专题三：解答题寒假提升练-2024--2025学年初中数学人教版八年级上册

专题三：解答题 1．（1）计算：； （2）分解因式：． 2．解分式方程： （1）； （2） 3．先化简，再求值：，其中． 4．小美和小聪家住水果湖，周末相约到东湖绿道游玩，小美乘坐地铁，小聪乘坐公交车，同时出发到梨园公交车站汇合． （1）已知乘坐地铁和公交车的路程都是5千米，地铁的平均速度是公交车的两倍，虽然小美进站和出站比小聪上下公交车多花了5分钟，但还是比小聪早到两分半钟．求地铁的平均速度． （2）游玩途径东湖绿道有一家酥饼店，酥饼标价元/斤，小美买了两斤，小聪买了20元钱的酥饼．两人游玩结束返回时，发现酥饼标价变成了元/斤，小美又买了两斤，小聪又买了20元钱的酥饼． ①用，表示小美购买酥饼的平均价格 ▲ ，小聪购买酥饼的平均价格 ▲ ； ②小美和小聪谁的平均价格低？说明理由． 5．甲、乙两人加工同一种零件，乙每天加工的数量比甲每天加工数量多，两人各加工个这种零件，甲比乙多用5天． （1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？ （2）现有个这种零件的加工任务，由甲单独加工m天后剩余任务由乙单独完成，试用含m的代数式表示乙单独完成剩余任务的天数（结果要求化简）； （3）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是元和元，在（2）的情况下，如果总加工费不超过元，那么甲最多加工多少天？ 6．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获．下面用一副三角板（中，，；中，，）拼接图形． （1）如图，点在上，求的度数； （2）如图，点与点重合，交于点，若，判断并证明与的位置关系． 7．已知在中，，点在上，，连接． （1）如图，求证：为等腰三角形； （2）如图，当时，过点作交的延长线于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有顶角等于的等腰三角形． 8．如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在图中画出关于x轴对称的图形；并写出的坐标； （2）在图中，若与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是______，此时C点关于这条直线的对称点的坐标为______； （3）求的面积． 9．“垃圾分一分，环境美十分”．某社区为积极响应有关垃圾分类的号召，从百货商场购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵40元，用3000元购买A品牌垃圾桶的数量是用2000元购买B品牌垃圾桶数量的2倍． （1）购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？ （2）若该社区决定再用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶共60个，恰逢百货商场对这两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按上一次购买时售价的七折出售，B品牌比上一次购买时售价提高了．那么该社区此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？ 10．如图，点是等边的边上一点，，点在上，，点在的延长线上，连接． 图1 图2 （1）如图1，求的度数； （2）如图1，求证：； （3）如图2，分别是上两个动点，满足，当最小时，直接写出的大小为　 　（用含的式子表示）． 11．如图，直线交x轴于，交y轴于，且a，b满足：. 图1 图2 图3 （1）　 　，　 　； （2）点C为x轴负半轴上一点，于H，交于P. ①如图1，求证； ②如图2，若，连接，求的大小； （3）如图3，若点D为的中点，点M为y轴负半轴上一动点，连接，过点D作交x轴于点N，设，试问：当点M在运动过程中，y的值是否发生改变？若改变，求出变化范围；若不改变，求y的值. 12．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF． ​ ​​ ​ （1）求证：AD⊥CF； （2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，点，点B在y轴正半轴上，，． （1）如图1，当时，连接交y轴于点D，写出点C的坐标； （2）如图2，轴于B且，连接交y轴于一点E，在B点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若不变，求出的长度；若变化，请说明理由； （3）如图3，N在延长线上，过作轴于Q，探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． 14．【阅读材料】把代数式通过配、凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算，这种解题方法叫做配方法.配方法在因式分解、解方程、求最值等问题中都有着广泛的应用. 例1：用配方法分解因式：. 解：原式 例2：用配方法求整式的最小值. 解：； ， 整式的最小值为5. 【类比应用】 （1）如果整式（　　）是一个完全平方式，则括号内的常数应为　 　； （2）参考例1的步骤，用配方法分解因式：； （3）参考例2的步骤，用配方法求整式的最小值. 15．央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到：“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． （1）【模型探究】如图1，和中，，，且连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证：． （2）【模型指引】如图2，中，，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求：的度数． 小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点E，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． （3）【拓展延伸】如图3，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点B向右下方延伸．仍在射线上取点D，使，试判断与有何数量关系？并证明． 答案解析部分 1．（1）解：原式 （2）解：原式 2．（1）解：方程两边乘， 得：， 解得：， 检验：当时， 原分式方程的解为． （2）解：方程两边乘， 得， 解得： 检验：当时，， ∴不是原分式方程的解， 原分式方程无解 3．解：原式 当时，原式 4．（1）解：设公交车的平均速度是x千米/小时，则地铁的平均速度是2x千米/小时， 根据题意得：， 解得：x＝20， 经检验，x＝20是所列方程的解，且符合题意， ∴2x＝2×20＝40（千米/小时）． 答：地铁的平均速度为40千米/小时； （2）解：① ②小聪购买酥饼的平均价格低，理由如下： ， ， 小聪的平均价格低. 5．（1）解：设甲每天加工个这种零件，则乙每天加工个这种零件， 依题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意； ∴（个）， ∴甲、乙两人每天各加工，个这种零件； （2）解：依题意得，（天）， ∴乙单独完成剩余任务的天数为天； （3）解：依题意得，， 解得，， ∴甲最多加工天． 6．（1）解：∵，， ∴， ∴ （2）证明：． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：∵，， ∴为顶角等于的等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为顶角等于的等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴和为顶角等于的等腰三角形， 综上，顶角等于的等腰三角形有：、、、． 8．（1）解：即为所求作的三角形，如图所示： 根据图形可得，点的坐标为． （2）y轴； （3）解：． 答：的面积为． 9．（1）解：设一个A品牌的垃圾桶需要x元，则一个B品牌的垃圾桶需要元．根据题意，得：， 解得：， 经检验，是该分式方程的解． ∴ 答：购买一个A品牌需要120元，购买一个B品牌的垃圾桶需160元． （2）解：设该学校此次购买n个B品牌垃圾桶，则购买个A品牌垃圾桶． 根据题意，得， 解得：， ∵n取整数， ∴n的最大值为10， 答：该学校此次最多可购买10个B品牌垃圾桶． 10．（1）解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵∠DBC＝α， ∴∠ABD＝60°−α，∠ABE＝∠ADB＝∠ACB＋∠DBC＝60°＋α， ∴∠DBE＝∠ABE＋∠ABD＝（60°＋α）＋（60°−α）＝120°. （2）证明：在AB上截取BX＝AD，如图所示： ∵AD＝2BF， ∴BX＝2BF， ∴XF＝BF， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝60°，AB＝BC， ∴△ABD≌△BCX（SAS）， ∴∠CXB＝∠ADB，CX＝BD， ∵∠ABD＝∠ABE， ∴∠ABE＝∠CXB， ∵∠BFE＝∠CFX， ∴△BFE≌△XFC（ASA）， ∴BE＝CX， ∴BE＝BD. （3）​​​​​​​ 11．（1）1；1 （2）解：①证明：∵AH⊥BC， ∴∠BHP＝∠AOP＝90°， ∵∠APO＝∠BPH， ∴∠PAO＝∠CBO， ∵A（a，0），B（0，b），a＝b＝1， ∴A（1，0），B（0，1）， ∴OA＝1，OB＝1， ∴OA＝OB， 在△AOP和△BOC中， ∴△AOP≌△BOC（ASA）； ②过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，如图所示： 又∵AH⊥BC， ∴四边形OMHN是矩形， ∴∠MON＝90°， ∵∠BOC＝90°， ∴∠COM＝∠PON＝90°−∠MOP， ∵△AOP≌△BOC， ∴OP＝OC， 在△COM与△PON中， ， ∴△COM≌△PON（AAS）， ∴OM＝ON， ∵OM⊥CB，ON⊥HA， ∴HO平分∠CHA， ∵AH⊥BC， ∴∠AHC＝90°， ∴∠AHO＝∠CHO＝45°， ∵∠CBO＝30°，∠BOC＝90°， ∴∠BCO＝60°， ∴∠HOC＝180°−∠BCO−∠CHO＝75°. （3）解：y的值不发生改变，y=， 理由如下：连接OD，如图所示： ∵OA＝OB，AD＝DB，∠AOB＝90°， ∴OD⊥AB，OD＝AD＝DB，∠DAO＝∠DOB＝45°， ∴∠DAN＝∠DOM＝135°， ∵DN⊥DM， ∴∠NDM＝∠ADO＝90°， ∴∠ADN＝∠ODM， 在△ADN和△ODM中， ∴△ADN≌△ODM（ASA）， ∴S△ADN＝S△ODM， ∴y＝S△BDM−S△ADN＝S△BDO＝S△AOB＝××OA•OB＝××1×1＝． 12．（1）证明：在等腰直角三角形ABC中， ∵∠ACB＝90°， ∴∠CBA＝∠CAB＝45°． 又∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°． ∴∠BDE＝45°． 又∵BF∥AC， ∴∠CBF＝90°． ∴∠BFD＝45°＝∠BDE． ∴BF＝DB． 又∵D为BC的中点， ∴CD＝DB． 即BF＝CD． 在△CBF和△ACD中， ， ∴△CBF≌△ACD（SAS）． ∴∠BCF＝∠CAD． 又∵∠BCF+∠GCA＝90°， ∴∠CAD+∠GCA＝90°． 即AD⊥CF． （2）解：△ACF是等腰三角形，理由为： 连接AF，如图所示， 由（1）知：△CBF≌△ACD，∴CF＝AD， ∵△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线， ∴BE垂直平分DF， ∴AF＝AD， ∵CF＝AD， ∴CF＝AF， ∴△ACF是等腰三角形． 13．（1）解：如图1，过点C作轴于H． ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． （2）解：在B点运动过程中，长保持不变，的长为3，理由如下： 如图2，过C作轴于M． 由（1）可知：， ∴，， ∵轴 ∴ 又∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． （3）解：．理由如下： 如图，延长交的延长线于M，过点N作于H，交于K． ∵，，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 14．（1）9 （2）解：原式＝m2−12m＋36−4 ＝（m−6）2−4 ＝（m−6＋2）（m−6−2） ＝（m−4）（m−8）. （3）解：4y2＋12y＋13 ＝4（y2＋3y）＋13 ＝4（y2＋3y＋−）＋13 ＝4[（y+）2−]＋13 ＝4（y＋）2＋4， ∵4（y＋）2≥0， ∴4（y＋）2＋4≥4， ∴整式4y2＋12y＋13的最小值为4． 15．（1）证明：∵， ∴（等量代换） 即， 在和中 ∴． （2）解：∵中，，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ． （3）解：；理由如下： 延长到点E，使，如下图， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$