复习专题05 抛物线15种常见考法归类-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（苏教版2019）

复习专题05 抛物线15种常见考法归类 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1 抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 注：①在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？ 不一定是，若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线． ②定义的实质可归纳为“一动三定” 一个动点M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)． 知识点2　抛物线的方程及简单几何性质 类型 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图象 性质 焦点 F F F F 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0,0) 离心率 e＝1 开口方向 向右 向左 向上 向下 知识点3 直线与抛物线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0. (1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点． (2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 注：(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件． (2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况． (3)求弦长问题的方法 ①一般弦长：|AB|＝|x1－x2|，或|AB|＝|y1－y2|. ②焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p. 知识点4 焦点弦问题 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦， 如图：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p. 注：(1)x1·x2＝. (2)y1·y2＝－p2. (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α是直线AB的倾斜角)． (4)＋＝为定值(F是抛物线的焦点)． 知识点5 参数方程 的参数方程为（参数） 知识点6 切线方程和切点弦方程 抛物线的切线方程为，为切点 切点弦方程为，点在抛物线外 与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果． 知识点7 抛物线的通径 过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 知识点8 中点和斜率的关系 弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系： 解题策略1、求抛物线的标准方程的方法 定义法 根据定义求p，最后写标准方程 待定系数法 设标准方程，列有关的方程组求系数 直接法 建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程 注：当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．　　　　 解题策略2、用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 解题策略3、抛物线定义的两种应用 (1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题． (2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．　　　 解题策略4、直线与抛物线的位置关系 将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解. 解题策略5、求抛物线实际应用的五个步骤 解题策略6、求轨迹问题的两种方法 (1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程． (2)定义法： 若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解曲线方程． 考点剖析 【考点1 求抛物线的标准方程】 例1．若抛物线：的焦点坐标为，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】若抛物线的顶点是原点，准线为直线，则此抛物线的方程为 . 【变式2】以坐标轴为对称轴，焦点在直线上的抛物线的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式3】以椭圆的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4】焦点在直线上的抛物线的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式5】点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式6】已知抛物线（）上一点M的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【考点2 利用抛物线的定义求距离或点的坐标】 例2．若抛物线上一点到拋物线焦点的距离为，则点到原点的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【变式1】已知F为抛物线的焦点，点A在抛物线C上，O为原点，若为等腰三角形，则点A的横坐标可能为（    ） A．2 B． C． D． 【变式2】已知抛物线的焦点为F，点P为E上一点，Q为PF的中点，若，则Q点的纵坐标为（    ） A．7 B．5 C．3 D．1 【变式3】 【变式4】 【考点3 与抛物线有关的距离和最值问题】 例3．已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1】设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为 ． 【变式2】已知抛物线和点，F是抛物线的焦点，P是抛物线上一点，则的最小值是（    ）． A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3】已知直线和直线，则抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（    ） A． B． C．2 D． 【变式4】已知抛物线：的准线为，点的坐标为，点在抛物线上，点到直线的距离为，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【变式5】已知，，是抛物线C：上的一点，则周长的最小值为 ． 【变式6】已知F为抛物线的焦点，P为该抛物线上的动点，点，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【变式7】已知点是抛物线上一动点，则的最小值为 ． 【考点4 抛物线的轨迹问题】 例4．若动点到点的距离等于它到直线的距离，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1】在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】若动点满足，则点M的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式3】若动圆与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【变式4】若动点在上移动，则点与点连线的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式5】已知点P是曲线上任意一点，，连接PA并延长至Q，使得，求动点Q的轨迹方程． 【考点5 焦半径问题】 例5．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】已知抛物线的焦点为，点在上，，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知为抛物线的焦点，点，，在抛物线上，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知抛物线上的点到原点的距离为，焦点为F，准线l与x轴的交点为M，过C上一点P作PQ⊥l于Q，若，则（    ） A． B． C． D． 【考点6 直线与抛物线的位置关系】 例6．直线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【变式1】过点作直线与抛物线相交，恰好有一个交点，则符合条件的直线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】已知命题p：，命题q：直线与抛物线有两个公共点，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】已知抛物线的焦点到准线的距离为，过点 的直线与抛物线只有一个公共点. (1)求抛物线的方程； (2)求直线的方程. 【变式4】在平面直角坐标系中，抛物线上一点的横坐标为4，且点到的距离为5， (1)求抛物线的方程； (2)若斜率为1的直线交抛物线于、两点（位于对称轴异侧），且，求直线的方程. 【考点7 直线与抛物线的弦长问题】 例7．过抛物线的焦点作倾斜角为120°的直线交抛物线于、两点，则长为（    ） A．2 B． C． D．