9.4 正方形 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

9.4 正方形 一、正方形定义 正方形是有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形。正方形既是矩形（邻边相等的矩形），又是菱形（有一个角是直角的菱形）。 二、正方形性质 1.边：正方形的四条边都相等。 2.角：正方形的四个角都是直角。 3.对角线：正方形的对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 4.对称性：正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，有四条对称轴（两条对角线，两组对边的中垂线）。 三、正方形判定定理 1.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 2.一组邻边相等，一个角为直角的平行四边形是正方形。 3.对角线互相垂直的矩形是正方形。 4.邻边相等的矩形是正方形。 5.有一个角是直角的菱形是正方形。 6.对角线相等的菱形是正方形。 四、与平行四边形、矩形、菱形的关系 正方形是特殊的平行四边形、矩形和菱形，具有它们所有的性质，并且在边、角和对角线方面都具有更多的特性。 巩固课内例1:正方形的性质 1．如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质，求得∠BAE=38°，根据正方形的性质，求得∠DBA=45°，∠ABH=135°，利用四边形的内角和定理计算即可． 【详解】根据旋转的性质，得∠BAE=38°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DBA=45°，∠ABH=135°， ∵四边形AEFG是正方形， ∴∠E=90°， ∴∠DHE=360°-90°-38°-135°=97°， 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，四边形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质，旋转的性质是解题的关键． 2．将矩形纸片按如图所示的方式折叠，使点A恰好落上的点F处，折痕为，将纸片沿剪下，则折叠部分是一个正方形，其用到的正方形判定方法是 ． 【答案】有一组邻边相等的矩形是正方形 【分析】此题考查正方形的判定，折叠的性质，根据折叠得到，即可判定正方形，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键 【详解】解：由折叠得， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， 故答案为：有一组邻边相等的矩形是正方形 3．如图，四边形和四边形 都是正方形，点E在边上，请仅用无刻度直尺完成下列作图（只能应用直尺进行连线，并保留画图的痕迹） ． (1)如图1， 过点E， 作线段的垂线； (2)如图2， 在上确定一点P，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查无刻度直尺作图，全等三角形的判定及性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，理解并掌握相关图形的性质是解决问题关键． （1）连接，并延长交于，通过证明得到，然后证明，从而确定点满足条件； （2）连接，并延长交于，先证明，则，然后证明得到，从而确定点满足条件． 【详解】（1）解：连接，并延长交于， ∵四边形和四边形 都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， 又∵， ∴，则， 故点即为所求； （2）连接，并延长交于， ∵四边形和四边形 都是正方形， ∴，，， ∴，则， ∴，则， ∴， ∴， ∴， 故点即为所求． 巩固课内例2:正方形的判定 1．如图，将长方形纸片折叠，使A点落在 上 的F 处，折痕为， 若 沿 剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（    ）   A．有一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．两个全等的直角三角形构成正方形 D．轴对称图形是正方形 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定定理，矩形的性质，解题的关键是掌握邻边相等的矩形是正方形；由矩形的性质可得，由折叠可知，， ，即可证明四边形是正方形． 【详解】解：四边形是矩形， ， 由折叠可知，， ， ∴四边形是正方形， 故选：． 2．四边形的对角线，分别过A，B，C，D作对角线的平行线，所成的四边形是 ． 【答案】正方形 【分析】本题主要考查了正方形的判定，平行四边形的性质与判定，根据题意作图，先证明四边形是平行四边形，再证明，即可证明四边形为正方形． 【详解】解：如图所示，， ∴四边形、四边形、四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴平行四边形是正方形， 故答案为：正方形．    3．如图，在中，过边上的点作，交于点，交于，连接． (1)若平分，则四边形是什么四边形？并说明理由． (2)若，则四边形是什么四边形？并说明理由． (3)在（2）的条件下，给添加一个条件___________使四边形是正方形，并说明理由． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析； (2)四边形是矩形，理由见解析； (3)平分，理由见解析； 【分析】此题是四边形综合题，考查平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定和正方形的判定，关键是根据平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定和正方形的判定的方法解答． （1）根据两组对边平行的四边形是平行四边形，再根据证明与全等，进而得出，利用邻边相等的平行四边形是菱形解答即可； （2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答即可； （3）根据有一个角是直角的菱形是正方形解答即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴四边形是平行四边形； ∵平分， ∴， 又四边形是平行四边形， ∴， 在与中， ， ， ， 是菱形； （2）四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形； （3）添加平分，使得四边形是正方形，理由如下： 由（2）可知，是矩形， 又平分， 由（1）可知是菱形 ∴四边形是正方形， 故答案为：平分． 类型一、正方形的性质理解 1．如图，四边形是正方形，直线l是正方形的一条对称轴，E是边的中点，F是边的中点，点G在边上，且，则点E关于直线l的对称点可能是（　　） A．点C B．点D C．点F D．点G 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的对称性，利用数形结合思想解答是解题的关键．画出正方形的对称轴，根据图象即可判断求解． 【详解】如图，正方形有4条对称轴， 由图可知，E关于直线l的对称点可能是点， 故选：C． 2．如图，正方形的边长为，平行于轴，点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形性质以及正方形的性质，根据正方形的性质及边长结合已知推出轴，轴，继而确定点的横、纵坐标．解题的关键是明确正方形的各条边相等，能根据图形找出它们之间的关系． 【详解】解：∵正方形的边长为，平行于轴， ∴，即，轴， ∴轴，轴， ∵点的坐标为， ∴点的横坐标为，纵坐标为：， ∴点的坐标为． 故答案为：． 3．如图，四边形是正方形，点E在边上，连接，将旋转得到． (1)旋转中心是点 ，旋转角 ； (2)若，，求的长． 【答案】(1)A，90 (2) 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质： （1）根据正方形的性质得到的度数即可得到旋转角度，再由题意可得旋转中心为点A； （2）根据旋转的性质得到的长，根据正方形的性质得到的长，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵将旋转得到， ∴旋转中心是点A，旋转角； （2）解：由旋转的性质可得， 由正方形的性质可得， ∴． 类型二、正方形的判定理解 1．下列结论正确的是（   ） A．如果一个四边形是轴对称图形，而且有两条互相垂直的对称轴，那么这个四边形一定是菱形 B．如果一个四边形，既是轴对称图形，又是中心对称图形，那么这个四边形一定是正方形 C．如果一个菱形绕对角线的交点旋转后，所得图形与原图形重合，那么这个菱形是正方形 D．