5.6 二次函数的图象与一元二次方程（教学课件）数学青岛版九年级下册

5.6二次函数的图象与一元二次方程 主讲： 青岛版数学九年级下册 第1章 对函数的再探索 目录 01 课程目标 02 新课导入 03 观察与思考 04 知识讲解 05 课堂练习 06 课堂小结 课程目标 1.探索抛物线与x轴的交点横坐标和一元二次方程的根的关系，体会方程与函数的密切关系; 2.学会用图象法求一元二次方程的近似根. 新课导入 同学们还记得一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 根的判别式吗？ 如图所示，函数图像与x轴有2个交点，交点坐标分别是 （-1,0）和(3,0) 观察与思考 接下来我们来研究二次函数y=x2-2x-3与一元二次方程x2-2x-3=0的关系。 1.x2-2x-3=0有没有实数根，如果有的话，实数根是什么？ = (-2)2-4×1×(-3)=16＞0 所以方程有2个不等的实数根。 x2-2x-3=0 （x-3）(x+1)=0 x1=3,x2=-1 2.观察y=x2-2x-3的图像与x轴是否有交点，如果有交点，交点坐标是什么？ 3.x取何值，函数y=x2-2x-3的函数值为0？ 当y=0时，0=x2-2x-3，x1=3,x2=-1 x2-2x-3=0的根与y=x2-2x-3与x轴交点的横坐标相等。 观察与思考 接下来我们继续研究二次函数与一元二次方程=0的关系。 1.=0有没有实数根，如果有的话，实数根是什么？ 2.观察的图像与x轴是否有交点，如果有交点，交点坐标是什么？ 3.x取何值，函数的函数值为0？ 4.=0的根与与x轴交点的横坐标的关系？ 方程有2个相等的实数根， x1=x2= 有一个交点，交点坐标（） 当x= 相等 观察与思考 接下来我们继续研究二次函数与一元二次方程=0的关系。 1.=0有没有实数根，如果有的话，实数根是什么？ 2.观察的图像与x轴是否有交点，如果有交点，交点坐标是什么？ 3.x取何值，函数的函数值为0？ ＜0 方程无实数根 无交点 x取不到任何值满足y=0 知识讲解 如果一元二次方程抛物线的图像与x轴有公共点，且公共点的横坐标是这个一元二次方程的实根； 反之，抛物线的图像与x轴有公共点，那么公共点的横坐标就是一元二次方程的实根； 一元二次方程 抛物线 的图像与x轴有公共点 如果一元二次方程抛物线的图像与x轴无公共点， 反之，抛物线的图像与x轴无公共点，那么一元二次方程无实根； 一元二次方程 抛物线 的图像与x轴无公共点 =0 当已知抛物线与x轴交点时,可设抛物线交点式 课堂练习 利用二次函数图象，求一元二次方程的近似解（精确到0.1） 例题1 第1步：画出函数的图像 （2）观察图象，发现图象与 x 轴有两个交点，左 交点在（-1，0）与（0，0）之间，右交点在（3，0）与（4，0）之间，由此可知一元二次方程在 -1 与 0 之间以及 3 与4 之间各有一个实根 （3）观察图像可知，当 x 由 -1 增加到 0 时，图象由 x 轴上方穿过 x 轴下降到y 轴的下方，也就是说，当x = -1时，y > 0，当x = 0时，y < 0. 为了进一步确定图象与 x 轴的左交点的位置，在 (-1，0 )与 (0 ,0)之间取 x = -0.5，求出对应的 y = -0.25，y < 0，因此图象与 x 轴的左交点在(-1,0)与( -0.5,0)之间. 为了求出左交点横坐标精确到 0.1 的近似值. 再将点(-1,0)与( -0.5,0)之间的线段分为 5 等份，把每个分点的横坐标作为 x 值，分别代入，利用计算器求出所对应的函数值，列表得 x -1.0 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 y 2 1.51 1.04 0.59 0.16 由上表看出，当 x = -0.6 时，y > 0；当 x = -0.5 时，y < 0的较小根的近似值为 x ≈ -0.6 或 x ≈ -0.5（精确到 0.1） 课堂练习 利用二次函数图象，求一元二次方程的近似解（精确到0.1） 例题1 请同学们根据上面思路求出另一个根的近似值吧！ 近似值为 x ≈ 3.5或 x ≈ 3.6（精确到 0.1） 课堂练习 变式训练 1.利用二次函数的图象求一元二次方程x2﹣8x+6＝0的近似解（精确到0.1） (0,0)与(1,0)之间 (7,0)与(8,0之)间 x 0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 y 6 -1 2.25 1.56 0.89 0.24 -0.39 较小根近似值为 x ≈ 0.8或 x ≈ 0.9（精确到 0.1） x 7 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 8 y -1 6 -0.39 0.24 0.89 1.56 2.25 较大根近似值为 x ≈ 7.1或 x ≈7.2（精确到 0.1） 课堂练习 变式训练 2.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），其对称轴是x═1，且与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，结合图象给出下列结论： ①abc＜0； ②2a+b＝0； ③4a﹣2b+c＞0； ④对于任意实数m，总有am2+bm﹣a﹣b≥0； ⑤关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的另一个根在﹣2和﹣1之间． 其中正确的结论有 （填序号） ①由图象可得， a＜0，b＞0，c＞0， ∴abc＜0， ∴①正确． ②∵抛物线的对称轴为x＝1， =-1 ∴2a+b＝0， ∴②正确； ③当x＝﹣2时，函数值y＜0，即2a﹣2b+c＜0； ∴③错误， ④∴当x＝1时，y＝a+b+c的值最大， ∴对于任意实数m，am2+bm+c≤a+b+c， ∴am2+bm﹣a﹣b≤0， ∴④错误； ⑤∵对称轴是x═1，且与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的另一个根在（﹣2，0）和（﹣1，0）之间， ∴⑤错误， ①② 课堂练习 变式训练 3.如果关于x的一元二次方程ax2+2x﹣5＝0的两根中有一个根大于0而小于1，求a的取值范围。 根据题意得a≠0且Δ＝22﹣4a•（﹣5）≥0，解得a≥且a≠0， 设y＝ax2+2x﹣5， 当x＝0时，y＝﹣5；当x＝1时，y＝a+2﹣5＝a﹣3， 而一元二次方程ax2+2x﹣5＝0的两根中有一个根大于0而小于1， 所以x＝1时，y＞0，即a﹣3＞0，解得a＞3， 所以a的取值范围为a＞3． 课堂练习 例题2 已知二次函数y＝x2﹣2x+m﹣2的图象与x轴有交点，求非负整数m的值． 一元二次方程x2﹣2x+m﹣2=0有实数根 ∴Δ＝4﹣4（m﹣2）≥0， ∴m≤3， ∵m为非负整数， ∴m＝0或1或2或3． 课堂练习 变式训练 4.已知抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别x1，x2（x1＜x2），一元二次方程x2+bx+c﹣5＝0的两根为x3，x4（x3＜x4），则x1，x2，x3，x4的大小关系是（　　） A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x2＜x3＜x4 C．x1＜x3＜x2＜x4 D．x1＜x3＜x4＜x2 x2+bx+c﹣5＝0的两根可以看成y=x2+bx+c与y=5的交点的横坐标哦 A 课堂练习 变式训练 5.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB＝6，则点M到直线l的距离为 . 由题意，令x2+bx+c＝0． 由条件可知方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4c＝0， 又设点M到直线l的距离为m， ∴A（xA，m），B（xB，m）， 令y＝m时， ∴x2+bx+c＝m， 又∵xA、xB是该方程的两个根， ∴xA+xB＝﹣b，xAxB＝c﹣m， ∵AB＝6， =62 ∴b2﹣4（c﹣m）＝36． ∴4m＝36，即m＝9， ∴点M到直线l的距离为9 9 课堂练习 拓展培优1 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣4，0），C（0，﹣2）． （1）求抛物线的函数表达式； 将A、C点坐标分别代入抛物线解析式得, 解得 课堂练习 拓展培优1 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣4，0），C（0，﹣2）． （2）点E是线段AC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDAF的面积最大？求出四边形CDAF的最大面积及此时E点的坐标． 对称轴 所以D() 设直线AC解析式y=kx+b, 将A（﹣4，0），C（0，﹣2）代入，得x-2 第一步：把D点坐标和直线AC解析式求出来！ 课堂练习 拓展培优1 设E(),则 由题意可得， ∵﹣1＜0， ∴当p＝﹣2时，即点E为AC的中点时，四边形CDAF的面积最大，最大面积为,此时E点的坐标为（﹣2，﹣1）． 课堂小结 1、二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程 ax2+bx+c=0的关系。 2、根据二次函数的系数，判断它的图象与x轴的位置关系。 二次函数y=ax2+bx+c的图象 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点的个数 二次方程ax2+bx+c=0的根 二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式 两个公共点 一个公共点 没有公共点 有两个不等实根 有两个相等实根 没有实根 ＝0 ＞0 ＜0 主讲： 青岛版数学九年级下册 感谢聆听 $$