1 【变式1】根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛物线反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线，若从点Q（3，2）发射平行于x轴的光射向抛物线的A点，经A点反射后交抛物线于B点，则 . 【变式2】入射光线由点出发，沿轴反方向射向抛物线：上一点，反射光线与抛物线交于点，则的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【变式3】已知抛物线，过点作抛物线的两条切线，两个切点分别为，若，则的值为（    ） A．2或 B．1或 C．2或 D．1或 【变式4】斜率为直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则三角形（为坐标原点）的面积是（    ） A． B． C． D． 【考点8 抛物线的面积问题】 例8．已知直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若使得成立的点P的横坐标为3，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，延长交抛物线于点．抛物线的准线与轴的交点为，． (1)求抛物线的方程； (2)求△的面积． 【变式2】已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，过分别作准线的垂线，垂足分别为，若和的面积分别为8和4，则的面积为 【变式3】已知抛物线上任意一点M到焦点F的距离比M到y轴的距离大1． (1)求E的标准方程； (2)，，交E于A，C两点，交E于B，D两点．求四边形ABCD的面积的最小值． 【考点9 抛物线的焦点弦问题】 例9．已知抛物线的焦点为，过的动直线与抛物线交于两点，满足的直线有且仅有一条，则 ． 【变式1】过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式3】【多选】已知抛物线的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点（其中点A在x轴上方），则（    ） A． B．弦AB的长度最小值为l C．以AF为直径的圆与y轴相切 D．以AB为直径的圆与抛物线的准线相切 【变式4】【多选】已知抛物线的焦点为，准线为为抛物线上任意一点，点为在上的射影，线段交轴于点为线段的中点，则（    ） A． B．直线与抛物线相切 C．点的轨迹方程为 D．可以是直角 【考点10 抛物线的中点弦问题】 例10．若抛物线的弦AB中点坐标为，则直线AB的斜率为（    ） A．－4 B．4 C．－2 D．2 【变式1】已知抛物线，直线与抛物线相交于，两点.若线段的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知抛物线C：的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点为，则点F到直线l的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知点F为抛物线的焦点，过F的直线l与C交于A、B两点．若中点的纵坐标为2，则(    ) A．6 B．7 C．9 D．10 【变式4】已知点，不关于轴对称的，两点在抛物线上，为线段的中点，且，则点的横坐标为 . 【考点11 直线与抛物线的最值问题】 例11．已知抛物线的焦点为F，过点的直线l与抛物线C交于，P，Q两点，则的最小值是（    ） A．8 B．10 C．13 D．15 【变式1】已知抛物线的焦点为F，动点M在C上，圆M的半径为1，过点F的直线与圆M相切于点N，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】已知为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点，若在轴负半轴上存在一点，使得为锐角，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考点12抛物线的定值问题】 例12．已知点是抛物线上的一点，点是上异于点的不同的两点． (1)求的标准方程； (2)若直线的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出此定值． 【变式1】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)过点且斜率存在的直线交抛物线于不同的两点，设为坐标原点，直线的斜率分别为，求证：为定值． 【变式2】已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴上，且抛物线上的点到焦点的距离是5. (1)求该抛物线的标准方程； (2)若过点的直线与该抛物线交于，两点，求证：为定值. 【变式3】如图，已知抛物线：上的点的横坐标为1，焦点为，且，过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，为线段上的动点，过作抛物线的切线，切点为（异于点，），且直线交线段于点． (1)求抛物线的方程； (2)试求的长是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式4】已知点在抛物线上，过点的直线与相交于两点，直线分别与轴相交于点. (1)当弦的中点横坐标为3时，求的一般方程; (2)设为原点，若，求证:为定值. 【考点13 抛物线的定点问题】 例13．在平面直角坐标系内，已知曲线上任意一点到点的距离比到直线 的距离少. (1)求曲线的方程; (2)点在曲线上，直线交抛物线于、两点（、异于点）. 若，证明: 直线过定点. 【变式1】已知抛物线上一动点G，过点G作x轴的垂线，垂足为D，M是上一点，且满足. (1)求动点M的轨迹C； (2)若为曲线C上一定点，过点P作两条直线分别与抛物线交于A，B两点，若满足，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标. 【变式2】已知是抛物线的焦点，不过原点的动直线交抛物线于，两点，是线段的中点，点在准线上的射影为，当时，. (1)求抛物线的方程； (2)当时，求证：直线过定点. 【变式3】已知曲线的焦点为，曲线上有一点满足. (1)求抛物线的方程； (2)过原点作两条相互垂直的直线交曲线于异于原点的两点，直线与轴相交于，试探究轴上存在一点是否存在异于的定点满足恒成立.若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【考点14 抛物线的定直线问题】 例14．已知抛物线，，是C上两个不同的点． (1)求证：直线与C相切； (2)若O为坐标原点，，C在A，B处的切线交于点P，证明：点P在定直线上． 【变式1】如图，过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，AM，AN，BC，BD分别垂直于坐标轴，垂足依次为M，N，C，D． (1)若矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为，，求的值； (2)求证：直线MN与直线CD交点在定直线上． 【考点15 抛物线的实际应用】 例15．探照灯､汽车前灯的反光曲面､手电筒的反光镜面､太阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯､汽车前灯､手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口直径是，灯深，则光源到反射镜顶点的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图是一抛物线型机械模具的示意图，该模具是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，已知顶点深度4cm，口径长为12cm． (1)以顶点为坐标原点建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的标准方程； (2)为满足生产的要求，需将磨具的顶点深度减少1cm，求此时该磨具的口径长． 【变式2】图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若是该拋物线上一点，点，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 过关检测 一、单选题 1．（24-25高二上·河南驻马店·期末）抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·北京朝阳·期末）已知抛物线．若其焦点到准线的距离为4，则抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·吉林·期末）若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 4．（24-25高三上·湖北·期末）已知抛物线为坐标原点，是抛物线上任意一点，为焦点，且，则直线的斜率的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 5．（24-25高二上·天津和平·期末）已知双曲线的右焦点到抛物线的准线的距离为4，点是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 6．（2023·西藏日喀则·一模）已知点为抛物线上一动点，点为圆：上一动点，点为抛物线的焦点，点到轴的距离为.若的最小值为3.则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25高二上·辽宁·期末）已知抛物线的焦点为，圆与抛物线交于，两点，点为劣弧上不同于，的一个动点，过点作平行于轴的直线，直线交抛物线于点，则周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知抛物线：，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的最小值为16 D．