广东省广州市番禺区2024-2025学年上学期九年级数学期末复习试卷（人教版）

2024-2025学年度上学期九年级期末数学试卷（解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图所示的几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据俯视图是从上往下看得到的图形解答即可． 【详解】从上往下看得到的图形是： 故选：A． 【点睛】本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形．从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线． 2．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（　　） A．4 B．2 C．1 D．﹣4 【答案】A 【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于的一元一次方程是解题的关键． 3．下列事件中是必然事件的是（    ） A．打开电视机，正在播放《新闻联播》 B．任意画一个三角形，其内角和是 C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．买一张彩票，一定不会中奖 【答案】B 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、打开电视机，正在播放《新闻联播》，是随机事件，故本选项不符合题意； B、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，故本选项符合题意； C、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，故本选项不符合题意；； D、买一张彩票，一定不会中奖，是随机事件，故本选项不符合题意； 故选：B． 4．将一块三角板如图放置，，，点，分别在，上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，直接利用平行线的性质得出，进而得出的度数． 【详解】解： ， ， ， ， ． 故选D． 5．如图，是的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，若，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连结，根据切线的性质得到，根据，得到，根据，得到，在中，根据三角形内角和定理可求得． 【详解】解：如图，连结，      是的切线， ， ， ， ， ， 设， 在中，， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，体现了方程思想，在中，根据三角形内角和定理求是解题的关键． 6．若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，由点A在反比例函数图象上，可得出，将其代入代数式中即可得出结论，解题的关键是找出． 【详解】∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故选：C． 7．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据图形平移的性质即可得出结论． 【详解】将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的函数表达式为：y=（x－1+2）2+1﹣3，即y=（x+1）2﹣2． 故选B． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键． 8．如图，反比例函数的图象经过点，当时，的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法，先求出k的值，然后令y=2，求出x的值，再结合函数图像，即可得到取值范围. 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， 令y=2，则， 结合函数图像可知， 当时，的取值范围是：或； 故选：C. 【点睛】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及利用函数图象求自变量的值，关键是掌握凡是反比例函数图象经过的点必能满足解析式． 9．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2-5m+3=0有一个根为1，则m的值为 A．1 B．3 C．0 D．1或3 【答案】B 【分析】直接把x=1代入已知方程即可得到关于m的方程，解方程即可求出m的值． 【详解】∵x=1是方程（m﹣1）x2+x+m2﹣5m+3=0的一个根， ∴（m﹣1）+1+m2﹣5m+3=0， ∴m2﹣4m+3=0， ∴m=1或m=3， 但当m=1时方程的二次项系数为0， ∴m=3. 故答案选B. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的运算. 10．如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点．下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则；⑤（其中），其中说法正确的是(   ) A．①②③ B．①②④ C．①②④⑤ D．②③④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 利用抛物线的开口方向、对称轴和与轴的交点位置来判定①，利用抛物线与轴的两个交点的坐标、结合一元二次方程根与系数的关系来判定②，把点代入二次函数的解析式来判定③，观察图象可得：距离对称轴越近的点的纵坐标越大，据此判定④，根据二次函数的最大值判定⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， 抛物线对称轴为， ∴， 抛物线与轴的交点在轴上方， ∴， ∴， 所以①正确； 对称轴为，且经过点， 抛物线与轴的另一个交点为， ∴一元二次方程的两个根为2和， ∴， 整理，得， ∴， 所以②正确； 抛物线经过， ∴当时，， ∴， 所以③错误； ∵， ∴距离对称轴越近的点的纵坐标越大， ∵， ∴ 所以④正确； ∵对称轴为， ∴当时，有最大值，的最大值， ∴当时，， 整理，得， ∵，即， ∴， 即， 所以⑤正确． 