精品解析：广东省深圳市盐田高级中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学模拟卷（1）

深圳市盐田高级中学2024-2025第一学期期末考试高二数学模拟卷（1） 命题人：俞兴保 审题人：陈斌 一、单选题 1. 已知三个向量共面，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列为等比数列，其中 为方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆的焦距为8，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为10，则椭圆 的标准方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 5. 一条光线从点射出，经反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 6. 如图，二面角的大小为，点A，B分别在半平面，内，于点C，于点D．若，，．则（ ） A. B. 6 C. D. 7. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，M，N是上的两点，满足，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为等差数列的前n项和，为其公差，且，给出以下命题：①；②；③使得取得最大值时的n为8；④满足成立的最大n值为17.其中正确命题的序号为（   ） A. ①③ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②④ 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 函数，若存在，使有解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 11. 点P是棱长为1的正方体的表面上一个动点，则下列结论中正确的（ ） A. 当P在平面上运动时，四棱锥的体积变大． B. 当P在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C. 若F是的中点，当P在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D. 使直线与平面所成的角为的点P的轨迹长度为 12. 已知点在圆上，点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与圆相离 B. 当最大时， C. 点到直线的距离最大值为 D. 点到直线的距离最小值为 13. 已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的焦点坐标是 B. C. 若，则 D. 若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径 14. 已知函数，则（ ） A. B. 是的一个极值点 C. 在上的平均变化率为1 D. 在处的瞬时变化率为2 三、填空题 15. 已知点，点，则点到直线的距离为______． 16. 圆与圆的公共弦长为______. 17. 已知是椭圆的左､右焦点，过原点的直线与交于两点，当时，四边形面积为60，且的周长为30，则的离心率大小为__________． 18. 已知数列是等比数列，且，，，成等差数列.若，且对任意恒成立，则实数的取值范围是_________. 四、解答题 19. 已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的标准方程； （2）求过点且与曲线相切的直线的方程. 20. 如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，底面为等边三角形，平面平面，点满足，点为棱上的动点（含端点）． （1）当与重合时，证明：平面平面； （2）是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 21. 椭圆的左、右焦点分别为，过作直线交E于两点．过作垂直于直线的直线交E于两点．直线与相交于点P． （1）若直线的斜率为1，求直线的方程． （2）求点P的轨迹方程． （3）求四边形面积的取值范围． 22. 已知数列为正项数列，且，. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 23. 已知函数． （1）当时，求的最大值； （2）若有且只有1个极小值点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市盐田高级中学2024-2025第一学期期末考试高二数学模拟卷（1） 命题人：俞兴保 审题人：陈斌 一、单选题 1. 已知三个向量共面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共面设出对应向量关系式，解方程组可求出结果. 【详解】因为共面，所以设，所以，解得， 故选：C. 2. 已知数列为等比数列，其中 为方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用韦达定理判断的正负，进而判断的正负，结合等比数列下标和性质，即可求得. 【详解】根据题意可得：，，故可得； 根据等比数列下标和性质，，解得， 设的公比为，则，故. 故选：B. 3. 已知椭圆的焦距为8，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为10，则椭圆 的标准方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义与方程，即可求解. 【详解】由题意可知，，，即，，， 所以椭圆的标准方程为 或 . 故选：B 4. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的运算法则以及复合函数求导法则可求出原函数的导数. 【详解】 ． 故选：B. 5. 一条光线从点射出，经反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】先求得点关于直线的对称点，再设切线方程，由圆心到切线的距离等于半径求解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 由题意知切线的斜率存在，设直线方程为：，即， 由，可得，半径， 则圆心到切线的距离等于半径，即， 整理得：，解得或. 故选：B. 6. 如图，二面角的大小为，点A，B分别在半平面，内，于点C，于点D．若，，．