若点是的外心，其中是坐标原点，则直线的斜率的最大值为 9．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，抛物线上一点到点的距离为，点，是抛物线上的两点，点是的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则点到轴的距离为 C．若延长线交轴于，且是的中点，则 D．当取最小值时， 10．（24-25高二上·辽宁·期末）已知点是圆上的动点，点为，线段的垂直平分线交直线于点，点为，则下列结论正确的是（    ） A．若，且圆与圆外切，与轴相切，则点的轨迹为抛物线 B．若，动点的轨迹是双曲线的右支 C．若，，在圆上运动，且，为线段的中点，则点的轨迹是圆 D．若，动点的轨迹是椭圆 11．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知为坐标原点，抛物线上有异于原点的，两点，为抛物线的焦点，以为切点的抛物线的切线分别记为，，则（    ） A．若，则三点共线 B．若，则三点共线 C．若，则三点共线 D．若，则三点共线 三、填空题 12．（24-25高二上·吉林·期末）若点在抛物线上，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ． 13．（24-25高三上·天津河东·期末）已知圆与抛物线的准线交于两点，且，则的值为 ． 14．（24-25高三上·山东济宁·期末）已知点在抛物线：上，则点到抛物线的准线的距离是 . 15．（24-25高二上·天津和平·期末）已知抛物线，经过拋物线上一点的切线截圆：的弦长为，则的值为 16．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，垂直l于点Q，直线与C相交于M、N两点．若M为靠近点F的的三等分点，则 ． 17．（24-25高二上·辽宁·期末）已知抛物线C：的焦点为F，过直线l：上的点P作抛物线C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则的最小值为 . 四、解答题 18．（24-25高二上·广西·期末）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 19．（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知抛物线上的点到焦点的距离为4. (1)求的值； (2)过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，且，求直线的方程. 20．（24-25高三上·广西·期末）已知抛物线：的焦点为椭圆：的一个焦点，且的短轴长为4. (1)求的方程； (2)过点且倾斜角为的直线与交于，两点，线段AB的中垂线与轴交于点，求的面积. 21．（24-25高三上·湖南永州·期末）已知抛物线的焦点为，且三个不同的点均在上．当为的重心时，线段长度之和为3． (1)求； (2)已知直线方程为，为坐标原点，求的面积； (3)若为等边三角形，记的中心为点，求点所在曲线的方程． 22．（24-25高二上·辽宁·期末）已知抛物线C：（）经过点（），F为焦点，且. (1)求C的方程及； (2)设O为原点，过F作斜率不为0的直线l交C于M，N两点，直线分别交直线OM，ON于A，B.证明：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点. 23．（24-25高二上·辽宁·期末）已知抛物线与过点直线相交于、两点，点为坐标原点. (1)求的值； (2)若的面积等于3，求直线的一般方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习专题05 抛物线15种常见考法归类 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1 抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 注：①在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？ 不一定是，若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线． ②定义的实质可归纳为“一动三定” 一个动点M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)． 知识点2　抛物线的方程及简单几何性质 类型 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图象 性质 焦点 F F F F 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0,0) 离心率 e＝1 开口方向 向右 向左 向上 向下 知识点3 直线与抛物线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0. (1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点． (2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 注：(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件． (2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况． (3)求弦长问题的方法 ①一般弦长：|AB|＝|x1－x2|，或|AB|＝|y1－y2|. ②焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p. 知识点4 焦点弦问题 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦， 如图：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p. 注：(1)x1·x2＝. (2)y1·y2＝－p2. (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α是直线AB的倾斜角)． (4)＋＝为定值(F是抛物线的焦点)． 知识点5 参数方程 的参数方程为（参数） 知识点6 切线方程和切点弦方程 抛物线的切线方程为，为切点 切点弦方程为，点在抛物线外 与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果． 知识点7 抛物线的通径 过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 知识点8 中点和斜率的关系 弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系： 解题策略1、求抛物线的标准方程的方法 定义法 根据定义求p，最后写标准方程 待定系数法 设标准方程，列有关的方程组求系数 直接法 建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程 注：当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．　　　　 解题策略2、用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 解题策略3、抛物线定义的两种应用 (1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题． (2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．　　　 解题策略4、直线与抛物线的位置关系 将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解. 解题策略5、求抛物线实际应用的五个步骤 解题策略6、求轨迹问题的两种方法 (1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程． (2)定义法： 若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解曲线方程． 考点剖析 【考点1 求抛物线的标准方程】 例1．若抛物线：的焦点坐标为，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件可得，求出，从而可求出抛物线的方程. 【详解】因为抛物线：的焦点坐标为， 所以，得， 所以抛物线方程为， 故选：D 【变式1】若抛物线的顶点是原点，准线为直线，则此抛物线的方程为 . 【答案】 【分析】设出抛物线解析式，通过准线求出的值，即可求出此抛物线的方程. 【详解】由题意， 抛物线的顶点是原点，准线为直线， ∴设抛物线的方程为， ∴，解得：， ∴此抛物线的方程为：， 故答案为：.    【变式2】以坐标轴为对称轴，焦点在直线上的抛物线的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】直线与坐标轴的交点即为焦点，根据焦点可求出，可得答案. 【详解】直线与坐标轴的交点为， 当抛物线的焦点为时，其标准方程为； 当抛物线的焦点为时，其标准方程为. 故选：D. 【变式3】以椭圆的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆和抛物线的几何意义求解即可. 【详解】由椭圆可得， 所以左焦点坐标为， 所以以为焦点的抛物线的标准方程为， 故选：C. 【变式4】焦点在直线上的抛物线的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【解析】直线与坐标轴的交点为以及， 所以抛物线的焦点为或， 当焦点为，此时抛物线方程为， 当焦点为时，此时抛物线的方程为， 故选：C 【变式5】点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】由抛物线的准线方程,分类讨论求参数的值. 