第2章 一元二次方程（单元测试A卷）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（浙江专用）

第2章 《一元二次方程》单元测试A卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 选择题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B A D D C B A C 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）（m﹣3）x|m|﹣1﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．m＝3 B．m＝﹣3 C．m＝1 D．m＝﹣1 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此可得|m|﹣1＝2且m﹣3≠0，解得m的值即可． 【解答】解：∵（m﹣3）x|m|﹣1﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程，|m|﹣1＝2且m﹣3≠0， ∴|m|﹣1＝2且m﹣3≠0， 解得：m＝﹣3， 故选：B． 【点评】本题考查一元二次方程的定义，绝对值，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．（3分）若一元二次方程（x+a）2＝b（a，b为常数），化成一般形式为x2﹣6x+5＝0，则a，b的值分别是（　　） A．3，4 B．﹣3，4 C．3，﹣4 D．﹣3，﹣4 【分析】将x2﹣6x+5＝0利用配方法转化为：（x+a）2＝b，即可得出结论． 【解答】解：x2﹣6x+5＝0， x2﹣6x＝﹣5， x2﹣6x+9＝﹣5+9， ∴（x﹣3）2＝4， ∵一元二次方程（x+a）2＝b（a，b为常数），化成一般形式为x2﹣6x+5＝0， ∴a＝﹣3，b＝4， 故选：B． 【点评】本题考查的是一元二次方程的一般形式，熟知一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0），这种形式叫一元二次方程的一般形式是解题的关键． 3．（3分）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根0，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2 【分析】将x＝0代入方程可得：a2﹣1＝0，解之求得a的值，在根据一元二次方程的定义求解可得． 【解答】解：根据题意将x＝0代入方程可得：a2﹣1＝0， 解得：a＝1或a＝﹣1， ∵a﹣1≠0，即a≠1， ∴a＝﹣1， 故选：B． 【点评】本题主要考查一元二次方程的解的概念和一元二次方程的定义，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 4．（3分）用配方法解一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0，配方正确的是（　　） A．（x﹣1）2 B．（x﹣1）2＝2 C．（x﹣2）2 D．（x﹣2）2＝2 【分析】将常数项移到方程的右边，再将二次项系数化为1，继而两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可． 【解答】解：∵2x2﹣4x﹣1＝0， ∴2x2﹣4x＝1， ∴x2﹣2x， 则x2﹣2x+11，即（x﹣1）2， 故选：A． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 5．（3分）解下列方程：①3x2﹣27＝0；②x2﹣3x﹣1＝0；③（x+2）（x+4）＝x+2；④2（3x﹣1）2＝3x﹣1．较简便的方法是（　　） A．依次为直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法 B．依次为因式分解法，公式法，配方法，直接开平方法 C．①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法 D．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法 【分析】根据各方程的特点逐一判别即可． 【解答】解：①3x2﹣27＝0适合直接开平方法； ②x2﹣3x﹣1＝0适合公式法； ③（x+2）（x+4）＝x+2适合因式分解法； ④2（3x﹣1）2＝3x﹣1适合因式分解法； 故选：D． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 6．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一个根为x＝2024，则方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【分析】将后一个方程进行变形，再结合换元法即可解决问题． 【解答】解：由题知， 方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b可变形为a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣3＝0． 因为方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一个根为x＝2024， 所以x﹣1＝2024， 解得x＝2025， 即方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根为x＝2025． 故选：D． 【点评】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟知换元法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 7．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＞4 B．k≥4 C．k≤4且k≠0 D．k＜4且k≠0 【分析】根据一元二次方程有两个实数根，可知b2﹣4ac≥0，且k≠0，求出解即可． 【解答】解：整理得：b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4k≥0，且k≠0， 解得k≤4且k≠0． 故选：C． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 8．（3分）为确保广大民众能够用上价格实惠的药品，医保局与药品供应商进行了多次谈判协商．其中，某药品原价为每盒200元，经过两次相同百分率的降价后，价格降至每盒128元；则每次降价的百分率为（　　） A．10% B．20% C．30% D．80% 【分析】设每次降价的百分率为x，则第一次下调后的价格为200（1﹣x）元，第二次下调后的价格为200（1﹣x）2元，根据经过两次相同百分率的降价后，价格降至每盒128元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设每次降价的百分率为x，则第一次下调后的价格为200（1﹣x）元，第二次下调后的价格为200（1﹣x）2元， 根据题意得：200（1﹣x）2＝128， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合题意，舍去）， 即每次降价的百分率为20%． 