直线上一点，点Q是直线上一点， 设点P的坐标为，点Q的坐标为， 四边形是平行四边形， 和为对角线， ， 解得：， ，， 点P的坐标为，点Q的坐标为． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了旋转的性质，一次函数的图象和性质，求一次函数解析式，两直线的交点坐标，平行四边形的性质，坐标中点公式等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 【融会贯通】 1．如图，正方形的顶点、分别在、的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于点、，并且满足．点是线段上的一个动点． (1)连接、，求证：四边形是平行四边形； (2)作交于，当面积为2.6时，求点的坐标； (3)设点是轴上方平面内的一点，以、、、为顶点的四边形是菱形，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)点的坐标为； (3)点的坐标为或． 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查了菱形的判定方法，正确根据菱形的性质求得的坐标是解决本题的关键． （1）首先求出，代入，可求得，则，即可得四边形是平行四边形； （2）过点作于，首先证明，则，可求得，设出的坐标，根据三角形的面积公式即可求得的纵坐标，进而求得的坐标； （3）分成四边形是菱形和四边形是菱形两种情况进行讨论，四边形是菱形时，是的中垂线与的交点，关于的对称点就是；四边形是菱形，，在直角上，设出的坐标，根据即可求得的坐标，则根据和的中点重合，即可求得的坐标． 【详解】（1）证明：正方形的顶点、分别在、的正半轴上，点的坐标为， ，， ， ，， ， 代入得，解得， ， ， ， ∵， 四边形是平行四边形； （2）解：过点作于， ，四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， 设的坐标为， ，解得， 点的坐标为； （3）解：当四边形是菱形时，如图， 的纵坐标是1.5，把代入，解得：， 则的坐标是， 点的坐标为； 当四边形是菱形时，如图， ，则设的横坐标是，则纵坐标是， 则， 解得：或0（舍去）． 则的坐标是， 点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 2．如图，矩形的顶点A、C分别在y、x轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图像与边、分别交于点D、E，并且满足，点P是线段上的一个动点． (1)求一次函数的表达式； (2)连结，若把四边形面积分成两部分，求点P的坐标； (3)设点Q是x轴上方平面内的一点，以O，D，P，Q为顶点的四边形为菱形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）先令，即可求得，然后求出E的坐标，代入一次函数解析式求得m的值即可求解； （2）先求得四边形的面积，然后分两种情况求解即可； （3）分四边形是菱形和四边形是菱形两种情况求解即可． 【详解】（1）解：对于，令，解得 则D的坐标是， ∵点B的坐标为 ∴ ∴ ∵ ∴，则E的坐标是 把E的坐标代入得 解得， ∴； （2）设 当时 则 ∴ ∴ ∴ ∴ 当时 则 ∴ ∴ ∴ ∴ 综上可知，点P的坐标为： 或 （3）当四边形是菱形时，如图1 ∵四边形是菱形 ∴，， ∵ ∴ ∵P的纵坐标是3，把代入，得 解得： 则P的坐标是 ∴Q的坐标是 当四边形是菱形时，如图2 ∵四边形是菱形 ∴， 设P的横坐标是n，则纵坐标是 则 解得：或0（舍去） 则P的坐标是 ∴Q的横坐标是，Q的纵坐标是 ∴Q的坐标是 综上，点Q的坐标为或 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，坐标与图形的性质，菱形的性质，以及勾股定理等知识，正确根据菱形的性质求得Q的坐标是解决本题的关键． 3．如图1，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于两点，以为边在第二象限内作正方形．    (1)求边的长； (2)求点的坐标； (3)作直线，将绕点逆时针旋转，两边分别交正方形的边于点（如图2），若恰为的中点，请求出点的坐标． 【答案】(1)； (2)，； (3)． 【分析】（1）在中，当时，；当时，，可得，，即得； （2）过点作轴于点，过点作轴一点，证明，可得，，从而，同理可得； （3）过点M分别作，交于点P，轴，交轴有的，过点作于点，取得中点E，由三角形的中位线的性质可得，，，即得，，；同（2）方法可证：，得，则；设直线的解析式为，待定系数法可得直线的解析式为，同理可得直线的解析式为，联立的解析式，解得，，即可求解． 【详解】（1）解：在中，当时，； 当时，， ． ； （2）解：过点作轴于点， 过点作轴一点．   四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ． ， 同理可得； （3）解：如图，过点M分别作，交延长线于点P，轴，交轴有的，过点作于点，取的中点E，    ∵恰为的中点， 由三角形中位线的性质可得，， ，， ， 同（2）方法可证：， ， ∴， ， 设直线的解析式为， 将代入得 ， 解得， 直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立的解析式， 解得， ． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、旋转变换、正方形性质、全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是利用全等三角形对应边相等求出相关点坐标． 类型七、正方形中的半角模型 【解惑】如下图，在正方形中，，点E在边上，．将沿所在直线折叠，得到，延长交边于点G，连接． (1)求证：； (2)求的长； (3)求． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了正方形与折叠，全等三角形的判定，勾股定理等知识．熟练掌握正方形与折叠，全等三角形的判定，勾股定理是解题的关键． （1）由正方形，折叠可知，，则，进而可证． （2）由题意知，．设，则．由勾股定理，得，即，计算求解，然后作答即可； （3）由（2）可知，，，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）证明：由正方形，折叠可知，， ∴． ∵， ∴． （2）解：∵， ∴． 设，则． 由勾股定理，得，即， 解得，， ∴． （3）解：由（2）可知，，， ∴，即， 解得，． 【融会贯通】 1．【操作感知】如图1，在矩形纸片的边上取一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，则的大小为______度． 【迁移探究】如图2，将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片按照【操作感知】进行折叠，并延长交于点Q，连接． （1）证明：； （2）若正方形的边长为4，点为中点，则的长为______． 【答案】【操作感知】：30；（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查正方形的性质，长方形的性质，全等三角形的判定等知识， 操作感知：根据折叠求出，即可得出结论； 迁移探究： （1）根据证即可； （2）设的长为x，则，，利用勾股定理求出x的值即可． 