【详解】当时，抛物线开口向上，准线方程， 点到准线的距离为，解得， 所以抛物线方程为； 当时，抛物线开口向下，准线方程， 点到准线的距离为，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为． 所以抛物线的方程为或． 故选：C 【变式6】已知抛物线（）上一点M的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据已知条件可得点M坐标，代入抛物线方程求解即可. 【详解】因为抛物线的准线方程是，而点M到准线的距离为6， 所以点M的横坐标是. 所以点M的坐标为， 又因为点M在抛物线上， 所以32=2p，解得p=8或p=4， 故该抛物线的标准方程为或. 故选：D. 【考点2 利用抛物线的定义求距离或点的坐标】 例2．若抛物线上一点到拋物线焦点的距离为，则点到原点的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】设，由抛物线定义列式求得，即可依次求，即点到原点的距离. 【详解】由题得焦点坐标为，则准线方程为 设，根据抛物线定义有有，∴， ∴点到原点的距离为. 故选：D. 【变式1】已知F为抛物线的焦点，点A在抛物线C上，O为原点，若为等腰三角形，则点A的横坐标可能为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设，分别表示出，，再分类讨论即可求解. 【详解】由抛物线的解析式，可知，准线，设， 由抛物线的定义可知， 又，. 当时，即，解得，此时点与点重合，不符合题意； 当时，即，解得或（舍），此时点A的横坐标为； 当时，即，解得，此时点A的横坐标为. 只有选项C符合题意. 故选：C 【变式2】已知抛物线的焦点为F，点P为E上一点，Q为PF的中点，若，则Q点的纵坐标为（    ） A．7 B．5 C．3 D．1 【答案】B 【分析】根据梯形的中位线定理，结合抛物线的定义进行求解即可. 【详解】过点P，Q分别作准线的垂线，垂足分别为（如图）， 设准线与纵轴的交点为， 由梯形中位线定理易知，又准线方程为，故Q点的纵坐标为5. 故选：B. 【变式3】 【变式4】 【考点3 与抛物线有关的距离和最值问题】 例3．已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】抛物线的准线的方程为，过作于，根据抛物线的定义可知，则当三点共线时，可求得最小值，答案可得. 【详解】解：抛物线：的焦点为，准线的方程为， 如图，过作于， 由抛物线的定义可知，所以 则当三点共线时，最小为. 所以的最小值为. 故选：C. 【变式1】设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【解析】抛物线的准线为，设点到准线的距离为，圆心，圆心到准线的距离为，则， 则， 则的最小值为4. 故答案为：4. 【变式2】已知抛物线和点，F是抛物线的焦点，P是抛物线上一点，则的最小值是（    ）． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义得到，将的最小值转化为的最小值，然后根据两点之间线段最短得到当，，三点共线时最小，最后求最小值即可. 【详解】 如图，为点在准线上的投影， 根据抛物线的定义可得，所以的最小值即的最小值，根据两点之间线段最短可得，当，，三点共线时最小，所以最小值为. 故选：B. 【变式3】已知直线和直线，则抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由是抛物线的准线，推导出点到直线的距离和到直线的距离之和的最小值即为点到直线的距离和点到焦点的距离之和，利用几何法求最值． 【详解】是抛物线的准线，到的距离等于. 过P作于 Q，则到直线和直线的距离之和为 抛物线的焦点 过作于，和抛物线的交点就是， ∴（当且仅当F、P、Q三点共线时等号成立） 点到直线的距离和到直线的距离之和的最小值就是到直线距离， 最小值． 故选：C． 【变式4】已知抛物线：的准线为，点的坐标为，点在抛物线上，点到直线的距离为，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用抛物线定义，把问题转化为抛物线上的点到点A和焦点F距离差的最大值求解. 【详解】抛物线：的焦点，依题意，，则， 当且仅当点P，F，A共线，即点P为抛物线顶点时取“=”， 所以的最大值为. 故选：A 【变式5】已知，，是抛物线C：上的一点，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】由题可知为抛物线C的焦点，C的准线方程为． 设d为点M到C的准线的距离，则． 又，所以周长的最小值为． 故答案为：. 【变式6】已知F为抛物线的焦点，P为该抛物线上的动点，点，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】设点，由点与点距离公式计算以及的长，代入所求结合二次函数的性质可求出最大值. 【详解】设，则，又，所以，则.令，则，，即时，取得最大值，此时. 故选：D 【变式7】已知点是抛物线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】7 【解析】由题意可知抛物线的焦点为，准线为， 因为点是抛物线上一动点，设，， 则由两点间距离公式可得表示， 又根据抛物线的定义可知等于点到准线的距离， 即， 当且仅当三点共线时，最小， 即最小值为点到准线的距离， 故答案为： 【考点4 抛物线的轨迹问题】 例4．若动点到点的距离等于它到直线的距离，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义求得正确答案. 【详解】依题意，动点到点的距离等于它到直线的距离， 所以的轨迹为抛物线，， 所以点的轨迹方程为. 故选：D 【变式1】在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义判断轨迹，再由抛物线焦点、准线得到方程即可. 【详解】由题意知动点到直线的距离与定点的距离相等， 由抛物线的定义知，P的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以，轨迹方程为， 故选：D 【变式2】若动点满足，则点M的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】根据题意，化简得到，结合抛物线的定义，即可求解. 【详解】由题意，动点满足， 即， 即动点到定点的距离等于动点到定直线的距离， 又由点不在直线上， 根据抛物线的定义，可得动点的轨迹为以为焦点，以的抛物线. 故选：D. 【变式3】若动圆与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为圆的圆心为，半径为， 设动圆圆心的坐标为，半径为，则， 又动圆与直线相切，即到直线的距离为， 所以到直线的距离为， 所以到的距离与到直线的距离相等， 所以的轨迹为抛物线，其焦点为， 所以动圆圆心的轨迹方程为. 故选：D． 【变式4】若动点在上移动，则点与点连线的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设PQ的中点为， 则，解得， 即，又点P在曲线上， 所以，即， 所以PQ的中点的轨迹方程为. 故选：A 【变式5】已知点P是曲线上任意一点，，连接PA并延长至Q，使得，求动点Q的轨迹方程． 【答案】 【分析】设动点Q的坐标，点P坐标，利用，求出、代入曲线方程可得答案. 【详解】设动点Q的坐标，点P坐标，， 因为，所以，， 可得，， 代入得，整理得， 所以动点Q的轨迹方程为． 【考点5 焦半径问题】 例5．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】由焦半径公式可知，，得. 故选：A 【变式1】已知抛物线的焦点为，点在上，，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由焦半径公式可得，解得， 故抛物线， 故， 当时，， 直线的斜率为， 当时，， 直线的斜率为， 综上，直线的斜率为. 故选：D 【变式2】已知为抛物线的焦点，点，，在抛物线上，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，， 设，，， 是的重心，则， ， 故选：A． 【变式3】已知抛物线上的点到原点的距离为，焦点为F，准线l与x轴的交点为M，过C上一点P作PQ⊥l于Q，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为点到原点的距离为， 所以，解得，（负值舍）， 将点代入抛物线方程，得，所以， 所以. 由于抛物线关于轴对称，不妨设， 因为，， 所以为等腰三角形，， 所以， 所以， 解得或(舍)， 所以. 故选：D. 【考点6 直线与抛物线的位置关系】 例6．直线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】A 【分析】直线过定点，在抛物线内部，即可得出结论． 【详解】直线过定点， ∵， ∴在抛物线内部， ∴直线与抛物线相交， 故选：A． 【变式1】过点作直线与抛物线相交，恰好有一个交点，则符合条件的直线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】作图分析，根据抛物线的图形特点结合直线与抛物线的位置关系，可得答案. 【详解】如图示，过点作直线与抛物线相交，恰好有一个交点， 符合条件的直线有三条，其中两条是与抛物线相切的直线，其中包含y轴，另一条是与抛物线对称轴平行的直线， 故选：D 【变式2】已知命题p：，命题q：直线与抛物线有两个公共点，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由题意，联立方程求解，根据一元二次方程的求解公式，结合充分条件与必要条件的定义，可得答案. 【详解】由题意，联立可得，消去整理可得：， 则恒成立，则直线与抛物线必定有两个交点， 则显然成立，不成立， 故选：A. 