第01讲 向量的概念（思维导图+4知识点+5考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（苏教版2019）

第01讲 向量的概念 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义； 2．理解平面向量的几何表示和基本要素； 3．理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相反向量、向量夹角等概念 知识点1 向量的实际背景与概念 1、数量与向量 （1）向量：既有大小又有方向的量（如力、速度、加速度、位移等）叫做向量． （2）数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等）称为数量． 【注意】 （1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移； （2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素； （3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 2、向量的二要素：向量由大小和方向两个要素组成，向量的大小是代数特征，向量的方向是几何特征． 知识点2 向量的几何表示 1、向量的表示 （1）向量的几何表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．以A为起点，B为终点的向量记作（注意起点一定要写在终点的前面）．向量的大小称为向量的模长，记作． （2）向量的字母表示：向量也可用小写字母表示（印刷时用黑体，书写时用）． 2、有向线段与向量的区别与联系 （1）区别：从定义上看，向量由大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度三个要素．因此，这时两个不同的量．在平面内，有向线段是固定的线段，而向量是可以自由平移的． （2）联系：有向线段是向量的几何表示，并不是说向量就是有向线段，每一条有向线段对应着一个向量，但每一个向量对应着无数多条有向线段． 知识点3 向量的相关概念 1、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的． 2、单位向量：长度等于1个单位的向量． 【注意】（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定． （2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 3、相等向量：长度相等且方向相同的向量． 【注意】在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． 4、向量共线或平行：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量)．规定：与任一向量共线． 【注意】（1）零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别．（2）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系． 5、相反向量：我们把与向量长度相等，方向相反的向量叫作的相反向量，记作，与称为相反向量．并且规定零向量的相反向量仍然是零向量．于是，对于任意一个向量，总有． 知识点4 向量的夹角 1、向量夹角的定义：对于两个非零向量与，在平面内任取一点，作，，叫作向量与的夹角．如下图所示． 2、特殊夹角对应的向量 当时，与同向；当时，与反向；当时，与垂直，记作． 考点一：向量的相关概念辨析 例1．（23-24高二上·黑龙江·学业考试）下列量中是向量的为（    ） A．长度 B．宽度 C．频数 D．摩擦力 【答案】D 【解析】向量是既有大小，又有方向的量， 因为长度，宽度，频数只有大小，没有方向，摩擦力既有大小，又有方向， 所以摩擦力是向量.故选：D 【变式1-1】下列各量中是向量的为（    ） A．海拔 B．压强 C．重力 D．温度 【答案】C 【解析】向量是既有大小，又有方向的量， 因为海拔，压强，温度只有大小，没有方向，重力既有大小，又有方向， 所以重力是向量，故选：． 【变式1-2】（23-24高一下·福建莆田·月考）下列结论中，正确的是（    ） A．零向量的大小为0，没有方向 B． C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 【答案】B 【解析】对A，既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误； 对B，由于与方向相反，长度相等，故B正确； 对C，起点相同的单位向量，终点不一定相同，故C错误； 对D，若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等或相反，故D错误．故选：B． 【变式1-3】（23-24高一下·广西来宾·期末）（多选）关于非零向量，，下列命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】BC 【解析】A选项，向量的模相等，可能方向不相等，所以A选项错误. B选项，两个向量互为相反向量，则这两个向量平行，所以B选项正确. C选项，非零向量，，若，，则成立，所以C选项正确. D选项，向量不能比较大小，所以D选项错误.故选：BC. 考点二：向量的几何表示方法 例2.（23-24高一下·四川成都·月考）已知向量如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 【答案】D 【解析】由向量的几何表示知，A、B、C正确，D不正确．故选D． 【变式2-1】小明从学校的教学楼出发，向北走了到达图书馆，后从图书馆向南偏东方向走了到食堂就餐，用餐后又从食堂向西走了来到操场运动．请用向量表示小明每次的位移以及从开始到最后的位移． 【答案】答案见解析 【解析】如图所示， 向量表示从教学楼到图书馆的位移； 向量表示从图书馆到食堂的位移； 向量表示从食堂到操场的位移； 向量表示从开始到最后的位移． 【变式2-2】已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行km到达D地． (1)作出向量，，，； (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 【答案】(1)答案见解析；(2)地在地的东南方向，距地 【解析】（1）由题意，作出向量，，，，如图所示． （2）依题意知，为正三角形，所以． 又因为，， 所以为等腰直角三角形，则，， 所以地在地的东南方向，距地． 【变式2-3】（24-25高一下·全国·课后作业）在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)． 【解析】（1）所求向量如图所示： （2）所求向量如图所示： （3）由图知，是等腰直角三角形，所以． 考点三：向量相等与共线判断 例3.