则（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：作辅助线构造三角形，根据余弦定理以及勾股定理可求得结果；解法二：根据向量的线性运算以及数量积的运算可求得结果. 【详解】解法一：在内过点C作，且，连接，， 所以为二面角的平面角. 易知平面，而四边形为矩形，所以， 故平面，因而， ， ； 解法二：由，， 得，，． 因为， 所以， 则， 解得，． 故选：C. 7. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，M，N是上的两点，满足，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用双曲线焦点三角形的性质，推出，再由勾股定理求出的关系即可得出离心率. 【详解】如图，延长与交于点，    因为，则，根据对称性可知. 设，则，可得，即， 所以，则， 即，可知， 在中，由勾股定理得，即， 解得. 故选：A. 8. 已知为等差数列的前n项和，为其公差，且，给出以下命题：①；②；③使得取得最大值时的n为8；④满足成立的最大n值为17.其中正确命题的序号为（   ） A. ①③ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】由及等差数列前n项和的函数性质判断①③；应用等差数列前n项和公式可得，并结合可判断②④. 【详解】由，即存在最大值，故，①③对； 可得，所以，②错； 由，可知， 所以满足成立的最大n值为15，④错. 故选：A 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，通过其单调性和奇偶性即可求解； 【详解】构造函数，易知其为偶函数， ， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以在单调递减，单调递增，又其为偶函数， 所以即， 等价于，即， 故选：B 10. 函数，若存在，使有解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用导数求最值，进而得的取值范围. 【详解】若存在，使得有解，即． 设，，则． 令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以． 故的取值范围为． 故选：A 二、多选题 11. 点P是棱长为1的正方体的表面上一个动点，则下列结论中正确的（ ） A. 当P在平面上运动时，四棱锥的体积变大． B. 当P在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C. 若F是的中点，当P在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D. 使直线与平面所成的角为的点P的轨迹长度为 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，考虑底面积和高均未变，所以体积不变；B选项，找到异面直线所成角即可判断；C选项，建系，利用距离公式求解,D选项，找到的轨迹，计算即可；. 【详解】对于A，底面正方形的面积不变，P到平面的距离为正方体棱长，故四棱锥的体积不变，故A不正确； 对于B，与所成角即与所成，为等边三角形， 当P在端点A，时，所成角最小，为，当P在中点时，所成角最大为，故B正确； 对于C，如图建系，由， 设，则 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 因为平面，所以，可得， 所以，当时，等号成立，正确. 对于D， 因为直线与平面所成的角为， 若点在平面和平面内， 因为最大，不成立； 在平面内，点的轨迹是； 在平面内，点的轨迹是； 在平面时，作平面，如图所示， 因为，所以， 又因为，所以，所以， 所以点的轨迹是以点为圆心，以1为半径的四分之一圆， 故的轨迹长度为，故D错误； 故选：BC 12. 已知点在圆上，点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与圆相离 B. 当最大时， C. 点到直线的距离最大值为 D. 点到直线的距离最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】写出直线方程，根据圆心到该直线距离判定直线与圆位置，数形结合判断最大时的位置，即可判断各项的正误. 【详解】由题意，，即， 又的圆心为，半径为， 所以到的距离为，故直线与圆相交，A错； 要使最大，只需与圆相切，则，B对； 由A分析知，点到直线的距离，最大值为，最小值为，C对，D错. 故选：BC. 13. 已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的焦点坐标是 B. C. 若，则 D. 若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径 【答案】ABD 【解析】 【分析】对选项A，根据题意得到，即可判断A正确，对选项B，分别对直线斜率存在和不存在进行讨论，即可判断B正确，对选项C，根据焦点弦的公式即可判断C错误，对选项D，首先过分别向准线作垂线，垂足为，再结合抛物线的概念即可判断D正确. 【详解】对选项A，抛物线：的焦点到准线的距离是4， 所以，，故A正确. 对选项B，当直线的斜率不存在时，，所以， 当直线的斜率存在时，设， 得：，所以. 故B正确. 对选项C，，故C错误. 对选项D，如图所示： 过分别向准线作垂线，垂足为， 因为， 所以， 即：以为直径的圆与的准线相切，故D正确. 故选：ABD 14. 已知函数，则（ ） A. B. 是的一个极值点 C. 在上的平均变化率为1 D. 在处的瞬时变化率为2 【答案】BD 【解析】 【分析】利用复合函数的导数、极值点的概念及平均变化率、瞬时变化率的算法逐项求解即可. 【详解】利用复合函数的求导法则，由，所以A错误； 因为，当时，， 且时，，时，，故为极大值点，所以B正确； 由在上的平均变化率为，所以C错误； 因为，当时，，所以D正确. 故选：BD. 三、填空题 15. 已知点，点，则点到直线的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用点到直线距离的向量公式直接求解即可. 【详解】由题意，， 所以点到直线的距离为：. 故答案为：. 16. 圆与圆的公共弦长为______. 【答案】 【解析】 【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长. 【详解】将圆与圆的方程作差可得， 所以，两圆相交弦所在直线的方程为， 圆的圆心为原点，半径为， 原点到直线的距离为， 所以，两圆的公共弦长为. 故答案为：. 17. 