【详解】解：【操作感知】：由折叠知，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：30； 【迁移探究】（1）证明：∵正方形纸片按照【操作感知】进行折叠， ∴， 在和中， ， ∴， 即； （2）解：设的长为， ∵正方形的边长为4，点P为中点， ∴，，， 在中，， 即， 解得 故答案为：． 2．发现、提出问题：通过学习，我们知道直角三角形的边之间、角之间乃至边和角之间分别都有相应的等量关系，比如“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．”就是由角带来的边之间的关系，爱思考的李林同学提出疑问：如果在一个直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是吗？ 分析、解决问题： （1）李林首先将上述问题的条件和结论结合图形写出已知和求证：如图1，在中，，求证：．并想构造等边三角形，利用与的关系进行证明，于是他延长到点 D，使，并连接（如图2），然后……请你帮助李林同学完成证明过程． 拓展应用： （2）如图3所示，李林先将正方形纸片对折，使 与重合，折痕为，再把纸片展平，然后再沿过点B 的直线折叠，使点A落在上的点 F处，把纸片展平，连接并延长，交边于点 G，连接，求的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正方形与折叠问题： （1）先证明，得到，，则可证明是等边三角形，得到，则； （2）由折叠的性质可得，，则，由（1）的结论可知，进而得到，由正方形的性质得到，，证明，即可得到． 【详解】解；（1）延长到点 D，使，并连接（如图2）， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴一个直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是； （2）由折叠的性质可得，， ∴， ∴由（1）的结论可知， ∴， 由正方形的性质可得，， ∴，， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴． 3．如图1，在正方形中，点E为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于，连接． (1)求的度数． (2)如图2，E为的中点，连接． ①求证：； ②若正方形边长为4，求线段的长． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）由正方形的性质可得．，再由翻折的性质得，，，然后由“”证明，得，即可得出结论； （2）①根据折叠的性质和线段中点的定义可得，，再证出，即可得出结论； ②设，表示出、，根据点是的中点求出、，得到的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ．， 由折叠知，，，， ，， ， ， ， ． （2）①证明：由折叠知，，， 为的中点， ， ， ， ， ， ； ②由（1）得，， ， 设，则， 又， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即线段的长为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折变换的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握针锋相对性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型． 类型八、特殊平行四边形动点求t 【解惑】如图，在中，，动点P从点A开始沿边向点C以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点Q从点C开始沿边向点B以每秒个单位长度的速度运动，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．过点P作，交于点D，连接．设运动时间为t秒（）． (1)用含t的代数式分别表示的长度：______，______，______． (2)当t取何值时．四边形是平行四边形？ (3)是否存在t，使四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），能使四边形在某一时刻成为菱形． 【答案】(1)；； (2) (3)不存在，证明见解析； 点速度为每秒个单位长度，能使四边形在某一时刻成为菱形 【分析】（1）可用表示出、的长，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理可得，的长； （2）由平行四边形的性质可得，列方程求出即可； （3）当时，求出，故不存在的值，使四边形为菱形，设点的速度为每秒个单位长度，根据菱形的性质得到＝＝，列方程求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， ，， ， ， ，， ； 故答案为：；；． （2）若四边形是平行四边形，则有， 即， 解得：； （3）不存在； 证明：由（2）得，当时，四边形是平行四边形， 此时， 不存在的值，使四边形为菱形， 设点的速度为每秒个单位长度， 则， 要使四边形为菱形，则， 当时，即， 解得：， 当，时，即， 解得： 当点的速度为每秒个单位长度时，在某一时刻可以使四边形是菱形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理，含度角的直角三角形的性质．熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，以为边作正方形（点和点在的异侧）．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点运动，设点的运动时间为秒． (1)用含的代数式表示的长． (2)连结，当时，的长为________．当时，的长为________． (3)当点在边上时，若是以为腰的等腰三角形，求的值． (4)当点与正方形的顶点不重合时，若点到四边形的一组邻边距离相等，直接写出的值． 【答案】(1)当时，；当时， (2)；5 (3)2或3 (4)或 【分析】本题主要考查动点问题，涉及勾股定理、等腰三角形的性质角平分线的性质， 根据正方形的性质求得，根据勾股定理求得，分别求得顶点处的时间，分点P在线段上运动和在线段上运动求解即可； 结合和已知时间对应求解即可； 根据等腰三角形的性质分和，分别列出关系式求解即可； 根据已知可知点P在角平分线上，分点P在线段上和点P在在线段上，利用等面积法列关系式求解即可． 【详解】（1）解：∵，以为边作正方形， ∴ ∵在中，，，， ∴， 当点P在线段上运动时，，此时； 当点P在线段上运动时，，此时； 故当时，；当时，； （2）解：当时，此时点P在线段上，则； 当时，此时点P在线段上，则； （3）解：∵是以为腰的等腰三角形， 当，则，解得； 当，则，解得； （4）解：∵点到四边形的一组邻边距离相等， ∴点P在角平分线上， 当点P在线段上时，如图， 则点P到的距离为4， 那么，，即，解得； 当点P在在线段上时，如图， 则点P到的距离为， 那么，， 即， ，解得； 故答案为：或． 2．如图①，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，P、Q两点同时出发，当Q到达点B时，点P也随之停止运动．