（23-24高一下·重庆巴南·月考）如图，四边形中，，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】四边形中，，则且， 所以四边形是平行四边形；则有，故A错误； 由四边形是平行四边形，可知是中点，则，B正确； 由图可知，C错误； 由四边形是平行四边形，可知是中点，，D错误．故选：B． 【变式3-1】（24-25高二上·安徽六安·期中）如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，由正六边形的性质可得四边形为平行四边形，故，故A正确. 对于B，因为，故，故B正确. 对于C，由正六边形的性质可得，故，故C正确. 对于D，因为交于，故不成立，故D错误，故选：D. 【变式3-2】在中，，、分别是、的中点，则（    ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 【答案】B 【解析】由题意可知，与不共线，A错； 因为、分别是、的中点，所以，，故与共线，B对； 因为与不平行，所以与不相等，C错； 因为，D错．故选：B. 【变式3-3】如图，E、F、G依次是正三角形ABC的边AB、BC、AC的中点. (1)在以A、B、C、E、F、G为起点或终点的向量中，找出与向量共线的向量； (2)在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中，找出与向量模相等的向量； (3)在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，找出与向量相等的向量. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）分别为的中点，，且， 与向量共线的向量是. （2）因为是正三角形，所以， 因为E、F、G依次是正的边AB、BC、AC的中点， 所以， 所以在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中， 与向量模相等的向量为； （3）在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，与向量相等的向量为. 考点四：向量的夹角的应用 例4.（23-24高一下·陕西西安·期中）在等腰中，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为为等腰直角三角形，，所以， 故向量与的夹角为．故选：D 【变式4-1】如图，在正方形中，与的夹角为（    ） A．30° B．90° C．120° D．180° 【答案】B 【解析】是正方形，所以向量夹角是.故选：B. 【变式4-2】如图，在中，，，，D是的中点. (1)求与的夹角； (2)求与的夹角. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意知，， 所以，所以与的夹角为. （2）由题意知，， 所以，所以与的夹角为. 【变式4-3】如图，已知以O为圆心、1为半径的圆上有8个等分点A，B，C，D，E，F，G，H，以图中标出的9个点为起点和终点作向量， (1)与的夹角是多少？ (2)与垂直的向量有哪些？ 【答案】(1)45°；(2). 【解析】（1）因以O为圆心、1为半径的圆上的8个等分点分别为A，B，C，D，E，F，G，H， 则弧DE所对圆心角是45°，即有∠DOE=45°， 所以与的夹角为45°. （2）因以O为圆心、1为半径的圆上的8个等分点分别为A，B，C，D，E，F，G，H， 显然，BF是圆O的直径，，，如图： 所以与垂直的向量有：. 考点五：用向量关系研究几何性质 例5.（23-24高一下·北京·期中）已知是平面内四个不同的点，则“”是“四边形为平行四边形”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】一方面，时，可能共线，此时不构成四边形，充分性不成立； 另一方面，四边形为平行四边形时，则，故，必要性成立. 故“”是“四边形为平行四边形”的必要不充分条件.故选：B 【变式5-1】（23-24高一下·重庆长寿·期末）已知点在所在平面内，满足，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】A 【解析】因为，即点到的距离相等，所以点是的外心.故选：A 【变式5-2】（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）若四边形中，，且，则对该四边形形状的说法中错误的是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．正方形 【答案】C 【解析】四边形中，则其为平行四边形， 若同时满足，即邻边相等，就是菱形， 最后，即对角线相等，就满足了矩形的条件. 于是三项都满足的四边形为正方形，故A，B，D正确，C错误.故选：C. 【变式5-3】（23-24高一下·河南·期中）在四边形中，与交于点，且，则（    ） A． B．四边形是梯形 C．四边形是菱形 D．四边形是矩形 【答案】D 【解析】由， 知四边形的对角线相互平分且相等， 所以四边形为矩形.故选：D 一、单选题 1．（23-24高一下·福建厦门·月考）下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解析】是向量的有②速度；③位移；④力；⑤加速度；是数量的有①质量；⑥路程；⑦密度.故选：C. 2．（24-25高一上·北京·月考）下列关于向量的说法正确的是（    ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 【答案】A 【解析】对于A，摩擦力和重力都及有大小，也有方向，所以摩擦力，重力都是向量，A正确； 对于B，轴，轴有方向，但没有大小，所以它们都不是向量，B错误； 对于C，温度只有大小，没有方向，所以温度不是向量，C错误； 对于D，身高只有大小，没有方向，所以身高不是向量，D错误；故选:A． 3．（23-24高一下·河南·月考）下列说法正确的是（    ） A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．向量的模可以比较大小 C．模为1的向量都是相等向量 D．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行 【答案】B 【解析】对于A，向量不能比较大小，故A错误； 对于B，向量的模是一个数量，可以比较大小，故B正确； 对于C，相等向量不但模相等，且方向相同，故C错误； 对于D，因为零向量与任意向量平行，故D错误.故选：B. 4．（24-25高三上·北京丰台·期末）设，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若，则，模长相等，但它们的方向可以不同，故不一定成立， 故得不到， 若，则， 故“”是“”的必要不充分条件，故选：B. 5．