9.5 三角形的中位线 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

9.5 三角形的中位线 一、三角形中位线的定义 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 二、三角形中位线的性质 1.位置关系：三角形的中位线平行于第三边。 2.数量关系：三角形的中位线等于第三边的一半。 三、三角形中位线的定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。该定理可以用于证明两条直线平行以及线段的倍分关系。 四、三角形中位线的相关结论 1.三角形共有三条中位线，它们重新构成一个新的三角形，其周长为原三角形周长的一半。 2.三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。 3.三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。 4.三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。 5.三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。 五、三角形中位线的应用 三角形中位线的性质和定理在几何证明和计算中有着广泛的应用，可以用于求解三角形的边长、角度、面积等问题，以及证明平行线、线段相等或倍分等关系。 在学习三角形中位线时，需要注意区分三角形中线与中位线的概念，并熟练掌握三角形中位线的性质和定理，以便灵活应用于实际问题中。 六、中点四边形的定义 四边形ABCD的各边的中点所构成的四边形EFGH叫做四边形ABCD的中点四边形。 七、中点四边形的分类 1.一般四边形的中点四边形是平行四边形。 2.平行四边形的中点四边形也是平行四边形，且其面积为原平行四边形面积的四分之一。 3.矩形的中点四边形是菱形，因为矩形的对角线相等，中点四边形的对角线（即原矩形的中位线）也相等，从而构成菱形。 4.菱形的中点四边形是矩形，因为菱形的对角线互相垂直，中点四边形的对角线（即原菱形的中位线）也互相垂直，从而构成矩形。 5.正方形的中点四边形是正方形，因为正方形的对角线互相垂直且相等，中点四边形的对角线（即原正方形的中位线）也互相垂直且相等，从而构成正方形。 综上所述，中点四边形的形状与原四边形的形状无关，只与原四边形的对角线有关。 巩固课内例1:三角形的中位线 1．如图，菱形中，，分别是，的中点，若，则菱形的周长为（  ）    A．14 B．16 C．15 D．17 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中位线和菱形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 利用三角形的中位线定理以及菱形的性质进行计算即可． 【详解】解：∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ， ∴菱形的周长为． 故选：B． 2．如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点，，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，利用勾股定理解得的值，然后根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：连接，如下图， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴在中，， ∵分别是的中点， ∴． 故答案为：． 3．中位线是三角形中的重要线段之一，在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以联想到构造三角形的中位线的方法求解决问题． 如图1，中，为的中点，于点，．求证：． 分析：由为的中点联想到构造三角形的中位线．如图，取的中点，连接，则是的中位线，则且，从而可得．要证，只需证即可． (1)请你根据上边分析，完成证明过程． (2)如图，在凸五边形中，，连接，，，点为的中点，连接，求证：． (3)如图，在等腰直角三角形中，，点为平面内任意一点，且，连接，点为中点，连接，当线段时，直接写出的面积． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)或． 【分析】取的中点，连接，，利用中位线定理可证，根据直角三角形的性质可知，再根据三角形外角的性质可证结论成立； 延长到点，使，连接，，构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可知，从而可知，利用可证，根据全等三角形的性质可证，利用三角形中位线定理可证结论成立； 延长到点，使，连接、，构造等腰直角三角形，本题要分当点在线段上和点在线段的延长线上两种情况求解． 【详解】（1）证明：如下图所示，取的中点，连接，， 点为的中点， 是的中位线， 且， 于点， ， ， ， 又， ， ， ； （2）证明：如下图所示，延长到点，使，连接，， ，， ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， 点是的中点，点是的中点， ， ； （3）解：如下图所示，当点在上时，延长到点，使，连接、， 是等腰直角三角形， ， 又，， ，， ， ， 在中，， 点为中点，点为的中点， ， ， ， 过点作， 是等腰直角三角形， ， ； 如下图所示，当点在延长线上时，延长到点，使，连接、， 由可得：， ， 过点作， 是等腰直角三角形， ， ， 综上所述的面积为或． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角性质、全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是作辅助线构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质找到边之间的关系． 巩固课内例2:中点四边形 1．顺次连接菱形四边的中点，得到的四边形是（    ） A．矩形 B．平行四边形 C．正方形 D．无法断定 【答案】A 【分析】根据菱形和三角形中位线的性质，得四边形为平行四边形，且，再根据矩形的判定方法，即可得到答案． 【详解】解：如图，根据题意，分别连接菱形四边中点 ∵菱形 ∴ ∵、、、分别为、、、中点 ∴，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、三角形中位线的知识；解题的关键是熟练掌握矩形的判定、菱形、三角形中位线的性质． 2．在四边形中，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的形状是 ． 【答案】正方形 【分析】由三角形中位线的性质，可判断，，可得四边形是菱形，四边形的对角线，满足，且，四边形是正方形．本题考查了中点四边形的性质，中位线的定理，解题中需要理清思路，属于中档题． 