一个直角三角形绕斜边的中点旋转后，原图形与所得的图形构成的四边形一定是正方形 【答案】C 【分析】此题考查正方形及菱形的判定定理以及旋转的性质．根据正方形的判定定理及菱形的判定定理结合旋转的性质依次判断即可． 【详解】解：A、如果一个四边形是轴对称图形，而且有两条互相垂直的对称轴，那么这个四边形可能是矩形，也可能是菱形，故本选项不符合题意； B、如果一个四边形，既是轴对称图形，又是中心对称图形，那么这个四边形可能是正方形，也可能是菱形，故本选项不符合题意； C、如果一个菱形绕对角线的交点旋转后，所得图形与原图形重合，那么这个菱形是正方形，故本选项符合题意； D、一个直角三角形绕斜边的中点旋转后，原图形与所得的图形构成的四边形，可能是正方形，也可能是矩形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．对角线互相垂直且相等的平行四边形是 ． 【答案】正方形 【分析】根据正方形的判定方法进行判断． 【详解】解：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，理由如下： ∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形， ∴对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形， 故答案为：正方形． 【点睛】本题考查了正方形的判定：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角． 3．如图,在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.请用无刻度的直尺，按下列要求，分别在网格中画出顶点在格点上的图形. (1)在图①中画出一个边长为 5的三角形，并判断该三角形的形状； (2)在图②中画一个面积为 10的正方形； (3)在图③中画一个周长为的菱形. 【答案】(1)图见解析，证明见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理、菱形和正方形的判定等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是作图的关键. （1）利用勾股定理及其逆定理作图即可； （2）根据网格的特点和正方形的判定作图即可； （3）根据网格的特点和菱形的判定作图即可. 【详解】（1）如图，即为所求， ∵, ∴ ∴是直角三角形， （2）如图，正方形即为所求， （3）如图，菱形即为所求， 类型三、添加条件证正方形 1．如图在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，且，为了使四边形是正方形．可以添加一个条件（   ）      A． B． C． D．E为的中点 【答案】C 【分析】根据菱形的判定定理，正方形的判定定理解答即可． 本题考查了菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，交于点E， ∴，，， ∵， ∴, ∴四边形是菱形， 故A不符合题意； 当添加时，则四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故B不符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴菱形是正方形， 故C符合题意； 当E为的中点时，得到 无法判定菱形是正方形， 故D不符合题意； 故选：C． 2．在矩形中，对角线交于点O，要使矩形成为正方形，需添加的条件是 （写出一个符合要求的条件）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用， 【详解】解：添加的条件可以是．理由如下： ∵四边形是矩形，， ∴四边形是正方形． 故答案为：（答案不唯一）． 3．如图，，，，分别是四边形各边的中点，顺次连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当四边形的对角线，满足______时，四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行四边形和正方形的判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）连接，首先根据三角形中位线的性质得到，且，，且，进而得到，且，即可证明出四边形是平行四边形； （2）连接，，同理可得，，，进而得到当时，，证明出平行四边形是菱形，然后由推理得到，进而证明出菱形是正方形． 【详解】（1）解：如图所示，连接 ∵点是的中点，点是的中点， ∴，且， ∵点是的中点，点是的中点， ∴，且， ∴，且 ∴四边形是平行四边形； （2）解：当，且时，四边形是正方形． 理由如下： 如图所示，连接， ∵由（1）得， 同理可得，， ∴当时， ∴平行四边形是菱形 当时， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴菱形是正方形． 类型四、证四边形是正方形 1．下列说法中不正确的是（    ） A．对角线互相垂直的菱形是正方形 B．有一个角是直角的菱形是正方形 C．有一组邻边相等的矩形是正方形 D．对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 【答案】A 【分析】本题考查命题与定理，正方形的判定等知识，根据正方形判定方法，一一判断即可． 【详解】解：A、对角线互相垂直的菱形是正方形，是假命题，推不出正方形，本选项符合题意． B、有一个角是直角的菱形是正方形是真命题，本选项不符合题意． C、有一组邻边相等的矩形是正方形是真命题，本选项不符合题意． D、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，是真命题，本选项不符合题意． 故选：A． 2．在平行四边形中，对角线、相交于点，是边上的一个动点（不与、重合），连接并延长，交于点，连接，，下列四个结论中： ①对于动点，四边形始终是平行四边形； ②若，则至少存在一个点，使得四边形是矩形； ③若，则至少存在一个点，使得四边形是菱形； ④若，，则至少存在一个点，使得四边形是正方形． 以上所有正确说法的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查平行四边形以及几种特殊平行四边形的判定．熟悉平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法是解答此题的关键． 由于经过平行四边形的中心，故四边形一定也是平行四边形，这可以通过证明与相等来说明．然后只要让平行四边形再满足适当的特殊条件就可以变成对应的特殊平行四边形，逐一进行判断即可． 【详解】解：如图1， ∵四边形为平行四边形，对角线与交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又：∵， ∴四边形为平行四边形， 即在上任意位置(不与、重合)时，四边形形为平行四边形，故①正确； 如图2， 当时，点不在边上，故②错误． 如图3， 当时，四边形为菱形，故③正确． 由丙知，若，则至少存在一个点，使得四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴若，则至少存在一个点，使得四边形是正方形，故④正确． 故答案为：①③④． 3．中，点O是上一动点，过点O作直线，若交的平分线于点E，交的平分线于点F，连接、．    (1)、的数量关系：________． (2)当点O运动到何处时，四边形是矩形，证明你的结论． (3)在（2）的条件下，当满足________时，四边形为正方形． 【答案】(1)，理由见解析； (2)当点运动到的中点时，四边形是矩形，理由见解析； (3)为直角的直角三角形． 【分析】（1）由已知分别平分和可推出所以得； （2）由（1）得出的点运动到的中点时，则由所以这时四边形是矩形． （3）由已知和（2）得到的结论，点运动到的中点时，且满足为直角的直角三角形时，则推出四边形是矩形且对角线垂直，所以四边形是正方形． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， 又∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：当点运动到的中点时，四边形是矩形，理由如下： ∵当点运动到的中点时，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴，即， ∴四边形是矩形； （3）解：当点运动到的中点时，且满足为直角的直角三角形时，四边形是正方形， ∵由（2）知，当点运动到的中点时，四边形是矩形， ∵ 当则， ∴四边形是正方形， 故答案为：为直角的直角三角形． 【点睛】此题考查了是正方形和矩形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键． 类型一、运用正方形的性质求角度 1．如图，延长正方形边至点，使，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，连接，根据题意可得，则，由外角的性质可得：，即可求解． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，且， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 2．如图，在正五边形的内部，以边为边作正方形，连接，则 ． 【答案】81 【分析】本题考查正多边形的内角问题，正方形的性质，等腰三角形的性质等．先根据正多边形内角公式求出，进而求出，最后根据求解． 【详解】解：正五边形中，，， 正方形中，，， ，， ， ， 故答案为：81． 3．如图，四边形是正方形，延长到点，使，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；根据正方形的性质可得，进而根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∵， ∴． 类型二、运用正方形的性质求长度 1．如图以的斜边为边在的同侧作正方形．设正方形的中心为O，连接．若，，则的长为（   ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，能熟练地运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键． 在上截取，连接，推出，证，推出，，得出等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵，，， ∴， 在上截取，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴，， ∴， 在和中 ， ， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 即是等腰直角三角形， 则， ∴． 故选：C． 2．如图，点在正方形的边上，连接，过点作交于点，以为边，在右侧作正方形，连接．已知，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，由四边形是正方形，得，，然后证明，由性质可得，通过勾股定理求出，过作，交延长线于点，再证明，由全等三角形的性质得，，最后由勾股定理即可求解，掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， 如图，过作，交延长线于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴由勾股定理得：， 故答案为：． 3．如图，边长为6的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，求的长． 【答案】 【分析】先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，继而得到，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用勾股定理、含角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵边长为6的正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得∶， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 类型三、运用正方形的性质求面积 1．如图，中，，，．分别以，，为边在的同侧作正方形，，，四块阴影部分的面积分别为，，，．则等于（   ）    A．64 B．60 C．56 D．52 【答案】B 【分析】本题考查以直角三角形三边为边长的正方形构成图形的面积，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关定理，证明全等三角形，将阴影面积转化为是解题关键． 过点作的垂线交于点，利用全等三角形的性质与判定，通过证明，依此即可求解． 【详解】过点作的垂线交于点，连接，    因为四边形，，是正方形， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 2．如图，，四边形是正方形，若，则的面积等于 ． 【答案】12 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．延长，过点作直线的垂线，垂足为，证明，推出，求得，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，延长，过点作直线的垂线，垂足为， 四边形是正方形， ，， ， ，， ∴，， 在和中，， ， ， ， ， 故答案为：12． 3．四边形和四边形都是正方形、、、三点在同一直线上． (1)如图1，点在线段上，点在线段上，延长，分别交，于点，，连接，，． ①若，求三角形的面积； ②若正方形和正方形的边长分别为，且，，记三角形的面积为，四边形的面积为，用含有，的代数式表示，并求出的值； (2)如图2，点，分别在线段，的延长线上，连接，记正方形和正方形的面积分别为，．若，，则直接写出的面积．（用含，的代数式表示） 【答案】(1)①18；②11． (2) 【分析】本题主要考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、完全平方公式等知识点，灵活运用完全平方公式以及整体思想成为解题的关键． （1）①先说明，然后运用三角形面积公式求解即可；②结合①可得，则、，则，整理后得到，然后代入计算即可； （2）设正方形的边长为a，则小正方形的边长为，的面积，由题意可得，由可得，整理得，然后求解即可． 【详解】（1）解：①∵四边形和四边形都是正方形， ∴，四边形是矩形， ∴，即 ∴， ∴， ∴三角形的面积为； ②∵若正方形和正方形的边长分别为， ∴结合①可得，则， ∵， ∴ ． （2）解：设正方形的边长为a，则小正方形的边长为，的面积， ∴， ∵， ∴，即，解得：． ∴的面积为． 类型四、正方形在坐标系中的坐标 1．如图，平面直角坐标系的原点是正方形的中心，顶点，的坐标分别为、，把正方形绕原点逆时针旋转45°得到正方形，则正方形与正方形重叠部分形成的正八边形的边长为（     ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】连接，先根据正方形的得出的长，再根据旋转的性质得出的长、以及的度数，然后根据等腰直角三角形的性质、线段的和差即可得． 【详解】如图，连接 ，四边形为正方形 由旋转的性质得： 是等腰直角三角形，且 是等腰直角三角形 同理： 即所求的正八边形的边长为 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质等知识点，理解题意，掌握并灵活运用正方形和旋转的性质是解题关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点D在y轴上且，，则点C的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点，根据题意，作出辅助线是解题关键． 作轴于点M，轴于点N，只要证明，即可推出，由，，推出，进而得出即可得出点坐标，同理证明，，即可得出C点坐标． 【详解】解：如图， ， 作轴于点M，轴于点N， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， 同理可证，， ∴点C的坐标为 3．在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为，动点沿边从向以每秒的速度运动至，同时动点沿边从向以同样的速度运动，当其中一个点停止时，另一个也停止运动，设运动时间为秒，连接、交于点． (1)如图，线段和有什么关系，并说明理由． (2)当 秒时线段最小，最小值为 ; (3)如图，为中点，除了点，坐标轴上是否存在点，使，若存在，求点的坐标． (4)如图，为中点，点是直线上一点，点是平面内任意一点，当四边形为菱形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)且，见解析 (2)，； (3)存在，或或； (4)点的坐标为或． 【分析】根据正方形的性质可得、，利用可证利用全等三角形的性质可证且； 把、用含的代数式表示出来，利用勾股定理得到，根据平方的非负性可得的最小值； 设点的坐标为，则，根据可得关于的方程，解方程求出点的坐标； 根据菱形的性质可得，用待定系数法求出的解析式，根据菱形的性质可知且过原点，从而可得直线的解析式，根据解析式设点的坐标为，利用勾股定理可得关于的方程，解方程求出点的坐标． 