【变式3】已知抛物线的焦点到准线的距离为，过点 的直线与抛物线只有一个公共点. (1)求抛物线的方程； (2)求直线的方程. 【解析】（1）因抛物线的焦点到准线的距离为，于是得， 所以抛物线的方程为. （2）当直线的斜率存在时，设直线为，由消去y并整理得：， 当时，，点是直线与抛物线唯一公共点，因此，，直线方程为， 当时，，此时直线与抛物线相切，直线方程为， 当直线的斜率不存在时，y轴与抛物线有唯一公共点，直线方程为， 所以直线方程为为或或. 【变式4】在平面直角坐标系中，抛物线上一点的横坐标为4，且点到的距离为5， (1)求抛物线的方程； (2)若斜率为1的直线交抛物线于、两点（位于对称轴异侧），且，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意建立关于的等式，解出即可求得抛物线方程； （2）设直线的方程为，联立抛物线方程，将数量积用表示，再由建立方程，即可求解． 【详解】（1）由题可知，点到抛物线准线的距离为5， 抛物线的准线方程为，点的横坐标为4， ，解得， 抛物线的方程为； （2）根据题意可设直线的方程为，    联立，得， 设，，，，则，， ， ， 解得，此时都有， ，直线的方程为， 即． 【考点7 直线与抛物线的弦长问题】 例7．过抛物线的焦点作倾斜角为120°的直线交抛物线于、两点，则长为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】A 【分析】先求出直线AB的方程，利用“设而不求法”求解. 【详解】根据抛物线方程得：焦点坐标. 直线AB的斜率为,由直线方程的点斜式方程可得AB: . 将直线方程代入到拋物线当中,整理得：. 设，则有，. 所以弦长. 故选：A 【变式1】根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛物线反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线，若从点Q（3，2）发射平行于x轴的光射向抛物线的A点，经A点反射后交抛物线于B点，则 . 【答案】 【分析】由题意求出A点坐标，由于直线过焦点，利用点斜式方程求出直线方程，联立抛物线方程，由韦达定理求出点B坐标，利用两点间的距离求出即可. 【详解】由条件可知AQ与x轴平行，令，可得，故A点坐标为， 因为 经过抛物线焦点，所以 方程为， 整理得，联立，得，，所以， 又，所以，， 所以. 故答案为：. 【变式2】入射光线由点出发，沿轴反方向射向抛物线：上一点，反射光线与抛物线交于点，则的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的光学性质，结合抛物线的焦点弦公式求解即可 【详解】易得的纵坐标为，代入可得.根据抛物线的光学性质可得，因为入射光线由点出发，沿轴反方向射向抛物线，故反射光线经过抛物线的焦点，故的斜率为.设，则直线的方程为，联立可得，故 故选：B 【变式3】已知抛物线，过点作抛物线的两条切线，两个切点分别为，若，则的值为（    ） A．2或 B．1或 C．2或 D．1或 【答案】C 【详解】由题抛物线，则， 设，则， 所以抛物线在、B点处的切线斜率分别为， ， 整理得，， 所以直线的方程为， 与联立并消去得， 所以，， 从而 ， 解得， 故选：C. 【变式4】斜率为直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则三角形（为坐标原点）的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出直线方程，联立抛物线方程，求出两点坐标，进而求出的长，再求出原点到直线距离，求出三角形面积． 【详解】抛物线的焦点坐标为，则斜率为的直线方程为：. 与抛物线方程联立，消去得： . 设，不妨设， 则， 点到直线的距离为， 所以的面积为 故选：D 【考点8 抛物线的面积问题】 例8．已知直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若使得成立的点P的横坐标为3，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知，直线的斜率不为0， 设直线的方程为，，， 联立整理得，则，. ∴. ∵，∴四边形为平行四边形. ∵点的横坐标为3，∴，解得. ∴. 点到直线的距离为， ∴平行四边形的面积为. 故选：A. 【变式1】已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，延长交抛物线于点．抛物线的准线与轴的交点为，． (1)求抛物线的方程； (2)求△的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 所以抛物线的方程为. （2）因为，代入抛物线方程可得，且，所以， 又因为，所以，所以， 联立可得，所以， 所以， 又因为，所以到直线的距离为， 所以. 【变式2】已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，过分别作准线的垂线，垂足分别为，若和的面积分别为8和4，则的面积为 【答案】 【详解】过点的斜率为的直线与抛物线有且只有一个交点，不满足要求， 故可设直  线，代入抛物线方程， 消元可得， 设，则， ， ， ， 于是，即， . 故答案为：. 【变式3】已知抛物线上任意一点M到焦点F的距离比M到y轴的距离大1． (1)求E的标准方程； (2)，，交E于A，C两点，交E于B，D两点．求四边形ABCD的面积的最小值． 【答案】(1) (2)32 【分析】（1）由题意，根据抛物线的定义可知，从而可得抛物线E的标准方程； （2）设出的方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理及抛物线定义求出，，由结合基本不等式求出最小值． 【详解】（1）抛物线的焦点，准线． ∵抛物线上任意一点M到焦点F的距离比M到y轴的距离大1． 根据抛物线的定义可知，，∴， ∴抛物线E的标准方程为. （2）由题可知均有斜率且斜率不为零，且过焦点，    设，，，设， 由，消可得， ∴，， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 当且仅当时取等号， ∴四边形ABCD面积的最小值为32． 【考点9 抛物线的焦点弦问题】 例9．已知抛物线的焦点为，过的动直线与抛物线交于两点，满足的直线有且仅有一条，则 ． 【答案】2 【分析】根据抛物线定义表示焦点弦，结合通径公式，即可求解. 【详解】设交点坐标为过的直线为， 与抛物线联立可得，，故． ， 故当时，动直线有且仅有一条，即，故． 故答案为：2. 【变式1】过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由得到，当直线的斜率为0时不合要求，当直线的斜率不为0时，设，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，从而列出方程，得到，求出直线的斜率. 【详解】由题意得：， 因为，则， 设，则， 当直线的斜率为0时，此时直线l与抛物线只有1个交点，不合要求， 当直线的斜率不为0时，设， 则联立与抛物线方程，得， 则， 因为，故， 所以，解得：， 故直线l的斜率为. 故选：C． 【变式2】过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的焦点弦长公式计算． 【详解】抛物线，可知， 设直线的倾斜角为，则的倾斜角为，显然， 过焦点的弦，， ∴， 故选：D． 【变式3】【多选】已知抛物线的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点（其中点A在x轴上方），则（    ） A． B．弦AB的长度最小值为l C．以AF为直径的圆与y轴相切 D．以AB为直径的圆与抛物线的准线相切 【答案】ACD 【分析】由弦长公式计算可得选项A、B；C、D选项，可以利用圆的性质，圆心到直线的距离等于半径判定直线与圆相切. 【详解】   由题，焦点，设直线, 联立， ， ， 同理可得，， ，故A选项正确； ，故弦AB的长度最小值为4，B选项错误； 记中点，则点M到y轴的距离为， 由抛物线的性质，，所以以AF为直径的圆与y轴相切，故C选项正确； ，记中点， 则点N到抛物线的准线的距离，故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，D选项正确. 故选：ACD. 【变式4】【多选】已知抛物线的焦点为，准线为为抛物线上任意一点，点为在上的射影，线段交轴于点为线段的中点，则（    ） A． B．直线与抛物线相切 C．点的轨迹方程为 D．可以是直角 【答案】ABC 【分析】分别应用抛物线定义，直线与抛物线位置关系的判定，求轨迹方程的方法，向量法判断垂直进行求解. 【详解】对于选项，设准线与轴交于点，由抛物线知原点为的中点，轴， 所以为线段的中点，由抛物线的定义知，所以，故正确； 对于B选项，由题意知，为线段的中点，从而设，则， 直线的方程：， 与抛物线方程联立可得：， 由代入左式整理得：，所以， 所以直线与抛物线相切，故B正确； 对于C选项，设点，则点， 而是抛物线上任意一点，于是得，即， 所以点的轨迹方程为，故C正确； 对于D选项，因点的轨迹方程为，则设， 令，有， ， 于是得为锐角，故错误. 故选：ABC.    【考点10 抛物线的中点弦问题】 例10．若抛物线的弦AB中点坐标为，则直线AB的斜率为（    ） A．－4 B．4 C．－2 D．2 【答案】B 【分析】根据点差法求解即可. 【详解】设，，则. 所以， 所以. 故选：B 【变式1】已知抛物线，直线与抛物线相交于，两点.若线段的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知直线的斜率不为0，设方程为，， 联立，整理可得， ， 由中点为可得，可得， 因此直线的方程为，即. 故选：A 【变式2】已知抛物线C：的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点为，则点F到直线l的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点差法可求出直线的斜率，即得直线方程，根据点到直线的距离即可得结果. 