故选：B． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+3x+m+2＝0的两个实数根是x1，x2，且x1＝2x2，则m的值是（　　） A．0 B．2 C．﹣1 D．1 【分析】先利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣3，x1•x2＝m+2，再根据x1＝2x2，求出x1＝﹣2，x2＝﹣1，即可求解． 【解答】解：由题意可知：x1+x2＝﹣3，x1•x2＝m+2， ∵x1＝2x2， ∴2x2+x2＝﹣3， 解得：x2＝﹣1， ∴x1＝2x2＝﹣2， ∴（﹣2）×（﹣1）＝m+2， 解得：m＝0， 故选：A． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 10．（3分）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（　　） A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600 B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600 C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600 D．（35﹣x）（20﹣x）＝600 【分析】若设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为（35﹣2x）米，宽为（20﹣x）米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：依题意，得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 二．填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11．（3分）某学习小组同学在元旦互相赠贺年卡一张，全组共赠贺年卡m（常数）张，求这个小组共有同学x个．根据题中的条件，列出关于x的方程为：　x（x﹣1）＝m　． 【分析】设这个小组的同学共有x人，则每人需送出（x﹣1）张新年贺卡，根据全组共送贺卡m张，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设这个小组的同学共有x人，则每人需送出（x﹣1）张新年贺卡， 依题意得：x（x﹣1）＝m． 故答案为：x（x﹣1）＝m． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 12．（3分）若关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为3和﹣2，则多项式x2+bx+c可以因式分解为 　（x﹣3）（x+2）　． 【分析】如果一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1，x2，那么ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2），根据以上内容得出即可． 【解答】解：∵于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为3和﹣2， ∴多项式x2+bx+c可以因式分解为（x﹣3）（x+2）， 故答案为：（x﹣3）（x+2）． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能熟记知识点，如果一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1，x2，那么ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2）]是解此题的关键． 13．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣（2a+1）x+a2＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 　a　． 【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2a+1）x+a2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[﹣（2a+1）]2﹣4a2＝4a+1＞0， 解得：a． 故答案为：a． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 14．（3分）定义新运算：，例如：﹣2⊗4＝（﹣2）2﹣4＝0，2⊗3＝﹣2+3＝1．若，则x的值为　或　． 【分析】根据新定义运算法则列出方程求解即可． 【解答】解：∵， 而， ∴①当x≤0时，则有， 解得，； ②当x＞0时，， 解得，， 综上所述，x的值是或， 故答案为：或． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系式． 15．（3分）某建筑工程队在工地一边靠墙处（墙长42米）用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．则AB＝ 　11　米． 【分析】设仓库的宽为x米，则仓库的长为（84﹣4x）米，由等量关系：仓库总面积为440平方米，列出方程并解方程即可． 【解答】解：设仓库的宽AB为x米，则仓库的长为（84﹣4x）米， x（84﹣4x）＝440， ∴x1＝10（不符合题意，舍），x2＝11， 故AB为11米． 故答案为：11． 【点评】本题考查了与图形有关的一元二次方程的应用，理解题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． 16．（3分）《代数学》中记载了求方程x2+8x＝33的正数解的几何方法：如图①，先构造一个面积为x2的正方形，再分别以正方形的一边为边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+4×2×2＝49，则该方程的正数解为7﹣2﹣2＝3．小明尝试用此方法解关于x的方程x2+10x+c＝0时，构造出如图②所示的正方形．已知图②中阴影部分的面积和为39，则c＝ 　﹣39　，方程x2+10x+c＝0的正数解为 　3　． 【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积等于阴影部分的面积+4个小正方形的面积，从而可得大正方形的边长，再用其减去两个空白正方形的边长得出该方程的正数解，然后求出c的值即可． 【解答】解：如图②，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形， 得到大正方形的面积为：39+（）2×4＝39+25＝64， ∴该方程的正数解为2＝8﹣5＝3， 把x＝3代入方程得：9+30+c＝0， 解得：c＝﹣39． 故答案为：﹣39，3． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意并数形结合是解题的关键． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）用适当的方法解下列方程： （1）x2﹣16＝0； （2）5x2+2x﹣1＝0； （3）2（x﹣3）2＝x（x﹣3）． 