【详解】（1）解：且， 理由如下， 四边形为正方形， ，， 当运动秒时，， ， ， 在和中， ， ，， 在中，， ， ， ， 且； （2）解：如下图所示，连接， 四边形为正方形，点的坐标为， ， 当运动秒时，，， 在中，， ， 整理得：， 当时，线段有最小值，最小值为， 故答案为：，； （3）解：如下图所示，连接， 四边形为正方形，点的坐标为， ， 点是的中点， ， ， 当点在轴上时， 设点的坐标为，则， ， ， ， 解得：， 解得：或， 点的坐标为或， 当点在轴上时， 设点的坐标为，则， ， ， ， 解得：， 解得：或， 点的坐标为或， 与点重合，故应舍去， 综上所述点的坐标为或或； （4）解：如下图所示，过点作轴垂足为点，作轴垂足为点， 点为的中点， ， 点的坐标为，点的坐标为， ，四边形是菱形， ， 设直线的解析式为， 把点、的坐标代入解析式可得：， 解得：， 直线的解析式为， 四边形是菱形， ， 直线的解析式为， 设点的坐标为， 在中有， ， 解得：， 当时，， 当时，， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查四边形综合应用、全等三角形判定与性质、相似三角形判定与性质、菱形、一次函数的图象与性质，解决本题的关键是画出图形，利用数形结合的思想解决问题． 类型一、正方形的平移 1．如图，正方形的边长为，将该正方形沿方向平移，得到正方形，交于点E，交于点F，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平移的性质，正方形的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键，连接，则，得出是等腰直角三角形，进而即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵正方形平移得到正方形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵, ∴， 故选：C． 2．如图，四边形是正方形，顶点在直线：上．将正方形沿轴正方向平移个单位长度，若正方形的在轴上方的其他顶点恰好落在直线上，则的值为 ． 【答案】1或4 【分析】过点A和点C作x轴的垂线，垂足分别为点D和点E，过点D作于点F，通过证明，，得出点C和点B的坐标，再求出直线的解析式为，设点C平移后的点为，点B平移后的点为，根据平移的性质可知，点C和点纵坐标相等，点B和点纵坐标相等，求出点和的坐标，即可解答． 【详解】解：过点A和点C作x轴的垂线，垂足分别为点D和点E，过点D作于点F，    ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点C平移后的点为，点B平移后的点为， ①当在l上时，， 解得：， ∴， ∴， ②当在l上时，， 解得：， ∴， ∴； 故答案为：1或4． 【点睛】本题考查了正方形的性质，一次函数，全等三角形的判定和性质，平移的性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造全等三角形，掌握正方形的性质，平移的性质，以及用待定系数法求解一次函数解析式的方法和步骤． 3．阅读与思考 下面是小颖的一篇数学探究活动日记，请仔细阅读并完成相应任务． 平移的巧妙运用 平移是初中常见的几种几何变换之一，它可以在不改变线段或角的大小的情况下，将线段或角平移到一个新的位置，使得复杂问题简单化，从而快速解决数学问题．例如下面的结论及证明过程： 结论：如图①，在正方形中，点E，F，G分别在边上，且．则 该结论的一种证明过程如下： 如图①，过点A作交于点H，交于点P， ∵四边形是正方形， ,， （依据）， … 任务： (1)请写出上述证明过程中括号内“依据”的内容： ； (2)请将该探究活动日记中结论的证明过程补充完整； (3)如图，在由边长均为1的小正方形组成的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，且线段AB与CD交于点O，请根据材料中的思路，求的度数． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）上述证明过程中括号内“依据”的内容为：； （2）根据全等三角形的性质得到，可证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质即可求证； （3）将线段沿向右平移两个格点得到线段，连接，由平移可得，则，由勾股定理得，，故，则是等腰直角三角形，则，故． 【详解】（1）解：上述证明过程中括号内“依据”的内容为：， 故答案为：； （2）解：证明过程补充如下： ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴； （3）解：将线段沿向右平移两个格点得到线段，连接，如图： 由平移可得， ∴， ∵正方形网格中每个小正方形的边长均为1， ∴由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理逆定理，等腰三角形的判定与性质，平移的性质等，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 类型二、正方形的折叠 1．如图，将正方形纸片折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，熟练掌握正方形的性质，轴对称的性质是解题的关键．由在正方形中可求出，从而得到，由折叠可得，再根据正方形中，求得． 【详解】解：∵在正方形中，，， ∴， ∴， 由折叠可得， ∵在正方形中，， ∴． 故选：C． 2．取一张正方形纸片，先折叠成两个全等的矩形得到折痕，然后展开，再把沿折叠，使点落在折痕上，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】此题考查了翻折变换，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握翻折的性质． 折叠性质可得，则可证明是等边三角形，根据性质可知，最后利用三角形外角性质即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接，      由题意可知：垂直平分， ∴， 由折叠性质可知：，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 故答案为：． 3．如图，将正方形折叠，使点B落在边的中点Q处，点A落在P处，折痕为．已知长为． (1)求线段的长； (2)线段的长． 【答案】(1)16 (2)6 【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，勾股定理： （1）根据正方形的性质可得，据此可解； （2）由折叠的性质得，利用勾股定理解即可． 【详解】（1）解：正方形中，，， ， ； （2）解： 由（1）知， 点Q为的中点， ， 由折叠的性质得， 设，则， 在中，， ， 解得， 即线段的长为6． 类型三、正方形的旋转 1．如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，……，则正方形铁片连续旋转2025次后，点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形的变化、规律型：点的坐标，全等三角形的性质和判定，旋转的性质等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型． 首先求出的坐标，探究规律后，利用规律解决问题． 【详解】解：∵，，根据题意点P也是绕正方形右下角的顶点按顺时针方向依次旋转， 过点P和点作， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴第一次旋转后， 同理第二次旋转后， 第三次旋转后， 第四次旋转后， 第五次旋转后， 发现点P的位置4次一个循环， ∵， 的纵坐标与相同为2，横坐标为， ∴， 故选：D． 2．如图，四边形是正方形，点E在边上，，若线段绕点A逆时针旋转后与线段重合，点F在边上，则旋转角的度数是 ．    【答案】/度 【分析】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定与性质及旋转性质，根据正方形性质先证明，再根据全等三角形的性质求出，即可求出结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵线段绕点逆时针旋转后与线段重合， ∴， ∴， ∴， ∴； 即旋转角的度数为； 故答案为：． 3．【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是________． ②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①，②，理由见解析；（2），证明见解析；（3）或． 【分析】（1）①证明，由全等三角形的性质即可得到，从而可得；②由①的结论及勾股定理即可得到三线段间的数量关系； （2）由矩形的性质可证明，则有；再由矩形的性质及线段垂直平分线的性质可得；在中，由勾股定理及等量代换可得 ； （3）分两种情况：点E在边上；点E在延长线上；由（2）的结论及勾股定理即可解决． 