【详解】设，，则，，所以， 即， 因为AB的中点为，， 所以直线的斜率，所以直线的方程为， 所以焦点到直线的距离， 故选：A. 【变式3】已知点F为抛物线的焦点，过F的直线l与C交于A、B两点．若中点的纵坐标为2，则(    ) A．6 B．7 C．9 D．10 【答案】D 【分析】设的中点为，则﹒根据A和B在抛物线上，满足抛物线方程得到两个方程，两个方程作差即可得到直线l斜率，故可得直线l方程，从而可求M的横坐标，从而可求． 【详解】焦点为，p＝4，设的中点为， ∴， ∴，即，故， 由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，故， 故，∴， ∴． 故选：D． 【变式4】已知点，不关于轴对称的，两点在抛物线上，为线段的中点，且，则点的横坐标为 . 【答案】4 【详解】设，，， 则由得. 因为，所以，解得. 故答案为：4 【考点11 直线与抛物线的最值问题】 例11．已知抛物线的焦点为F，过点的直线l与抛物线C交于，P，Q两点，则的最小值是（    ） A．8 B．10 C．13 D．15 【答案】C 【分析】利用韦达定理和抛物线的定义表示出，利用基本不等式求解. 【详解】设直线，，， 联立，整理得， 则，故. 因为，， 所以， 当且仅当即时，等号成立. 故选:C. 【变式1】已知抛物线的焦点为F，动点M在C上，圆M的半径为1，过点F的直线与圆M相切于点N，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】由题作图，由图可得，根据抛物线定义可得等于点到准线的距离，根据图形可得最小值情况，从而可得的最小值. 【详解】因为抛物线，所以焦点坐标为，如下图所示：连接，过作垂直准线于， 则在直角中，， 所以， 由抛物线的定义得：， 则由图可得的最小值即抛物线顶点到准线的距离，即， 所以. 故选：D. 【变式2】已知为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点，若在轴负半轴上存在一点，使得为锐角，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程结合韦达定理，再根据为锐角得到恒成立，转化为坐标运算，即可得到的范围. 【详解】由题意知，设直线的方程为，由， 得．设，， 则，，所以，． 因为为锐角，所以恒成立，即， 整理得，所以， 而，所以对于任意恒成立，所以． 由，解得，所以的取值范围为． 故选:A． 【考点12抛物线的定值问题】 例12．已知点是抛物线上的一点，点是上异于点的不同的两点． (1)求的标准方程； (2)若直线的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出此定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析，. 【详解】（1）由题设，故； （2）令，，，且， 联立与，则， 所以，即，故， 所以，同理可得， 故为定值，得证. 【变式1】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)过点且斜率存在的直线交抛物线于不同的两点，设为坐标原点，直线的斜率分别为，求证：为定值． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式求出，即可得解； （2）设直线，联立方程，利用韦达定理求得，再结合斜率公式即可得出结论. 【详解】（1）解：点在抛物线上，且， ，解得， 抛物线的方程为； （2）证明依题意，设直线， 联立，得， 则， 故为定值． 【变式2】已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴上，且抛物线上的点到焦点的距离是5. (1)求该抛物线的标准方程； (2)若过点的直线与该抛物线交于，两点，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设抛物线方程为（），根据焦半径公式列式求出即可得解； （2）直线的方程为：，联立直线与抛物线方程，得到和，再根据可得结果. 【详解】（1）∵抛物线焦点在轴上，且过点， ∴设抛物线方程为（）， 由抛物线定义知，点到焦点的距离等于5， 即点到准线的距离等于5， 则，∴， ∴抛物线方程为. （2）显然直线的斜率不为0，又由于直线过点，所以可设直线的方程为：， 由，化简并整理得，恒成立， 设，，则，则， ∴. 所以为定值. 【变式3】如图，已知抛物线：上的点的横坐标为1，焦点为，且，过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，为线段上的动点，过作抛物线的切线，切点为（异于点，），且直线交线段于点． (1)求抛物线的方程； (2)试求的长是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是定值， 【详解】（1）抛物线：的焦点，准线， 则，则，抛物线的方程为； （2）（ⅰ）设直线：，由，可得， 则，解得， 则，解得， 不妨令直线：，直线：， 则，设，， 设直线：， 由，可得， 由，可得或（舍）， 则，直线：，由，可得， 故，为定值． 【变式4】已知点在抛物线上，过点的直线与相交于两点，直线分别与轴相交于点. (1)当弦的中点横坐标为3时，求的一般方程; (2)设为原点，若，求证:为定值. 【答案】(1)或 (2)证明见解析 【分析】（1）先求抛物线的方程，再利用根与系数的关系可得直线的斜率，然后可得方程； （2）利用向量相等表示出参数，进而通过根与系数的关系整体代入消掉变量即得结果. 【详解】（1）由点在抛物线上，所以， 所以抛物线的方程为.设直线的方程为. 由，得.依题意， 解得且.且. 因为弦的中点横坐标为3，所以，即， 解得或，所以的一般方程为或. （2）直线的方程为， 又，令，得点的纵坐标为.所以， 同理得点的坐标为. 由，得，. 所以. 所以，即为定值. 【考点13 抛物线的定点问题】 例13．在平面直角坐标系内，已知曲线上任意一点到点的距离比到直线 的距离少. (1)求曲线的方程; (2)点在曲线上，直线交抛物线于、两点（、异于点）. 若，证明: 直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离少， 所以曲线上任意一点到点的距离跟到直线的距离相等， 又点不在直线上， 根据抛物线的定义可知，曲线是以为焦点，为准线的抛物线， 所以曲线的方程为. （2）因为点在曲线上， 即，解得（负值已舍去），所以， 当直线的斜率存在时，显然斜率不为，设直线， 设、，联立可得， 所以，可得， 由韦达定理可得，， 所以 即， 即， 所以或， 当时直线， 令，可得，即直线过定点， 当时直线， 令，可得，即直线过定点，不符合题意，故舍去； 当直线的斜率不存在时，设，， 则，， 因为，所以，解得（舍去）或， 所以直线的方程为，显然过点； 综上可得直线恒过定点. 【变式1】已知抛物线上一动点G，过点G作x轴的垂线，垂足为D，M是上一点，且满足. (1)求动点M的轨迹C； (2)若为曲线C上一定点，过点P作两条直线分别与抛物线交于A，B两点，若满足，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标. 【答案】(1)； (2)证明见解析，. 【分析】（1）利用相关点代入法，设，由已知向量关系可得，代入原方程即可得解； （2）设方程为：，代入抛物线方程可得，在的情况下，可得，由，代入求得和的关系即可得解. 【详解】（1）设，则， 由，得，代入得， 所以动点的轨迹. （2）易得的斜率存在，设， ， 由联立可得：， ①， ② 将①代入②得：， 所以， 所以直线恒过定点. 【变式2】已知是抛物线的焦点，不过原点的动直线交抛物线于，两点，是线段的中点，点在准线上的射影为，当时，. (1)求抛物线的方程； (2)当时，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由对称性可知，当时，轴且过焦点， 不妨设在轴上方，则 此时，， 因为，所以， 解得或（舍去）， 所以抛物线方程为； （2）当直线的斜率为0时，显然不符合题意； 当直线的斜率不为0时， 设直线，、、， 由化简得，， ，，， 所以，所以，， 所以 若，即，解得或（舍去）， 所以直线过定点；    【变式3】已知曲线的焦点为，曲线上有一点满足. (1)求抛物线的方程； (2)过原点作两条相互垂直的直线交曲线于异于原点的两点，直线与轴相交于，试探究轴上存在一点是否存在异于的定点满足恒成立.若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由焦半径公式代入求解，从而得抛物线方程；（2）设直线方程，联立方程组，将韦达定理代入所给条件求解. （1） 在曲线上，则，则， 而，故抛物线C的方程为. （2） 易知直线的斜率不为0，故设 联立：， 故. ，因为， 则 则或（舍），故. 因为都在轴上，要使得， 则轴为的角平分线， 若，则垂直于轴，轴平分，则垂直于轴， 则直线的方程为，此时，而相异，故，同理 故与的斜率互为相反数，即 为定值. 故当时，有恒成立. 【考点14 抛物线的定直线问题】 例14．已知抛物线，，是C上两个不同的点． (1)求证：直线与C相切； (2)若O为坐标原点，，C在A，B处的切线交于点P，证明：点P在定直线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）联立直线与抛物线的方程消元，利用证明即可； （2）设，由（1）可得出两条切线的方程，然后联立可得，然后由可得，即可证明. （1） 联立得， 因为在C上，则， 所以，因此直线与C相切． （2） 由（1）知，设，切线的方程为，切线的方程为， 联立得， 因为，，所以． 又因为，所以， 解得，所以． 故点P在定直线上． 【变式1】如图，过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，AM，AN，BC，BD分别垂直于坐标轴，垂足依次为M，N，C，D． (1)若矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为，，求的值； (2)求证：直线MN与直线CD交点在定直线上． 