第5章 二次函数（单元测试·培优卷） -2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

第5章 二次函数（单元测试·培优卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）若函数 是二次函数，则a=（　　） A． B．4 C．4或 D．4或3 2．（24-25九年级上·北京·阶段练习）平面直角坐标系中，过点作平行于轴的直线，分别交抛物线和双曲线于点M，N，则满足的n的值有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25九年级上·四川绵阳·阶段练习）已知、为二次函数图象上两点，且，则线段长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）二次函数（是常数）的图象如图，则双曲线和直线的位置可能为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为．若抛物线与线段有两个公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·福建福州·期中）点，在抛物线上，且满足，，，则m的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 7．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）已知点，在直线（k为常数，）上，则的最大值为2，则c的值为（    ） A．4 B． C．12 D． 8．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为（   ）． A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知抛物线的顶点在轴上，过点作轴的平行直线，将原抛物线对称轴右侧的部分沿直线翻折后，所得的部分与原抛物线对称轴左侧的部分构成一个新函数的图象(图中的实线部分)，若这十个点都在此新函数的图象上，这10个点的横坐标从开始依次增加1，则的值是（   ）． A． B．0 C． D． 10．（2025九年级下·江苏·专题练习）如图，抛物线与x轴交于，，交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①；②；③为任意实数；④若点是抛物线上第一象限上的动点，当的面积最大时，，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）对于一个二次函数中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ． 12．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，将抛物线向右平移6个单位得到抛物线，两抛物线交于点，在抛物线上取一点，点在点左侧，过点作轴的平行线，交抛物线于点，，若为等边三角形，则的值为 ． 13．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，直线平行于轴，二次函数的图像与直线交于，两点，二次函数的图像与直线交于，两点，其顶点为，若，，，则点的坐标为 ． 14．（2024·山东·模拟预测）曲线，如图所示，且曲线是轴对称图形，其对称轴为．直线交曲线于点，且．则的值为 ． 15．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，矩形中，，，点E是的中点，连接，点P是线段上的一动点，从E向B运动，连接，点M是的中点，连接，反比例函数的图像经过点M，当取得最小值时，k的值是 ． 16．（22-23九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，正方形放置在平面直角坐标系上，抛物线经过B，C，点D在边上，连结，将沿着折叠，使点A落在此抛物线的顶点E处，若，则a的值是 ． 17．（24-25九年级上·浙江温州·期中）在综合实践“研究轴对称图形”活动中，小明同学发现一个有趣的现象：过抛物线与坐标轴的三个交点的圆的圆心总落在抛物线的对称轴上．小明想：如果知道抛物线的表达式，那就一定能求出过抛物线与坐标轴三个交点的圆的半径．请计算，若已知抛物线，设该抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，那么经过A，B，C三点的圆的半径长是 ． 18．（23-24九年级下·吉林长春·开学考试）某单位要对拱形大门进行粉刷，如图是大门示意图，门柱和高均为米，门宽为9米，上方门拱可以近似的看作抛物线的一部分，最高点到地面的最大高度为米，工人师傅站在倾斜木板上，木板点一端恰好落在门拱上且到点的水平距离为米，工人师傅能刷到的最大垂直高度为米，则在上方区域中，工人师傅刷不到的最大水平宽度为 米． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025九年级下·全国·专题练习）已知二次函数． (1)不论a为何值时，求函数图象所过定点的坐标； (2)若函数有最大值1，求此时a的值． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·北京·阶段练习）二次函数的图象经过点，当时，该函数有最小值为． (1)求该二次函数的解析式，并用五点法画出该函数的图象； (2)直线与抛物线的交点为，，和直线的交点为，当时，直接写出的取值范围． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数 （为非零实数）． (1)当时，二次函数图象与x轴的交点坐标为 ．． (2)若二次函数有最小值． 求证：当时，随的增大而减小； 若时，  ，求的值． 22．