其中说法正确的是①②④⑤． 故选：C． 二、填空题 11．若点关于原点对称点是，则的值是 【答案】-1 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点可得m、n的值，进而可算出m+n的值． 【详解】解：∵点关于原点对称点是， ∴m=-2，n=1， ∴m+n=-2+1=-1． 故答案为：-1 【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，如果两个点关于原点中心对称，则这两个点的横纵坐标分别互为相反数． 12．如图，AB，BC分别是的两条弦，，垂足为D，若的半径为5，，则AB的长度是 ． 【答案】 【分析】由垂径定理求出BD=4，再由勾股定理求出OD=3，则AD=8，然后由勾股定理求出AB即可． 【详解】解：连接OB，如图所示：    ∵AO⊥BC，BC=8， ∴BD=BC=4，∠ODB=90°， ∵⊙O的半径为5， ∴OB=5， ∴OD=， ∴AD=OA+OD=5+3=8， 在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出OD的长是解此题的关键． 13．如图，已知是的内切圆，点是内心，若，则等于 ．    【答案】/104度 【分析】根据内切圆得到，，结合三角形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解： ∵是的内切圆， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【点睛】本题考查三角形内角和定理及三角形内切圆的定义，解题的关键是根据内切圆得到，． 14．若m，n是一元二次方程的两个实根，则的值是 ． 【答案】－1 【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，m＋n＝－2，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的实根， ∴，m＋n＝－2， ∴， ∴， 故答案为：－1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，若，是一元二次方程（a≠0）的两根时，，． 15．如图，在扇形MON中，圆心角∠MON=60°，边长为2的菱形OABC的顶点A，C，B分别在ON，OM和上，且ND∥AB，交CB的延长线于点D，则阴影部分的面积是 ． 【答案】6﹣2 【分析】由扇形的面积计算公式结合三角形、平行四边形的面积计算公式计算即可. 【详解】解：如图 连接OB,过C点做OB的垂线，垂足为E点， 由四边形OABC为菱形，∠MON=60°，可得∠COB=∠BOA=∠COA=， 可得,, 在RT△OCE中，OC=2, ∠COB=,可得CE=1,OE=,则OB=,即圆的半径为， 可得：==， =， , , 阴影部分的面积即为四边形ABDN的面积， 由BD∥AN,AB∥DN, 可得四边形ABDN为平行四边形， 过点B做BF⊥AN,可得BF=， , 故阴影部分的面积为. 【点睛】本题主要考查扇形的计算公式、三角形和平行四边形的面积公式，综合性较强，需综合运用所学知识求解. 三、解答题 16．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键； （1）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答； （2）先化简各式，然后再进行计算即可解答； 【详解】（1） 或 故 （2） 17．如图，在平面直角坐标系内，小正方形网络的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为    (1)画出关于y轴对称的； (2)画出将绕原点O逆时针方向旋转得到的； (3)在（2）中，点旋转到点所经过的路线长是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先根据轴对称的性质画出点，再顺次连接即可得； （2）先根据旋转的性质画出点，再顺次连接即可得； （3）先利用勾股定理求出，再利用弧长公式求解即可得． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图，， 则在（2）中，点旋转到点所经过的路线长是， 故答案为：． ． 【点睛】本题考查了坐标与轴对称变化、画轴对称图形和旋转图形、弧长，熟练掌握轴对称图形和旋转图形的画法、以及弧长公式是解题关键． 18．为了解某校八年级全体女生“仰卧起坐”项目的成绩，随机抽取了部分女生进行测试，并将测试成绩分为A、B、C、D四个等级，绘制成如下不完整的统计图、表. 根据以上信息解答下列问题： （1）a= ，b= ，表示A等级扇形的圆心角的度数为 度； （2）A等级中有八年级（5）班两名学生，如果要从A等级学生中随机选取一名介绍“仰卧起坐”锻炼经验，求抽到八年级（5）班学生的可能性大小． 【答案】（1）10，40，90；（2） 【分析】（1）根据C等级的人数和所占比例可知随机抽女生人数：4÷10%=40（名），即b=40；A等级人数：40-24-4-2=10（名），即a=10；扇形图中表示A的圆心角的度数360°×=90°； （2）根据概率公式求解即可. 【详解】解：（1）随机抽女生人数：4÷10%=40（名），即b=40； A等级人数：40-24-4-2=10（名），即a=10； 扇形图中表示A的圆心角的度数360°×=90° 故答案为：10，40，90； （2）抽到八年级（5）班学生的可能性大小为： 【点睛】本题考查了统计图与概率，要熟练掌握概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比． 19．