（23-24高一下·湖北·月考）已知点是平行四边形的对角线的交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】为相反向量，故A错误； 为相反向量，故B错误； 方向相反，故，C正确； 因为平行四边形不一定为矩形，所以对角线不一定相等，故D错误.故选：C 6．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）已知四边形中，，并且，则四边形是（    ） A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．长方形 【答案】A 【解析】由题意，四边形中， 因为，可得且，所以四边形为平行四边形， 又因为，可得， 所以四边形为菱形.故选：A. 二、多选题 7．（23-24高一下·甘肃·期中）如图，在单位圆中，向量是（    ） A．有相同起点的向量 B．单位向量 C．模相等的向量 D．相等的向量 【答案】BC 【解析】A：由图可知，的起点为O，的起点为A，故A错误； B：由，知都为单位向量，故B正确； C：，故C正确； D：方向不同，，所以不为相等向量，故D错误.故选：BC 8．（23-24高一下·陕西渭南·期末）已知，为两个单位向量，则下列四个命题中错误的是（    ） A．与相等 B．如果与平行，那么与相等 C．与共线 D．如果与平行，那么或 【答案】ABC 【解析】A选项，与为两个单位向量，它们模长相等，但方向不一定相同，A选项错误； B选项，如果与平行，即与共线，根据共线向量性质，此时它们可能同向共线或者反向共线， 当它们反向共线时，与不相等，B选项错误； C选项，两个单位向量的夹角为或，它们才共线，但这是不一定的，C选项错误； D选项，如果与平行，即与共线，根据共线向量性质，此时它们可能同向共线或者反向共线， 即或，D选项正确.故选：ABC. 三、填空题 9．（23-24高一下·江西九江·月考）如图，B是线段AC的中点，若分别以图中各点为起点和终点，则最多可以写出 个共线非零向量． 【答案】6 【解析】根据题意，可得所有共线非零向量有：，共有个. 10．（23-24高一下·四川德阳·月考）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有 个. 【答案】3 【解析】根据正六边形的性质和相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，，共3个. 故答案为：3 四、解答题 11．（23-24高二上·河北石家庄·月考）如图，EF，CH将正方形ABCD分成四个单位正方形(边长为1个单位长度).在以图中各点为端点的所有向量中，除向量外，与平行的向量有哪些?与平行且是单位向量的有哪些? 【答案】答案见解析 【解析】根据平行向量的定义，由图可知， 与平行的向量有：，，，，，，，， ，，，，，，，，， 其中的单位向量有：，，，，，，，，，，. 12．在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1. (1)试以B为终点画一个向量，使； (2)在图中画一个以A为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么？ 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析, 终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆 【解析】（1）根据相等向量的定义，所作向量与向量平行，且长度相等． 图如下所示： （2）由平面几何知识可知所有这样的向量的终点的轨迹是以为圆心，半径为的圆． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 向量的概念 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义； 2．理解平面向量的几何表示和基本要素； 3．理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相反向量、向量夹角等概念 知识点1 向量的实际背景与概念 1、数量与向量 （1）向量：既有大小又有方向的量（如力、速度、加速度、位移等）叫做向量． （2）数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等）称为数量． 【注意】 （1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移； （2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素； （3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 2、向量的二要素：向量由大小和方向两个要素组成，向量的大小是代数特征，向量的方向是几何特征． 知识点2 向量的几何表示 1、向量的表示 （1）向量的几何表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．以A为起点，B为终点的向量记作（注意起点一定要写在终点的前面）．向量的大小称为向量的模长，记作． （2）向量的字母表示：向量也可用小写字母表示（印刷时用黑体，书写时用）． 2、有向线段与向量的区别与联系 （1）区别：从定义上看，向量由大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度三个要素．因此，这时两个不同的量．在平面内，有向线段是固定的线段，而向量是可以自由平移的． （2）联系：有向线段是向量的几何表示，并不是说向量就是有向线段，每一条有向线段对应着一个向量，但每一个向量对应着无数多条有向线段． 知识点3 向量的相关概念 1、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的． 2、单位向量：长度等于1个单位的向量． 【注意】（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定． （2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 3、相等向量：长度相等且方向相同的向量． 【注意】在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． 4、向量共线或平行：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量)．规定：与任一向量共线． 【注意】（1）零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别．（2）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系． 5、相反向量：我们把与向量长度相等，方向相反的向量叫作的相反向量，记作，与称为相反向量．并且规定零向量的相反向量仍然是零向量．于是，对于任意一个向量，总有． 知识点4 向量的夹角 1、向量夹角的定义：对于两个非零向量与，在平面内任取一点，作，，叫作向量与的夹角．如下图所示． 