【详解】解：如图所示： 在中，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理，，． ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 设与交于点，与交于点， 在中，，分别是，的中点， ∴，同理， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 故答案为：正方形 3．已知：如图，四边形四条边上的中点分别为，顺次连接，得到四边形EFGH（即四边形的中点四边形）． (1)求证：四边形的形状是平行四边形； (2)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是矩形； (3)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是菱形． 【答案】(1)证明见解析 (2)互相垂直 (3) 【分析】本题考查的是中点四边形． （1）连接、，根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理证明； （2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答； （3）根据邻边相等的平行是四边形是菱形解答． 【详解】（1）证明：如图，连接、， 点、、、分别为、、、的中点， 、分别为、的中位线， ，，，， ，， 四边形的形状是平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形， ∵，，， ， 平行四边形是矩形， 故答案为：互相垂直； （3）解：当时，四边形是菱形， ，，， ， 平行四边形是菱形， 故答案为：相等． 类型一、判断中点四边形 1．下列命题正确的是（   ） A．顺次连接矩形四边中点构成的四边形是菱形 B．同位角相等 C．有两边及一角对应相等的两个三角形全等 D．三角形的外心到三角形三条边的距离相等 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理的知识，利用平行线的性质、中点四边形的判定、全等三角形的判定及三角形的外心的性质分别判断后即可确定正确的选项，解题的关键是了解平行线的性质、中点四边形的判定、全等三角形的判定及三角形的外心的性质． 【详解】解：A、顺次连接矩形四边中点构成的四边形是菱形，正确，故选项符合题意； B、两直线平行，同位角相等，故选项不符合题意； C、有两边及夹角对应相等的两个三角形全等，故选项不符合题意； D、三角形的外心到三角形的三顶点的距离相等，故选项不符合题意； 故选：A． 2．如图，在菱形中，边长为10，．顺次连结菱形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；按此规律继续下去…．则四边形的周长是 ；四边形的周长是 【答案】 20 【分析】先证明四边形是菱形，求出， ，，求出周长，同理可得四边形、、……为菱形，且对应的边长：，，…… ，进而求出四边形的周长即可． 【详解】解：连接，，，，如图所示： ∵菱形中，边长为10， ∴，，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵顺次连结菱形各边中点，得到四边形， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵顺次连结四边形各边中点，可得四边形， ∴，，，， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， ∴是等边三角形，四边形是菱形， ∴的周长为； 同理可得：四边形、、……为菱形， 且对应的边长：， ， …… ∴四边形为菱形，边长为， ∴四边形的周长为： ． 故答案为：20；． 【点睛】本题考查了中点四边形，三角形中位线的性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，根据题意发现中点四边形性质，分别求出菱形矩形边长并发现规律进行推理是解题关键． 3．阅读下面材料： 在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图1，我们把一个四边形的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形是平行四边形吗？ 小敏在思考问题时，有如下思路：连接． 结合小敏的思路作答： （1）若只改变图1中四边形的形状（如图2），则四边形还是平行四边形吗？请说明理由； 参考小敏思考问题的方法，解决以下问题： （2）如图2，在（1）的条件下，若连接，．当与满足什么关系时，四边形是正方形．直接写出结论． 【答案】（1）是，理由见解析；（2）且 【分析】本题考查了中点四边形，涉及了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）结论：四边形还是平行四边形．连接．根据中位线定理证明，即可； （2）利用（1）的结论，可知需要满足而且，由此可知当与满足且即可． 【详解】解：（1）结论：四边形还是平行四边形． 理由：如图2，连接． 、分别是、中点 ，， 同理：，， ，， 四边形是平行四边形． （2）结论：当且时，四边形是正方形． 理由：如图3中，由（1）四边形是平行四边形 、是、中点 同理： 平行四边形是菱形． ，， ， ， ， ， 四边形是正方形． 类型二、三角形中位线的简单求解 1．如图，四边形中，为上一点，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定以及性质，平行四边形的判定和性质，先证明，且，再证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可得出． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴，且， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故选：B． 2．如图，在中，、分别是、的中点，是线段上一点，连结、，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、斜边上的中线等于斜边的一半；根据直角三角形的性质得到，根据，得到，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：，点是的中点， ， ， ， 、分别是，的中点， ， 故答案为：． 3．【问题背景】如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点． 【问题探究】 (1)如图1，连接，若平分，，求的长度； (2)如图2，连接，延长交于点，若，，，求的长度． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题主要考查了中位线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据三角形中位线定义以及角平分线的定义，等腰三角形的判定可得，再根据中点的定义即可解答； （2）先证明可得，进而证明可得，即；根据等腰三角形三线合一的性质可得为等边三角形，且，，即；然后运用等边三角形三线合一的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，分别是边，上的中线， ∴， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，分别是边，上的中线， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴为等边三角形， ∴，，； ∵是边上的中线， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴． 类型一、三角形中位线求角度 1．如图，在四边形中，点是对角线的中点，点分别是边的中点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由题意可得是的中位线，是的中位线，得到，，即得，进而得到，据此即可求解，掌握了三角形中位线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点是对角线的中点，点分别是边的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 2．如图，在菱形中，，、分别是、的中点，、相交于点，则 ° 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及三角形中位线定理的运用．连接，，易证是等边三角形，再根据菱形的性质以及三角形中位线性质即可求出的度数． 【详解】解：连接，， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， 、分别是、的中点， ，，， ，， ， 故答案为：． 3．在中，，，于点，点是上动点（不与重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段． (1)如图1，当点在线段上时，求证：点是线段中点． (2)如图2，作点关于点的对称点，连结，． ①依题意补全图形． ②猜想的度数，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】（1）由旋转的性质得，，利用三角形外角的性质求出，可得，等量代换得到即可； （1）①根据题意以点E为圆心，为半径画弧，交于点，再连接，即可；②延长到H使，连接，，，可得是的中位线，设，，则，，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一证明即可． 【详解】（1）证明：由旋转的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即E是的中点； （2）解：①补全图形如下： ②，证明如下： 证明：延长到H使，连接，，， ∵， ∴是的中位线， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵， ∴， 设，，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质，三角形中位线定理，熟练掌握中位线定理，勾股定理三线合一性质是解题的关键． 类型二、三角形中位线求长度 1．如图，中，是的中点，在上，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、平行线的性质等知识，解题关键是正确作出辅助线，熟练掌握相关知识并灵活运用．在上取点，使得，连接，易得为的中位线，所以，再证明为等腰三角形，可得，然后由可得答案． 【详解】解：如图，在上取点，使得，连接， 则， ∵是的中点，， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图，在中，平分，于点，延长交于点，是的中点，若，，则 ． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义结合题意，即可利用“”证明，即得出，，从而可得出，点E为中点，从而可判定为的中位线，进而可求出的长． 【详解】∵平分， ∴，． 又∵， ∴， ∴，， ∴，点E为中点． ∵F是的中点， ∴EF为的中位线， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，三角形中位线的性质等知识．掌握三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半是解题关键． 3．如图1，在中，是的中点，点E在线段上，连结，作交直线于点，连结． 【初步尝试】 （1）如图2，当时，线段的长度是______，线段的长度是______． 【结论探究】 （2）如图3，小宁猜想“”，但她未能想出证明思路，小波介绍了添加辅助线的方法，如表所示，请帮小宁完成证明． 如图，延长至G，使，连结． 【拓展应用】 （3）如图4，当点E在线段的延长线上时，连结，作交直线于点F，连结．请补全图形，并求出当时，线段的长． 【答案】（1）5，3；（2）见解析；（3）见解析，11 【分析】（1）证明四边形是矩形，再利用三角形中位线定理解决问题即可； （2）利用全等三角形的性质证明，再证明，利用勾股定理可得结论； （3）如图3中，延长至G，使，连结，设，利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）解：∵点点都是中点 ∴、都是中位线 （2）证明：如图1中，延长至，使，连结． , ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图3中，延长至，使，连结．设． 易证 ∴ ∴ ∴ ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理．利用倍长线段法，构造全等三角形，是解题的关键． 类型三、三角形中位线求面积 1．如图，在矩形中，E是边上一点，F，G分别是，的中点，连接，，，若，，，则矩形的面积是（    ） A．44 B．46 C．48 D．50 【答案】C 【分析】根据四边形是矩形得到，根据F，G分别是，的中点，，得到，，，设根据勾股定理列式求解即可得到答案； 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵F，G分别是，的中点，，， ∴，，， 设， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故选C； 【点睛】本题考查三角形中位线定理，勾股定理，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，解题的关键是根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得到，及利用勾股定理列方程． 2．