【详解】（1）解：①∵四边形、四边形均为正方形， ∴，，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ②在中，， 而，， ∴； （2）解：三线段间的数量关系为：； 证明如下： ∵四边形、四边形均为矩形，矩形的中心为O， ∴，， ， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴； 在中，由勾股定理得：， ∴； （3）解：①当点E在边上时； 由（2）的结论知：； 另一方面，在中，由勾股定理得：， 即； 设，则，而， ∴， 解得：， 即； ②当点E在延长线上时，如图； 把补成矩形，延长交延长线于点P，连接， 与（2）证法相同，同样有， 另一方面，在中，由勾股定理得：， 即； 设，则，而， ∴， 解得：， 即； 综上，的长为或． 【点睛】本题是四边形的综合，考查了矩形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，旋转的性质等知识，证明三角形全等是问题的关键． 类型四、一次函数中的正方形 1．已知一次函数与坐标轴交于点和点，如图，以为边作正方形，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图像与坐标轴的交点坐标和正方形的性质，先根据正方形的性质证明，得出，，再求出一次函数与坐标轴的交点坐标，即可得出点的坐标．得出，是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点， ∴， ∵轴轴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵一次函数与坐标轴交于点和点， 当时，则；当时，则，得， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴点的坐标是． 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，以为边作正方形，点C的坐标在一次函数上，一次函数与x轴交于点E，与y轴交于点F，将正方形沿x轴向左平移a个单位长度后，点D刚好落在直线上，则a的值为 ．    【答案】 【分析】由点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出值，进而可得出直线的函数解析式，过点作轴于点，过点作轴于点，则及，利用全等三角形的性质，可求出点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点平移后的横坐标，结合平移前点的横坐标，即可求出结论． 【详解】解：点的坐标在一次函数上， ， 解得：， 直线的函数解析式为， 过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示．   四边形是正方形， ，． ，， ． 在和中， ， ， ，， 点的坐标为，点的坐标为． 同理，可证出， ，， ， 点的坐标为． 当时，， 解得：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，平移的点的坐标变换，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，掌握全等三角形的判定与性质、正方形的性质，求出点的坐标是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别落在轴、轴上，点，一次函数的图像与轴、边交于点、． (1)求的长； (2)若点是轴上一动点，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)点是一次函数图像上一动点，且点在第二象限，点是轴上一个动点，点是平面内一点，若以、、、为顶点的四边形是正方形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)的坐标是或 (3)的坐标是或 【分析】本题考查了一次函数条件下的平行四边形和正方形的存在性，熟练掌握一线三直角是解题的关键． （1）过点作轴，垂足为，根据直线的解析式求出点的坐标，再求出，最后根据勾股定理即可求解； （2）画出图像，分为点在直线的上方和下方两种情况讨论； （3）分为两种情况讨论，利用一线三直角证明三角形全等，求出点、的坐标，再利用平移的性质得到点的坐标． 【详解】（1）如图1，过点作轴，垂足为，则， （图1） 对于一次函数， 当时，，， 当时，，， ， ； （2）如图2，以、、、为顶点的四边形是平行四边形， （图2）且， ， 或， 点的坐标是或； （3）分两种情形： ①如图3，过点作于，则， （图3）四边形是正方形， ，， ， ，， ， 点的坐标是， 将代入得：， 点的坐标是， 点的坐标是， 由平移可得点的坐标是； ②如图4，过点作轴于． （图4）四边形是正方形， ，， ， ，． 设，则， 则， 点的坐标是， ， ， 点的坐标是， 点的坐标是， 由平移可得点的坐标是， 综上所述，点的坐标是或． 类型五、正方形动点求t 1．如图1，将正方形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，其余各边均与坐标轴平行，平行于的直线l沿轴的负方向以每秒1个单位的速度平移，平移过程中，直线l被正方形的边所截得的线段长为，平移时间为t（秒），与的函数图象如图2，依据条件信息，求出图2中的值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，一次函数图象与几何变换，正方形性质，勾股定理等知识，由直线l与直线平行，即直线l沿x轴的负方向平移时，同时经过B，D两点，再根据的长即可得到a的值． 【详解】解：∵直线l与直线平行， ∴直线l沿x轴的负方向平移时，同时经过B，D两点， 由图2可得，时，直线l经过点A，时，直线l经过点C， ∴当时，直线l经过B，D两点， ， 为正方形， ∴， ， 故选：A． 2．已知正方形中，．动点P以每秒1个单位速度从点B出发沿线段方向运动，动点Q同时以每秒4个单位速度从A点出发沿正方形的边方向顺时针作折线运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t．连接，当以点Q及正方形的某两个顶点组成的三角形和全等时，则t为 ． 【答案】或或或 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质．分五种情况，结合全等三角形的性质得到关于t的方程，即可求解． 【详解】解：当Q在上时，如图所示： 此时， ∴，即， 解得； 当Q在边上时，有两个位置，如图所示： 若Q靠近点D，则， ∴，即， 解得； 若Q靠近点C，则， ∴，即， 解得； 当Q在边上时，如图所示： 此时， ∴，即，解得， 因为当点P与点Q相遇时停止运动， 所以，所以不合题意； 当P、Q在上重合时，和全等，如图所示： ∴此时． 故答案为：或或或． 3．如图，直角梯形中，，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点作于点，连接交于点，连接设运动时间为秒． (1)______，______（用含的代数式表示） (2)当四边形为平行四边形时，求的值； (3)如图，将沿翻折，得，是否存在某时刻， ①使四边形为为菱形，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； ②使四边形为正方形，则______． 【答案】(1)， (2) (3)①，理由见解析；② 【分析】（1）由，根据即可求出；先证明四边形为矩形，得出，则； （2）根据四边形为平行四边形时，可得，解方程即可； （3）①由，可得当时有四边形为菱形，列出方程，求解即可； ②当四边形为正方形时，由翻折可得，则，由，可得，利用勾股定理求得即可． 【详解】（1）解：如图1． ， ， ∵在直角梯形中，于点， ∴四边形为矩形， ∴， ， 故答案为：． （2）解：∵四边形为平行四边形时，， ， 解得：； （3）解：①存在时刻，使四边形为菱形． 理由如下： 根据翻折得， ， ∴共线， ∴当时，互相垂直平分， 有， 则，则四边形为菱形， ， 解得：； ②当四边形为正方形， 则， ， ， 则， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了四边形综合题，其中涉及到直角梯形的性质，矩形的判定与性质，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，正方形的性质等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键． 类型六、正方形中的最值 1．如图，正方形边长为2，E是中点，点P是上任一点，则的最小值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】连接，，由正方形的性质可知，点关于的对称点为点，因而，进而可得，根据两点之间线段最短可得，就是的最小值，也就是的最小值，然后利用正方形的性质得出，的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接，， 四边形是正方形，且是对角线， 点关于的对称点为点， ， ， 根据两点之间线段最短可得，就是的最小值，也就是的最小值， 正方形边长为2，E是中点， ，，， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），正方形的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短，线段中点的有关计算，勾股定理等知识点，利用正方形的性质找出点的对称点是解题的关键． 