【答案】(1)4； (2)证明见解析. 【分析】（1）设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，设点A，B坐标，利用韦达定理计算作答. （2）利用（1）中信息，求出直线MN，CD的方程，并求出交点坐标即可推理作答. （1） 抛物线的焦点，显然直线AB不垂直于y轴，设其方程为：， 由消去x并整理得，，设点，，则，， 矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为，， 所以． （2） 由（1）得，，，， 于是得直线MN的方程为：，直线CD的方程为：， 由消去y并整理得：，而， 因此有，即直线MN与直线CD交点在直线上. 所以线MN与直线CD交点在定直线上. 【考点15 抛物线的实际应用】 例15．探照灯､汽车前灯的反光曲面､手电筒的反光镜面､太阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯､汽车前灯､手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口直径是，灯深，则光源到反射镜顶点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件及设出抛物线的标准方程，结合点在抛物线上即可求解. 【详解】在纵断面内，以反射镜的顶点（即抛物线的顶点）为坐标原点，过顶点垂直于灯口直径的直线为轴，建立直角坐标系，如图所示， 由题意可得. 设抛物线的标准方程为，于是，解得. 所以抛物线的焦点到顶点的距离为，即光源到反射镜顶点的距离为. 故选：B. 【变式1】如图是一抛物线型机械模具的示意图，该模具是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，已知顶点深度4cm，口径长为12cm． (1)以顶点为坐标原点建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的标准方程； (2)为满足生产的要求，需将磨具的顶点深度减少1cm，求此时该磨具的口径长． 【答案】(1) (2)cm 【分析】（1）设抛物线的标准方程为，由题意可得抛物线过点，将此点代入方程中可求出的值，从而可得抛物线方程， （2）设此时的口径长为，则抛物线过点，代入抛物线方程可求出的值，从而可求得答案 (1) 由题意，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为， 因为顶点深度4，口径长为12，所以该抛物线过点， 所以，得，所以抛物线方程为； (2) 若将磨具的顶点深度减少，设此时的口径长为， 则可得，得，所以此时该磨具的口径长． 【变式2】图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若是该拋物线上一点，点，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由已知点在抛物线上，利用待定系数法求抛物线方程，结合抛物线定义求的最小值. 【详解】设抛物线的方程为，因为，，所以点在抛物线上，所以，故，所以抛物线的方程为，所以抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，在方程中取可得，所以点在抛物线内，过点作与准线垂直，为垂足，点作与准线垂直，为垂足，则，所以，当且仅当直线与准线垂直时等号成立，所以的最小值为3， 故选：B. 过关检测 一、单选题 1．（24-25高二上·河南驻马店·期末）抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将抛物线方程化为标准形式，得到焦点坐标. 【详解】因为抛物线方程化为标准形式为， 所以，则焦点坐标为. 故选：B. 2．（24-25高三上·北京朝阳·期末）已知抛物线．若其焦点到准线的距离为4，则抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合抛物线方程可得，即可得抛物线的焦点坐标. 【详解】因为抛物线的焦点为，准线为：， 所以焦点到准线的距离为：， 所以焦点坐标为：. 故选：C. 3．（24-25高三上·吉林·期末）若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】计算双曲线的右焦点与抛物线的焦点，对应列式计算可解. 【详解】双曲线的右焦点坐标为， 根据抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合， 可得，所以 故选：A. 4．（24-25高三上·湖北·期末）已知抛物线为坐标原点，是抛物线上任意一点，为焦点，且，则直线的斜率的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】首先设点的坐标，再表示点的坐标，并表示，利用基本不等式求最值. 【详解】设，，由可知，， 直线斜率最大，则点是第一象限的点，即， 所以， 当，即时，等号成立， 所以直线斜率的最大值为1. 故选：B 5．（24-25高二上·天津和平·期末）已知双曲线的右焦点到抛物线的准线的距离为4，点是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线方程结合双曲线的几何性质即可求解. 【详解】将代入抛物线方程，可得， 则抛物线方程为，准线方程为， 又双曲线右焦点到抛物线的准线的距离为， 则，又， 可得，所以双曲线方程为. 故选：D. 6．（2023·西藏日喀则·一模）已知点为抛物线上一动点，点为圆：上一动点，点为抛物线的焦点，点到轴的距离为.若的最小值为3.则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由抛物线的定义，数形结合可知当共线，且在线段上时，最短，此时有最小值，列方程即可求解. 【详解】圆的圆心，半径， 抛物线的焦点为，准线方程为， 则由抛物线的定义知点到y轴的距离为，则， 由图知，当共线，且在线段上时，最短， 此时，而， 则，所以. 故选：B    7．（24-25高二上·辽宁·期末）已知抛物线的焦点为，圆与抛物线交于，两点，点为劣弧上不同于，的一个动点，过点作平行于轴的直线，直线交抛物线于点，则周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，联立方程组求出点的坐标，再结合抛物线的定义，即可求解. 【详解】由，可得圆心，也是抛物线的焦点为， 如图，交抛物线的准线于，根据抛物线的定义，可得， 故的周长为， 由，解得， ∵，且，∴的取值范围为，∴， ∴的周长的取值范围为. 故选：C. 二、多选题 8．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知抛物线：，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的最小值为16 D．若点是的外心，其中是坐标原点，则直线的斜率的最大值为 【答案】ACD 【分析】把过点的直线方程设为，与联立，用韦达定理即可得到选项A正确，B错误；利用弦长公式即可求出弦长，再利用，即得得到坐标原点即为的外心，再利用不等式即可求得结果. 【详解】显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，由，得， 所以，，，故A正确，B错误； ， 所以，当且仅当时，取到最小值，故C正确； 因为，所以，所以的外心就是弦的中点， 记为，其中，．由，以及， 得， 即，所以直线的斜率．要求直线的斜率的最大值，所以， 所以，当且仅当， 即时“=”号成立，即直线的斜率的最大值为，故D正确. 故选：ACD． 9．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，抛物线上一点到点的距离为，点，是抛物线上的两点，点是的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则点到轴的距离为 C．若延长线交轴于，且是的中点，则 D．当取最小值时， 【答案】ACD 【分析】根据抛物线的定义可求出的值可判断A；利用抛物线的定义转化为梯形中边之间的关系可判断B；根据是的中点求出的横坐标，结合抛物线的定义可判断C；利用抛物线的定义将取最小值转化为最大，即直线与抛物线相切，联立直线方程和抛物线方程，令，求解即可判断D. 【详解】过点分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为， 连接，如图： 对于A，由题知，，所以，，故A正确； 对于B，因为点是的中点，所以是梯形的中位线， 所以， 所以点到轴的距离为，故B错误； 对于C， ，设，， 因为是的中点，则， 所以，故C正确； 对于D，， 所以当最大时，即直线与抛物线相切时，取最小值， 易知直线的斜率不为0，， 设直线：， 则，消去得， 则，解得，， 所以当直线为或时，取最小值， 此时，故D正确. 故选：ACD. 10．（24-25高二上·辽宁·期末）已知点是圆上的动点，点为，线段的垂直平分线交直线于点，点为，则下列结论正确的是（    ） A．若，且圆与圆外切，与轴相切，则点的轨迹为抛物线 B．若，动点的轨迹是双曲线的右支 C．若，，在圆上运动，且，为线段的中点，则点的轨迹是圆 D．若，动点的轨迹是椭圆 【答案】ACD 【分析】根据相切的性质，结合抛物线的定义即可求解A，根据垂直平分线的性质，结合双曲线以及椭圆的定义即可求解BD，根据点点距离公式，结合圆的性质，即可求解C. 【详解】对于A,由于圆与圆外切，与轴相切，故,其中为圆心到轴的距离，因此圆心到的距离与到直线的距离相等，且圆心不经过直线，故点的轨迹为以为焦点，以为准线在抛物线，A正确， 对于B，当时，,由垂直平分线的性质可得， 如图，当靠近左半圆时，， 当靠近右半圆时，， 因此点的轨迹为以为焦点的双曲线，B错误， 对于C,连接,由于为线段的中点，故,又，故, 设，由,即，化简可得，即，故点的轨迹是圆，C正确， 对于D，时，在圆内，如图，此时,由垂直平分线的性质可得，故，因此点的轨迹为以为焦点的椭圆，D正确， 故选：ACD 方法点睛：解析几何中与动点轨迹有关的题目，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型. 11．