如图，的面积是10，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积，与三角形中线、中位线有关的面积计算，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 根据中线的性质，可得，同理，，根据三角形中位线的性质可得，即可得到的面积． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， 又∵点是 的中点， ∴，， ∴． 又∵、是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 3．如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，，直线交直线于点． (1)如图，当时，求证：； (2)如图，当点始终在的上方时． 若，，时，求的面积（用含的式子表示）． 点为边的中点时，连接，直接写出的最大值为______； 【答案】(1)证明见解析； (2)的面积为；． 【分析】（）利用旋转的性质得，根据性质得，又，，则，根据三角形的内角和定理即可求证； （）如图，过作于点，过作，交延长线于点，证明四边形是矩形，通过性质证明，则四边形是正方形，由旋转性质可知，，则，，，可求出，然后利用角的直角三角形的性质和勾股定理得，，从而求出∴，最后用面积公式即可求解； 取中点，连接，分别求出，，则有，即，当三点共线时，有最大值． 【详解】（1）证明：设与交于点， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过作于点，过作，交延长线于点， 由（）得：， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 由旋转性质可知：，， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由（）得：， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴，即， ∴， ∴， ∴的面积为； 如图，取中点，连接， ∵，， ∴， ∴， 由（）得：， ∴， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴当三点共线时，有最大值， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角的直角三角形的性质，勾股定理，正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，旋转的性质，三角形的中位线性质以及直角三角形的斜边上中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握各性质定理是解题的关键． 类型四、三角形中位线的判断 1．如图，中，为边上点，平分，过点作，与交于点，作，与交于点，连接．则以下结论中错误的是（   ） A．； B．当时，四边形是平行四边形； C．当是正三角形时，四边形是菱形； D．若，则是等腰直角三角形． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定，正方形的判定，中位线定理，等腰三角形的判定，等边三角形的性质等知识，解题的关键是掌握相关知识． 由条件中两个平行条件可判定四边形是平行四边形，再由角平分线得，从而得四边形是菱形，则有，即选项A正确；当时，由等腰三角形的性质得；由四边形是菱形，有，由三角形内角和得，从而得F点是中点，同理得E点是中点，由三角形中位线定理得，结合已知可判定选项B正确；当是正三角形时，得，得四边形是菱形，从而判定选项C正确；若，则四边形是正方形，，则是直角三角形，不能得到等腰直角三角形，故选项D错误． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形； ∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， 即选项A正确； 当时，由等腰三角形的性质得； ∵四边形是菱形， ∴，； ∴； ∵， ∴， ∴， 即， 即F点是的中点； 同理得E点是的中点， ∴是的中位线， ∴，； ∵， ∴四边形是平行四边形； 故选项B正确； 当是正三角形时，则； ∵，， ∴， ∴四边形是菱形， 故选项C正确； 若， ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形， ∴， 则是直角三角形， 但不一定相等， 故不一定是等腰直角三角形， 故选项D错误． 故选：D． 2．如图，在中，，D、E分别是边的中点，是斜边上的中线．若，则 ． 【答案】3 【分析】该题主要考查了直角三角形的性质和三角形的中位线定理，熟记：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中位线等于第三边的一半”是解答本题的关键． 由已知条件易得是斜边上的中线，是的中位线，由此可得，从而可得． 【详解】解：∵是直角三角形，是斜边上的中线， ∴． ∵D、E分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 故答案为：3． 3．如图1，在中，，，点D、E分别在边，上，，连接，点M、P、N分别为，，的中点． (1)求证：，； (2)把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； (3)把绕点A在平面内自由旋转，若，，请求出面积的最大值． 【答案】(1)见详解 (2)是等腰直角三角形，理由见详解 (3) 【分析】（1）利用三角形中位线得出，，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出，，得出、，最后用互余即可得出结论． （2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法即可得出结论． （3）先判断出最大时，的面积最大，而最大是，即可得出结论． 【详解】（1）∵点P，N分别为，的中点， ∴，， ∵点M，P分别为，的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： 由旋转知，， ∵，， ∴， ∴，， 利用三角形的中位线得，， ∴， ∴是等腰三角形， 同（1）的方法得， ∴， 同（1）的方法得， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． （3）解：由（2）知是等腰直角三角形，， ∴当最大时，最大，的面积最大， ∴如图所示，当点D在的延长线上时，最大， 此时可有， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质的综合运用，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 类型一、三角形中位线的实际应用 1．2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．证明，根据全等三角形的性质求出，再根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：在和中， ， ， 米， 点分别为，的中点， 是的中位线， 米， 故选：D． 