2．如图，正方形的边长为，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】由题意分析可知，点为主动点，为从动点，所以以点为旋转中心构造全等关系，得到点的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得最小值． 【详解】解：由题意可知，点是主动点，点是从动点，点在线段上运动，点也一定在直线轨迹上运动，    将绕点旋转，使与重合，得到， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， 点在垂直于的直线上， 过点作，    则即为的最小值，过点作， 则四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 则， 故的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，正方形的性质，矩形的性质和判定，线段最值问题，解题的关键是：分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点的运动轨迹是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是最值问题中比较典型的类型． 3．问题情境：如图，在正方形中，点分别在边上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）直接判断： （填“”或“”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 问题探究： （2）如图，在正方形中，点分别在边和上，且，垂足为．那么与相等吗？证明你的结论； 问题拓展： （3）如图，点在边上，且，垂足为，当在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处． 四边形是正方形吗？请说明理由； 若，点在上，，直接写出的最小值为 ． 【答案】（）；（），理由见解析；（）四边形是正方形，理由见解析；． 【分析】（）证明即可得出结论； （）过点作，证明，由此可得； （）如图， 连接，证明，所以，，由折叠可知，，，由四边形内角和和平角的定义可得，所以，则，所以四边形是菱形，再由“有一个角是直角的菱形是正方形”可得结论； 作交的延长线于点，作于点，可证明，由此可得，易证是等腰直角三角形，所以，则，可得，则，作关于的对称点，则 ，可得， 求出的值即可得出结论． 【详解】（）∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 故答案为：； （），理由如下: 如图，过点作交于点，交于点， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （）如图，连接， 由（）的结论可知，， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴，，由折叠可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形, ∵， ∴菱形是正方形； 如图，作交的延长线于点，作于点， ∴， 由上知四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，作关于的对称点，则，过点作交延长线于点，则是等腰直角三角形， 即当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 1．如图，四边形是正方形，是等边三角形，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质．先根据正方形的性质得到，，再根据等边三角形的性质得到，，所以，，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算的度数，进而可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，的坐标分别是，，则顶点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题结合坐标系考查了正方形的性质，关键灵活运用正方形的性质进行线段计算，得出点的坐标．根据、的互相垂直平分，且，即有，问题得解． 【详解】解：连接 ，交于点， ， ， 四边形是正方形， 、的互相垂直平分，且， ，， ∴点坐标， 故选：B． 3．如图，在边长为的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接平分交于点．若，则的长度为（　　）    A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质、三角形全等的判定及性质等，掌握正方形的性质、三角形全等的判定及性质和角平分线的定义、勾股定理是解题的关键． 根据正方形的性质及三角形全等的判定及性质，证明；利用角平分线的定义及三角形全等的判定及性质，证明；设，将和分别表示出来，在中根据勾股定理列关于x的方程并求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， 设，则，，， 在中，根据勾股定理，得，即， 解得． 故选：D． 4．如图，点E在正方形的边上，若，，那么正方形的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，由勾股定理得，即可求解；掌握正方形的性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， 故答案：． 5．如图，正方形中，点是的中点，与关于所在直线对称，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，射线交于点．若，则线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了旋转的性质，轴对称的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质．由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，通过证明是等腰直角三角形，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∵与关于所在直线对称， ∴，，， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转90°得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．如图，在正方形中，取的中点，连接，延长至点，使，以线段为边作正方形，点在线段上，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用勾股定理成为解题的关键． 设正方形的边长为，则，，由勾股定理可得，进而得到、、，最后代入计算即可． 【详解】解：设正方形的边长为，则，， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 7．如图所示，在正方形中，是的中点，是上一点，且．试说明：是直角三角形． 【答案】见解析 【详解】解：设正方形的边长为，则． 在中，， 在中，， 在中，， 所以，所以是直角三角形． 8．如图是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，点、均在小正方形的顶点上．按下列要求作图，且所画的点均在小正方形的顶点上． (1)在图①中画出以、、、为顶点的四边形，使其是中心对称图形，但不是轴对称图形，且面积为10； (2)在图②中画出以、、、为顶点的四边形，使其既是轴对称图形，又是中心对称图形，且面积为15． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的性质，平行四边形的性质，矩形的性质，网格与勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）作出四边形为平行四边形，且运用割补法列式算出平行四边形的面积为10； （2）依题意，作出四边形为矩形，且，，结合矩形的面积公式为． 【详解】（1）解：四边形即为所求，如图所示： 则四边形为平行四边形，是中心对称图形，且 则 ∴平行四边形的面积为10； （2）解：如图，四边形即为所求． 依题意，四边形为矩形，既是轴对称图形，又是中心对称图形， 且，， ∴矩形的面积公式为． 9．如图，P为正方形的边上一动点（P与B、C不重合），连接，过点B作交于点Q，将沿所在的直线对折得到，延长交的延长线于点M． (1)试探究与的数量关系，并证明你的结论； (2)当，求的长； (3)当时，请直接写出的长．