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知为坐标原点，抛物线上有异于原点的，两点，为抛物线的焦点，以为切点的抛物线的切线分别记为，，则（    ） A．若，则三点共线 B．若，则三点共线 C．若，则三点共线 D．若，则三点共线 【答案】BC 【分析】设方程，联立抛物线方程，利用韦达定理表示，.AB：结合所给的条件即可判断；C：分别求出切线、的方程，由斜率之积为可得即可判断；D：结合抛物线的定义化简计算即可判断. 【详解】设直线的方程为，代入抛物线方程得， 则，，， 所以， . 选项A：若，则，得， 故直线：，不一定经过焦点，三点不一定共线，故A错误. 选项B：若，则，得， 故直线：，经过焦点，三点共线，故B正确. 选项C：设在点处的切线方程为：，即， 与抛物线方程联立得， ，即，解得， 所以：，即， 即切线的方程为，同理切线的方程为， 由，得，得，由B知直线经过焦点，故C正确. 选项D：因为， 则， 整理得，则，故直线：， 不一定经过焦点，三点不一定共线，故D错误. 故选：BC 三、填空题 12．（24-25高二上·吉林·期末）若点在抛物线上，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ． 【答案】4 【分析】将点代入抛物线方程，求出的值，即可得到焦点到准线的距离. 【详解】因为在上， 所以，所以，即抛物线的方程为， 所以焦点为，准线为， 所以焦点到准线的距离为4． 故答案为：. 13．（24-25高三上·天津河东·期末）已知圆与抛物线的准线交于两点，且，则的值为 ． 【答案】4 【分析】根据题意得到，再利用勾股定理求出，由圆心到准线的距离可得答案. 【详解】设圆的圆心坐标为，连接， 抛物线准线与轴交于点，则， 所以， 所以圆心到准线的距离为， 解得，或（舍去）. 故答案为：4. 14．（24-25高三上·山东济宁·期末）已知点在抛物线：上，则点到抛物线的准线的距离是 . 【答案】 【分析】借助点坐标可得，即可得准线方程，即可得解. 【详解】由题意可得，即，故：， 则抛物线的准线方程为， 故点到抛物线的准线的距离为. 故答案为：. 15．（24-25高二上·天津和平·期末）已知抛物线，经过拋物线上一点的切线截圆：的弦长为，则的值为 【答案】 【分析】由题意可得：，设切线方程，结合相切可得，根据垂径定理结合弦长关系列式求解即可. 【详解】因为抛物线过点，则，得到，所以， 显然切线斜率不为0，设切线方程为， 联立方程，消去x得， 则，整理得到，解得， 所以切线方程为，即， 又因为圆的圆心，半径， 则圆心到直线的距离， 由题意可得，整理得到，解得或（舍）. 故答案为：1. 16．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，垂直l于点Q，直线与C相交于M、N两点．若M为靠近点F的的三等分点，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件作出图形，利用图形，结合抛物线定义求出直线方程，与抛物线方程联立求出点横坐标，再利用直角三角形边角关系求得答案. 【详解】如图， 过点M作于点H，设准线l与x轴的交点为K， 由M为靠近点F的的三等分点，得， 由，得，由抛物线定义知，，则， 在中，，则， 由，得，又，则为等边三角形， 因此，点P的横坐标为，设与x轴的交点为G， 直线的斜率为， 点，则直线的方程为， 由消去y整理得，，解得或， 则点N的横坐标为，轴于G，在中，． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：涉及抛物线过焦点的弦，结合已知利用抛物线定义是求解问题的关键. 17．（24-25高二上·辽宁·期末）已知抛物线C：的焦点为F，过直线l：上的点P作抛物线C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则的最小值为 . 【答案】5 【分析】设，，，求出切线的方程，然后求出直线的方程，与抛物线联立，最后运用韦达定理表示出，利用二次函数的性质求出最小值. 【详解】由条件可知，设，，，则，， 再设切线PM的方程为，联立方程组， 整理得，由，且，可得， 则切线PM的方程为，即.由切线PM过点，可得. 同理，切线PN的方程为，由切线PN过点，可得， 则直线MN的方程为，联立方程组，整理得， 可得，， 则，当且仅当时，等号成立，故的最小值为5. 故答案为：. 四、解答题 18．（24-25高二上·广西·期末）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义得点的轨迹，然后根据焦点坐标求出抛物线的标准方程； （2）设，利用点差法求得直线的斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可. 【详解】（1）因为动点到点的距离比它到直线的距离小2， 所以动点到点的距离比它到直线的距离相等， 由抛物线的定义知动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以轨迹的方程为. （2）设，则 两式相减得，整理可得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 19．（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知抛物线上的点到焦点的距离为4. (1)求的值； (2)过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，且，求直线的方程. 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）根据题意列式，求出的值，即得答案. （2）由（1）可得抛物线方程，设直线方程，并联立，利用抛物线弦长公式求出参数，即得答案. 【详解】（1）由题知，，所以. 因为点到焦点的距离为4，所以4，所以，即， 所以，所以. （2）由（1）知，抛物线的方程为，其焦点坐标为. 设，，由题意知l的斜率不为 0，设直线的方程为. 由得，， 所以，所以. 因为，所以，即，解得， 所以直线的方程为，即. 20．（24-25高三上·广西·期末）已知抛物线：的焦点为椭圆：的一个焦点，且的短轴长为4. (1)求的方程； (2)过点且倾斜角为的直线与交于，两点，线段AB的中垂线与轴交于点，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据抛物线写出焦点坐标，再由椭圆参数关系求得、，即可得方程； （2）联立与椭圆，应用韦达定理及弦长公式可得，进而求线段的中垂线方程得到坐标，求出到直线的距离，最后求面积即可. 【详解】（1）由抛物线：的焦点，所以，即， 又的短轴长为，所以，则，故； （2）依题意有，联立，整理得，    设，，显然，则，， 所以， 设线段的中点为，则，， 故线段的中垂线为，令有，故， 所以到直线的距离为， 所以的面积. 21．（24-25高三上·湖南永州·期末）已知抛物线的焦点为，且三个不同的点均在上．当为的重心时，线段长度之和为3． (1)求； (2)已知直线方程为，为坐标原点，求的面积； (3)若为等边三角形，记的中心为点，求点所在曲线的方程． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）由重心坐标公式和焦半径公式求解即可； （2）联立直线与抛物线方程，由韦达定理可得，再由，求解即可； （3）分三角形的一条边斜率不存在及三条边的斜率均存在两种情况，结合到角公式及重心坐标公式求解即可. 【详解】（1）解：设， 则，即， 又， 所以； （2）解：联立，可得， 则， 设点则， 则， 又直线交轴于点， 所以； （3）解：不妨设， 则且按逆时针顺序排列， 1o若三边中有一条所在直线斜率不存在，由对称性可设， 则，可得中心， 2o若三边中有一条所在直线斜率存在， 则， 同理可得， 由到角公式得， 化简得：， 同理可得， ， 三式相加， 又， 所以， 设， 则，， 又， 代入上式化简可得， 又因为点在曲线上， 所以点所在曲线的方程为：. 22．（24-25高二上·辽宁·期末）已知抛物线C：（）经过点（），F为焦点，且. (1)求C的方程及； (2)设O为原点，过F作斜率不为0的直线l交C于M，N两点，直线分别交直线OM，ON于A，B.证明：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据抛物线的定义可得，代入抛物线方程即可得； （2）设直线l的方程为，联立方程利用韦达定理可得圆的方程，令运算求解即可. 【详解】（1）因为抛物线C：（）经过点，F为抛物线的焦点，且， 所以由抛物线的定义，可得，解得，所以， 又因为P的横坐标为1， 所以，解得， 又，所以. （2）因为直线l的斜率不为0，焦点坐标为， 设直线l的方程为. 与抛物线方程联立可得.故，. 可得，， 设，，则，， 可得直线OM的方程为， 与联立，可得，同理可得. 易知以AB为直径的圆的圆心坐标为，圆的半径为， 则圆的方程为. 令，整理可得，解得， 即以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点，. 23．（24-25高二上·辽宁·期末）已知抛物线与过点直线相交于、两点，点为坐标原点. (1)求的值； (2)若的面积等于3，求直线的一般方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，化为关于的一元二次方程，由根与系数关系求出两点的横纵坐标的和与积，直接运用数量积的坐标运算求解； （2）把的面积转化为两个三角形，的面积和，然后直接代入三角形面积公式求解 【详解】（1）设，由题意的斜率不为0，设直线的方程为， 代入抛物线方程可得，， 由根与系数的关系可得， 所以． （2）记为点， 由（1）有， 所以， 所以，解得：， 所以直线的方程为：或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$