2．如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和．分别取，的中点，，测得，两点间的距离为，则，两点间的距离为 ．    【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线的判定与性质，先判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得即可解答，掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：，两点分别是，的中点， 是的中位线， ， ， ， 故答案为： 3．【综合与实践】 任务 如图1， 测出水池A， B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）．    测量工具 皮尺    皮尺的功能： 直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 测角仪    测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P， Q两点，可测得的大小．    小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2， 水池外选点 C， 用皮尺测得； （2）分别在上用皮尺测得，测得．    求解过程 由测量可知： ∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的______ ∵， ∴______． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离，依据是 ； (3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用直角三角形的知识求水池A，B两点间的距离，请你画出示意图并写出测量及求解过程（要求测量得到的线段长度用字母a，b，c，…表示，测量次数不超过3次）．         【答案】(1)见解析 (2)三角形的中位线等于第三边的一半 (3)示意图见解析， 【分析】本题考查三角形中位线的判定与性质，含30度直角三角的特征． （1）根据三角形中位线的性质即可解答； （2）三角形的中位线等于第三边的一半； （3）用测角仪在点A处测出，在射线上找一点G，用测角仪测出，然后用皮尺测量出，利用含30度直角三角的特征即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴． （2）解：由（1）可知小明测出水池A，B两点间的距离， 依据是：三角形的中位线等于第三边的一半； （3）解：如图，   ， ． 类型二、中点四边形的实际应用 1．如图，顺次连接菱形各边的中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边的中点，得到四边形…，记菱形的面积为，四边形的面积为…．若，则第个图形的面积的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的规律，找到连接矩形、菱形中点则形成新四边形的面积为原四边形面积的一半是解题的关键． 连接，菱形的面积为，得到矩形的面积为，菱形的面积为，故新四边形是原四边形的面积的一半，据此即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 菱形的面积为， 顺次连接菱形四边的中点得到矩形，则矩形的面积为 ， 顺次连接矩形四边的中点得菱形，则菱形的面积为 …… 故新四边形是原四边形的面积的一半 则四边形的面积为菱形面积的 四边形的面积为， 故选：D． 2．如图，在四边形中，，、、、分别是、、、的中点，若,则 ．    【答案】6 【分析】连接，，，，可得是的中位线，，，分别是，，的中位线，，即四边形为菱形，可知对角线互相垂直，即可证得：，由此即可求得，即，由此即可求出． 【详解】解：如图，连接，，，，    ∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴, 同理可得，，分别是，，的中位线， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形， ∴，且垂足为， ∴，， 在中，根据勾股定理得：， 等式两边同时乘以4得：， ∴，即． 故，（，负值不合题意舍去） 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查的是菱形的性质，三角形中位线、勾股定理应用，重点在于根据中点做出对应的中位线． 3．如图1，是线段上的一点，在的同侧作和，使，，，连接，点，，，分别是，，，的中点，顺次连接，，，． (1)猜想四边形的形状，直接回答，不必说明理由； (2)点在线段的上方时，如图2，在的外部作和，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由； (3)如果（2）中，，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)菱形 (2)成立，理由见解析 (3)图见解析，正方形，理由见解析 【分析】（1）证明，可得，根据三角形中位线的性质，可得，进而可得，即可得出结论； （2）连接，．证明，可得，同（1）的方法，即可得证； （3）连接，．证明，同理可得四边形是菱形，证明，即可得证． 【详解】（1）解：四边形是菱形． 如图所示，连接， ∵ ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， ∵点，，，分别是，，，的中点， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）成立． 理由：连接，． ， ． 即． 又，， ， ． ，，，分别是，，，的中点， ，，，分别是，，，的中位线． ，，，． ． 四边形是菱形． （3）解：补全图形，如图． 判断四边形是正方形． 理由：连接，． （2）中已证：， ． ， ． 又， ， ． （2）中已证，分别是，的中位线， ，． ． 又（2）中已证四边形是菱形， 菱形是正方形． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，正方形的判定，三角形中位线的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 1．如图，是的中位线，若，则的长是（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．已知是的中位线，，根据中位线定理即可求得的长． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴． 故选：B． 2．如图，平行四边形中，，点在上，连接和，点，分别是和的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线定理，由题意知：是的中位线，则，即可得出结论．