预习02 向量的线性运算（七大考点）-2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 预习02 向量的线性运算 知识点 1 ：向量的加法 三角形法则：已知非零向量,在平面内任取一点,作,再作向量,则向量叫做与的和,记作 平行四边形法则：已知不共线的两个向量,在平面内任取一点,以同一点为起点的两个已知向量,以为邻边作,则就是与的和 , 规定：零向量与任意向量的和,都有 运算律：①交换律：；②结合律： 知识点 2 ：相反向量 1.定义:与向量长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量,记作,与互为相反向量, 3.性质：①；②若互为相反向量,则； ③的相反向量是 知识点 3 ：向量的减法 1.向量的减法的定义:向量加上的相反向量,叫做与的差,即,求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2.运算法则:在平面内取一点O,作,则. 3.几何意义表示从向量的终点指向的终点的向量. 4.向量减法的两个重要结论: ①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量； ②一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量或简记“终点向量减去始点向量”. 知识点 4 ：向量的数乘运算 1.定义:规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作,它的长度和方向规定如下: ①; ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时， 2.运算律:设为任意实数,则有①；②； ③ 特别地,有. (3)向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量以及任意实数恒有. 知识点 5 ：共线向量定理 1.共线向量定理的内容：向量与共线的充要条件是存在唯一一个实数,使. 2.三点共线向量表示的两个结论 结论1：如图1，点共线的充要条件是存在唯一实数，使得. 结论2：设是平面内的任意一点，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数使得. 考点01 向量的加、减法法则及应用 【方法点拨】（1）向量加法的三角形法则与平行四边形法则作图的方法 法则 作法 三角形法则 ①把用小写字母表示的向量,用两个大写字母表示(其中后面向量的始点与前一个向量的终点重合,即用同一个字母来表示); ②由第一个向量的始点指向第二个向量终点的有向线段就表示这两个向量的和 平行四边形法则 ①把两个已知向量的始点平移到同一点; ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形; ③与已知向量同起点的对角线表示的向量就是这两个已知向量的和 （2）向量减法的三角形法则作图的方法：平移向量使之共起点，连接两向量的终点，方向指向被减向量 例1．下列表达式化简结果与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，，不满足题意，故A错误； 对于B，，满足题意，故B正确； 对于C，，不满足题意，故C错误； 对于D，结果与的具体关系不确定，故D错误. 故选：B. 例2．如图，已知向量、、，作出下列向量： (1)和； (2)和． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【详解】（1）如图所示，在平面内任取一点，作，则； 如图所示，在平面内任取一点，作，则， 作，则． （2）如图所示，在平面内任取一点，作，则； 作，，则； 如图所示，在平面内任取一点，作，则； 作，则． 变式1-1．如图，四边形是正方形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】易知. 故选：B 变式1-2．如图，在各小题中，已知，分别求作． 【答案】答案见解析 【详解】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量， 如图，， 变式1-3．已知正方形ABCD的边长为1，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） 如图所示：因为正方形ABCD的边长为1， 所以. （2）如图所示：因为正方形ABCD的边长为1， 所以. （3）如图所示：因为正方形ABCD的边长为1， 所以. 考点02 向量数乘的基本运算 【方法点拨】（1）当时,与同向;当时, 与反向(). （2）当且时,或当且时, ,注意是,而不是. 例3．非零向量与方向 ，且的长度是的 倍. 【答案】 相反 【详解】非零向量与方向相反，且的长度是的倍. 故答案为：相反；. 例4．已知非零向量，满足，则（    ） A． B． C．与的方向相同 D．与的方向相反 【答案】C 【详解】非零向量，满足，则与的方向相同，且，ABD错误，C正确. 故选：C 变式2-1．已知非零向量，且，则向量的单位向量 .（用表示） 【答案】 【详解】由已知，则和反向， 又非零向量的单位向量， 所以向量的单位向量. 故答案为：. 变式2-2．已知向量，如图，作向量. 【答案】答案见解析 【详解】如图，作法： 1. 任取一点O，作； 2. 作平行四边形OACB，于是即为所求作的向量. 变式2-3．点在线段上，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为点在线段上，且， 所以，，，故A正确，BCD错误. 故选：A. 考点03 向量加减法、数乘运算化简 【方法点拨】向量的线性运算形式上类似于实数加减法与乘法满足的运算法则,实数运算中去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中均可使用. 