（本小题满分10分）（2025九年级下·全国·专题练习）某文具店出售一种新上市的文具，每套进价为20元，在销售过程中发现，当销售单价为25元时，日销售量为250套，销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套． (1)设日销售量为y套，销售单价为x元，则y＝ ．（用含x的代数式表示） (2)设销售该文具的日利润为w元，求销售单价为多少元时，当日的利润最大，最大利润是多少？ (3)临近儿童节，文具店准备搞促销活动，顾客每购买一套文具，就送一袋价值m元的小零食（），要使该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套时，日销售最大利润是2112元，求m的值． 23．（本小题满分10分）（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数的图象与轴的交于，两点，与轴交于点． (1)求，两点坐标； (2)点在第三象限内的抛物线上，过点作轴垂线交于点，求的最大值； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点，使以，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的横坐标，若不存在，请说明理由． 24．（本小题满分12分）（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）已知点是抛物线上的一个动点，点的坐标为． 【特例探究】 （1）如图1，直线过点且平行于轴，过点作，垂足为点，连接． ①当时，______，______； ②当时，______，______． 【猜想验证】 （2）对于取任意一实数，猜想与的大小关系，并证明你的猜想． 【拓展应用】 （3）请利用（2）的结论解决下面的问题：如图2，点的坐标为，连接，问是否存在最小值？如果存在，请说明理由，并求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D D C B B C C D 1．C 【分析】此题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义得到且，即可求出答案． 【详解】解：∵函数 是二次函数， ∴且， 解得或， 故选：C 2．C 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的图象与性质，根据题意得到，结合，得到根据图象即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ，即或， 令，即函数图象与函数图象的交点个数即为满足的n的值， 如图， 满足的n的值有2个， 故选：C． 3．D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．根据题意得出、是方程的两根，根据根与系数的关系得出，求出，把代入方程，求出，，得出答案即可． 【详解】解：∵、为二次函数图象上两点， ∴、是方程的两根， 整理得：， ∴，， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解， 把代入得： ， 即， 解得：， ∴，， ∴、， ∴． 故选：D． 4．D 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象与性质，由二次函数的图象可得，，，据此判断一次函数和反比例函数的图象即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，与轴交点在负半轴，对称轴在轴左边， ∴，，， ∴， ∴直线过一、二、四象限， 当时， ∴双曲线过二、四象限， ∴双曲线和直线的位置都符合条件的只有D选项， 故选：D． 5．C 【分析】本题考查二次函数的综合应用，求出直线的解析式，求出抛物线与线段只有一个交点时的值，以及求抛物线过点时的的值，即可得出结果． 【详解】解：∵点坐标为点坐标为． 设直线的解析式为 ∴ 解得： ∴， 如图所示，当抛物线在线段上方，且与只有1个交点时， 联立 ∴，即 ∴ 解得：， 当抛物线经过点时， 解得：； ∴当抛物线与线段有两个公共点时，． 故选C． 6．B 【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是通过得到；由，可得，再解不等式组即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， 或， 解得：或， 故选：． 7．B 【分析】本题考查一次函数上点的特点、二次函数最值，解题的关键是根据的最大值为2求出k的值．把代入后表示出，再根据最大值求出k，最后把代入即可． 【详解】解：把代入， 得， ∴， ∵， ∴当时， 有最大值为， ∵的最大值为2， ∴， ∵， ∴， ∴直线解析式为， 把代入， 得， 故选：B． 8．C 【分析】本题考查了二次函数的应用，把代入求出点坐标即可求解，求出点坐标是解题的关键． 【详解】解：把代入得， ， 解得，（不合，舍去）， ∴点， ∴， ∴， 故选：． 9．C 【分析】本题考查二次函数的性质、轴对称变换、中心对称变换，理解题意，得到根据二次函数的性质及轴对称性质可得到与，与、与、与都关于点A对称，根据中心对称性质可得，进而可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，对称轴为y轴， 根据题意，与点A重合，即， ∴根据对称性质可得与，与、与、与都关于点A对称， ∴， ∴， 又，， ∴ ， 故选：C． 10．D 【分析】根据已知点的特点可求对称轴为直线，则；由函数的图象可知，，，再由可知；当时，函数有最大值；再由铅锤法求的面积，从而确定当时，三角形面积有最大值． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ∵抛物线开口向下， ∴， ∴， ∵抛物线交y轴的正半轴， ∴， ∴，故②正确，符合题意；    ∵抛物线的对称轴，开口向下， ∴时，y有最大值，最大值． ∴为任意实数， ∴为任意实数，故③正确，符合题意； ④∵， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 将点代入， ∴． ∴．， 过点Q作轴交于点P， ∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴当时，的面积最大， 故④正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上的坐标特征，二次函数的性质，二次函数最值的求法以及三角形面积公式．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定． 11．4 【分析】本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识，读懂题意，理解新定义抛物线的“开口大小”，利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到，按照定义求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关键． 【详解】解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知中存在一点，使得，则， ， 中存在一点，有， 解得，则， 抛物线“开口大小”为， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查二次函数图象的平移，二次函数的性质，等边三角形性质，用含，的代数式表示出，的坐标，再根据两点间距离公式列方程即可解得的值． 【详解】解：将抛物线向右平移6个单位得到抛物线， ∴ 联立 解得： ∴， ∵轴，是等边三角形， ∴在的垂直平分线上， ∵， ∴点的横坐标为，纵坐标为 ∴ ∵ ∴ 解得： 又∵ ∴ 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键掌握二次函数的性质．设直线交轴于点，过点作二次函数的对称轴交于点，根据题意可得：，，进而得到，，求出，即可求解． 【详解】解：设直线交轴于点，过点作二次函数的对称轴交于点， ，，， ，， ，， ， ， 点的坐标为， 故答案为：． 14．或 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质、一次函数与二次函数交点问题等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据曲线的对称轴为，可得，再求得点坐标，进而可得，然后计算的值即可． 【详解】解：∵曲线是轴对称图形，其对称轴为， ∴可有， ∴， 将代入直线， 可得， ∴， 将点代入曲线， 可得， ∴， ∴或， ∵， ∴或． 故答案为：或． 15． 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合，二次函数的最值，矩形的性质，构建二次函数确定点的坐标是解题的关键． 先用待定系数法求直线的解析式，再设点P的坐标为：，用含的代数式表示点的坐标，建立关于的二次函数，求出当AM取得最小值时的值，再写出点的坐标，用待定系数法求k的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 设的解析式为， 则， 解得：， ∴的解析式为， ∵点P是线段上的一动点， ∴设点P的坐标为：， ∵点M是的中点， ∴ ， ∵， ∴时，取得最小值，即取得最小值， 此时，， ∵反比例函数的图像经过点M， ∴， 故答案为：． 16． 【分析】过点作轴于点，根据二次函数的性质、正方形的性质结合折叠的性质可得出、，利用勾股定理可求出点的坐标，再根据点、、的坐标，利用待定系数法即可求出值． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示． 抛物线经过、，点为抛物线的顶点， ． 四边形为正方形，， ，，． 由翻折可知，． 在中，，， ， 点的坐标为． 将、、代入， ， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、正方形的性质、翻折变换、勾股定理以及待定系数法求二次函数解析式，利用勾股定理求出顶点的坐标是解题的关键． 17． 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，抛物线与x轴的交点问题，勾股定理，垂径定理．解方程得到，，，求得，，设经过A，B，C三点的圆的圆心为M，过M作于E，于F，根据垂径定理得到，，，设，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：在中，令，则， 解得或， ∴，， ∴， 令，则， ∴， ∴， 设经过A，B，C三点的圆的圆心为M， 过M作于E，于F，则四边形是矩形， ∴，，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴经过A，B，C三点的圆的半径长是， 故答案为：． 18．4 【分析】本题主要考查的是二次函数的实际应用，同时考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质、应用等知识．先根据题意建立如图所示坐标系，然后利用待定系数法即可求出函数解析式，然后求出点坐标，再求出直线的解析式，设工人能够刷到的最大高度点为，过作轴的垂线交直线于点，设点的坐标为，则，求出，再根据，解出的值，从而得出结论． 【详解】解：以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示： 由题意知，抛物线顶点的坐标为， 设抛物线的解析式为， ， 将点代入抛物线解析式得，， 解得， 抛物线对应的函数的解析式为， 将代入中，得， 点坐标为， 设直线的解析式为， 将点代入得，， ， 直线的解析式为， 设工人能够刷到的最大高度点为，过作轴的垂线交直线于点， 设点的坐标为，则， ， 师傅能刷到的最大垂直高度是米， 当时，即， 解得，， 米， 工人师傅刷不到的最大水平宽度为米， 故答案为：4． 