解题的关键是掌握：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 【详解】解：∵点，分别是和的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∴的长为． 故选：B． 3．如图所示，O为正方形的中心，平分，交于点E，延长到F，使，连接交的延长线于点H，连结交于点G，连结，则下列结论：①；②；③；④三角形是直角三角形，其中正确的个数是（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先由正方形的性质得到，，然后结合得到，结合角平分线的性质得到相关的角，然后可以判定④，再利用等腰三角形的性质得到①，然后利用直角三角形斜边上的中线得到②，最后结合中位线的性质得证③． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ，，， ， ，，    ， ， ， 平分， ， ， ， O为正方形的中心， ， 是的中位线， ，故①正确； ， ， ， 连接，则， ， 是的中位线， ， ， ， ， ，故③错误．   四边形是正方形，是的平分线， ，， ， ， ， 是的中位线，， ， ， ，故②正确； ， 三角形不是直角三角形，故④错误； 故答案为：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理，解题的关键是利用已知条件得证 4．如图，在中，点在上，、分别是、的中点，若，，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线定理，解题的关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．据此解答即可． 【详解】解：∵、分别是、的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∴的长度为． 故答案为：． 5．如图，在中，，分别是、的中点，，分别是，的中点，……，依此类推，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到，，即可求解． 【详解】解：，分别是、的中点， 是的中位线， ， ，分别是，的中点， 是的中位线， ， 则， ， 故答案为：． 6．如图，在菱形中，°，，是边上的一点，分别是的中点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，突破点是证明是等边三角形．如图连接，首先证明是等边三角形，可得，再根据三角形的中位线定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ． 故答案为：． 7．如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点E、F分别是、的中点，，，求的度数． 【答案】 【分析】根据中位线定理得，，结合已知证明是等腰三角形，从而可得答案． 【详解】解：∵在四边形中，P是对角线的中点，E，F分别是、的中点， ∴，分别是与的中位线， ∴，， ∵， ∴， 故是等腰三角形， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 8．如图，的中线，交于点O，点F，G分别是，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，判断四边形的形状，井证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)矩形，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、三角形的中位线定理等知识点，熟记相关内容即可求解； （1）由题意得是的中位线，推出且；是的中位线，推出且；可得且；即可求证； （2）由点F，G分别是，的中点，推出；由四边形是平行四边形，推出，可得，即可求解； 【详解】（1）证明：∵，是的中线， ∴是的中位线， ∴且； ∵点F，G分别是，的中点． ∴是的中位线， ∴且； ∴且； ∴四边形是平行四边形 （2）解：∵点F，G分别是，的中点． ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形 9．已知和都是等腰直角三角形， ，、分别是、的中点．    (1)如图1中， 点、分别在、的边上， 连接，则线段与的位置关系是 ，线段 与 的数量关系是 ； (2)将图1中的绕点顺时针旋转至如图所示的位置，连接、，则（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)将图1中的绕点顺时针旋转，使点，，在同一直线上，若，，直接写出此时线段的长． 【答案】(1)， (2)成立，见解析 (3)或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，进而可得，根据三角形的中位线的性质即可得出结论； （2）同（1）的方法，即可求解； （3）分两种情况讨论：当在上时，当在上时，根据勾股定理求得，进而在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∵、分别是、的中点． ∴， 又∵ ∴ ∴， （2）（1）中的结论仍然成立： 连接 延长交于 和都是等腰直角三角形    、分别是、的中点 ， ， ， ； （3）解：如图所示，连接， 当在上时， 同理可得，， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∵，， ∴ 设 在中，， ∴， 解得：（负值舍去） ∴ ∴ 如图所示，当在上时， 同理可得 ∴， 在中，， ∴ 解得：（负值舍去） ∴ 综上所述，或 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理的应用，中位线的性质；作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 10．如图1，在等腰三角形中，，，点D，E分别在边，上，，连接，点M，N，P分别为，，的中点． (1)观察猜想 图1中，线段，的数量关系是 ，的大小为 ； (2)探究证明 把绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸 把绕点A在平面内自由旋转，若，，请求出面积的最大值． 【答案】(1)； (2)为等边三角形，理由解析 (3)面积的最大值为 【分析】（1）由，可得出，再根据三角形中位线得，，，，从而可证，最后利用平行线的性质可证得； （2）由旋转的性质可证明，得到，，再由（1）同理证得，再根据三角形外角定理和平行线的性质证明，即可判定为等边三角形； （3）由三角形三边关系，可得的最大值，再根据中位线定理可得的最大值，从而得到面积的最大值． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点M，N，P分别为，，的中点， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；． （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， 在与中 ∴， ∴，， ∵点M，N，P分别为，，的中点， ∴，，，， ∴，，， ∵ ∴ ∴是等边三角形． （3）由（2）可知，， ∴当最大时，，则等边的面积最大， ∵， ∴当时最大， ∴， ∴， ∴面积的最大值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、旋转的性质、三角形中位线定理、平行线的性质、全等三角形的判定和性质、三角形外角定理、等边三角形的判定以及三角形三边关系等，熟练掌握相关知识点并灵活应用相关性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9.5 三角形的中位线 一、三角形中位线的定义 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 二、三角形中位线的性质 1.位置关系：三角形的中位线平行于第三边。 2.数量关系：三角形的中位线等于第三边的一半。 三、三角形中位线的定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。该定理可以用于证明两条直线平行以及线段的倍分关系。 四、三角形中位线的相关结论 1.三角形共有三条中位线，它们重新构成一个新的三角形，其周长为原三角形周长的一半。 2.三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。 3.三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。 4.三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。 5.三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。 五、三角形中位线的应用 三角形中位线的性质和定理在几何证明和计算中有着广泛的应用，可以用于求解三角形的边长、角度、面积等问题，以及证明平行线、线段相等或倍分等关系。 在学习三角形中位线时，需要注意区分三角形中线与中位线的概念，并熟练掌握三角形中位线的性质和定理，以便灵活应用于实际问题中。 六、中点四边形的定义 四边形ABCD的各边的中点所构成的四边形EFGH叫做四边形ABCD的中点四边形。 七、中点四边形的分类 1.一般四边形的中点四边形是平行四边形。 2.平行四边形的中点四边形也是平行四边形，且其面积为原平行四边形面积的四分之一。 3.矩形的中点四边形是菱形，因为矩形的对角线相等，中点四边形的对角线（即原矩形的中位线）也相等，从而构成菱形。 4.菱形的中点四边形是矩形，因为菱形的对角线互相垂直，中点四边形的对角线（即原菱形的中位线）也互相垂直，从而构成矩形。 5.正方形的中点四边形是正方形，因为正方形的对角线互相垂直且相等，中点四边形的对角线（即原正方形的中位线）也互相垂直且相等，从而构成正方形。 综上所述，中点四边形的形状与原四边形的形状无关，只与原四边形的对角线有关。 巩固课内例1:三角形的中位线 1．如图，菱形中，，分别是，的中点，若，则菱形的周长为（  ）    A．14 B．16 C．15 D．17 2．如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点，，，则线段的长为 ． 3．中位线是三角形中的重要线段之一，在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以联想到构造三角形的中位线的方法求解决问题． 如图1，中，为的中点，于点，．求证：． 分析：由为的中点联想到构造三角形的中位线．如图，取的中点，连接，则是的中位线，则且，从而可得．要证，只需证即可． (1)请你根据上边分析，完成证明过程． (2)如图，在凸五边形中，，连接，，，点为的中点，连接，求证：． (3)如图，在等腰直角三角形中，，点为平面内任意一点，且，连接，点为中点，连接，当线段时，直接写出的面积． 巩固课内例2:中点四边形 1．顺次连接菱形四边的中点，得到的四边形是（    ） A．矩形 B．平行四边形 C．正方形 D．无法断定 2．在四边形中，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的形状是 ． 3．已知：如图，四边形四条边上的中点分别为，顺次连接，得到四边形EFGH（即四边形的中点四边形）． (1)求证：四边形的形状是平行四边形； (2)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是矩形； (3)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是菱形． 类型一、判断中点四边形 1．下列命题正确的是（   ） A．顺次连接矩形四边中点构成的四边形是菱形 B．同位角相等 C．有两边及一角对应相等的两个三角形全等 D．三角形的外心到三角形三条边的距离相等 2．如图，在菱形中，边长为10，．顺次连结菱形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；按此规律继续下去…．则四边形的周长是 ；四边形的周长是 3．阅读下面材料： 在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图1，我们把一个四边形的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形是平行四边形吗？ 小敏在思考问题时，有如下思路：连接． 结合小敏的思路作答： （1）若只改变图1中四边形的形状（如图2），则四边形还是平行四边形吗？请说明理由； 参考小敏思考问题的方法，解决以下问题： （2）如图2，在（1）的条件下，若连接，．当与满足什么关系时，四边形是正方形．直接写出结论． 类型二、三角形中位线的简单求解 1．如图，四边形中，为上一点，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，、分别是、的中点，是线段上一点，连结、，若，，，则的长为 ． 3．【问题背景】如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点． 【问题探究】 (1)如图1，连接，若平分，，求的长度； (2)如图2，连接，延长交于点，若，，，求的长度． 类型一、三角形中位线求角度 1．如图，在四边形中，点是对角线的中点，点分别是边的中点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，，、分别是、的中点，、相交于点，则 ° 3．在中，，，于点，点是上动点（不与重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段． (1)如图1，当点在线段上时，求证：点是线段中点． (2)如图2，作点关于点的对称点，连结，． ①依题意补全图形． ②猜想的度数，并证明． 