2、特殊夹角对应的向量 当时，与同向；当时，与反向；当时，与垂直，记作． 考点一：向量的相关概念辨析 例1．（23-24高二上·黑龙江·学业考试）下列量中是向量的为（    ） A．长度 B．宽度 C．频数 D．摩擦力 【变式1-1】下列各量中是向量的为（    ） A．海拔 B．压强 C．重力 D．温度 【变式1-2】（23-24高一下·福建莆田·月考）下列结论中，正确的是（    ） A．零向量的大小为0，没有方向 B． C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 【变式1-3】（23-24高一下·广西来宾·期末）（多选）关于非零向量，，下列命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 考点二：向量的几何表示方法 例2.（23-24高一下·四川成都·月考）已知向量如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 【变式2-1】小明从学校的教学楼出发，向北走了到达图书馆，后从图书馆向南偏东方向走了到食堂就餐，用餐后又从食堂向西走了来到操场运动．请用向量表示小明每次的位移以及从开始到最后的位移． 【变式2-2】已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行km到达D地． (1)作出向量，，，； (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 【变式2-3】（24-25高一下·全国·课后作业）在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 考点三：向量相等与共线判断 例3.（23-24高一下·重庆巴南·月考）如图，四边形中，，则必有（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·安徽六安·期中）如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】在中，，、分别是、的中点，则（    ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 【变式3-3】如图，E、F、G依次是正三角形ABC的边AB、BC、AC的中点. (1)在以A、B、C、E、F、G为起点或终点的向量中，找出与向量共线的向量； (2)在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中，找出与向量模相等的向量； (3)在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，找出与向量相等的向量. 考点四：向量的夹角的应用 例4.（23-24高一下·陕西西安·期中）在等腰中，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，在正方形中，与的夹角为（    ） A．30° B．90° C．120° D．180° 【变式4-2】如图，在中，，，，D是的中点. (1)求与的夹角； (2)求与的夹角. 【变式4-3】如图，已知以O为圆心、1为半径的圆上有8个等分点A，B，C，D，E，F，G，H，以图中标出的9个点为起点和终点作向量， (1)与的夹角是多少？ (2)与垂直的向量有哪些？ 考点五：用向量关系研究几何性质 例5.（23-24高一下·北京·期中）已知是平面内四个不同的点，则“”是“四边形为平行四边形”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-1】（23-24高一下·重庆长寿·期末）已知点在所在平面内，满足，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【变式5-2】（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）若四边形中，，且，则对该四边形形状的说法中错误的是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．正方形 【变式5-3】（23-24高一下·河南·期中）在四边形中，与交于点，且，则（    ） A． B．四边形是梯形 C．四边形是菱形 D．四边形是矩形 一、单选题 1．（23-24高一下·福建厦门·月考）下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25高一上·北京·月考）下列关于向量的说法正确的是（    ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 3．（23-24高一下·河南·月考）下列说法正确的是（    ） A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．向量的模可以比较大小 C．模为1的向量都是相等向量 D．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行 4．（24-25高三上·北京丰台·期末）设，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高一下·湖北·月考）已知点是平行四边形的对角线的交点，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）已知四边形中，，并且，则四边形是（    ） A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．长方形 二、多选题 7．（23-24高一下·甘肃·期中）如图，在单位圆中，向量是（    ） A．有相同起点的向量 B．单位向量 C．模相等的向量 D．相等的向量 8．（23-24高一下·陕西渭南·期末）已知，为两个单位向量，则下列四个命题中错误的是（    ） A．与相等 B．如果与平行，那么与相等 C．与共线 D．如果与平行，那么或 三、填空题 9．（23-24高一下·江西九江·月考）如图，B是线段AC的中点，若分别以图中各点为起点和终点，则最多可以写出 个共线非零向量． 10．（23-24高一下·四川德阳·月考）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有 个. 四、解答题 11．（23-24高二上·河北石家庄·月考）如图，EF，CH将正方形ABCD分成四个单位正方形(边长为1个单位长度).在以图中各点为端点的所有向量中，除向量外，与平行的向量有哪些?与平行且是单位向量的有哪些? 12．在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1. (1)试以B为终点画一个向量，使； (2)在图中画一个以A为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么？ ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$