（用含m，n的式子表示） 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1），证明即可； （2）过点作于，如图．易得，，，然后运用勾股定理可求得即，易得，从而有由折叠可得，即可得到，即可得到．设，则有，．在中运用勾股定理就可解决问题； （3）过点作于，如图，同（2）的方法求出的长，就可得到的长． 【详解】（1）解：． 理由：四边形是正方形， ，， ． ， ， ． 在和中， ， ； （2）解：过点作于，如图． 四边形是正方形， ． ， ，， ， ． 四边形是正方形， ， ． 由折叠可得， ， ． 设，则有，． 在中， 根据勾股定理可得， ∴， 解得． 的长为； （3）解：过点作于，如图．   四边形是正方形，，， ． ， ， ． 设，则有，． 在中， 根据勾股定理可得 ∴， 解得， ． 的长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等知识，设未知数，然后运用勾股定理建立方程，是求线段长度常用的方法，应熟练掌握． 10．在平面直角坐标系中，为原点，点，点，若正方形绕点顺时针旋转，得正方形，记旋转角为． (1)如图，当时，求与的交点的坐标； (2)如图，当时，求点的坐标； (3)若为线段的中点，求长的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）当时，可求出，进而求得的长，即可得出点的坐标； （）过做纵轴平行线交横轴于点，过做横轴平行线交于点，由得到 ，在中，，，得到，在 中，，，得到； （）连接，相交于点，则是的中点, 因为为线段的中点，所以，即点在以K为圆心，为半径的圆上运动，即可得出长的取值范围； 【详解】（1）解：∵，点， ∴， ∵，即 ∴， ∴， 在中，，， 则，， ∴； （2）解：由（）得， 过做纵轴平行线交横轴于点，过做横轴平行线交于点，如图， ∵， ∴， 在中，，，， ∴，， 故； 在中，，， ∴，， 故； （3）解：如图，连接，相交于点， 则是的中点， ∵为线段的中点， ∴， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∵， ∴最大值为，的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形性质，勾股定理，旋转的性质，直角三角形的性质，圆的有关概念，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9.4 正方形 一、正方形定义 正方形是有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形。正方形既是矩形（邻边相等的矩形），又是菱形（有一个角是直角的菱形）。 二、正方形性质 1.边：正方形的四条边都相等。 2.角：正方形的四个角都是直角。 3.对角线：正方形的对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 4.对称性：正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，有四条对称轴（两条对角线，两组对边的中垂线）。 三、正方形判定定理 1.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 2.一组邻边相等，一个角为直角的平行四边形是正方形。 3.对角线互相垂直的矩形是正方形。 4.邻边相等的矩形是正方形。 5.有一个角是直角的菱形是正方形。 6.对角线相等的菱形是正方形。 四、与平行四边形、矩形、菱形的关系 正方形是特殊的平行四边形、矩形和菱形，具有它们所有的性质，并且在边、角和对角线方面都具有更多的特性。 巩固课内例1:正方形的性质 1．如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．将矩形纸片按如图所示的方式折叠，使点A恰好落上的点F处，折痕为，将纸片沿剪下，则折叠部分是一个正方形，其用到的正方形判定方法是 ． 3．如图，四边形和四边形 都是正方形，点E在边上，请仅用无刻度直尺完成下列作图（只能应用直尺进行连线，并保留画图的痕迹） ． (1)如图1， 过点E， 作线段的垂线； (2)如图2， 在上确定一点P，使． 巩固课内例2:正方形的判定 1．如图，将长方形纸片折叠，使A点落在 上 的F 处，折痕为， 若 沿 剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（    ）   A．有一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．两个全等的直角三角形构成正方形 D．轴对称图形是正方形 2．四边形的对角线，分别过A，B，C，D作对角线的平行线，所成的四边形是 ． 3．如图，在中，过边上的点作，交于点，交于，连接． (1)若平分，则四边形是什么四边形？并说明理由． (2)若，则四边形是什么四边形？并说明理由． (3)在（2）的条件下，给添加一个条件___________使四边形是正方形，并说明理由． 类型一、正方形的性质理解 1．如图，四边形是正方形，直线l是正方形的一条对称轴，E是边的中点，F是边的中点，点G在边上，且，则点E关于直线l的对称点可能是（　　） A．点C B．点D C．点F D．点G 2．如图，正方形的边长为，平行于轴，点的坐标为，则点的坐标为 ． 3．如图，四边形是正方形，点E在边上，连接，将旋转得到． (1)旋转中心是点 ，旋转角 ； (2)若，，求的长． 类型二、正方形的判定理解 1．下列结论正确的是（   ） A．如果一个四边形是轴对称图形，而且有两条互相垂直的对称轴，那么这个四边形一定是菱形 B．如果一个四边形，既是轴对称图形，又是中心对称图形，那么这个四边形一定是正方形 C．如果一个菱形绕对角线的交点旋转后，所得图形与原图形重合，那么这个菱形是正方形 D．一个直角三角形绕斜边的中点旋转后，原图形与所得的图形构成的四边形一定是正方形 2．对角线互相垂直且相等的平行四边形是 ． 3．如图,在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.请用无刻度的直尺，按下列要求，分别在网格中画出顶点在格点上的图形. (1)在图①中画出一个边长为 5的三角形，并判断该三角形的形状； (2)在图②中画一个面积为 10的正方形； (3)在图③中画一个周长为的菱形. 类型三、添加条件证正方形 1．如图在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，且，为了使四边形是正方形．可以添加一个条件（   ）      A． B． C． D．E为的中点 2．在矩形中，对角线交于点O，要使矩形成为正方形，需添加的条件是 （写出一个符合要求的条件）． 3．如图，，，，分别是四边形各边的中点，顺次连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当四边形的对角线，满足______时，四边形是正方形． 类型四、证四边形是正方形 1．下列说法中不正确的是（    ） A．对角线互相垂直的菱形是正方形 B．有一个角是直角的菱形是正方形 C．有一组邻边相等的矩形是正方形 D．对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 2．在平行四边形中，对角线、相交于点，是边上的一个动点（不与、重合），连接并延长，交于点，连接，，下列四个结论中： ①对于动点，四边形始终是平行四边形； ②若，则至少存在一个点，使得四边形是矩形； ③若，则至少存在一个点，使得四边形是菱形； ④若，，则至少存在一个点，使得四边形是正方形． 以上所有正确说法的序号是 ． 3．中，点O是上一动点，过点O作直线，若交的平分线于点E，交的平分线于点F，连接、．    (1)、的数量关系：________． (2)当点O运动到何处时，四边形是矩形，证明你的结论． (3)在（2）的条件下，当满足________时，四边形为正方形． 类型一、运用正方形的性质求角度 1．如图，延长正方形边至点，使，则为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在正五边形的内部，以边为边作正方形，连接，则 ． 3．如图，四边形是正方形，延长到点，使，求的度数． 类型二、运用正方形的性质求长度 1．如图以的斜边为边在的同侧作正方形．设正方形的中心为O，连接．若，，则的长为（   ） A．8 B． C． D． 2．如图，点在正方形的边上，连接，过点作交于点，以为边，在右侧作正方形，连接．已知，，则的长为 ． 3．如图，边长为6的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，求的长． 类型三、运用正方形的性质求面积 1．如图，中，，，．分别以，，为边在的同侧作正方形，，，四块阴影部分的面积分别为，，，．则等于（   ）    A．64 B．60 C．56 D．52 2．如图，，四边形是正方形，若，则的面积等于 ． 3．四边形和四边形都是正方形、、、三点在同一直线上． (1)如图1，点在线段上，点在线段上，延长，分别交，于点，，连接，，． ①若，求三角形的面积； ②若正方形和正方形的边长分别为，且，，记三角形的面积为，四边形的面积为，用含有，的代数式表示，并求出的值； (2)如图2，点，分别在线段，的延长线上，连接，记正方形和正方形的面积分别为，．若，，则直接写出的面积．（用含，的代数式表示） 类型四、正方形在坐标系中的坐标 1．如图，平面直角坐标系的原点是正方形的中心，顶点，的坐标分别为、，把正方形绕原点逆时针旋转45°得到正方形，则正方形与正方形重叠部分形成的正八边形的边长为（     ） A． B． C．2 D． 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点D在y轴上且，，则点C的坐标是 ． 3．在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为，动点沿边从向以每秒的速度运动至，同时动点沿边从向以同样的速度运动，当其中一个点停止时，另一个也停止运动，设运动时间为秒，连接、交于点． (1)如图，线段和有什么关系，并说明理由． (2)当 秒时线段最小，最小值为 ; (3)如图，为中点，除了点，坐标轴上是否存在点，使，若存在，求点的坐标． (4)如图，为中点，点是直线上一点，点是平面内任意一点，当四边形为菱形时，请直接写出点的坐标． 类型一、正方形的平移 1．如图，正方形的边长为，将该正方形沿方向平移，得到正方形，交于点E，交于点F，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，四边形是正方形，顶点在直线：上．将正方形沿轴正方向平移个单位长度，若正方形的在轴上方的其他顶点恰好落在直线上，则的值为 ． 3．阅读与思考 下面是小颖的一篇数学探究活动日记，请仔细阅读并完成相应任务． 平移的巧妙运用 平移是初中常见的几种几何变换之一，它可以在不改变线段或角的大小的情况下，将线段或角平移到一个新的位置，使得复杂问题简单化，从而快速解决数学问题．例如下面的结论及证明过程： 结论：如图①，在正方形中，点E，F，G分别在边上，且．则 该结论的一种证明过程如下： 如图①，过点A作交于点H，交于点P， ∵四边形是正方形， ,， （依据）， … 任务： (1)请写出上述证明过程中括号内“依据”的内容： ； (2)请将该探究活动日记中结论的证明过程补充完整； (3)如图，在由边长均为1的小正方形组成的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，且线段AB与CD交于点O，请根据材料中的思路，求的度数． 类型二、正方形的折叠 1．如图，将正方形纸片折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 2．取一张正方形纸片，先折叠成两个全等的矩形得到折痕，然后展开，再把沿折叠，使点落在折痕上，则的度数为 ． 3．如图，将正方形折叠，使点B落在边的中点Q处，点A落在P处，折痕为．已知长为． (1)求线段的长； (2)线段的长． 类型三、正方形的旋转 1．如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，……，则正方形铁片连续旋转2025次后，点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，四边形是正方形，点E在边上，，若线段绕点A逆时针旋转后与线段重合，点F在边上，则旋转角的度数是 ．    3．【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是________． ②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请直接写出线段的长． 类型四、一次函数中的正方形 1．已知一次函数与坐标轴交于点和点，如图，以为边作正方形，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，以为边作正方形，点C的坐标在一次函数上，一次函数与x轴交于点E，与y轴交于点F，将正方形沿x轴向左平移a个单位长度后，点D刚好落在直线上，则a的值为 ．    3．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别落在轴、轴上，点，一次函数的图像与轴、边交于点、． (1)求的长； (2)若点是轴上一动点，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)点是一次函数图像上一动点，且点在第二象限，点是轴上一个动点，点是平面内一点，若以、、、为顶点的四边形是正方形，求点的坐标． 类型五、正方形动点求t 1．如图1，将正方形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，其余各边均与坐标轴平行，平行于的直线l沿轴的负方向以每秒1个单位的速度平移，平移过程中，直线l被正方形的边所截得的线段长为，平移时间为t（秒），与的函数图象如图2，依据条件信息，求出图2中的值为（    ） A． B． C．6 D． 2．已知正方形中，．动点P以每秒1个单位速度从点B出发沿线段方向运动，动点Q同时以每秒4个单位速度从A点出发沿正方形的边方向顺时针作折线运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t．连接，当以点Q及正方形的某两个顶点组成的三角形和全等时，则t为 ． 3．如图，直角梯形中，，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点作于点，连接交于点，连接设运动时间为秒． (1)______，______（用含的代数式表示） (2)当四边形为平行四边形时，求的值； (3)如图，将沿翻折，得，是否存在某时刻， ①使四边形为为菱形，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； ②使四边形为正方形，则______． 类型六、正方形中的最值 1．如图，正方形边长为2，E是中点，点P是上任一点，则的最小值是（   ） A． B．2 C． D． 2．如图，正方形的边长为，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为 ．    3．问题情境：如图，在正方形中，点分别在边上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）直接判断： （填“”或“”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 问题探究： （2）如图，在正方形中，点分别在边和上，且，垂足为．那么与相等吗？证明你的结论； 问题拓展： （3）如图，点在边上，且，垂足为，当在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处． 四边形是正方形吗？请说明理由； 若，点在上，，直接写出的最小值为 ． 1．如图，四边形是正方形，是等边三角形，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，的坐标分别是，，则顶点的坐标是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在边长为的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接平分交于点．若，则的长度为（　　）    A．2 B． C． D． 4．如图，点E在正方形的边上，若，，那么正方形的面积为 ． 5．如图，正方形中，点是的中点，与关于所在直线对称，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，射线交于点．若，则线段的长为 ． 6．如图，在正方形中，取的中点，连接，延长至点，使，以线段为边作正方形，点在线段上，则的值是 ． 7．如图所示，在正方形中，是的中点，是上一点，且．试说明：是直角三角形． 8．如图是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，点、均在小正方形的顶点上．按下列要求作图，且所画的点均在小正方形的顶点上． (1)在图①中画出以、、、为顶点的四边形，使其是中心对称图形，但不是轴对称图形，且面积为10； (2)在图②中画出以、、、为顶点的四边形，使其既是轴对称图形，又是中心对称图形，且面积为15． 9．如图，P为正方形的边上一动点（P与B、C不重合），连接，过点B作交于点Q，将沿所在的直线对折得到，延长交的延长线于点M． (1)试探究与的数量关系，并证明你的结论； (2)当，求的长； (3)当时，请直接写出的长．（用含m，n的式子表示） 10．在平面直角坐标系中，为原点，点，点，若正方形绕点顺时针旋转，得正方形，记旋转角为． (1)如图，当时，求与的交点的坐标； (2)如图，当时，求点的坐标； (3)若为线段的中点，求长的取值范围（直接写出结果即可）． 学科网（北京）股份有限公司 $$