类型二、三角形中位线求长度 1．如图，中，是的中点，在上，且，则等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，平分，于点，延长交于点，是的中点，若，，则 ． 3．如图1，在中，是的中点，点E在线段上，连结，作交直线于点，连结． 【初步尝试】 （1）如图2，当时，线段的长度是______，线段的长度是______． 【结论探究】 （2）如图3，小宁猜想“”，但她未能想出证明思路，小波介绍了添加辅助线的方法，如表所示，请帮小宁完成证明． 如图，延长至G，使，连结． 【拓展应用】 （3）如图4，当点E在线段的延长线上时，连结，作交直线于点F，连结．请补全图形，并求出当时，线段的长． 类型三、三角形中位线求面积 1．如图，在矩形中，E是边上一点，F，G分别是，的中点，连接，，，若，，，则矩形的面积是（    ） A．44 B．46 C．48 D．50 2．如图，的面积是10，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是 ． 3．如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，，直线交直线于点． (1)如图，当时，求证：； (2)如图，当点始终在的上方时． 若，，时，求的面积（用含的式子表示）． 点为边的中点时，连接，直接写出的最大值为______； 类型四、三角形中位线的判断 1．如图，中，为边上点，平分，过点作，与交于点，作，与交于点，连接．则以下结论中错误的是（   ） A．； B．当时，四边形是平行四边形； C．当是正三角形时，四边形是菱形； D．若，则是等腰直角三角形． 2．如图，在中，，D、E分别是边的中点，是斜边上的中线．若，则 ． 3．如图1，在中，，，点D、E分别在边，上，，连接，点M、P、N分别为，，的中点． (1)求证：，； (2)把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； (3)把绕点A在平面内自由旋转，若，，请求出面积的最大值． 类型一、三角形中位线的实际应用 1．2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 2．如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和．分别取，的中点，，测得，两点间的距离为，则，两点间的距离为 ．    3．【综合与实践】 任务 如图1， 测出水池A， B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）．    测量工具 皮尺    皮尺的功能： 直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 测角仪    测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P， Q两点，可测得的大小．    小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2， 水池外选点 C， 用皮尺测得； （2）分别在上用皮尺测得，测得．    求解过程 由测量可知： ∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的______ ∵， ∴______． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离，依据是 ； (3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用直角三角形的知识求水池A，B两点间的距离，请你画出示意图并写出测量及求解过程（要求测量得到的线段长度用字母a，b，c，…表示，测量次数不超过3次）．         类型二、中点四边形的实际应用 1．如图，顺次连接菱形各边的中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边的中点，得到四边形…，记菱形的面积为，四边形的面积为…．若，则第个图形的面积的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，、、、分别是、、、的中点，若,则 ．    3．如图1，是线段上的一点，在的同侧作和，使，，，连接，点，，，分别是，，，的中点，顺次连接，，，． (1)猜想四边形的形状，直接回答，不必说明理由； (2)点在线段的上方时，如图2，在的外部作和，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由； (3)如果（2）中，，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形的形状，并说明理由． 1．如图，是的中位线，若，则的长是（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图，平行四边形中，，点在上，连接和，点，分别是和的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，O为正方形的中心，平分，交于点E，延长到F，使，连接交的延长线于点H，连结交于点G，连结，则下列结论：①；②；③；④三角形是直角三角形，其中正确的个数是（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，在中，点在上，、分别是、的中点，若，，，则的长度为 ． 5．如图，在中，，分别是、的中点，，分别是，的中点，……，依此类推，则的值为 ． 6．如图，在菱形中，°，，是边上的一点，分别是的中点，则线段的长为 ． 7．如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点E、F分别是、的中点，，，求的度数． 8．如图，的中线，交于点O，点F，G分别是，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，判断四边形的形状，井证明你的结论． 9．已知和都是等腰直角三角形， ，、分别是、的中点．    (1)如图1中， 点、分别在、的边上， 连接，则线段与的位置关系是 ，线段 与 的数量关系是 ； (2)将图1中的绕点顺时针旋转至如图所示的位置，连接、，则（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)将图1中的绕点顺时针旋转，使点，，在同一直线上，若，，直接写出此时线段的长． 10．如图1，在等腰三角形中，，，点D，E分别在边，上，，连接，点M，N，P分别为，，的中点． (1)观察猜想 图1中，线段，的数量关系是 ，的大小为 ； (2)探究证明 把绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸 把绕点A在平面内自由旋转，若，，请求出面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$