【分析】（1）利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可． （2）利用公式法对所给一元二次方程进行求解即可． （3）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：（1）x2﹣16＝0， x2＝16， 则x＝±4， 所以x1＝4，x2＝﹣4． （2）5x2+2x﹣1＝0， Δ＝22﹣4×5×（﹣1）＝24＞0， 则x， 所以，． （3）2（x﹣3）2＝x（x﹣3）， 2（x﹣3）2﹣x（x﹣3）＝0， （x﹣3）（2x﹣6﹣x）＝0， （x﹣3）（x﹣6）＝0， 则x﹣3＝0或x﹣6＝0， 所以x1＝3，x2＝6． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法、解一元二次方程﹣直接开平方法及解一元二次方程﹣公式法，熟知配方法、直接开平方法及公式法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 18．（6分）已知一元二次方程x2+bx+c＝0有如下四组条件：①b＝2，c＝1；②b＝3，c＝1；③b＝3，c＝﹣1；④b＝2，c＝2． （1）能使一元二次方程有两个不相等的实数根的是 　②③　；（填序号） （2）选择（1）中的一组条件解方程． 【分析】计算出各组的根的判别式的值，从而得到正确答案． 【解答】解：（1）能使一元二次方程有两个不相等的实数根的是②③． 故答案为：②③； （2）当b＝3，c＝1时，方程为x2+3x+1＝0， ∵Δ＝32﹣4×1×1＝5＞0， ∴x， ∴x1，x2； 当b＝3，c＝﹣1时，方程为x2+3x﹣1＝0， ∵Δ＝32﹣4×1×（﹣1）＝13＞0， ∴x， ∴x1，x2． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 19．（8分）两年前生产1t产品的成本是7000元，随着生产技术的进步，现在生产1t这种产品的成本为5670元．求这种产品成本的年平均下降率． （1）设这种产品成本的年平均下降率为x，一年后这种产品的成本为 　7000（1﹣x）　元（用含x的代数式表示），两年后这种产品的成本为 　7000（1﹣x）2　元（用含x的代数式表示）； （2）列出方程并完成本题解答． 【分析】（1）设这种产品成本的年平均下降率为x，则一年后这种产品的成本为7000（1﹣x），两年后这种产品的成本为7000（1﹣x）2元； （2）利用现在生产1t这种产品的成本＝两年前生产1t该产品的成本×（1﹣该产品成本的年平均下降率）2，可列出关于x的一元二次方程即可． 【解答】解：（1）设这种产品成本的年平均下降率为x，则一年后这种产品的成本为7000（1﹣x），两年后这种产品的成本为7000（1﹣x）2元． 故答案为：7000（1﹣x），7000（1﹣x）2； （2）根据题意得：7000（1﹣x）2＝5670， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去）． 答：这种产品成本的年平均下降率为10%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20．（8分）已知关于x的方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0． （1）求证：无论k取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有一个不小于4的根，求实数k的取值范围． 【分析】（1）先求出根的判别式，然后根据计算结果进行证明即可； （2）先利用公式法解一元二次方程，再根据方程有一个不小于4的根列出不等式，解不等式即可． 【解答】（1）证明：a＝1，b＝﹣（k+3），c＝2k+2， Δ＝b2﹣4ac ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2） ＝k2+6k+9﹣8k﹣8 ＝k2﹣2k+1 ＝（k﹣1）2≥0， ∴无论k取何值，方程总有两个实数根； （2）∵Δ＝（k﹣1）2≥0， ∴x， ∴x1＝k+1，x2＝2， ∵方程有一个不小于4的根， ∴k+1≥4， 解得：k≥3． 【点评】本题主要考查了一元二次方程利用根的判别式判断方程解的情况和解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握利用根的判别式判断方程根的情况和解一元一次不等式的一般步骤． 21．（10分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？ （2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加 　2x　件，每件商品，盈利 　（50﹣x）　元（用含x的代数式表示）； （3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 【分析】（1）根据“盈利＝单件利润×销售数量”即可得出结论； （2）根据“每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件”结合每件商品降价x元，即可找出日销售量增加的件数，再根据原来每件盈利50元，即可得出降价后的每件盈利额； （3）根据“盈利＝单件利润×销售数量”即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值． 【解答】解：（1）当天盈利：（50﹣3）×（30+2×3）＝1692（元）． 答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元． （2）∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件， ∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品盈利（50﹣x）元． 故答案为：2x；（50﹣x）． （3）根据题意，得：（50﹣x）（30+2x）＝2000， 整理，得：x2﹣35x+250＝0， 解得：x1＝10，x2＝25， ∵商城要尽快减少库存， ∴x＝25． 答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出一元二次方程（或算式）是解题的关键． 22．（10分）正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）． （1）若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？ （2）为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？ 【分析】（1）设总共生产了a袋手工汤圆，利用这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套做等量关系列出方程即可； （2）设促销时每袋应降价x元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可． 【解答】解：（1）设总共生产了a袋手工汤圆， 依题意得，， 解得a＝9000， 经检验a＝9000是原方程的解， 答：总共生产了9000袋手工汤圆； （2）设促销时每袋应降价x元， 依题意得，前10天的利润为：225×2×（25﹣13）+8（25﹣13﹣x）（225x）， 第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润：（15﹣13）[9000﹣2×225﹣8（225x）]， ∴（15﹣13）[9000﹣2×225﹣8（225x）]＝40500， 解得x1＝0，x2＝4． ∵要促销， ∴x＝4， 即促销时每袋应降价4元． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程，需要注意分情况讨论． 23．（12分）阅读材料： 利用完全平方公式可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法． 例如：求代数式x2+4x+6的最小值． 原式＝x2+4x+4+2＝（x+2）2+2 ∵（x+2）2≥0， ∴当x＝﹣2时，x2+4x+6有最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）求代数式x2﹣6x+12的最小值． （2）若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝　1　时，y有最 　大　值（填“大”或“小”），这个值是 　﹣2　． （3）试说明：无论x、y取任何实数时，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数． 【分析】（1）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答； （2）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答； （3）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答． 【解答】（1）解：x2﹣6x+12 ＝x2﹣6x+9﹣9+12 ＝（x﹣3）2+3， ∵（x﹣3）2≥0， ∴当x＝3时，x2﹣6x+12有最小值是3； （2）解：y＝﹣x2+2x﹣3 ＝﹣（x2﹣2x+1）+1﹣3 ＝﹣（x﹣1）2﹣2， 当x＝1时，y有最大值，这个值是﹣2， 故答案为：1，大，﹣2； （3）证明：x2+y2﹣4x+2y+6 ＝x2﹣4x+4+y2+2y+1+1 ＝（x﹣2）2+（y+1）2+1， ∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0， ∴（x﹣2）2+（y+1）2+1＞0， ∴无论x、y取任何实数时，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数． 【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式是解题的关键． 24．（12分）阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2和系数a，b，c，有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根， ∴m+n＝1，mn＝﹣1． 则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）应用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝ 　　，x1x2＝ 　　； （2）类比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m，n，求m2+n2的值； （3）提升：已知实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0且s≠t，求的值． 【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可： （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出m+n，mn，将其代入m2+n2＝（m+n）2﹣2mn中，即可求出结论； （3）根据题意可知实数s，t是一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根，进而可得出s+t，st，结合（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st可求出t﹣s的值，再将其代入中，即可求得答案． 【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2， ∴x1+x2，x1•x2． 故答案为：，； （2）∵一元二次方程 2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m，n， ∴m+n，mn， ∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn ＝（）2﹣2×（） 1 ； （3）∵实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0且s≠t， ∴s，t可以看作关于x的方程2x2+3x﹣1＝0的两个根， ∴s+t，st， ∴（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st＝（）2﹣4×（）， ∴t﹣s＝±， ∴±， ∴的值为或． 【点评】本题考查根与系数的关系、完全平方公式的变形计算以及分式的混合运算，理解题意，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于，两根之积等于是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 《一元二次方程》单元测试A卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）（m﹣3）x|m|﹣1﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．m＝3 B．m＝﹣3 C．m＝1 D．m＝﹣1 2．（3分）若一元二次方程（x+a）2＝b（a，b为常数），化成一般形式为x2﹣6x+5＝0，则a，b的值分别是（　　） A．3，4 B．﹣3，4 C．3，﹣4 D．﹣3，﹣4 3．（3分）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根0，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2 4．（3分）用配方法解一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0，配方正确的是（　　） A．（x﹣1）2 B．（x﹣1）2＝2 C．（x﹣2）2 D．（x﹣2）2＝2 5．（3分）解下列方程：①3x2﹣27＝0；②x2﹣3x﹣1＝0；③（x+2）（x+4）＝x+2；④2（3x﹣1）2＝3x﹣1．较简便的方法是（　　） A．依次为直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法 B．依次为因式分解法，公式法，配方法，直接开平方法 C．①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法 D．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法 6．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一个根为x＝2024，则方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 7．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＞4 B．k≥4 C．k≤4且k≠0 D．k＜4且k≠0 8．（3分）为确保广大民众能够用上价格实惠的药品，医保局与药品供应商进行了多次谈判协商．其中，某药品原价为每盒200元，经过两次相同百分率的降价后，价格降至每盒128元；则每次降价的百分率为（　　） A．10% B．20% C．30% D．80% 9．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+3x+m+2＝0的两个实数根是x1，x2，且x1＝2x2，则m的值是（　　） A．0 B．2 C．﹣1 D．1 10．（3分）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（　　） A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600 B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600 C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600 D．（35﹣x）（20﹣x）＝600 二．填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11．（3分）某学习小组同学在元旦互相赠贺年卡一张，全组共赠贺年卡m（常数）张，求这个小组共有同学x个．根据题中的条件，列出关于x的方程为：　 　． 12．（3分）若关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为3和﹣2，则多项式x2+bx+c可以因式分解为 　 　． 13．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣（2a+1）x+a2＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 　 　． 14．（3分）定义新运算：，例如：﹣2⊗4＝（﹣2）2﹣4＝0，2⊗3＝﹣2+3＝1．若，则x的值为　 　． 15．（3分）某建筑工程队在工地一边靠墙处（墙长42米）用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．则AB＝ 　 　米． 16．（3分）《代数学》中记载了求方程x2+8x＝33的正数解的几何方法：如图①，先构造一个面积为x2的正方形，再分别以正方形的一边为边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+4×2×2＝49，则该方程的正数解为7﹣2﹣2＝3．小明尝试用此方法解关于x的方程x2+10x+c＝0时，构造出如图②所示的正方形．已知图②中阴影部分的面积和为39，则c＝ 　 　，方程x2+10x+c＝0的正数解为 　 　． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）用适当的方法解下列方程： （1）x2﹣16＝0； （2）5x2+2x﹣1＝0； （3）2（x﹣3）2＝x（x﹣3）． 18．（6分）已知一元二次方程x2+bx+c＝0有如下四组条件：①b＝2，c＝1；②b＝3，c＝1；③b＝3，c＝﹣1；④b＝2，c＝2． （1）能使一元二次方程有两个不相等的实数根的是 　 　；（填序号） （2）选择（1）中的一组条件解方程． 19．（8分）两年前生产1t产品的成本是7000元，随着生产技术的进步，现在生产1t这种产品的成本为5670元．求这种产品成本的年平均下降率． （1）设这种产品成本的年平均下降率为x，一年后这种产品的成本为 　 　元（用含x的代数式表示），两年后这种产品的成本为 　 　元（用含x的代数式表示）； （2）列出方程并完成本题解答． 20．（8分）已知关于x的方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0． （1）求证：无论k取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有一个不小于4的根，求实数k的取值范围． 21．（10分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？ （2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加 　 　件，每件商品，盈利 　 　元（用含x的代数式表示）； （3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 22．（10分）正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）． （1）若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？ （2）为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？ 23．（12分）阅读材料： 利用完全平方公式可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法． 例如：求代数式x2+4x+6的最小值． 原式＝x2+4x+4+2＝（x+2）2+2 ∵（x+2）2≥0， ∴当x＝﹣2时，x2+4x+6有最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）求代数式x2﹣6x+12的最小值． （2）若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝　 　时，y有最 　 　值（填“大”或“小”），这个值是 　 　． （3）试说明：无论x、y取任何实数时，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数． 24．（12分）阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2和系数a，b，c，有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根， ∴m+n＝1，mn＝﹣1． 则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）应用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝ 　 　，x1x2＝ 　 　； （2）类比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m，n，求m2+n2的值； （3）提升：已知实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0且s≠t，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$