设Q点运动的时间为秒． (1)求线段的长（用含的代数式表示．） (2)当P、D、C、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求的值． (3)如图②若点E为上的点，且，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)t的值为 或1或4 【分析】（1）点P运动到D点时，共用了，Q点共运动了，分两种情况讨论：当时，进行计算即可得，当时，进行计算即可得； （2）若以P、D、C、Q为顶点的四边形为平行四边形时，则，根据题意得，，分两种情况讨论：当时，当时，进行计算即可得； （3）过点作于点，根据矩形的判定与性质以及勾股定理求出，根据等腰三角形的性质得，当点P在线段上，且，则，进行计算即可得，当点P在线段上，且，过点P作，则，，在中，根据勾股定理得，，进行计算即可得，当点P在线段的延长线上，且，过点E作，则，，在中，根据勾股定理得，，进行计算即可得． 【详解】（1）解：点P运动到D点时，共用了，Q点共运动了， ∴当时，， 当时，， 综上，． （2）解：若以P、D、C、Q为顶点的四边形为平行四边形时， 则， 由（1）得，， 根据题意得，， ∴当时，， 当时，， 综上，当以P、D、C、Q为顶点的四边形为平行四边形时，或． （3）解：过点作于点， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 当点P在线段上，且， 则， ∴， ， 当点P在线段上，且，如图所示，过点P作， 则，， 在中，根据勾股定理得， 解得，， 当点P在线段的延长线上，且，如图所示，过点E作， 则，， 在中，根据勾股定理得， 解得，， 综上，当是以为腰的等腰三角形时，t的值为或1或4． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质性质，平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握这些知识点． 3．在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中． (1)若，分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（、相遇时除外）？ 答：__________；（直接填空，不用说理） (2)在（1）条件下，若四边形为矩形，求的值； (3)在（1）条件下，若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求的值． 【答案】(1)四边形是平行四边形 (2)四边形为矩形时或 (3)当时，四边形为菱形 【分析】（1）利用三角形全等可得 则 即可证明； （2）分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解； （3）根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形为菱形，再利用勾股定理即可求解. 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由题意得：， ∵四边形是矩形， ∴，， ， ∵分别是中点， ， ， ， ， ， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图1，连接， 由（1）得，，， ∴四边形是矩形， ∴， ①如图1，当四边形是矩形时， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图2，当四边形是矩形时， ∵，， ∴， ∴； 综上，四边形为矩形时或； （3）解：如图3，M和N分别是和的中点，连接，，，与交于O， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴，， ∴四边形为菱形， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， 即：， 解得：， ∴，即， ∴当时，四边形为菱形． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质，在解题中灵活运用. 类型九、特殊平行四边形的新定义 【解惑】新定义：若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰三角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”． (1)如图1，四边形是“等腰四边形”，为“界线”，若，，则______； (2)如图2，四边形中，，，，． ①试说明四边形是“等腰四边形”； ②如图3，点在线段上，，过点作于点，过点作于点，则的最大值为______； (3)若在“等腰四边形”中，，，且为“界线”，请直接写出的度数为______． 【答案】(1) (2)①见解析；② (3)或或． 【分析】（1）根据“等腰四边形”的定义可得，，根据等边对等角，三角形的内角和定理可得，，，由此即可求解； （2）①如图所示，连接，可得是等边三角形，由，可得，根据等腰直角三角形的判定和性质即可求解；②根据题意可证，得到，如图所示，过点作，，当点三点共线时，时，值最大，由此即可求解； （3）根据“等腰四边形”定义及性质，分类讨论：第一种情况：如图所示，，可得，；第二种情况：如图所示，，可得，是等边三角形；第三种情况：如图所示，，设，如图所示，作于点，作点关于的对称点，连接交于点，连接，则垂直平分，，可证四边形是矩形，是等边三角形，；由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵四边形是“等腰四边形”，为“界线”， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 故答案为：； （2）解：①如图所示，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴四边形是“等腰四边形”； ②如图所示，连接， 由上述证明可得，四边形是“等腰四边形”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作，， 当点三点共线时，时，值最大， 故答案为； （3）解：第一种情况：如图所示，， ∵四边形是“等腰四边形”，为“界线”， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是菱形，且， ∴菱形是正方形， ∴， ∴； 第二种情况：如图所示，， ∵四边形是“等腰四边形”，为“界线”， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； 第三种情况：如图所示，， ∵四边形是“等腰四边形”，为“界线”， ∴， 设，如图所示，作于点，作点关于的对称点，连接交于点，连接，则垂直平分，， ∴， ∵，即，，，即， ∴四边形是矩形，则， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形、正方形、菱形的判定和性质，垂直平分线的性质等知识的综合运用，理解“等腰四边形”，掌握等边三角形的判定和性质，特殊四边形的判定和性质，数形结合分析，分类讨论思想是解题的关键． 【融会贯通】 1．定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边相等两邻边的夹角称为邻等角． (1)如图1，在四边形中，，，对角线平分求证：四边形为邻等四边形． (2)如图2，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，建立如图所示平面直角坐标系，每个小正方形的边长为1，若四边形是邻等四边形，请写出所有符合条件的格点D的坐标______． (3)如图3，四边形是邻等四边形，，为邻等角，连接，过B作交的延长线于点E．