19．(1)， (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）不论a为何值时，函数图象过定点，只需要提取参数，即可； （2）利用顶点坐标公式即可求解． 【详解】（1）解：， 只要与a无关即可， 则， 解得：或， 不论为何值时，函数图象所过定点的坐标，； （2）解：函数有最大值1， ， 解得． 所以此时的值为． 20．(1)抛物线的解析式为，，图象见解析 (2) 【分析】题目主要考查二次函数的图像和性质，与坐标轴的交点问题，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键 （1）根据题意得出抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可确定函数解析式，然后利用五点法画图即可； （2）根据题意得出点A、B关于对称轴对称，确定抛物线与交点的横坐标为0或3，然后画出草图，结合图形得出，即可求解 【详解】（1）解：∵当时，该函数有最小值为， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：， ∴与坐标轴的交点为， 当时，，当时，， ∴抛物线经过点， 用五点法画图如下： （2）∵直线与抛物线的交点为，， ∴点A、B关于对称轴对称， ∴， ∴， 联立， 解得或， ∴抛物线与交点的横坐标为0或3， 当时，， ∵，如图所示： ∴， ∴， ∴即． 21．(1)，； (2)证明见解析；． 【分析】（）当时，，当时，即，然后解方程即可求解； （）若二次函数有最小值，则，而对称轴为直线，即可求解； 由知，当时，随的增大而减小，故当时，，当时，，即可求解； 本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，抛物线和轴的交点等，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， 当时，即， 解得，， ∴二次函数图象与x轴交于和， 故答案为：，； （2）证明：∵若二次函数有最小值， ∴， ∵对称轴为直线， ∴在对称轴的左侧，开口向上，随的增大而减小； 解：由知，当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， 即， ∴． 22．(1) (2)销售单价为35元时，当日的利润最大，最大利润是2250元 (3)0.8 【分析】（1）根据“销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套”列出函数关系式即可； （2）根据，销量×每件利润=总利润，列式，配方，利用二次函数最值求法得出答案； （3）根据“该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套”得到x的范围，根据题意列式，找到当时，w有最大值，即可求解． 本题考查了二次函数的应用——销售利润问题，熟练掌握总利润与每个利润和件数的关系，建立函数模型，二次函数与方程，二次函数的图象和性质，是解题关键． 【详解】（1）解：由题意，∵销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套， ∴日销售量为，即， 故答案为：， （2）解：由题意，∵日销售量为， ∴销售该文具的日利润为， ∵， ∴当时，w取最大值，最大值为2250． 答：销售单价为35元时，当日的利润最大，最大利润是2250元． （3）解：由题意，∵该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套， ∴， ∴， 又此时日销量利润， ∴对称轴为直线． ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值， ∴， ∴． 23．(1)； (2)的最大值为 (3)存在，点的横坐标为，或 【分析】此题考查了二次函数面积问题、二次函数与特殊四边形问题、二次函数与坐标轴的交点问题等知识，数形结合和分类讨论是关键． （1）解方程得到，，即可得到答案； （2）求出直线的表达式为，设，则，求出，，则当时，的最大值为； （3）分为平行四边形的边和为平行四边形的对角线两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：令，代入得：， 解得，， ∴； （2）设直线的表达式为，把、代入得： ，解得， ∴直线的表达式为， 设，则， ∵点位于第三象限， ∴，， ∴当时，的最大值为． （3）①当为平行四边形的边时，． ∴，关于直线对称 ∵ 点的横坐标为或． ②当为平行四边形的对角线时，设点，则点， ∵点在抛物线上 ∴ 解得， ∵点在第三象限 ∴点在第一象限 ∴点的横坐标为 综上所述：点的横坐标为，或． 24．（1）①1,1 ②2,2 （2）相等，理由见解析 （3）存在，，理由见解析 【分析】本题主要考查了求二次函数的自变量或函数值，垂线段最短，勾股定理， 对于（1）①，令求出点P的坐标，可得，同理解答②； 对于（2），设点，表示点，进而得出，，再验证； 对于（3），先作轴，作，根据（2），得，可知，接下来得出当点P，B，C共线时，最小，此时，点P的横坐标是2，然后代入关系式求出答案． 【详解】（1）①当时，则， 将点P代入，得， ∴， ∴点B与点Q重合． ∵点，点，点， ∴； ②当时，则， 将点P代入，得， ∴． ∵点，点， ∴； 故答案为：1，1，2，2； （2）与相等，理由如下： 设点，则点， ∵， ， ∴； （3）过点Q作轴，过点P作于点B， 由（2），得，则． 当点P，B，C共线时，最小，此时，点P的横坐标是2， 当时，， 所以点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$