如图，为的直径，C为上一点，连接为延长线上一点，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，为，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2)10 【分析】（1）连接，利用圆周角定理，同圆的半径相等和切线的判定定理解答即可； （2）由题意得为直角三角形，再利用勾股定理即可； 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵为的直径， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线； （2）由（1）可得： ∴为直角三角形 ∵的半径为3，为 ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，同圆的半径相等，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 20．已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数交于第一象限内的， 两点，且 (1)求反比例函数和直线的函数表达式； (2)求的面积． (3)在第一象限内，当时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）过P作轴于C，由，得到， ，根据三角函数的定义得到，于是得到反比例函数的解析式为，，解方程组即可得到直线的函数表达式为； （2）过Q作轴于D，于是得到； （3）先求出点A的坐标，然后观察图象可得结果．． 【详解】（1）解：过P作轴于C， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 代入反比例函数的解析式， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把代入，得， ∴， 把，代入中得， ∴， ∴直线的函数表达式为； （2）过Q作轴于D， ∵, ∴． （3）当时，， ∴， ∴ 由图象知， 当时，或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，正切函数的定义，难度适中，利用数形结合是解题的关键． 21．如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园（矩形ABCD），墙长为22m，这个矩形的长AB＝xm，菜园的面积为Sm2，且AB＞AD． （1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （2）若要围建的菜园为100m2时，求该菜园的长． （3）当该菜园的长为多少m时，菜园的面积最大？最大面积是多少m2？    【答案】（1）S＝﹣x2+15x，10＜x≤22；（2）菜园的长为20m；（3）该菜园的长为15m时，菜园的面积最大，最大面积是112.5m2． 【分析】（1）根据矩形的面积公式即可得结论； （2）根据题意列一元二次方程即可求解； （3）根据二次函数的顶点式即可求解． 【详解】解：（1）由题意可知：AD＝（30﹣x） ∴S＝AB•AD ＝x×（30﹣x） ＝﹣x2+15x 自变量x的取值范围是10＜x≤22． （2）当S＝100时，﹣x2+15x＝100 解得x1＝10，x2＝20， 又10＜x≤22． ∴x＝20， 答：该菜园的长为20m． （3）∵S＝﹣x2+15x ＝﹣（x﹣15）2+ 又10＜x≤22． ∴当x＝15时，S取得最大值，最大值为112.5． 答：该菜园的长为15m时，菜园的面积最大，最大面积是112.5m2． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解决本题的关键是理解题意列出二次函数解析式和方程． 22．如图，内接于，是的直径，过上的点作，交的延长线于点，交于点，点为的中点，连接．    (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由圆周角定理得出，推出，由直角三角形的性质得出，由等边对等角得出，证明出，即可得证； （2）解直角三角形得出，证明，得出，再求出的长即可得解． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴， ∴，    在中，为的中点， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 又∵为的半径， ∴与相切． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 在中，，即， ∴． ∵，，， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 23．如图①，已知抛物线与坐标轴交于三点，其中，的平分线交y轴于点D． (1)直接填空：　 　，点A的坐标是 　 　，　 　°； (2)点P为抛物线的对称轴上一动点，若为等腰三角形，求出点P的坐标； (3)过点D的直线与线段分别交于点M，N．试问：是否为定值？如果是，请求出该值；如果不是，说明理由； (4)等腰的斜边，将如图②放置，使与重合，与相交于G，设的中点为F．若绕点F顺时针旋转（如图③），在从到的变化过程中，点G相应移动的总路程为 　 　． 【答案】(1)； ； (2)点P的坐标为或 (3)是， (4) 【分析】（1）由点的坐标为,可知，故此可求得的值，然后令得到关于的方程，解关于的方程可得到点的坐标，最后利用正切值求的度数、抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴； （2）利用特殊锐角三角函数值可求得，则可得到点的坐标.设点的坐标为，依据两点的距离公式可求得的长，然后分为三种情况列方程求解即可； （3）设直线的解析式为，接下来求得点和点的横坐标，于是可得到的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得的长，最后将和的长代入化简即可； （4）求出两个特殊位置的值，即可解决问题． 【详解】（1）解： ，解得： 令得：， 又， ，解得： 或． 点A的坐标为， 则，， ， 故的度数， 故答案为：；；； （2）解： ，， ， ． 为的平分线， ． ． 点D的坐标为 设点P的坐标为． 依据两点间的距离公式可知：． 当时，，方程无解． 当时，，解得或， 当时，点A，点D，点P三点共线， 不合题意舍去， 点P的坐标为． 当时，，解得． 点P的坐标为． 综上所述，点P的坐标为或． （3）解：是； 设直线的解析式为，将点A的坐标代入得： ，解得 直线的解析式为． 设直线的解析式为． 把代入得：，解得： ， 点的坐标为 将与联立解得： ． 