若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】（1）先证明，，再证明，即可得到结论； （2）根据新定义分两种情况进行讨论即可；①，结合图形再确定满足的格点D；②，结合图形再确定满足或的格点D； （3）如图，过作于，可得四边形是矩形，，，证明四边形为平行四边形，可得，，设， ，由勾股定理可得：，再解方程可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵对角线平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为邻等四边形． （2）解：如图，，，； （3）如图，过作于，      ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 设， ∴， 由勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∴四边形的周长为． 【点睛】本题考查的是新定义的含义，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键． 2．数学概念 [定义]有一组对角是直角的四边形是垂美四边形． [理解]如图①，将一对相同的直角三角尺按如图所示的方式拼成四边形，每个三角尺三个内角的度数都是、和．四边形是垂美四边形，则__________度； [探究]如图②，四边形是垂美四边形．，，E是边延长线上一点，求和的度数． [应用]如图③，四边形是垂美四边形，，和分别是和的平分线，交、于点E、F．试说明．    【答案】[理解]180；[探究] ；；[应用]见解析 【分析】[理解]根据垂美四边形的定义即可解决问题； [探究]根据垂美四边形的定义，四边形内角和定理即可解决问题； [应用]利用等角的余角相等，证明即可解决问题． 【详解】解：[理解]∵， ∴． [探究]∵四边形是垂美四边形， ∴， ∵，且， ∴， ∵， ∴； [应用]由探究可知，． ∵和分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题、考查了四边形内角和定理、垂美四边形的定义，角平分线的定义，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 3．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)写出一种你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的图形的名称 ； (2)如图1，若，那么在图中所有格点中是标出一点D，使以、为勾股边的四边形是勾股四边形．并写出D点的坐标； (3)如图2，已知四边形，，，．求证：，即四边形是勾股四边形． 【答案】(1)矩形或正方形 (2)，， (3)见解析 【分析】本题考查了矩形和正方形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，理解勾股四边形的定义，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）根据矩形和正方形的四个角都是直角，结合勾股四边形的定义，即可求解； （2）利用坐标两点的距离公式可得，，,再结合勾股四边形的定义，找出使的格点即可； （3）证明是等边三角形，得到，，过点C作于点C，使，连接、，证明是等边三角形，从而推出，得到，，再结合勾股定理，即可证明． 【详解】（1）解：所学过的特殊四边形中是勾股四边形的图形的名称是：矩形或正方形； 故答案为：矩形或正方形； （2）解：由图1可知，，，, ，, , 以、为勾股边的四边形是勾股四边形， ， ，，都是符合要求的点； （3）证明：，， 是等边三角形， ，， 如图2，过点C作于点C，使，连接、， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， 即四边形是勾股四边形． 类型十、无刻度尺作图 【解惑】如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示，按步骤完成下列作图：    (1)在左图中：将线段绕点A逆时针旋转，作出对应线段；过点E作一条直线把分成面积相等的两部分； (2)在右图中：作格点P，使得，垂足为M；过点M作线段，使得，且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了格点作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质． （1）根据题意，结合全等三角形的性质和平行四边形的性质，即可解答； （2）根据全等三角形的性质，平行四边形的判定和性质，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示：，即为所求； （2）解：如图所示：即为所求； 【融会贯通】 1．请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹． (1)如图1，在中，E是边上一点，在边上画点F，使； (2)如图2，在中，E是边上一点，且，画的平分线； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了作图复杂作图，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等边对等角，解题的关键是掌握以上知识点． （1）连接，交于点O，连接并延长交于点F即为所求； （2）连接，交于点O，连接并延长交于点F，连接即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，线段即为所求作．            ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴； （2）解：如图2中，线段即为所求作． ∵四边形是平行四边形 ∴， 由（1）得， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴平分． 2．如图1，在的长方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的每一个顶点叫做格点．线段和的顶点都在格点上． (1)直接写出______． (2)请仅用无刻度直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹． 请画出的中线和高． 在线段右侧找到点，使得． (3)要求在图2中仅用无刻度的直尺作图在轴上找点，使平分． 【答案】(1)8 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图应用与设计，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）利用分割法求解即可． （2）①取的中点（BC与网格线的一个交点），连接，．取格点，连接交于点，线段即为所求． ②利用数形结合的思想，作出，即可． （3）将顺时针旋转到位置，可得，再找到、的对称轴与x轴交点，连接，可得，即是所求点F. 【详解】（1）解：． 故答案为8． （2）①如图，线段，线段即为所求． ②如图，即为所求．   ， （3）如图，点F为所求. 3．