已知是椭圆的左､右焦点，过原点的直线与交于两点，当时，四边形面积为60，且的周长为30，则的离心率大小为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，结合椭圆的对称性可得四边形为矩形，结合勾股定理及椭圆定义建立关系求出即可得解. 【详解】令椭圆的半焦距为c，依题意，点关于原点对称，而是的中点，又， 则四边形为矩形，有，， 于是，由的周长为30， 得， 则，解得，所以的离心率. 故答案为： 18. 已知数列是等比数列，且，，，成等差数列.若，且对任意恒成立，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】设数列的公比为，根据，，成等差数列，列方程，解得，进而得，分是偶数或是奇数讨论，利用单调性求最值即可. 【详解】设等比数列的公比为，依题意，，又， 可得，解得，所以， 所以． 当为偶数时，由，得， 所以对任意的偶数成立， 因为单调递减，所以当时取最大值， 故； 当为奇数时，由，得， 所以对任意的奇数成立， 因为单调递增，且当时，，故． 综上所述，． 故答案为：. 四、解答题 19. 已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的标准方程； （2）求过点且与曲线相切的直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设，根据得到方程，整理得到曲线的标准方程； （2）曲线是以为圆心，1为半径的圆，当斜率不存在时，满足要求，当斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，求出答案. 【小问1详解】 设，则， 故， 化简整理得， 故曲线的标准方程为； 【小问2详解】 曲线是以为圆心，1为半径的圆， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 此时到的距离为1，故与圆相切，满足要求， 当过点的直线斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到的距离， 解得，故切线方程为，即， 综上，过点且与曲线相切的直线方程为或. 20. 如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，底面为等边三角形，平面平面，点满足，点为棱上的动点（含端点）． （1）当与重合时，证明：平面平面； （2）是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明如下： 如图，取中点，连接， 因为侧面为菱形，， 所以， 又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又因为为的中点，所以四边形为平行四边形，所以， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2）存在， 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，根据面面垂直的性质证明平面，证明，可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证； （2）连接，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，因为为等边三角形，则， 所以两两垂直，则以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示： 令三棱柱的棱长为2，所以， 故， ， 又，所以， 设，， 则， 即； 又， 设平面的法向量为， 则则，取，则， 故平面的法向量可为， 又，设直线与平面所成角为， 由题可得，即， 整理得：，解得， 故当时，直线与平面所成角的正弦值为． 21. 椭圆的左、右焦点分别为，过作直线交E于两点．过作垂直于直线的直线交E于两点．直线与相交于点P． （1）若直线的斜率为1，求直线的方程． （2）求点P的轨迹方程． （3）求四边形面积的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直的斜率关系，以及过的定点，即可求解直线方程； （2）根据，转化为坐标运算，即可求点的轨迹方程； （3）首先分直线的斜率为0或不存在，以及直线的斜率存在且不为0两种情况，利用对角线互斥垂直，利用对角线的长度表示四边形的面积，利用函数关系求取值范围. 【小问1详解】 由条件可知，，，则， 所以，, 因为直线的斜率为1，所以直线的斜率为，且直线过点， 所以直线的方程为，即； 【小问2详解】 设，依题意，，且， ，， 所以，即， 故点的轨迹方程为； 【小问3详解】 依题意，， 过作平行于的直线交于两点，由对称性可知，， ①当的斜率为0或斜率不存在时，和是或，； ②当的斜率存在且不为0时，设，，， 联立方程，得， ，，， 故， 同理， 故， 令，，则， 其中，故， 综上， 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是将转化为，利用和都过点的特征，且斜率的关系，根据，直接表示. 22. 已知数列为正项数列，且，. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解法一：构造数列是恒为的常数列，结合可得出数列的通项公式； 解法二：利用累加法结合可求得数列的通项公式； （2）利用并项求和法结合分组求和法可求得. 【小问1详解】 解法一（构造常数列）：由，且， 可得， 故数列是恒为的常数列，所以， 又因为数列为正项数列，所以. 解法二（累加法）：由题意得：且， 有，，，， 将以上各式相加，得， 将代入上式即得，且当时也成立，所以， 又因为数列为正项数列，所以. 【小问2详解】 由（1）可得，令，其前项和为， 对任意的，，则， 又因为， 所以. 23. 已知函数． （1）当时，求的最大值； （2）若有且只有1个极小值点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用导数求得函数的单调性，即可求得函数的最大值； （2）求出导数，分，，，讨论判断单调性，求解. 【小问1详解】 当时，，， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在时取最大值，最大值为． 【小问2详解】 ，， 则， 当时，，所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以无极小值点，不符合题意； 当时，，在，上，，单调递增； 在上，，单调递减， 所以当时，取得极小值，且只有一个，符合题意； 当时，，所以单调递增，不存在极小值点，不符合题意； 当时，，在，上，，单调递增； 在上，，单调递减， 此时当时，取得极小值，且只有一个，符合题意． 综上，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $