第04讲 两角和与差的余弦、正弦和正切公式（4知识点+7大题型+过关测试）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（沪教版2020）

第04讲 两角和与差的余弦、正弦和正切公式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.了解两角差的余弦公式的推导过程．(重点) 2．理解用向量法导出公式的主要步骤．(难点) 3．熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．(重点、易混点) 知识点01两角和与差的余弦 设、为任意给定的两个角，把它们的定点置于平面直接坐标系的原点，始边与轴的正半轴重合，而它们的终边分别于单位圆交于、两点. 点、的坐标分别为、. 下面考虑角的余弦. 为此把角、的终边及都绕原点旋转角，它们分别交单位圆于点及. 由于都转动了角，因此也可以是一个以射线为始边、以射线为终边的角，而点的坐标是，点的坐标是. 根据两点间的距离公式，在左图中，有 在右图中，有 因为将射线、同时绕原点旋转角，就分别得到射线、，所以， 从而得到，即. 这个式子对任意给定的角和都成立，称为两角差的余弦公式. 在两角差的余弦公式中，用代换，就可得到两角和的余弦公式： . 这样，我们就得到两角和与差的余弦公式 ， . 简记作 . 知识点02两角和与差的正弦 根据两角差的余弦公式和诱导公式，就可以得到两角和的正弦公式. 事实上， 将上式中的用代换，就可以得到两角差的正弦公式 . 这样，我们得到两角和与差的正弦公式 ， . 简记作 . 知识点03两角和与差的正切 根据两角和的正弦、余弦公式，就可以得到两角和的正切公式. 事实上， . 将上式中的用代换，就得到两角差的正切公式 . 这样，我们得到两角和与差的正切公式 ， . 简记作 . 知识点04辅助角公式 . 注意到为单位圆上的一点，由正弦及余弦的定义，存在唯一的角，使得 ，， 于是有 . 此公式我们称之为辅助角公式. 题型一：求15°角的三角比 1．（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求15°等特殊角的正切 【分析】由，利用两角差的正切公式计算可得. 【详解】 . 故选：D 2．计算下列三角比的值. ；         . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求15°等特殊角的正弦 【分析】根据利用两角和与差的正弦公式转化为特殊角的三角函数计算. 【详解】 =； =； 故答案为：；. 3.求值： ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求15°等特殊角的余弦、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】将非特殊角转化为特殊角与的和，然后由两角和的余弦公式即可求解. 【详解】解：. 故答案为：. 4.已知角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求15°等特殊角的正弦、诱导公式五、六、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由诱导公式可知点即为，，由三角函数定义可知，平方利用两角和的正弦计算可得结果. 【详解】解：角的终边经过点，即， 由三角函数的定义可得，，所以． 故选：． 5．（2023高一上·全国·专题练习）利用和（差）公式，求下列各式的值 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)2- 【难度】0.85 【知识点】求15°等特殊角的正切、求15°等特殊角的正弦、求15°等特殊角的余弦 【分析】利用和（差）公式的三角函数公式求解. 【详解】（1）解：， ； （2）， ； （3）， ； （4）， . 题型二：利用两角和与差公式化简求值 1．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知，则的值是 . 【答案】-1 【难度】0.85 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】由余切公式及两角和的正切公式求解． 【详解】， 故答案为：-1 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，若，，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据三角形角的范围及已知条件求出、，再根据结合两角和的正弦公式即可得解. 【详解】因为、， 所以由得且， 所以，且由得， 故. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海·阶段练习）设甲命题为：，乙命题为：，则甲是乙的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据题意，得到和，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由，可得， 又由，可得， 当时，满足，此时，即充分性不成立， 若时，满足，但此时，即必要性不成立， 故甲是乙的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】由两角和的正余弦公式求解和进而判断角所在象限. 【详解】， ， ， ， ， ， 是第二象限角． 故选：B． 5．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）（1）化简： （2）证明恒等式： 【答案】（1）；（2）证明见解析 【难度】0.85 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）利用诱导公式可化简； （2）利用两角和与差的正弦公式可证明等式成立. 【详解】（1）. （2）左边 右边， 所以原等式成立. 6．（23-24高一下·上海·阶段练习）设点的坐标为，是坐标原点，点绕着点顺时针旋转后得到，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、由三角函数值求终边上的点或参数、用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】 设点在角的终边上，求出，由题意可得，再根据两角差的正余弦公式即可得解. 【详解】设点在角的终边上，则， 将点绕着点顺时针旋转后得到， 则， 而， ， 所以的坐标为. 故选：B. 【点睛】关键点点点睛：注意旋转前与旋转后角的变化，利用长度不变，两角差的正余弦公式求解即可. 题型三：逆用两角和与差公式化简求值 1．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知锐角、满足，，求的值． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据已知，利用和角的正切公式计算求解. 【详解】因为，， 所以， 又锐角、，所以， 所以. 2．（24-25高一上·上海·课前预习）化简 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】先根据两角和差正弦公式逆用,再应用诱导公式化简即可. 【详解】由两角和差公式可得， 由诱导公式可得. 故答案为：. 3．（22-23高一下·上海黄浦·期末）已知是锐角，且，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】运用整体的思想，结合两角和的余弦公式进行求解. 【详解】， 由题意，是锐角，则，则，解得. 故答案为： 4．（23-24高一·上海·课堂例题）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】（1）逆用两角和的余弦公式； （2）逆用两角差的余弦公式即可求值． 【详解】（1）原式； （2）原式． 5．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，．求． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】可将两式平方，整体构造出求解． 【详解】由已知可得 ， ， 两式相加，， 移项可得：， 即， 所以． 6．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，．求． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据题意得到，利用两角和的余弦公式即可求解． 【详解】，， ， ． 7．（23-24高一下·上海·期末）假设实数满足，，，则的取值（   ） A．是唯一确定的 B．不唯一，但有限多 C．有无穷多 D．不存在符合题意的 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】先应用三角换元，再结合两角和差公式及同角三角函数关系计算即可. 【详解】因为设, 因为设, 所以可得， 因为,所以, 所以. 故选：B. 8.求值： . 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据将展开，由此可得的关系，将数量关系代入原式可求解出原式的值. 【详解】因为， 又， 所以， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 9．已知是方程的两根，求的值. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值、正、余弦齐次式的计算 【分析】根据题意先计算出的值，由此可求的值，再根据齐次式的化简将原式转化为和有关的形式，由此可求解出原式的值. 【详解】因为，所以， 显然， 所以 . 题型四：给值求角型问题 1．（23-24高一下·上海·期中）已知、为锐角，，，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正切公式化简、求值、给值求角型问题 【分析】由求出，利用正切和角公式求出，结合、为锐角，得到. 【详解】，为锐角， 故，故， 故， 又、为锐角，故， 故. 故答案为： 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，其中．求： (1)的值； (2)求角的值 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】给值求角型问题、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（1）根据题意，利用三角函数的基本关系式，求得，结合两角差的正弦公式，即可求解； （2）根据题意，求得，得到，进而求得的值. 【详解】（1）解：因为且，可得， 所以 则. （2）解：由（1）知， 因为，可得， 又因为， 所以，可得，所以， 所以. 题型五：给值求值型问题 1．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知是第一象限角，是第四象限角，且满足，则 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值、给值求值型问题 【分析】先根据同角三角关系可得，再结合两家和差公式运算求解. 【详解】因为是第一象限角，是第四象限角，， 则， 所以. 故答案为：. 2．（23-24高一上·上海·期末）已知为锐角，，则 . 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】给值求值型问题、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、已知正（余）弦求余（正）弦、已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】根据题意得到，进而结合同角三角函数关系得到的值，利用配角法求得答案即可. 【详解】因为为锐角，所以，所以， 所以， 又因为，所以， 所以 . 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，则 . 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、给值求值型问题 【分析】已知，两个角，要求，发现，套用余弦和差角公式得解. 【详解】由题意知：，， 可得：， 当，时，原式； 当，时，原式； 当，时，原式； 当，时，原式； . 故答案为：或 4．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）若，，，，则 【答案】 【难度】0.65 【知识点】给值求值型问题、用和、差角的余弦公式化简、求值、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】判断角的范围，根据同角的三角函数关系求出，，将化为，根据两角差的余弦公式即可求得答案. 【详解】因为，，故，， 故由可得， 由可得， 则 ， 故答案为： 5．（22-23高一下·上海虹口·期中）若方程的两根为与，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的余弦公式化简、求值、正、余弦齐次式的计算 【分析】根据两角和差的正余弦公式化简后转化为正切函数即可得解. 【详解】由题意，， ， 故答案为： 题型六：借助辅助角公式求值 1．（23-24高一下·上海静安·期末）化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.94 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值、辅助角公式 【分析】（1）利用辅助角化成一角一函数，再利用诱导公式即可化简，或者利用两角和公式计算和即可得解. （2）根据诱导公式和切与弦的关系即可化简得解. 【详解】（1）法一：． 法2：. （2）. 2．（23-24高一下·上海金山·期末）已知函数在时取得最大值，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】正切函数的诱导公式、用和、差角的正切公式化简、求值、辅助角公式 【分析】先利用辅助角公式求出所满足的关系，求出，再利用和角公式求解. 【详解】根据辅助角公式，可得，其中. 由函数在时取得最大值，可得，所以， 根据诱导公式，可得. 根据和角公式，可得. 故答案为： 3．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，，设，. (1)若，试求，； (2)若，试求，； (3)若，且，试确定整数的最大值. 【答案】(1)， (2)，或 (3)3 【难度】0.4 【知识点】已知函数值求自变量或参数、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、辅助角公式 【分析】（1）分别令，，即可求出集合，； （2）由辅助角公式可得的解析式，分别令，即可求出集合，； （3）设，则，由题意可得，可得，然后分和两种情况讨论，由三角函数的有界性，可得，即恒成立，可得整数的值，从而可求得整数的最大值. 【详解】（1）令，即，得，所以， 令，即，得，所以； （2）， 令，则，得, 解得，所以， 令，则， 所以， 解得， 由正弦函数的有界性，可得只有满足，所以， 所以或， 解得，或， 所以或 （3）设，则， 因为，所以， 所以， 所以，得， 所以， 当时，，显然满足条件， 当时，， ， 所以， 因为，，且， 因为，所以，即恒成立， 所以，所以整数为， 所以整数的最大值为3. 【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查三角函数的性质，考查函数与方程的综合问题，解题的关键是对方程的化简，考查计算能力，属于较难题. 题型七：两角和与差综合应用 1．（23-24高一下·上海·阶段练习）（1）已知，且，求的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）7；（2） 【难度】0.85 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、已知两角的正、余弦，求和、差角的正切 【分析】（1）利用同角三角函数之间的基本关系可求得，再由两角差的正切公式可得结果； （2）根据与的关系式判断出，即可得结果. 【详解】（1），且，可得 所以 （2）由 两边平方可得：即， 所以，则， 因此 . 2．（2024高一下·上海·专题练习）在平面直角坐标系中，已知锐角的终边与单位圆交点的纵坐标为，锐角的终边与单位圆交点的横坐标为． (1)求和的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、已知正（余）弦求余（正）弦、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】（1）根据任意角三角函数的定义和同角三角函数的关系可求得结果； （2）先求出，再根据的范围可求得答案. 【详解】（1）由三角函数的定义可知，，， 因为，为锐角， 所以， ； （2）因为，，， 所以， 因为，，所以， 所以． 3．（23-24高一下·上海松江·期末）如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面 米处观看?（精确到0.1米）. 【答案】3.2 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、基本（均值）不等式的应用 【分析】作于，设，根据两角差的正切公式，结合不等式求的最大值，并确定对应的即可. 【详解】如图：作于，设， 则，. 所以（当且仅当时取“”） 又，故（米）， 故答案为：3.2 4．（23-24高一下·上海徐汇·期中）如图所示，已知线段是直角三角形与直角三角形的公共斜边，且满足，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】设，结合题意可得，结合两角和差公式整理即可. 【详解】设， 由题意可得：， 因为，即，则， 两式平方相加可得，则， 所以. 故答案为：. 5．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标为 . 【答案】， 【难度】0.65 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】结合三角函数的定义可先求出经过点的角的三角函数值，然后结合两角和的正弦及余弦公式及三角函数定义可求． 【详解】设点的坐标，则， 设为终边上的一点，则，， 则， ， 即，， 故点的坐标为，． 故答案为：，． 6．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，在中，，，，.    (1)若，，求的长，由此推出的值； (2)设，（、、均为锐角），试由图推出求的公式. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】求15°等特殊角的余弦、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】（1）过C作，利用直角三角形边角关系求出即可得解. （2）求得，再分别求出即可得解. 【详解】（1）如图，过C作于，    由，得四边形为矩形， 又，，，则，， 而，，则，， 于是，，在中，同理， 所以，. （2）由，，得， ， 而，，则， 又，，则， 所以. 7．（22-23高一下·安徽·阶段练习）已知函数． (1)求函数的解析式； (2)若关于x的方程在内有两个不相等的实数根，求证：． 【答案】(1) (2)证明过程见详解 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、解余弦不等式、已知f（g（x））求解析式 【分析】（1）令，利用二倍角的余弦公式将函数式化简，然后换元即可求解； （2）结合（1）结论和题意可得且，，利用两角和与差的余弦公式，以及余弦函数的单调性即可证明. 【详解】（1）令， 因为， 则， 所以函数的解析式为. （2）结合(1)可知：则，由题意可知：方程在内有两个不相等的实数根，所以， 则，即， 因为，且，所以， 则 ， 因为，所以，则且， 所以， 因为，所以，则， 则，所以 则，故，所以. 8.（23-24高一下·上海·阶段练习）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为 (1)若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)已知，，，若，，求的值 (3)已知，、，，若，，求、之间的曼哈顿距离. 【答案】(1)，余弦距离等于 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、正、余弦齐次式的计算、用和、差角的余弦公式化简、求值、三角函数新定义 【分析】（1）根据公式直接计算即可. （2）根据公式得到，，计算得到答案. （3）利用两角和与差的正弦、余弦公式可求出点、的坐标，结合题中定义可求得、之间的曼哈顿距离. 【详解】（1）， ，故余弦距离等于； （2）； 故，，则. （3）因为，， 所以. 因为，所以. 因为， 所以. 因为，则， 所以. 因为， ，所以. 因为， ， 所以. 因为， 所以、之间的曼哈顿距离是. 9．（22-23高一下·上海松江·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知是第二象限角，其终边上有一点． (1)若将角绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，求的值； (2)若，求x； (3)在（2）的条件下，将OP绕坐标原点顺时针旋转至，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3). 【难度】0.65 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、由三角函数值求终边上的点或参数、用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）利用三角函数定义求出，再利用差角的正弦公式计算即得. （2）利用三角函数定义求出x值. （3）利用和差角的正余弦公式求出，再利用三角函数定义求出点的坐标. 【详解】（1）依题意，，则，显然点在角的终边上， 于是， 所以. （2）依题意，，，因此，， 所以. （3）由（2）知，， 显然点在角的终边上，， ， ， ，， 所以点的坐标是. 【点睛】结论点睛：角终边上点到原点的距离为，则点. 10．（23-24高一下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，任意角，的终边交单位圆（圆心在坐标原点于，两点． (1)若为锐角，且，求的值 (2)若角为锐角，且终边绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，求的值； (3)若两点的纵坐标分别为正数，且，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3). 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、用和、差角的正弦公式化简、求值、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】（1）由三角函数定义可得两点的坐标，利用三角函数恒等变换可得结果； （2）根据角的定义并结合，利用可求出的值； （3）由同角三角函数的平方关系计算可得当时，取得最大值为. 【详解】（1）由题意知， ， 可得； 因此， （2）由角为锐角，且终边绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于， ，且，求得， 则，， 则， 即. （3）若两点的纵坐标分别为正数，可得角和角一个在第一象限，另一个在第二象限， 不妨假设在第一象限，则在第二象限， 根据题意可得,，且，， ，， ， 即可得， 平方可得，当且仅当时，取等号． ，当且仅当时，取等号， 故当时，取得最大值为． 一、单选题 1．（23-24高一下·上海黄浦·期末）若对任意实数x都有，则角的终边在（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】利用辅助角公式先化简，然后再根据正弦值余弦值的正负判断象限即可. 【详解】， ， 因为，所以角的终边在第四象限. 故选：D. 2．（23-24高一下·上海·期末）在中，，则（    ） A． B． C．或 D．以上答案均不正确 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】由求解. 【详解】解：因为，所以，则， 又因为，所以或， 若，则，与三角形内角和定理相矛盾， 所以，则， 所以 ， 故选：B 3．（23-24高一下·上海黄浦·期中）下列命题中，真命题的个数为（    ） ①若角的终边经过点，则； ②同时满足的角 ③不存在角和使得等式成立； ④任意的角和都满足等式 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据三角函数定义判断A，举反例判断BC，结合两角和差余弦公式判断D. 【详解】①当时，，①错误； ②同时满足的角，②错误； ③当， 故存在角和使得等式成立，③错误 ④正确，过程如下： 故选：A. 二、填空题 4．（23-24高一下·上海·期中）化简： . 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】由正弦函数的和差角公式，代入计算，即可求解. 【详解】. 故答案为： 5．（23-24高一下·上海黄浦·期末）若，则 ． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、用和、差角的余弦公式化简、求值、正、余弦齐次式的计算 【分析】根据两角和与差的余弦公式，再进行弦化切即可得到答案. 【详解】. 故答案为：3. 6．（23-24高一下·上海静安·期末）已知角的终边经过点，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】诱导公式二、三、四、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】求出，根据的范围可得答案. 【详解】角的终边经过点， 可得， 因为，，所以， 可得. 故答案为：. 7．（23-24高一下·上海·期中）将化成（其中，）的形式为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】逆用两角差的正弦公式即可得解. 【详解】 . 故答案为： 8．（23-24高一下·上海·期中）若，且为第三象限的角，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】首先由同角三角函数的基本关系求出、，再由两角和的正弦公式计算可得. 【详解】因为且为第三象限的角， 即，解得（舍去）或， 所以 . 故答案为： 9．（23-24高一下·上海·期中）已知，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、已知弦（切）求切（弦）、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】根据两角和的正弦、余弦公式计算可得，结合与求得，利用计算即可求解. 【详解】由， 得， 所以，又， 所以，又， 得， 所以. 故答案为： 10．（23-24高一下·上海金山·期末）设为锐角，且，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用平方关系求参数、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【分析】根据题意，两边平方再相加，结合同角基本关系式、和角的余弦公式求解. 【详解】根据题意，， 所以， 即， 两式相加，得， 所以. 故答案为： 11．求值： . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值、求15°等特殊角的正切 【分析】把转化成，利用两角和公式展开后化简整理，最后根据正切的两角和公式求得答案． 【详解】解：原式 ， ， 原式 故答案为：. 12．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知，，，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】给值求值型问题、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】结合所给角的象限与余弦值，可得其 正弦值，再利用两角差的正弦公式计算即可得. 【详解】由，，，则， 则，， . 故答案为：. 13．（23-24高一下·上海·期中）已知，，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】利用同角公式及和角的正弦公式计算即可. 【详解】由，，得， 所以. 故答案为： 14．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知，，，，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】由同角三角函数的基本关系求出，再由两角和的余弦公式求解即可. 【详解】因为，，所以， 因为，，所以， . 故答案为：. 15．（23-24高一下·上海·期中）已知，，，，则 .（结果用反三角表示） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦、已知三角函数值求角 【分析】根据给定条件，利用同角公式、差角的余弦公式求出即可. 【详解】由，，得，而， 则，，， 又，则， 因此 ， 所以. 故答案为： 16．（23-24高一下·上海·期中）已知，，，，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】先利用已知条件和同角三角函数的基本关系求出，然后利用两角和的余弦公式求解. 【详解】因为，，，， 所以，， 所以 . 故答案为： 17．（22-23高一下·上海静安·期末）已知点的坐标为，将绕坐标原点顺时针旋转至.则点的坐标为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用定义求某角的三角函数值、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 【分析】根据题意，设以为中终边的角为，以为终边的角为，然后结合三角函数的定义以及正余弦的和差角公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】设以为中终边的角为，则由三角函数的定义可知，， 由题意，以为终边的角为， 且， ， 且， 则点的横坐标为，纵坐标为. 即点的坐标为. 故答案为： 18．（23-24高一上·海南海口·期末）已知，，则 ． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】利用正弦的和差公式及同角三角函数的商数关系计算即可 【详解】由题意可知 ， 即， 由题意可知， 则. 故答案为： 【点睛】方法点睛：三角恒等变换化简求值问题需要注意已知角与未知角的关系，利用合理的配凑即可处理.本题已知及与的关系，所以构造，利用整体思想凑出未知式计算即可. 三、解答题 19．（23-24高一下·上海·期中）（1）化简 （2）已知，求的值 【答案】（1）0；（2）. 【难度】0.85 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算、用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）根据两角差的正弦公式和两角和的余弦公式即可求解. （2）分式分子分母同时除以即弦化切即可计算求解. 【详解】（1） . （2）因为， 所以. 20．（1）求值； （2）求值. 【答案】（1）；（2）. 【难度】0.65 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值、求15°等特殊角的正切、用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】（1）根据两角和的正切公式的逆运用化简即可得出答案； （2）根据结合两角和的正余弦公式计算，再结合两角差的正切公式即可得解. 【详解】（1）原式 . （2）原式= 21．（1）上课不认真听讲的某同学将两角和的余弦定理错误地记忆为：，老师给定了和值，该同学用错误的公式计算的值，结果居然与正确答案相同，请问：老师给出的和值分别是什么？（请写出至少三组答案） （2）有了上次侥幸的喜悦后，该同学继续我行我素，又想当然的认为，请问：是否存在某些和，可以让该同学继续“混对”答案？若存在和，请求出，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）或，等；（2）不存在和能让该同学能继续“混对”. 【难度】0.65 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】（1）化简即得解； （2）化简已知得，即得解. 【详解】解：由， 错误公式得， 当时，， 得， 所以或. 所以老师给出的可能是等. 【点睛】解：因为， 若该同学能继续“混对”，则，得到，显然无解，则不存在和能让该同学能继续“混对”. 22．求证： (1)； (2)在非直角三角形ABC中， 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、三角函数恒等式的证明——同角三角函数基本关系 【分析】(1)先把等式左边切化弦，再借助立方和公式分解化简从而得证； (2) 借助得到，再利用和角正切公式展开整理即可得证. 【详解】（1）左边 =右边 故. （2） 又 故. 23．已知，，均为锐角.     （1）求； （2）求 【答案】（1）；（2）. 【难度】0.65 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的正切 【分析】（1）根据，利用两角差的正切 公式求得结果． （2）求得得，由 求出结果． 【详解】（1） （2），， 又 ， 24．已知 (1)求 (2)化简并求值： 【答案】(1)，； (2). 【难度】0.65 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）由已知等式求出，再利用齐次式法求值即得. （2）利用诱导公式、商数关系及和角的正弦公式化简，再利用齐次式法求值即得. 【详解】（1）由，得，解得， . （2）由（1）知，， 所以 . 25．已知函数. (1)若，为锐角，，，求的值； (2)函数，若存在，成立，求实数的最大值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】函数不等式能成立（有解）问题、基本不等式求和的最小值、用和、差角的余弦公式化简、求值、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（1）利用同角三角函数基本关系求出，， ，利用求解即可 （2）设，则不等式可化为. 求出的最大值即可. 【详解】（1）因为，且为锐角，所以，. 因为，所以. 因为，为锐角，所以，所以. 所以 . （2）. 因为存在，成立， 所以成立， 即成立. 设，则，所以，则. 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，故的最大值为. 26．（23-24高一下·上海·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，以正半轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于两点，已知的横坐标分别为. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】（1）根据题意，利用三角函数的定义的，再利用三角函数的基本关系式，求得，结合两角差的余弦公式，即可求解； （2）由（1）求得，结合两角和的正切公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为点的横坐标分别为， 由三角函数的定义，可得， 因为角为锐角，可得， 则. （2）解：由（1）知，且， 可得，所以. 27．设点P是以原点为圆心的单位圆上的一个动点，它从初始位置出发，沿单位圆按顺时针方向转动角后到达点，然后继续沿着单位圆按顺时针方向转动角到达点，若点的纵坐标为，求点的坐标． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、已知正（余）弦求余（正）弦、利用定义求某角的三角函数值 【分析】由三角函数的定义可得，利用两角差的正弦、余弦公式可求得、的值，即可得出点的坐标. 【详解】由三角函数的定义可知，点的纵坐标为，即， 故．因为，则， 若，则，不符合题意； 若，则，符合题意． 故．所以． 所以． ． 而， 所以点的坐标为． 28．（22-23高一下·上海嘉定·期中）（1）已知，，求； （2）已知，且，，用，表示，求． 【答案】（1）；（2），． 【难度】0.65 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值； （2）求出、的取值范围，利用同角三角函数的基本关系求出、的值，用、表示出，利用两角和的余弦公式可求得的值. 【详解】解：（1）因为，，则， 因此，； （2）因为，则，， 因为，， 则， ， 因为， 所以， . 29．（22-23高一下·上海嘉定·期中）（1）已知，，且及都是锐角.求的值； （2）在中，已知与是方程的两个根.求. 【答案】（1）；（2）1 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】（1）根据平方公式分别求解，再利用和差角公式求解即可得的值； （2）根据方程的根又韦达定理可得，利用三角形内角和与两角和差的正切公式即可求的值. 【详解】（1）已知，，且及都是锐角， 所以，， 所以 又，所以，故； （2）因为与是方程的两个根 所以 在中，， 所以. 30．已知. (1)求的值； (2)求. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式，求得的值． （2）根据（1）求出，利用角的范围确定的值. 【详解】（1）因为，所以，， 所以 则； （2）因为所以， 由（1）可得， 故. 31．（23-24高一下·上海杨浦·期中）若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质P (1)判断函数是否具有性质P，并说明理由； (2)若函数具有性质P，求出和的值 (3)若函数具有性质P，且当时，，求方程的解的个数 【答案】(1)不具有，理由见解析； (2)； (3)2个 【难度】0.4 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、求函数零点或方程根的个数、函数新定义 【分析】（1）由新定义知识判断即可； （2）结合新定义及取特殊值求解即可； （3）当时，，再结合函数的图象进行求解． 【详解】（1）令， 故， 则不具有性质P． （2）若函数具有性质P， 则， 又，则取，有， ， 则有， 即， ， 又． （3） 当时， 具体如图所示    则方程的解的个数为2个． 【点睛】关键点点睛：第三问中，要求出当时函数解析式，并画出函数的图象进行求解，要充分利用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 两角和与差的余弦、正弦和正切公式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.了解两角差的余弦公式的推导过程．(重点) 2．理解用向量法导出公式的主要步骤．(难点) 3．熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．(重点、易混点) 知识点01两角和与差的余弦 设、为任意给定的两个角，把它们的定点置于平面直接坐标系的原点，始边与轴的正半轴重合，而它们的终边分别于单位圆交于、两点. 点、的坐标分别为、. 下面考虑角的余弦. 为此把角、的终边及都绕原点旋转角，它们分别交单位圆于点及. 由于都转动了角，因此也可以是一个以射线为始边、以射线为终边的角，而点的坐标是，点的坐标是. 根据两点间的距离公式，在左图中，有 在右图中，有 因为将射线、同时绕原点旋转角，就分别得到射线、，所以， 从而得到，即. 这个式子对任意给定的角和都成立，称为两角差的余弦公式. 在两角差的余弦公式中，用代换，就可得到两角和的余弦公式： . 这样，我们就得到两角和与差的余弦公式 ， . 简记作 . 知识点02两角和与差的正弦 根据两角差的余弦公式和诱导公式，就可以得到两角和的正弦公式. 事实上， 将上式中的用代换，就可以得到两角差的正弦公式 . 这样，我们得到两角和与差的正弦公式 ， . 简记作 . 知识点03两角和与差的正切 根据两角和的正弦、余弦公式，就可以得到两角和的正切公式. 事实上， . 将上式中的用代换，就得到两角差的正切公式 . 这样，我们得到两角和与差的正切公式 ， . 简记作 . 知识点04辅助角公式 . 注意到为单位圆上的一点，由正弦及余弦的定义，存在唯一的角，使得 ，， 于是有 . 此公式我们称之为辅助角公式. 题型一：求15°角的三角比 1．（    ）． A． B． C． D． 2．计算下列三角比的值. ；         . 3.求值： ． 4.已知角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D．0 5．（2023高一上·全国·专题练习）利用和（差）公式，求下列各式的值 (1) (2) (3) (4) 题型二：利用两角和与差公式化简求值 1．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知，则的值是 . 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，若，，则 . 3．（23-24高一下·上海·阶段练习）设甲命题为：，乙命题为：，则甲是乙的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 4．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 5．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）（1）化简： （2）证明恒等式： 6．（23-24高一下·上海·阶段练习）设点的坐标为，是坐标原点，点绕着点顺时针旋转后得到，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型三：逆用两角和与差公式化简求值 1．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知锐角、满足，，求的值． 2．（24-25高一上·上海·课前预习）化简 . 3．（22-23高一下·上海黄浦·期末）已知是锐角，且，则 ． 4．（23-24高一·上海·课堂例题）化简： (1)； (2)． 5．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，．求． 6．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，．求． 7．（23-24高一下·上海·期末）假设实数满足，，，则的取值（   ） A．是唯一确定的 B．不唯一，但有限多 C．有无穷多 D．不存在符合题意的 8.求值： . 9．已知是方程的两根，求的值. 题型四：给值求角型问题 1．（23-24高一下·上海·期中）已知、为锐角，，，则 . 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，其中．求： (1)的值； (2)求角的值 题型五：给值求值型问题 1．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知是第一象限角，是第四象限角，且满足，则 2．（23-24高一上·上海·期末）已知为锐角，，则 . 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，则 . 4．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）若，，，，则 5．（22-23高一下·上海虹口·期中）若方程的两根为与，则 ． 题型六：借助辅助角公式求值 1．（23-24高一下·上海静安·期末）化简下列各式： (1)； (2)． 2．（23-24高一下·上海金山·期末）已知函数在时取得最大值，则 . 3．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，，设，. (1)若，试求，； (2)若，试求，； (3)若，且，试确定整数的最大值. 题型七：两角和与差综合应用 1．（23-24高一下·上海·阶段练习）（1）已知，且，求的值； （2）已知，求的值. 2．（2024高一下·上海·专题练习）在平面直角坐标系中，已知锐角的终边与单位圆交点的纵坐标为，锐角的终边与单位圆交点的横坐标为． (1)求和的值； (2)求的值． 3．（23-24高一下·上海松江·期末）如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面 米处观看?（精确到0.1米）. 4．（23-24高一下·上海徐汇·期中）如图所示，已知线段是直角三角形与直角三角形的公共斜边，且满足，则 ． 5．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标为 . 6．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，在中，，，，.    (1)若，，求的长，由此推出的值； (2)设，（、、均为锐角），试由图推出求的公式. 7．（22-23高一下·安徽·阶段练习）已知函数． (1)求函数的解析式； (2)若关于x的方程在内有两个不相等的实数根，求证：． 8.（23-24高一下·上海·阶段练习）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为 (1)若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)已知，，，若，，求的值 (3)已知，、，，若，，求、之间的曼哈顿距离. 9．（22-23高一下·上海松江·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知是第二象限角，其终边上有一点． (1)若将角绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，求的值； (2)若，求x； (3)在（2）的条件下，将OP绕坐标原点顺时针旋转至，求点的坐标． 10．（23-24高一下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，任意角，的终边交单位圆（圆心在坐标原点于，两点． (1)若为锐角，且，求的值 (2)若角为锐角，且终边绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，求的值； (3)若两点的纵坐标分别为正数，且，求的最大值． 一、单选题 1．（23-24高一下·上海黄浦·期末）若对任意实数x都有，则角的终边在（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（23-24高一下·上海·期末）在中，，则（    ） A． B． C．或 D．以上答案均不正确 3．（23-24高一下·上海黄浦·期中）下列命题中，真命题的个数为（    ） ①若角的终边经过点，则； ②同时满足的角 ③不存在角和使得等式成立； ④任意的角和都满足等式 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 4．（23-24高一下·上海·期中）化简： . 5．（23-24高一下·上海黄浦·期末）若，则 ． 6．（23-24高一下·上海静安·期末）已知角的终边经过点，则 ． 7．（23-24高一下·上海·期中）将化成（其中，）的形式为 . 8．（23-24高一下·上海·期中）若，且为第三象限的角，则 . 9．（23-24高一下·上海·期中）已知，则 . 10．（23-24高一下·上海金山·期末）设为锐角，且，则 . 11．求值： . 12．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知，，，则 ． 13．（23-24高一下·上海·期中）已知，，则 ． 14．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知，，，，则 ． 15．（23-24高一下·上海·期中）已知，，，，则 .（结果用反三角表示） 16．（23-24高一下·上海·期中）已知，，，，则 . 17．（22-23高一下·上海静安·期末）已知点的坐标为，将绕坐标原点顺时针旋转至.则点的坐标为 . 18．（23-24高一上·海南海口·期末）已知，，则 ． 三、解答题 19．（23-24高一下·上海·期中）（1）化简 （2）已知，求的值 20．（1）求值； （2）求值. 21．（1）上课不认真听讲的某同学将两角和的余弦定理错误地记忆为：，老师给定了和值，该同学用错误的公式计算的值，结果居然与正确答案相同，请问：老师给出的和值分别是什么？（请写出至少三组答案） （2）有了上次侥幸的喜悦后，该同学继续我行我素，又想当然的认为，请问：是否存在某些和，可以让该同学继续“混对”答案？若存在和，请求出，若不存在，请说明理由. 22．求证： (1)； (2)在非直角三角形ABC中， 23．已知，，均为锐角.     （1）求； （2）求 24．已知 (1)求 (2)化简并求值： 25．已知函数. (1)若，为锐角，，，求的值； (2)函数，若存在，成立，求实数的最大值. 26．（23-24高一下·上海·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，以正半轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于两点，已知的横坐标分别为. (1)求的值； (2)求的值. 27．设点P是以原点为圆心的单位圆上的一个动点，它从初始位置出发，沿单位圆按顺时针方向转动角后到达点，然后继续沿着单位圆按顺时针方向转动角到达点，若点的纵坐标为，求点的坐标． 28．（22-23高一下·上海嘉定·期中）（1）已知，，求； （2）已知，且，，用，表示，求． 29．（22-23高一下·上海嘉定·期中）（1）已知，，且及都是锐角.求的值； （2）在中，已知与是方程的两个根.求. 30．已知. (1)求的值； (2)求. 31．（23-24高一下·上海杨浦·期中）若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质P (1)判断函数是否具有性质P，并说明理由； (2)若函数具有性质P，求出和的值 (3)若函数具有性质P，且当时，，求方程的解的个数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$