如图，四边形为菱形，请仅用无刻度的直尺，按照下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)在图（1）中，E，F分别是，的中点，以为边作一个矩形． (2)在图（2）中，E是对角线上一点，，以为边作一个菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，交于点O，连接，延长交于点G，连接，延长交于H，连接，，即可； （2）连接交于点O，延长交于点Q，连接，延长交于点P，连接交于点F，连接，即可． 【详解】（1）解：如图：连接，交于点O，连接，延长交于点G，连接，延长交于H，连接，，，四边形即为所求作的矩形， 证明：四边形是菱形， ，点O是，的中点，，， 又，F分别是，的中点， ，， 四边形与都是平行四边形， ，， ， 四边形是矩形； （2）解：连接交于点O，延长交于点Q，连接，延长交于点P，连接交于点F，连接，，四边形即为所求作的菱形， 四边形是菱形， ，，， ，垂直平分， 又， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ， ， 垂直平分， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了作图−复杂作图、三角形中位线定理、矩形的判定、菱形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 【一览众山小】 1．如图，线段，点P在线段上，且，分别以点A和点B为圆心，的长为半径作弧，两弧相交于点C和点D，连接，则点C到边的距离是（  ） A． B． C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质、菱形的判定与性质．连接交于E点，先利用基本作图得到垂直平分，则可判断四边形为菱形，所以，，再利用勾股定理计算出得到，设点C到边的距离为h，然后利用菱形的面积公式得到，从而求出h即可． 【详解】解：连接交于E点，如图， 由作图可得垂直平分， ∴四边形为菱形， ∴， 在中，， ∴， 设点C到边的距离为h， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图，在中，平分交于点．若，是中点，，，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角形中位线定理；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 延长、交于点F，过点D作交于G，证，得出，证出，得出，，证明是的中位线，得出，得出，即可得出答案． 【详解】解：延长、交于点F，过点D作交于G，如图所示： 则， ∵E是中点，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∵ ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．如图，已知矩形沿着直线折叠，使点落在处，交于，，，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形与折叠，全等三角形的判定与性质，勾股定理，由矩形性质得，，再根据折叠的性质得，，证明，设，则，然后在直角三角形中根据勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可得：，， 在与中， ， ∴， ∴， 设，则， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 故选：． 4．将图①矩形纸片沿折叠成图②，再沿折叠成图③，若图③中，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，直角三角形的特征量，根据四边形是矩形，得到，，继而得到，根据折叠的性质，得，结合，，得到，计算即可． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 根据折叠的性质，得， ∵，， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，正方形中，，与直线所夹的锐角为，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，…，依此规律，则线段 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形及平行线的性质，通过计算得到本题的规律是解决本题的关键．得到规律计算解题即可． 【详解】解：∵是正方形， ∴， ∵与直线所夹的锐角为， ∴，； ∵是正方形， ∴， ∴，； ， ∴， ∴． 故答案为：． 6．如图：已知正方形的边长为4，若P是对角线上一动点，E为边中点；连接；则P点运动过程中，的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题重点考查轴对称﹣最短路线问题、正方形的性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．连接、、，由正方形的性质得，，则，所以，由垂直平分，点P在上，得，由，得，则的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， ∵正方形的边长为4，E为边中点 ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分，点P在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 7．如图方格纸中每个小正方形的边长都为1，请画出符合要求的图形，所画图形顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合． (1)在图中画出一个，使得与全等； (2)在图2中画出一个面积为的正方形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，正方形的判定，勾股定理等知识点，熟练掌握全等三角形的判定及正方形的判定是解题的关键． （1）根据作图即可； （2）根据勾股定理及正方形的判定作图即可得解． 【详解】（1）解：如图，即为所求作： 理由如下：，，， ∴； （2）解：如图，图中的正方形即为所求作： 理由如下：如图，连接、， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴菱形是正方形， 正方形的面积为． 8．在边长为6的菱形中，，点E，F分别在边和上，且． (1)如图1，求证：是等边三角形； (2)如图2，交于点P，交于点G， ①当的周长最小时，求证； ②已知交的延长线于点H，求证． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）连接，证明，则，即可证明结论； （2）①连接，当时，的周长最小，由（1）得，得到，在中，，由即可得到结论；②连接，证明，则 ，证明，则，结论得证． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵四边形是菱形， 在和中， 是等边三角形． （2）①如图2，连接， 当时，的周长最小 由（1）得 在中，                ②如图2，连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识．添加合适的辅助线是解题的关键． 9．在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动． 定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【概念理解】如图①，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状： 筝形（填“是”或“不是”）； 【性质探究】如图②，已知四边形纸片是筝形，连结，相交于点O． 请补充结论1，再从不同角度写一个正确的结论2． 结论1：筝形的内角和为 ．结论2： ． 【拓展应用】如图③，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点G． （1）求证：四边形是筝形； （2）若，，，，求的长． 【答案】【概念理解】：是；【性质探究】：，(任选一个即可，答案不唯一)；【拓展应用】：（1）证明见解答过程；（2） 【分析】【概念理解】根据题意得,即可得解； 【性质探究】如图，根据折叠性质可证明,可得,再利用等腰三角形的三线合一的性质即可得到结论； 【拓展应用】(1)先证,再根据“筝形”的定义判断即可；(2)由折叠性质可证四边形是正方形，设,根据勾股定理即可求解． 【详解】【概念理解】解：由折叠性质得：， 四边形是“筝形”， 故答案为：是； 【性质探究】解：如图， 筝形是四边形， 筝形的内角和为， 在和中 ， ， , , 故答案为：，(任选一个即可，答案不唯一)； 【拓展应用】(1)证明：如图，连接， , 和是直角三角形， 在和中， , , , 四边形是四边形是“筝形” (2)解：由折叠性质可得：,,,, , , , 四边形是正方形， , 设,则, 在中，, ,解得：, ． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质，折叠的性质是解决此题的关键. 10．【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动．则下列结论正确的是______（填序号即可）： ①； ②； ③四边形的面积总等于； ④连接，总有． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，请直接写出的长度． 【答案】（1）①②③④   （2），见解析（3）或 【分析】（1）根据正方形的性质，先证明于是得到即可判定① ②正确；根据正方形的性质，得，利用全等三角形的性质，分割法表示面积，可判定四边形的面积总等于，得到③正确；根据正方形的性质，三角形全等的性质，得到，根据勾股定理得到，从而判定④正确． （2）连接，延长交于点G，先证明得到，再利用勾股定理，线段垂直平分线的性质，等量代换即可的结论； （3）仿照（2）的解题思路，分点E在上和的延长线上，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1， ∴；， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 故①②正确； 根据正方形的性质，得， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故③正确； ∵，， ∴， 根据勾股定理得到， 故， 故④正确． 故答案为：①②③④． （2）解：连接，延长交于点G， ∵矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点， ∴；，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 由勾股定理，得， 故． （3）解：当点E在上时， 过点B作，交的延长线于点M，连接 ∵， ∴；， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 由勾股定理，得， 故． ∵，， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点E在的延长线上时， 过点B作，交的延长线于点N，连接 ∵，， ∴；， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 由勾股定理，得， 故． ∵，， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 故的长度为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 中心对称图形——平行四边形思维导图 【类型覆盖】 类型一、特殊平行四边形与函数图象结合 【解惑】如图1，在菱形中，，点在边上，连接，动点从点出发，在菱形的边上沿匀速运动，运动到点C时停止．在此过程中，的面积y随着运动时间x的函数图象如图2所示，则的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【融会贯通】 1．如图1，在矩形中，点P从点A出发，匀速沿向点D运动，连接，设点P的运动距离为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为中点时，的长为（   ） A．5 B．8 C． D． 2．如图1，在等边中，于点D，动点E从顶点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向点D运动，将绕点C逆时针旋转得到是上一点，．设随时间t变化的函数图象如图2所示，已知函数图象上最低点的纵坐标是4，则最低点的横坐标是 ． 3．如图（1），点F从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，点F运动时，的面积随时间的变化关系图象如图（2），则菱形的面积为 ．      （1）                   （2） 类型二、平行四边形的平移、旋转、折叠 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且点，，直线以每秒1个单位长度的速度向右平移，经过(    )秒该直线可将平行四边形的面积平分． A．3 B． C．5 D．6 【融会贯通】 1．如图，的顶点A，B，C的坐标分别是，，，将绕点A 逆时针旋转，每次旋转，则第75次旋转结束时，点D的坐标为（      ）    A． B． C． D． 2．如图，在中，，，点是上一点，将四边形沿翻折得到四边形，点正好落在延长线上的点处． （1）的长为 ； （2）若，则的长为 ． 3．在平行四边形中，点是的中点，连结，将沿直线翻折，得到．      (1)如图1，延长交于点，求证：； (2)如图2，连结并延长交于，求证：； (3)当，时，求线段的长． 类型三、菱形的平移、旋转、折叠 【解惑】如图，在菱形中，是的中点．过点作，垂足为．将沿点到点的方向平移，得到．设分别是的中点，当点与点重合时，四边形的面积为（    ）      A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，四边形是菱形，其顶点C在x轴上，顶点A的坐标是，将菱形沿x轴向右平移2个单位长度，则平移后点C的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形纸片中，是边上一点，将沿直线翻折，使点落在上，连接．已知，，则的度数为 ．    3．【教材呈现】如图是华师版数学教材八年级下册第117页的部分内容． (1)【问题解决】请根据教材分析，结合图1，写出完整的证明过程： (2)【结论应用】如图2，直线分别交矩形的边于点E、F，将矩形沿翻折，使点C与点A重合，点D落到点处·若，则矩形的面积为 (3)【拓展探究】如图3，直线分别交平行四边形的边于点E、F，将平行四边形沿翻折，使点A与点C重合，点D与点重合，连结，若，，则四边形的面积是 类型四、矩形的平移、旋转、折叠 【解惑】如图，在矩形中，，，对角线、相交于点O．将沿着射线的方向平移线段的长度得到，点A、O的对应点分别为点D、E．则四边形的周长为（  ） A．20 B．16 C．10 D．8 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，且轴．可移动的直线：，从直线的位置出发，沿轴正方向平移，平移距离为，有以下结论：①当时，直线的表达式为；②若矩形的四个顶点分别在直线的两侧，则；③当时，点和点关于直线对称．其中正确的有（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．如图，矩形中，顶点，，，将矩形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第100秒旋转结束时，点的坐标为 ． 3．在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)如图1，将矩形沿直线EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，直线分别交矩形的边于点E、F． ①求证：． ②若，，求折痕的长． (2)如图2，将矩形沿直线翻折，点C、D分别落在点，处，若，，，连接，当点E为的三等分点时，求的值． 类型五、正方形的平移、旋转、折叠 【解惑】如图，已知正方形的顶点，规定把正方形 “先沿y轴翻折，再向下平移1个单位长度”为一次变换，这样连续经过次变换后，正方形的顶点C的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，点，在轴上，将正方形平移后，点成为新正方形的对称中心，则正方形的平移过程可能是（    ）    A．向右平移8个单位长度，再向下平移4个单位长度 B．向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度 C．向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 D．向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度 2．如图，是正方形内一点，将绕点顺时针方向旋转后与重合，若，则 ．    3．如图所示，在正方形中，点为边的中点，连接，将沿着翻折，点的对称点为点，记与的交点为．    (1)如图1所示，连接并延长交边于点，求证：点是的中点； (2)如图2所示，延长交边于点，求证：点是的中点； (3)如图3所示，若，过点作，分别交，于点，，求的值． 类型六、一次函数中的特殊平行四边形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x、y轴交于点A、B，现将绕点O逆时针旋转后得到，直线与直线相交于点C． (1)求直线的表达式； (2)点M为线段上一点，的面积为，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，点P是直线上一点，点Q是直线上一点，当四边形是平行四边形时，请直接写出点P、Q的坐标． 【融会贯通】 1．如图，正方形的顶点、分别在、的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于点、，并且满足．点是线段上的一个动点． (1)连接、，求证：四边形是平行四边形； (2)作交于，当面积为2.6时，求点的坐标； (3)设点是轴上方平面内的一点，以、、、为顶点的四边形是菱形，求点的坐标． 2．如图，矩形的顶点A、C分别在y、x轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图像与边、分别交于点D、E，并且满足，点P是线段上的一个动点． (1)求一次函数的表达式； (2)连结，若把四边形面积分成两部分，求点P的坐标； (3)设点Q是x轴上方平面内的一点，以O，D，P，Q为顶点的四边形为菱形时，直接写出点Q的坐标． 3．如图1，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于两点，以为边在第二象限内作正方形．    (1)求边的长； (2)求点的坐标； (3)作直线，将绕点逆时针旋转，两边分别交正方形的边于点（如图2），若恰为的中点，请求出点的坐标． 类型七、正方形中的半角模型 【解惑】如下图，在正方形中，，点E在边上，．将沿所在直线折叠，得到，延长交边于点G，连接． (1)求证：； (2)求的长； (3)求． 【融会贯通】 1．【操作感知】如图1，在矩形纸片的边上取一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，则的大小为______度． 【迁移探究】如图2，将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片按照【操作感知】进行折叠，并延长交于点Q，连接． （1）证明：； （2）若正方形的边长为4，点为中点，则的长为______． 2．发现、提出问题：通过学习，我们知道直角三角形的边之间、角之间乃至边和角之间分别都有相应的等量关系，比如“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．”就是由角带来的边之间的关系，爱思考的李林同学提出疑问：如果在一个直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是吗？ 分析、解决问题： （1）李林首先将上述问题的条件和结论结合图形写出已知和求证：如图1，在中，，求证：．并想构造等边三角形，利用与的关系进行证明，于是他延长到点 D，使，并连接（如图2），然后……请你帮助李林同学完成证明过程． 拓展应用： （2）如图3所示，李林先将正方形纸片对折，使 与重合，折痕为，再把纸片展平，然后再沿过点B 的直线折叠，使点A落在上的点 F处，把纸片展平，连接并延长，交边于点 G，连接，求的度数． 3．如图1，在正方形中，点E为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于，连接． (1)求的度数． (2)如图2，E为的中点，连接． ①求证：； ②若正方形边长为4，求线段的长． 类型八、特殊平行四边形动点求t 【解惑】如图，在中，，动点P从点A开始沿边向点C以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点Q从点C开始沿边向点B以每秒个单位长度的速度运动，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．过点P作，交于点D，连接．设运动时间为t秒（）． (1)用含t的代数式分别表示的长度：______，______，______． (2)当t取何值时．四边形是平行四边形？ (3)是否存在t，使四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），能使四边形在某一时刻成为菱形． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，以为边作正方形（点和点在的异侧）．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点运动，设点的运动时间为秒． (1)用含的代数式表示的长． (2)连结，当时，的长为________．当时，的长为________． (3)当点在边上时，若是以为腰的等腰三角形，求的值． (4)当点与正方形的顶点不重合时，若点到四边形的一组邻边距离相等，直接写出的值． 2．如图①，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，P、Q两点同时出发，当Q到达点B时，点P也随之停止运动．设Q点运动的时间为秒． (1)求线段的长（用含的代数式表示．） (2)当P、D、C、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求的值． (3)如图②若点E为上的点，且，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 3．在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中． (1)若，分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（、相遇时除外）？ 答：__________；（直接填空，不用说理） (2)在（1）条件下，若四边形为矩形，求的值； (3)在（1）条件下，若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求的值． 类型九、特殊平行四边形的新定义 【解惑】新定义：若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰三角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”． (1)如图1，四边形是“等腰四边形”，为“界线”，若，，则______； (2)如图2，四边形中，，，，． ①试说明四边形是“等腰四边形”； ②如图3，点在线段上，，过点作于点，过点作于点，则的最大值为______； (3)若在“等腰四边形”中，，，且为“界线”，请直接写出的度数为______． 【融会贯通】 1．定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边相等两邻边的夹角称为邻等角． (1)如图1，在四边形中，，，对角线平分求证：四边形为邻等四边形． (2)如图2，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，建立如图所示平面直角坐标系，每个小正方形的边长为1，若四边形是邻等四边形，请写出所有符合条件的格点D的坐标______． (3)如图3，四边形是邻等四边形，，为邻等角，连接，过B作交的延长线于点E．若，，求四边形的周长． 2．数学概念 [定义]有一组对角是直角的四边形是垂美四边形． [理解]如图①，将一对相同的直角三角尺按如图所示的方式拼成四边形，每个三角尺三个内角的度数都是、和．四边形是垂美四边形，则__________度； [探究]如图②，四边形是垂美四边形．，，E是边延长线上一点，求和的度数． [应用]如图③，四边形是垂美四边形，，和分别是和的平分线，交、于点E、F．试说明．    3．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)写出一种你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的图形的名称 ； (2)如图1，若，那么在图中所有格点中是标出一点D，使以、为勾股边的四边形是勾股四边形．并写出D点的坐标； (3)如图2，已知四边形，，，．求证：，即四边形是勾股四边形． 类型十、无刻度尺作图 【解惑】如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示，按步骤完成下列作图：    (1)在左图中：将线段绕点A逆时针旋转，作出对应线段；过点E作一条直线把分成面积相等的两部分； (2)在右图中：作格点P，使得，垂足为M；过点M作线段，使得，且． 【融会贯通】 1．请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹． (1)如图1，在中，E是边上一点，在边上画点F，使； (2)如图2，在中，E是边上一点，且，画的平分线； 2．如图1，在的长方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的每一个顶点叫做格点．线段和的顶点都在格点上． (1)直接写出______． (2)请仅用无刻度直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹． 请画出的中线和高． 在线段右侧找到点，使得． (3)要求在图2中仅用无刻度的直尺作图在轴上找点，使平分． 3．如图，四边形为菱形，请仅用无刻度的直尺，按照下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)在图（1）中，E，F分别是，的中点，以为边作一个矩形． (2)在图（2）中，E是对角线上一点，，以为边作一个菱形． 【一览众山小】 1．如图，线段，点P在线段上，且，分别以点A和点B为圆心，的长为半径作弧，两弧相交于点C和点D，连接，则点C到边的距离是（  ） A． B． C．4 D．3 2．如图，在中，平分交于点．若，是中点，，，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 3．如图，已知矩形沿着直线折叠，使点落在处，交于，，，则的长为（  ） A． B． C． D． 4．将图①矩形纸片沿折叠成图②，再沿折叠成图③，若图③中，则的度数为 ． 5．如图，正方形中，，与直线所夹的锐角为，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，…，依此规律，则线段 ． 6．如图：已知正方形的边长为4，若P是对角线上一动点，E为边中点；连接；则P点运动过程中，的最小值为 ． 7．如图方格纸中每个小正方形的边长都为1，请画出符合要求的图形，所画图形顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合． (1)在图中画出一个，使得与全等； (2)在图2中画出一个面积为的正方形． 8．在边长为6的菱形中，，点E，F分别在边和上，且． (1)如图1，求证：是等边三角形； (2)如图2，交于点P，交于点G， ①当的周长最小时，求证； ②已知交的延长线于点H，求证． 9．在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动． 定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【概念理解】如图①，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状： 筝形（填“是”或“不是”）； 【性质探究】如图②，已知四边形纸片是筝形，连结，相交于点O． 请补充结论1，再从不同角度写一个正确的结论2． 结论1：筝形的内角和为 ．结论2： ． 【拓展应用】如图③，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点G． （1）求证：四边形是筝形； （2）若，，，，求的长． 10．【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动．则下列结论正确的是______（填序号即可）： ①； ②； ③四边形的面积总等于； ④连接，总有． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，请直接写出的长度． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$