例5．已知向量，化简（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C 例6．化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）； （2）； （3）. 变式3-1．化简下列各式： (1)． (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1） . （2）. 变式3-2．设D，E，F分别是的边BC，CA，AB上的点，且，则与（    ） A．平行且方向相反 B．平行且方向相同 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 【答案】A 【详解】在中，由，得，则， 同理由，得，由，得， 则，所以与平行且方向相反. 故选：A 变式3-3．化简下列各式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式. （2）原式． 考点04 用已知向量表示其他向量 【方法点拨】利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意： （1）一个关键：一个关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道. （2）三点注意：①注意相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三向量之间的关系; ②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律;③注意在封闭图形中利用多边形法则. 例7．已知在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，点E满足，记，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 因为，， 所以． 故选：A 例8．在 △ABC 中，点 D 在边 BC 上，且 E为AD 的中点，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示：    因为，所以， 得, 得, 得, 故选：C 变式4-1．在中，为边上的点且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得，所以. 故选：B. 变式4-2．设分别是所在边上的两点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，点分别是边上的两点，且满足， 可得. 故选：B. 变式4-3．在中，点为线段上任一点（不含端点），若，则的最小值为（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 【答案】D 【详解】 由题意，在中，点为线段上任一点（不含端点）， 若，则有， 设，则， 所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为16． 故选：D． 考点05 向量共线证明三点共线 【方法点拨】若向量,则共线,又与有公共点,从而三点共线 例9．已知是平面内两个不共线的向量，，，则三点共线的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由三点共线的充要条件是且， 即，由是两个不共线向量， 所以，故. 故选：C. 例10．已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】D 【详解】对于A，，与不共线，A不正确； 对于B，，，则与不共线，B不正确； 对于C，，，则与不共线，C不正确； 对于D，， 即，又线段AC与CD有公共点C，所以三点共线，D正确． 故选：D． 变式5-1．设、是平面内不共线的向量，已知，，，若A、B、D三点共线，则实数 ． 【答案】 【详解】,,则， 若A、B、D三点共线，则存在唯一，使得. 即，即，解得. 故答案为：. 变式5-2．如图，在中，已知．若，证明：三点共线．    【答案】证明见解析 【详解】因为， 所以． 又，所以． 因为， ， 所以， 又有公共点A，所以三点共线． 变式5-3．已知点为的重心，分别为，边上一点，，，三点共线，为的中点，若，则 ；的最小值为 . 【答案】 6 【详解】 因为点为的重心，所以，则. 因为三点共线，， 所以，，所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为6. 故答案为：；6 考点06 利用向量共线求参数 例11．已知向量，不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】B 【详解】因为与共线，所以，解得或. 若，则，，所以，所以与方向相反，故舍去； 若，则，，所以，所以与方向相同，故为所求. 故选：B 例12．已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为与共线，所以存在实数使得，， 所以，即． 因为向量，是两个不共线的向量，所以，解得， 故选：C． 变式6-1．已知，是两个不共线的向量，且向量与共线，则实数的值为 . 【答案】 【详解】因为向量与共线， 所以存在唯一的实数k,使得成立, 即，所以，解得， 故答案为：. 变式6-2．设，是两个不共线的向量，，，． (1)求证：三点共线； (2)试确定的值，使与共线． 【答案】(1)证明见解析. (2). 【详解】（1）由题意， 且， 所以, 所以和共线，故三点共线. （2）因为与共线， 所以存在实数，使得， 又因为不共线， 所以，解得或. 所以. 变式6-3．已知向量，不共线，向量，(kR)，若，则（    ） A．k＝1且与同向 B．k＝1且与反向 C．k＝－1且与同向 D．k＝－1且与反向 【答案】D 【详解】因为，所以，所以， 又不共线，所以，解得，所以， 故选：D. 考点07 向量共线定理推论应用 【方法点拨】设是平面内的任意一点，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数使得. 例13．在中，，是线段上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 由已知，则， 根据平面向量三点共线定理得，解得. 故选：A 例14．如图，在中，若为上一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为所以 由, 因三点共线，由共线定理推论可得，解得 故选：A. 变式7-1．如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则 ． 【答案】/ 【详解】． 因为N为线段AC上靠近A点的三等分点，所以． 又B，P，N三点共线，所以，． 故答案为： 变式7-2．如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】C 【详解】 如图，延长交于点，因点是的重心， 则，① 因三点共线，则，使， 因，，代入得，，② 由①，②联立，可得，，消去即得，， 则， 当且仅当时等号成立， 即时，取得最小值，为. 故选：C. 变式7-3．若A、B、C三点共线，对任意一点O，有成立，则 . 【答案】或，. 【详解】因为A、B、C三点共线，则， 则，则或，. 故答案为：或，. 1．（2023-24高二下·云南·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据向量加法的三角形法则,得到. 故选：C. 2．（2024高三·全国·专题练习）在四边形中，，，，若，不共线，则四边形为（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 【答案】C 【详解】由已知得，， 故，且，所以四边形是梯形． 故选：C. 3．（2023-24高三上·浙江·期中）已知，是不共线的单位向量，若，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，设，则， 即，解得， 故选：C. 4．（2023-24高三上·河南许昌·期中）已知E为所在平面内的点，且.若，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【详解】    因为， 则， 所以， 所以， 所以，， 故. 故选：A. 5．（2024高三·北京·专题练习）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意：， 则 因为，同样, 所以 则． 故选：D 6．（2023-24高二上·湖南·开学考试）已知是所在平面内一点，满足，则与的面积之比为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【详解】在上取点，使得，在上取点，使得， 在上取点，使得，在上取点，使得， 连接、，则、，因为， 所以与交于点，    又，， 所以， 所以. 故选：B 7．（2023-24高一下·四川成都·阶段练习）对于菱形ABCD，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于选项AB：菱形中向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的， 所以B结论正确，A结论错误； 对于选项C：因为，， 所以，即C结论错误； 对于选项D：因为， ，所以D结论正确. 故选：BD. 8．（2023-24高一下·河北邢台·阶段练习）以下四个选项中，正确的有（    ） A．若向量，则 B．若非零向量满足，则表示的有向线段可以构成三角形 C．若四边形满足，且，则四边形为矩形 D．为四边形所在平面内一点，若，则四边形为平行四边形 【答案】CD 【详解】对于A，当时，无法确定的方向，故不能判断是否平行，故A错误； 对于B，若非零向量满足，则， 当共线时，则表示的有向线段不可以构成三角形，故B错误； 对于C，若四边形满足，则且， 则四边形为平行四边形， 因为，即， 所以平行四边形为矩形，故C正确； 对于D，因为，所以，即， 所以且， 所以四边形为平行四边形，故D正确. 故选：CD. 9．（2023-24高一下·上海·期中）化简 ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为： 10．（2023-24高一下·上海奉贤·期中）四边形为菱形，其中，，则 . 【答案】 【详解】四边形为菱形，其中， 连接，所以为边长为等边三角形，所以 故答案为： 11．（2023-24高一下·上海·期末）若平面内不共线的四点、、、满足，则 . 【答案】2 【详解】， 又， . 故答案为：2. 12．（2023-24高一下·广东汕头 期末）如图（1）（2），已知向量，，，求作向量和． 【答案】答案见解析 【详解】（1）作法：在平面内任意取一点，作，，则，如图所示． （2）在平面内任意取一点，作，，，则，如图所示． 13．（2023-24高一下·湖北武汉 期末）已知、是两个不平行的向量，向量，，， (1)求证：； (2)判断三点的位置关系. 【答案】(1)证明见解析； (2)三点共线 【详解】（1）证明：， 因此， （2）由（1）知，又有公共点C，故三点共线. 14．（2023-24高一下·全国·课后作业）在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，求的最小值．    【答案】 【详解】如图，连接，   中，，， 点P满足， ， ， 又， ， 又三点共线， ， ， 当且仅当，即时取“”， 则的最小值为． 15．（2023-24高一·全国·随堂练习）如图，点D是中BC边的中点，，.    (1)试用，表示； (2)若点G是的重心，能否用，表示？ (3)若点G是的重心，求. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为点D是中BC边的中点，且，， 所以； （2）因为点G是的重心， 所以 . （3）因为点G是的重心且D是BC边的中点，所以， 又，所以，所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 预习02 向量的线性运算 知识点 1 ：向量的加法 三角形法则：已知非零向量,在平面内任取一点,作,再作向量,则向量叫做与的和,记作 平行四边形法则：已知不共线的两个向量,在平面内任取一点,以同一点为起点的两个已知向量,以为邻边作,则就是与的和 , 规定：零向量与任意向量的和,都有 运算律：①交换律：；②结合律： 知识点 2 ：相反向量 1.定义:与向量长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量,记作,与互为相反向量, 3.性质：①；②若互为相反向量,则； ③的相反向量是 知识点 3 ：向量的减法 1.向量的减法的定义:向量加上的相反向量,叫做与的差,即,求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2.运算法则:在平面内取一点O,作,则. 3.几何意义表示从向量的终点指向的终点的向量. 4.向量减法的两个重要结论: ①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量； ②一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量或简记“终点向量减去始点向量”. 知识点 4 ：向量的数乘运算 1.定义:规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作,它的长度和方向规定如下: ①; ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时， 2.运算律:设为任意实数,则有①；②； ③ 特别地,有. (3)向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量以及任意实数恒有. 知识点 5 ：共线向量定理 1.共线向量定理的内容：向量与共线的充要条件是存在唯一一个实数,使. 2.三点共线向量表示的两个结论 结论1：如图1，点共线的充要条件是存在唯一实数，使得. 结论2：设是平面内的任意一点，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数使得. 考点01 向量的加、减法法则及应用 【方法点拨】（1）向量加法的三角形法则与平行四边形法则作图的方法 法则 作法 三角形法则 ①把用小写字母表示的向量,用两个大写字母表示(其中后面向量的始点与前一个向量的终点重合,即用同一个字母来表示); ②由第一个向量的始点指向第二个向量终点的有向线段就表示这两个向量的和 平行四边形法则 ①把两个已知向量的始点平移到同一点; ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形; ③与已知向量同起点的对角线表示的向量就是这两个已知向量的和 （2）向量减法的三角形法则作图的方法：平移向量使之共起点，连接两向量的终点，方向指向被减向量 例1．下列表达式化简结果与相等的是（    ） A． B． C． D． 例2．如图，已知向量、、，作出下列向量： (1)和； (2)和． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【详解】（1）如图所示，在平面内任取一点，作，则； 如图所示，在平面内任取一点，作，则， 作，则． （2）如图所示，在平面内任取一点，作，则； 作，，则； 如图所示，在平面内任取一点，作，则； 作，则． 变式1-1．如图，四边形是正方形，则（    ） A． B． C． D． 变式1-2．如图，在各小题中，已知，分别求作． 变式1-3．已知正方形ABCD的边长为1，求： (1)； (2)； (3)． 考点02 向量数乘的基本运算 【方法点拨】（1）当时,与同向;当时, 与反向(). （2）当且时,或当且时, ,注意是,而不是. 例3．非零向量与方向 ，且的长度是的 倍. 例4．已知非零向量，满足，则（    ） A． B． C．与的方向相同 D．与的方向相反 变式2-1．已知非零向量，且，则向量的单位向量 .（用表示） 变式2-2．已知向量，如图，作向量. 变式2-3．点在线段上，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 考点03 向量加减法、数乘运算化简 【方法点拨】向量的线性运算形式上类似于实数加减法与乘法满足的运算法则,实数运算中去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中均可使用. 例5．已知向量，化简（    ） A． B． C． D． 例6．化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 变式3-1．化简下列各式： (1)． (2)； 变式3-2．设D，E，F分别是的边BC，CA，AB上的点，且，则与（    ） A．平行且方向相反 B．平行且方向相同 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 变式3-3．化简下列各式： (1)． (2)． 考点04 用已知向量表示其他向量 【方法点拨】利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意： （1）一个关键：一个关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道. （2）三点注意：①注意相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三向量之间的关系; ②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律;③注意在封闭图形中利用多边形法则. 例7．已知在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，点E满足，记，，则（   ） A． B． C． D． 例8．在 △ABC 中，点 D 在边 BC 上，且 E为AD 的中点，则 （    ） A． B． C． D． 变式4-1．在中，为边上的点且，则（    ） A． B． C． D． 变式4-2．设分别是所在边上的两点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 变式4-3．在中，点为线段上任一点（不含端点），若，则的最小值为（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 考点05 向量共线证明三点共线 【方法点拨】若向量,则共线,又与有公共点,从而三点共线 例9．已知是平面内两个不共线的向量，，，则三点共线的充要条件是（   ） A． B． C． D． 例10．已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 变式5-1．设、是平面内不共线的向量，已知，，，若A、B、D三点共线，则实数 ． 变式5-2．如图，在中，已知．若，证明：三点共线．    变式5-3．已知点为的重心，分别为，边上一点，，，三点共线，为的中点，若，则 ；的最小值为 . 考点06 利用向量共线求参数 例11．已知向量，不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 例12．已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（   ） A．2 B． C． D． 变式6-1．已知，是两个不共线的向量，且向量与共线，则实数的值为 . 变式6-2．设，是两个不共线的向量，，，． (1)求证：三点共线； (2)试确定的值，使与共线． 变式6-3．已知向量，不共线，向量，(kR)，若，则（    ） A．k＝1且与同向 B．k＝1且与反向 C．k＝－1且与同向 D．k＝－1且与反向 考点07 向量共线定理推论应用 【方法点拨】设是平面内的任意一点，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数使得. 例13．在中，，是线段上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 例14．如图，在中，若为上一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 变式7-1．如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则 ． 变式7-2．如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．3 变式7-3．若A、B、C三点共线，对任意一点O，有成立，则 . 1．（2023-24高二下·云南·期末）（   ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）在四边形中，，，，若，不共线，则四边形为（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 3．（2023-24高三上·浙江·期中）已知，是不共线的单位向量，若，，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（2023-24高三上·河南许昌·期中）已知E为所在平面内的点，且.若，则（    ） A． B．3 C． D． 5．（2024高三·北京·专题练习）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且，设，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023-24高二上·湖南·开学考试）已知是所在平面内一点，满足，则与的面积之比为（    ） A．3 B．4 C． D． 7．（2023-24高一下·四川成都·阶段练习）对于菱形ABCD，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（2023-24高一下·河北邢台·阶段练习）以下四个选项中，正确的有（    ） A．若向量，则 B．若非零向量满足，则表示的有向线段可以构成三角形 C．若四边形满足，且，则四边形为矩形 D．为四边形所在平面内一点，若，则四边形为平行四边形 9．（2023-24高一下·上海·期中）化简 ． 10．（2023-24高一下·上海奉贤·期中）四边形为菱形，其中，，则 . 11．（2023-24高一下·上海·期末）若平面内不共线的四点、、、满足，则 . 12．（2023-24高一下·广东汕头 期末）如图（1）（2），已知向量，，，求作向量和． 13．（2023-24高一下·湖北武汉 期末）已知、是两个不平行的向量，向量，，， (1)求证：； (2)判断三点的位置关系. 14．（2023-24高一下·全国·课后作业）在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，求的最小值．    15．（2023-24高一·全国·随堂练习）如图，点D是中BC边的中点，，.    (1)试用，表示； (2)若点G是的重心，能否用，表示？ (3)若点G是的重心，求. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$