点M的横坐标为：． 过点M作轴，垂足为G．则 ， （4）解：如图，当O与R重合时，过点G作于M． 在中，， ， ， ， 设，则 ， ， 如图，当时，的值最大，过点F作于N． ，， ， ， ， ， ， 如图4﹣3中，当点R落在上时，的值最小，此时， 观察图象可知，的长开始是增大，最大值为，然后减小，最小值为， 点G的运动路径的长 故答案为： 【点睛】本题主要考查的是二次函数和几何变换的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，分类讨论是解答问题(2)的关键；求得点的坐标和点的坐标是解答问题(3)的关键；学会寻找特殊位置是解答问题(4)的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年上学期九年级期末数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1．如图所示的几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 2．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（　　） A．4 B．2 C．1 D．﹣4 3．下列事件中是必然事件的是（    ） A．打开电视机，正在播放《新闻联播》 B．任意画一个三角形，其内角和是 C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．买一张彩票，一定不会中奖 4．将一块三角板如图放置，，，点，分别在，上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 第4题 第5题 第8题 5．如图，是的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 6．若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为（  ） A． B． C． D． 7．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 8．如图，反比例函数的图象经过点，当时，的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 9．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2-5m+3=0有一个根为1，则m的值为 A．1 B．3 C．0 D．1或3 10．如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点．下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则；⑤（其中），其中说法正确的是(   ) A．①②③ B．①②④ C．①②④⑤ D．②③④⑤ 二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分） 11．若点关于原点对称点是，则的值是 12．如图，AB，BC分别是的两条弦，，垂足为D，若的半径为5，，则AB的长度是 ． 第12题 第13题 第14题 13．如图，已知是的内切圆，点是内心，若，则等于 ． 14．若m，n是一元二次方程的两个实根，则的值是 ． 15．如图，在扇形MON中，圆心角∠MON=60°，边长为2的菱形OABC的顶点A，C，B分别在ON，OM和上，且ND∥AB，交CB的延长线于点D，则阴影部分的面积是 ． 三、解答题（第16题10分，第17-19题每题8分，第20-21题9分，第22题11分，第23题12分，共计75分） 16．计算：（每题5分，共10分） (1)； (2)． 17．如图，在平面直角坐标系内，小正方形网络的边长为1个单位长度， 的三个顶点的坐标分别为 (1)画出关于y轴对称的； (2)画出将绕原点O逆时针方向旋转得到的； (3)在（2）中，点旋转到点所经过的路线长是______． 18．为了解某校八年级全体女生“仰卧起坐”项目的成绩，随机抽取了部分女生进行测试，并将测试成绩分为A、B、C、D四个等级，绘制成如下不完整的统计图、表. 根据以上信息解答下列问题： （1）a= ，b= ，表示A等级扇形的圆心角的度数为 度； （2）A等级中有八年级（5）班两名学生，如果要从A等级学生中随机选取一名介绍“仰卧起坐”锻炼经验，求抽到八年级（5）班学生的可能性大小． 19．如图，为的直径，C为上一点，连接为延长线上一点，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，为，求的长． 20．已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数交于第一象限内的， 两点，且 (1)求反比例函数和直线的函数表达式； (2)求的面积． (3)在第一象限内，当时，直接写出x的取值范围． 21．如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园（矩形ABCD），墙长为22m，这个矩形的长AB＝xm，菜园的面积为Sm2，且AB＞AD． （1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （2）若要围建的菜园为100m2时，求该菜园的长． （3）当该菜园的长为多少m时，菜园的面积最大？最大面积是多少m2？    22．如图，内接于，是的直径，过上的点作，交的延长线于点，交于点，点为的中点，连接．    (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 23．如图①，已知抛物线与坐标轴交于三点，其中，的平分线交y轴于点D． (1)直接填空：　 　，点A的坐标是 　 　，　 　°； (2)点P为抛物线的对称轴上一动点，若为等腰三角形，求出点P的坐标； (3)过点D的直线与线段分别交于点M，N．试问：是否为定值？如果是，请求出该值；如果不是，说明理由； (4)等腰的斜边，将如图②放置，使与重合，与相交于G，设的中点为F．若绕点F顺时针旋转（如图③），在从到的变化过程中，点G相应移动的总路程为 　 　． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$